Los tres primeros parece-primo son el 49, el 77 y el 91.
Hay 168 primos menores a 1000.
¿Cuántos parece-primo habrá menores a 1000?
Fuente: 2005 AMC 12A
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martes, 9 de febrero de 2010
296 - Los parece-primo
Llamemos parece-primo a los números compuestos que no son divisibles por 2, 3 ni 5.
Los tres primeros parece-primo son el 49, el 77 y el 91.
Hay 168 primos menores a 1000.
Los tres primeros parece-primo son el 49, el 77 y el 91.
Hay 168 primos menores a 1000.
domingo, 7 de febrero de 2010
295 - El auto de Ivo
Ivo se compró un auto nuevo. A los dos meses se dió cuenta que el odómetro vino fallado y no tenía el número 4, es decir que por ejemplo pasaba del 000003 al 000005, del 000039 al 000050, 000399 al 000500, etc.
¿Si después de un tiempo el odómetro marca 002010, cuántos kilómetros habrá recorrido realmente el auto de Ivo?
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sábado, 6 de febrero de 2010
294 - Maravillas de las matemáticas
121 = 112
121×(1+2+1) = 484 = 222
12,321×(1+2+3+2+1) = 110,889 = 3332
1,234,321×(1+2+3+4+3+2+1) = 19,749,136 = 4,4442
123,454,321×(1+2+3+4+5+4+3+2+1) = 3,086,358,025 = 55,5552
12,345,654,321×(1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1) = 444,443,555,556 = 666,6662
1,234,567,654,321×(1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1) = 60,493,815,061,729 = 7,777,7772
123,456,787,654,321×(1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1) = 7,901,234,409,876,544 = 88,888,8882
12,345,678,987,654,321×(1+2+3+4+5+6+7+8+9 +8+7+6+5+4+3+2+1)
= 999,999,998,000,000,001 = 999,999,9992
Visto en Numeropedia
121×(1+2+1) = 484 = 222
12,321×(1+2+3+2+1) = 110,889 = 3332
1,234,321×(1+2+3+4+3+2+1) = 19,749,136 = 4,4442
123,454,321×(1+2+3+4+5+4+3+2+1) = 3,086,358,025 = 55,5552
12,345,654,321×(1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1) = 444,443,555,556 = 666,6662
1,234,567,654,321×(1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1) = 60,493,815,061,729 = 7,777,7772
123,456,787,654,321×(1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1) = 7,901,234,409,876,544 = 88,888,8882
12,345,678,987,654,321×(1+2+3+4+5+6+7+8+9 +8+7+6+5+4+3+2+1)
= 999,999,998,000,000,001 = 999,999,9992
Visto en Numeropedia
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viernes, 5 de febrero de 2010
293 - Sumando factoriales
Cuenta la historia que la profesora de un alumno, que luego sería un gran matématico, le dió una tarea para entretenerlo por un buen rato. Le pidió que realizara la siguiente suma: 1!+2!+3!+4!+....+2009!+2010! y que le dijera con que últimas dos cifras termina la solución.
Se ve que era una profesora que no sabía mucho de matematicas ya que el alumno lo resolvió en menos de cinco minutos.
Se ve que era una profesora que no sabía mucho de matematicas ya que el alumno lo resolvió en menos de cinco minutos.
¿Sabría alguien decirme las dos últimas cifras de dicha suma?
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jueves, 4 de febrero de 2010
292 - Números y lineas rectas
En mayúsculas existen letras que se escriben solo con lineas rectas.
A estas letras las podemos clasificar en tres grupos según la cantidad de lineas rectas que necesitamos para escribirlas :
2: L,T,V,X
3: A,F,H,I,N,K,Y,Z
4: E,M,W
Lo curioso es que existen dos números que escritos en mayúsculas tienen una cantidad de lineas rectas igual a su valor.
A estas letras las podemos clasificar en tres grupos según la cantidad de lineas rectas que necesitamos para escribirlas :
2: L,T,V,X
3: A,F,H,I,N,K,Y,Z
4: E,M,W
Lo curioso es que existen dos números que escritos en mayúsculas tienen una cantidad de lineas rectas igual a su valor.
¿Qué números son?
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miércoles, 3 de febrero de 2010
291 - Empezando como su raíz cúbica
lunes, 1 de febrero de 2010
290 - Sumando fracciones
La siguiente ecuación tiene varias soluciones.
a c
--- + --- = 1
b d
1/4 + 6/8 , 1/2 + 3/6 , 1/3 + 4/6 , 3/4 + 2/8 , 1/2 + 4/8 y 2/4 + 3/6.
Pero cuáles son las soluciones de esta otras:
1.
abc gh
----- + ----- = 1
def ij
2.
ab fg
----- + ----- = 1
cde hij
3.
abcd i
------ + --- = 1
efgh j
Respetando que en cada caso cada letra es un dígito diferente.
Yo encontré dos soluciones para cada una de las ecuaciones.
a c
--- + --- = 1
b d
1/4 + 6/8 , 1/2 + 3/6 , 1/3 + 4/6 , 3/4 + 2/8 , 1/2 + 4/8 y 2/4 + 3/6.
Pero cuáles son las soluciones de esta otras:
1.
abc gh
----- + ----- = 1
def ij
2.
ab fg
----- + ----- = 1
cde hij
3.
abcd i
------ + --- = 1
efgh j
Respetando que en cada caso cada letra es un dígito diferente.
Yo encontré dos soluciones para cada una de las ecuaciones.
¿Habrá mas?
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289 - La familia ahorreti
La familia ahorreti solía festejar el cumpleaños del nieto, del padre y del abuelo el mismo día aprovechando que sus cumpleaños caian en fechas próximas. Si bien ahorraban en los invitados, la madre igualmente hacia 3 tortas con sus correspondientes velitas.
Este año la familia está contenta porque hace tres años la madre compró un juego de velas-números (vienen diez velas con forma de números del 0 al 9) y las pudo usar durante estos tres años el día que festejaron el cumpleaños triple (es decir no había digitos repetidos en los años cumplidos por los tres parientes) , claro que el año que viene deberá comprar velas. Sabiendo que el niño era mayor a 10 años cuando compraron las velas,
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Este año la familia está contenta porque hace tres años la madre compró un juego de velas-números (vienen diez velas con forma de números del 0 al 9) y las pudo usar durante estos tres años el día que festejaron el cumpleaños triple (es decir no había digitos repetidos en los años cumplidos por los tres parientes) , claro que el año que viene deberá comprar velas. Sabiendo que el niño era mayor a 10 años cuando compraron las velas,
¿Cuántos años cumplió el abuelo este año?
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viernes, 29 de enero de 2010
288 - Cuatro facilongos
a) El 1 de enero de 2000 se puede expresar como 01/01/00 cuya suma digital es la mas baja que se puede obtener 01+01+00 = 02
¿Cuál sería la fecha con mayor suma digital?
b) ¿Cuál fue el año con mas carácteres en números romanos hasta hoy y cuál será el próximo con más caracteres?
c) Esta serie puede completarse de dos maneras diferentes
43, 41, 37, 31, 29, ___, 19, 17
¿Que dos números a ó b pueden agregarse para que la serie tenga sentido?
d) Hay dos números que sumados ya sea a 100 ó a 64 dan cuadrados perfectos.
¿Cúales?
¿Cuál sería la fecha con mayor suma digital?
b) ¿Cuál fue el año con mas carácteres en números romanos hasta hoy y cuál será el próximo con más caracteres?
c) Esta serie puede completarse de dos maneras diferentes
43, 41, 37, 31, 29, ___, 19, 17
¿Que dos números a ó b pueden agregarse para que la serie tenga sentido?
d) Hay dos números que sumados ya sea a 100 ó a 64 dan cuadrados perfectos.
¿Cúales?
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jueves, 28 de enero de 2010
287 - Manteniendo la diagonal
En el pueblo de las diagonales solían hacer plazas-estadios sobre terrenos cuadrados o rectangulares pero siempre usando lados primos enteros.
Esos estadios se usaban para recitales y además para correr carreras, con la particularidad de que éstas se corrían por las diagonal del estadio.
El rey Diagon construyó el primero de estos estadios. A los pocos años y al haber mas gente que concurría a los recitales el rey decidió construir otro estadio con un área mayor, respetando siempre que los lados sean números primos enteros.
Los corredores de la diagonal se le quejaron diciendo que ya estaban acostumbrados a correr la cantidad de metros de la diagonal anterior y que si construia otro estadio esas dimensiones iban a cambiar.
El rey los tranquilizó diciéndoles que la diagonal del nuevo estadio sería igual a la del estadio anterior.
Y así lo hizo.
Pasaron unos cuantos años, los recitales eran cada vez populares, asi que el rey decidió volver a cambiar las dimensiones de los lados de forma que el estadio tuviera un area aún mayor.
Los corredores de la diagonal se volvieron a quejar, pidiendo que no cambiara el largo de la diagonal, cosa que el rey respetó.
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Esos estadios se usaban para recitales y además para correr carreras, con la particularidad de que éstas se corrían por las diagonal del estadio.
El rey Diagon construyó el primero de estos estadios. A los pocos años y al haber mas gente que concurría a los recitales el rey decidió construir otro estadio con un área mayor, respetando siempre que los lados sean números primos enteros.
Los corredores de la diagonal se le quejaron diciendo que ya estaban acostumbrados a correr la cantidad de metros de la diagonal anterior y que si construia otro estadio esas dimensiones iban a cambiar.
El rey los tranquilizó diciéndoles que la diagonal del nuevo estadio sería igual a la del estadio anterior.
Y así lo hizo.
Pasaron unos cuantos años, los recitales eran cada vez populares, asi que el rey decidió volver a cambiar las dimensiones de los lados de forma que el estadio tuviera un area aún mayor.
Los corredores de la diagonal se volvieron a quejar, pidiendo que no cambiara el largo de la diagonal, cosa que el rey respetó.
¿Cuáles eran las dimensiones de estos tres estadios sabiendo que el tamaño de la diagonal era la menor posible?
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martes, 26 de enero de 2010
286 - Curiosidad
285 - El profesor Pedro y Sergio I
El profesor elige un número de dos cifras y le da la suma de sus dígitos a Sergio y el producto de los dígitos de dicho número a Pedro.
Como ninguno de los dos puede deducir el número, el profesor les dice que casualmente no pueden deducir el número porque la cantidad de números de dos dígitos que tienen ese producto es igual a la cantidad de números de dos dígitos que tienen esa suma y que una vez dicho esto ya le podrían decir es el número.
Como ninguno de los dos puede deducir el número, el profesor les dice que casualmente no pueden deducir el número porque la cantidad de números de dos dígitos que tienen ese producto es igual a la cantidad de números de dos dígitos que tienen esa suma y que una vez dicho esto ya le podrían decir es el número.
¿Cuál es el número?
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domingo, 24 de enero de 2010
284 - La menos conocida de las conjeturas de Goldbach
Goldbach, el de la famosa conjetura, hizo por lo menos otra conjetura que finalmente resultó ser falsa.
Esta última decía que todo número compuesto impar puede expresarse como la suma de un número primo más dos veces la suma de un cuadrado.
Así por ejemplo:
9 = 7 + 2×12
15 = 7 + 2×22
21 = 3 + 2×32
25 = 7 + 2×32
27 = 19 + 2×22
33 = 31 + 2×12
Claro que como ya dije antes esta conjetura es falsa,
Esta última decía que todo número compuesto impar puede expresarse como la suma de un número primo más dos veces la suma de un cuadrado.
Así por ejemplo:
9 = 7 + 2×12
15 = 7 + 2×22
21 = 3 + 2×32
25 = 7 + 2×32
27 = 19 + 2×22
33 = 31 + 2×12
Claro que como ya dije antes esta conjetura es falsa,
¿Cuál es el primer compuesto impar que no puede expresarse como la suma de un primo más dos veces un cuadrado?
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viernes, 22 de enero de 2010
283 - Curioso y no curioso
G, D y N finalmente lograron juntar la plata para la Play Station 3.
Cada uno de ellos tiene más $99, pero menos de $999.
Entre los tres montos no hay ningun dígito repetido.
La cantidad que tiene G es divisible por 7. Lo curioso es que el reverso de esta cantidad también es divisible por 7
La cantidad que tiene D es divisible por 9. Lo curioso es que el reverso de esta cantidad también es divisible por 9.
La cantidad que tiene N es divisible por 11. Lo no tan curioso es que el reverso de esta cantidad también es divisible por 11.
Sabiendo que la cantidad que tiene cada chico es mayor que su respectivo reverso,
Cada uno de ellos tiene más $99, pero menos de $999.
Entre los tres montos no hay ningun dígito repetido.
La cantidad que tiene G es divisible por 7. Lo curioso es que el reverso de esta cantidad también es divisible por 7
La cantidad que tiene D es divisible por 9. Lo curioso es que el reverso de esta cantidad también es divisible por 9.
La cantidad que tiene N es divisible por 11. Lo no tan curioso es que el reverso de esta cantidad también es divisible por 11.
Sabiendo que la cantidad que tiene cada chico es mayor que su respectivo reverso,
¿Cuánta plata tienen en total?
.
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jueves, 21 de enero de 2010
282 - Fácil para un verano light y para las vacaciones de los de por aqui
lunes, 4 de enero de 2010
281 - Primos inestables
¿Cuáles son los primos de tres dígitos que dejan de ser primos cuando les anteponemos cualquier dígito ?
Por ejemplo el 101 no es primo cuando le anteponemos el 1, 2 ,3 ,4 ,7,8 ó el 9, pero sigue siendo primo cuando le anteponemos el 5 (5101 es primo) ó el 6 (6101 es primo)
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sábado, 2 de enero de 2010
280 - Próximo año divifraccicapicúa
Se dice que el último año divifraccicapicúa fue 1976 ya que el número 1976 lo podemos dividir en dos partes para formar una fracción que al multiplicarla por el número original nos da un número capicúa.
19/76 x 1976 = 494.
Otros años divifraccicapicúas fueron :
11/10 x 1110 = 1221
11/20 x 1120 = 616
12/60 x 1260 = 252
12/72 x 1272 = 212
13/20 x 1320 = 858
14/49 x 1449 = 414
15/45 x 1545 = 515
16/40 x 1640 = 656
17/50 x 1750 = 595
18/40 x 1840 = 828
19/76 x 1976 = 494.
Otros años divifraccicapicúas fueron :
11/10 x 1110 = 1221
11/20 x 1120 = 616
12/60 x 1260 = 252
12/72 x 1272 = 212
13/20 x 1320 = 858
14/49 x 1449 = 414
15/45 x 1545 = 515
16/40 x 1640 = 656
17/50 x 1750 = 595
18/40 x 1840 = 828
¿Cuál es próximo año divifraccicapicúa?
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miércoles, 30 de diciembre de 2009
279 - Numeros divisibles por su suma digital
Veamos estos números consecutivos de seis dígitos :
131052, 131053, 131054, 131055 y 131056
¿Qué particularidad presentan?
Que cada uno de ellos es divisible por la suma de sus dígitos:
131052 es divisible por 1+3+1+0+5+2= 12, y 131052 / 12 = 10921
131053 es divisible por 1+3+1+0+5+3= 13, y 131053 / 13 = 10081
131054 es divisible por 1+3+1+0+5+4= 14, y 131054 / 14 = 9361
131055 es divisible por 1+3+1+0+5+5= 15, y 131055 / 15 = 8737
131056 es divisible por 1+3+1+0+5+6= 16, y 131056 / 16 = 8191
Existe otro grupo de cinco números consecutivos de seis cifras que presentan además de esta particularidad, la propiedad que sus sumas digitales son iguales a las dos últimas cifras de cada uno de estos números.
131052, 131053, 131054, 131055 y 131056
¿Qué particularidad presentan?
Que cada uno de ellos es divisible por la suma de sus dígitos:
131052 es divisible por 1+3+1+0+5+2= 12, y 131052 / 12 = 10921
131053 es divisible por 1+3+1+0+5+3= 13, y 131053 / 13 = 10081
131054 es divisible por 1+3+1+0+5+4= 14, y 131054 / 14 = 9361
131055 es divisible por 1+3+1+0+5+5= 15, y 131055 / 15 = 8737
131056 es divisible por 1+3+1+0+5+6= 16, y 131056 / 16 = 8191
Existe otro grupo de cinco números consecutivos de seis cifras que presentan además de esta particularidad, la propiedad que sus sumas digitales son iguales a las dos últimas cifras de cada uno de estos números.
¿Cuáles son esos cinco números?
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martes, 29 de diciembre de 2009
278 - Todo cuadrado
G, D y N son tres hermanos que quieren comprar una play station 3. El problema es que entre los tres no juntan $500. Así que van a lo de su abuelo a pedirle el dinero que les falta.
- ¿Cuánta plata tienen? - Les preguntó el abuelo.
- Mirá, cada uno tiene una cantidad diferente de pesos, entre los tres tenemos un número cuadrado de pesos, y si sumamos los montos de dos cualquiera de nosotros, también sumamos un número cuadrado de pesos.
- Ah, entonces ya sé cuanto dinero tienen - dijo el abuelo.
- ¿Cuánta plata tienen? - Les preguntó el abuelo.
- Mirá, cada uno tiene una cantidad diferente de pesos, entre los tres tenemos un número cuadrado de pesos, y si sumamos los montos de dos cualquiera de nosotros, también sumamos un número cuadrado de pesos.
- Ah, entonces ya sé cuanto dinero tienen - dijo el abuelo.
¿Cuánta plata tienen cada uno de los hermanos?
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lunes, 28 de diciembre de 2009
277 - Rebuscado I
miércoles, 23 de diciembre de 2009
276 - Formar los números del 1 al 24
El boletin de Luciana mostraba las siguientes notas:
3 7 9 5 2 6 10
Si realizamos todas las sumas posibles de las notas consecutivos, obtenemos:
"Sumando" de a una : 3, 7, 9, 5, 2, 6 y 10
Sumando de a dos : 10, 16, 14, 7, 8 y 16
Sumando de a tres: 19, 21, 16, 13, y 18
Sumando de a cuatro: 24, 23, 22 y 23
Sumando de a cinco: 26, 29 y 32
Sumando de a seis : 32 y 39
Sumando los siete : 42
Ordenando las sumas : 2,3,5,6,7,8,9,10,13,14,16,18,19,21,22,23,24,26,29,32,39 y 42
Vemos que hay números que no se pudieron obtener (1,4,11,12, etc.)
El boletín de Alejandro en cambio, también tiene siete notas pero si realizamos todas las sumas posibles de las notas consecutivas de dicho boletin, obtenemos cualquier número del 1 al 24.
3 7 9 5 2 6 10
Si realizamos todas las sumas posibles de las notas consecutivos, obtenemos:
"Sumando" de a una : 3, 7, 9, 5, 2, 6 y 10
Sumando de a dos : 10, 16, 14, 7, 8 y 16
Sumando de a tres: 19, 21, 16, 13, y 18
Sumando de a cuatro: 24, 23, 22 y 23
Sumando de a cinco: 26, 29 y 32
Sumando de a seis : 32 y 39
Sumando los siete : 42
Ordenando las sumas : 2,3,5,6,7,8,9,10,13,14,16,18,19,21,22,23,24,26,29,32,39 y 42
Vemos que hay números que no se pudieron obtener (1,4,11,12, etc.)
El boletín de Alejandro en cambio, también tiene siete notas pero si realizamos todas las sumas posibles de las notas consecutivas de dicho boletin, obtenemos cualquier número del 1 al 24.
¿Qué notas y en que orden tiene el boletín de Alejandro?
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martes, 22 de diciembre de 2009
275 - Comprando regalos para fin de año
Este año me ocurrió algo muy curioso comprando los regalos para fin de año de mis tres hijos.
Ocurre que gasté exactamente $2009, y cada una de las cosas cosas que compré me costó más de $100, pero menos de $999.
Entre los tres precios no se repite ningún digito.
Todas las cosas costaron un monto entero de pesos.
El precio del regalo para mi hijo mayor era un cuadrado perfecto, en tanto que el precio de los otros dos regalos era un número primo.
Ocurre que gasté exactamente $2009, y cada una de las cosas cosas que compré me costó más de $100, pero menos de $999.
Entre los tres precios no se repite ningún digito.
Todas las cosas costaron un monto entero de pesos.
El precio del regalo para mi hijo mayor era un cuadrado perfecto, en tanto que el precio de los otros dos regalos era un número primo.
¿Cuánto me costó cada regalo?
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lunes, 21 de diciembre de 2009
274 - El inventor de la batalla naval
Cuenta la leyenda que el rey falsete era un apasionado de la batalla naval, es por ello que mandó llamar al inventor del juegopara recompensarlo.Luego de jugar algunas partidas el rey ofreció a dicho inventor concederle el premio que solicitara, el inventor que era un buen matemático (pero no tan vivo como el inventor del ajedrez), le pidió que pusiera un euro (ahora que vale más que el dolar), en la primera casilla, dos+tres euros en la segunda casilla, cuatro+cinco+seis euros en la tercera, siete+ocho+nueve+diez en la cuarta, y asi sucesivamente hasta la casilla número cien.
-Está bien - dijo el rey - pero solo te voy a dar los euros que ocupan la última casilla .
-No hay problema, con ese monto me conformo.
-Está bien - dijo el rey - pero solo te voy a dar los euros que ocupan la última casilla .
-No hay problema, con ese monto me conformo.
¿Cuánto cobró éste inventor?
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jueves, 17 de diciembre de 2009
273 - Cuatro consecutivos con cuatro factores diferentes
Los dos primeros números consecutivos que tienen dos factores primos diferentes son
Los tres primeros números consecutivos que tienen tres factores primos diferentes son:
Lo que se pide es encontrar los primeros cuatro números consecutivos que tienen cuatro factores primos diferentes
Este es un problema del project Euler (http://projecteuler.net/)
14 = 2 × 7
15 = 3 × 5
15 = 3 × 5
Los tres primeros números consecutivos que tienen tres factores primos diferentes son:
644 = 2² × 7 × 23
645 = 3 × 5 × 43
646 = 2 × 17 × 19
645 = 3 × 5 × 43
646 = 2 × 17 × 19
Lo que se pide es encontrar los primeros cuatro números consecutivos que tienen cuatro factores primos diferentes
Este es un problema del project Euler (http://projecteuler.net/)
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miércoles, 16 de diciembre de 2009
272 - Ordenando las cartas
Supongamos que de un mazo sacamos dos ases, dos 2, dos 3, dos 4, dos 5, dos 6 y dos 7.
Queremos ahora ordenarlos sobre la mesa de forma tal que los ases esten separados por una carta, los dos separados por dos cartas, los tres separados por tres cartas y asi sucesivamente hasta que los dos sietes esten separados por 7 cartas.
Claro que hay muchas formas de hacer esto (alrededor de 50, un ejemplo es 57236253471614), pero si leemos las cartas puestas sobre la mesa como si fueran un solo número,
Queremos ahora ordenarlos sobre la mesa de forma tal que los ases esten separados por una carta, los dos separados por dos cartas, los tres separados por tres cartas y asi sucesivamente hasta que los dos sietes esten separados por 7 cartas.
Claro que hay muchas formas de hacer esto (alrededor de 50, un ejemplo es 57236253471614), pero si leemos las cartas puestas sobre la mesa como si fueran un solo número,
¿Cuáles serían el menor y el mayor número que podemos formar respetando esta regla de separación?
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martes, 15 de diciembre de 2009
271 - El profesor, Pedro y Sergio
El profesor elige un número de dos cifras y le da la suma de sus dígitos a Sergio y el producto de los dígitos de dicho número a Pedro y les pide deducir cuál es el número elegido.
Como ninguno de los dos puede deducir el número, el profesor les dice:
- Es lógico que no lo puedan deducir, ya que las opciones que tiene Sergio son exactamente el doble de las opciones que tiene Pedro.
-Ahora los dos podemos decir cual es el número.- Dijo uno de los alumnos.
Como ninguno de los dos puede deducir el número, el profesor les dice:
- Es lógico que no lo puedan deducir, ya que las opciones que tiene Sergio son exactamente el doble de las opciones que tiene Pedro.
-Ahora los dos podemos decir cual es el número.- Dijo uno de los alumnos.
¿Cuál es el número?
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lunes, 14 de diciembre de 2009
270 - Cubo de diferencia o diferencia de cubos
jueves, 10 de diciembre de 2009
269 - Agujeros negros
Si escribimos todos los números del 1 al 1000000 y eliminamos aquellos que tengan algún dígito repetido (por ejemplo 11,22,3123,5441,etc)
Nos quedaría una lista del tipo :1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,13, etc en la que habría algunos saltos en los números.
Asi entre el 10 y el 12 hay un espacio de un número (11), claro que hasta el 1000000 habrá espacios más largos por ejemplo entre 98 y 102 hay un salto de 3 (99,100 y 101)
Nos quedaría una lista del tipo :1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,13, etc en la que habría algunos saltos en los números.
Asi entre el 10 y el 12 hay un espacio de un número (11), claro que hasta el 1000000 habrá espacios más largos por ejemplo entre 98 y 102 hay un salto de 3 (99,100 y 101)
¿Cuál es el espacio más largo y entre que números está?
Pregunta adicional : ¿Cuántos números (hasta el 1000000) son los que tienen cifras repetidas?
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martes, 8 de diciembre de 2009
268 - Dividiendo a 2009!
lunes, 7 de diciembre de 2009
267 - Increíble coincidencia
Diez chicos estaban en ronda, la profesora les pide que cada uno diga a cada uno de sus vecinos un número. Así cada chico dice un número y escucha dos (uno de su vecino de la izquierda y otro del vecino de la derecha). Una vez que todos los chicos dijeron sus números, la profesora les pide que digan el promedio de los números que escucharon.
Increiblemente se escuchó : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
Increiblemente se escuchó : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
¿Qué número dijo cada chico?
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viernes, 4 de diciembre de 2009
266 - La fecha de hoy es una fecha bien cuadrada
¿Qué tiene de particular la fecha de hoy, 4 de diciembre de 2009?
Que si la expresamos tanto como dd/mm/aa (41209) o como mm/dd/aa (120409) obtenemos un número cuadrado, ya que 2032 = 41209 y 3472 = 120409.
Como bien me indicó 26 en los comentarios es una fecha requetecuadrada ya que también es un cuadrado si lo expresamos aa/mm/dd 091204= 3022
Lo interesante es que a diferencia del 4 de abril de 2001 (40401 = 2012) , en el día de hoy, el número del día es diferente al número del mes.
La pregunta de hoy es :
¿Cuál es la próxima fecha en la que el número del día es distinto al número del mes y que expresada como dd/mm/aaaa es una fecha cuadrada?
Por ejemplo el 1 de enero de 2036 sería una fecha cuadrada porque 1012036 = 10062 , pero no vale como respuesta porque expresado como mm/dd/aaaa da el mismo cuadrado ya que el número del día es igual al número del mes.
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jueves, 3 de diciembre de 2009
265 - ¿Qué hay más?
miércoles, 2 de diciembre de 2009
264 - Billetes curiosos
Muchos conocemos que :
Es decir que aqui tenemos un ejemplo de un número que tiene los dígitos ordenados de mayor a menor al que luego le restamos el número formado con esos mismos dígitos pero ordenados de menor a mayor y obtenemos un tercer número que curiosamente es un anagrama de ellos (tiene los mismos dígitos que los dos anteriores pero en otro orden).
Yo tenía dos billetes, uno que tenía los nueve digitos ordenados de mayor a menor que tenía esa misma propiedad y otro que tenía diez dígitos, también ordenados de mayor a menor, no tenía ceros y obviamente también tenía esa propiedad.
Nota: Estos billetes tenían dígitos repetidos.
987654321 - 123456789 = 864197532
Es decir que aqui tenemos un ejemplo de un número que tiene los dígitos ordenados de mayor a menor al que luego le restamos el número formado con esos mismos dígitos pero ordenados de menor a mayor y obtenemos un tercer número que curiosamente es un anagrama de ellos (tiene los mismos dígitos que los dos anteriores pero en otro orden).
Yo tenía dos billetes, uno que tenía los nueve digitos ordenados de mayor a menor que tenía esa misma propiedad y otro que tenía diez dígitos, también ordenados de mayor a menor, no tenía ceros y obviamente también tenía esa propiedad.
Nota: Estos billetes tenían dígitos repetidos.
¿Cuáles son los números de esos billetes?
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martes, 1 de diciembre de 2009
263 - Novios
Gustavo y Vanesa se pusieron de novios, como vivían cerca y no tenían como ir desde la casa de uno al otro, salvo en taxi o en auto, se solían encontrar a mitad de camino.
Si ambos salían a la misma hora, se encontraban exactamente 4 minutos después de salir, en cambio si Gustavo salía 3 minutos después que Vanesa se encontraban dos minutos después de que Gustavo había salido.
Si asumimos que cada uno de los novios caminaban siempre a la misma velocidad,
Si ambos salían a la misma hora, se encontraban exactamente 4 minutos después de salir, en cambio si Gustavo salía 3 minutos después que Vanesa se encontraban dos minutos después de que Gustavo había salido.
Si asumimos que cada uno de los novios caminaban siempre a la misma velocidad,
¿Cuántos minutos tardaría Gustavo
en llegar desde su casa a la casa de Vanesa?
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lunes, 30 de noviembre de 2009
262 - Restando cubos para obtener capicúas
viernes, 27 de noviembre de 2009
261 - Millas y kilómetros
jueves, 26 de noviembre de 2009
260 - Potencia de dos
martes, 24 de noviembre de 2009
259 - Un problema para las olimpíadas
El profesor elegió un número entero N de dos dígitos. Le dio la suma de los dígitos de N a Sebastian y el número de divisores positivos de N a Damian. Cada uno fue informado de la naturaleza del número .
Luego el profesor les pidió que determinen N.
Se escuchó el siguiente diálogo:
Sebastián: Yo no sé que número es.
Damian: Yo tampoco, no puedo encontrar N, pero puedo decir si N es par o impar.
Sebastián: En este caso, ahora ya soy capaz de encontrar N.
Damian: Entonces yo también.
Este problema fue propuesto en 1988 durante la sesión de entrenamiento del equipo chino para la Olimpiada Internacional de Matemáticas.
Luego el profesor les pidió que determinen N.
Se escuchó el siguiente diálogo:
Sebastián: Yo no sé que número es.
Damian: Yo tampoco, no puedo encontrar N, pero puedo decir si N es par o impar.
Sebastián: En este caso, ahora ya soy capaz de encontrar N.
Damian: Entonces yo también.
¿Qué número es N?
Este problema fue propuesto en 1988 durante la sesión de entrenamiento del equipo chino para la Olimpiada Internacional de Matemáticas.
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lunes, 23 de noviembre de 2009
258 - Transformandose en si mismo
Tomemos un número cualquiera, por ejemplo el 73. Ahora repitamos cada digito de dicho número para luego sumarlos
73 : 77+33 = 110 ,
lamentablemente 73 no es igual a 110, hacemos lo mismo con otro número, por ej. 73 : 77+33 = 110 ,
652 : 66+55+22 = 143.
Vemos que en ninguno de estos ejemplos logramos que la suma sea igual al número original, sin embargo existe un número que al aplicarle esta transformación obtenemos el número original.¿Cuál es ese número?
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viernes, 20 de noviembre de 2009
257 - Mezclado perfecto
El otro día vi una película sobre el lejano oeste en la que uno de los vaqueros hacía lo que se llama un mezclado americano perfecto, es decir tomaba un mazo de poker de 52 cartas ordenadas por palo, dividía el mazo en dos mitades iguales (dos palos por mitad) y mezclaba dejando deslizar una carta por lado de forma tal que si antes de mezclar las cartas estaban en este orden : 1,2,3,4,5,....49,50,51,52 después del mezclado quedaban 1,27,2,28,3,29,etc. Viendo ésta escena me pregunté si era posible que después de varios mezclados de este tipo se volviera a obtener las cartas en el orden inicial..
La pregunta es:
La pregunta es:
¿Se puede volver a obtener las cartas en el orden inicial usando solo mezclados perfectos?
y si la respuesta es si,
¿Cuántas veces hay que repetir el mezclado?
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miércoles, 18 de noviembre de 2009
256 - Casados versus solteros
255 - La edad de los hijos
Dos ex- compañeras de la secundaria se encontraron después de varios años.
Luego de conversar un rato, se escuchó la siguiente conversación:
- Asi que tenés tres hijos, ¿Y cuántos años tienen? - preguntó Patricia
- Mirá, Patricia - dijo Marcela - yo sé que a vos te gustaban los acertijos, así que te voy a decir la suma y el producto de sus edades, a ver si podés deducir la edad de mis hijos.
Una vez que Marcela le dio esos datos, Patricia dijo:
-- Mirá, tengo una duda, ¿el que no es mellizo tiene 9 o 25 años?
Luego de conversar un rato, se escuchó la siguiente conversación:
- Asi que tenés tres hijos, ¿Y cuántos años tienen? - preguntó Patricia
- Mirá, Patricia - dijo Marcela - yo sé que a vos te gustaban los acertijos, así que te voy a decir la suma y el producto de sus edades, a ver si podés deducir la edad de mis hijos.
Una vez que Marcela le dio esos datos, Patricia dijo:
-- Mirá, tengo una duda, ¿el que no es mellizo tiene 9 o 25 años?
¿Alguien puede decir cuál es el producto de la edad de los hijos de Marcela?
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martes, 17 de noviembre de 2009
254 - Comiendo pizza después del fobal
En una época (no muy lejana) jugaba al fútbol (mal, pero eso no importa) con los padres de los compañeros de colegio de mi hijo,
Después de jugar, la mayoría ibamos a comer pizza a una pizzería que ofrecía pizzas de 12 porciones. La cantidad de porciones que cada uno comía dependía del hambre que cada uno tenía, esa noche pero solíamos dividir a los comensales en "hambrientos" (los que podían comer 6 porciones como mínimo o a los sumo 7, si habia la suficiente pizza) y los "normales", que comían 2 o 3 porciones (si había más pizza).
Claro que según el día y lo que había comido durante el mismo. cualquiera podía ser hambriento o normal
Antes de hacer el pedido contabamos cuantos "hambrientos" y cuantos "normales" había, para poder hacerle el pedido al mozo. Recuerdo que una noche calculamos que cuatro pizzas no iban a alcanzar, y sin embargo si pedíamos cinco pizzas, iban a sobrar algunas porciones.
Después de jugar, la mayoría ibamos a comer pizza a una pizzería que ofrecía pizzas de 12 porciones. La cantidad de porciones que cada uno comía dependía del hambre que cada uno tenía, esa noche pero solíamos dividir a los comensales en "hambrientos" (los que podían comer 6 porciones como mínimo o a los sumo 7, si habia la suficiente pizza) y los "normales", que comían 2 o 3 porciones (si había más pizza).
Claro que según el día y lo que había comido durante el mismo. cualquiera podía ser hambriento o normal
Antes de hacer el pedido contabamos cuantos "hambrientos" y cuantos "normales" había, para poder hacerle el pedido al mozo. Recuerdo que una noche calculamos que cuatro pizzas no iban a alcanzar, y sin embargo si pedíamos cinco pizzas, iban a sobrar algunas porciones.
¿Cuántos "hambrientos" y cuantos "normales" había esa noche?
.
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lunes, 16 de noviembre de 2009
253 - La veterinaria de Lionel
Lionel tiene una veterinaria que tiene 100 animales entre perros, conejos y cobayos. Entre todos los animales comen 100 kilos de alimento balanceado por semana. Sabiendo que un perro necesita 5 kg de alimento por semana, un conejo 3 kilos y un cobayo 1/3 de kilo.
¿Cuántos perros tiene la veterinaria, sabiendo que la cantidad de cobayos tiene dígitos en común tanto con la cantidad de conejos, como con la cantidad de perros?
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viernes, 13 de noviembre de 2009
253 - El cuadrado más cuadrado
242
¿Qué tiene de particular este número?
Que es el menor número que tiene las letras de CUADRADO
DOsCientos cUARentA y Dos
4232
¿Qué tiene de particular este número?
Que es el menor número que tiene las letras de CUADRADO en orden :
CUAtro mil Doscientos tReintA y DOs
Claro que lamentablemente, ni 242 ni 4232 son cuadrados perfectos.
¿Qué tiene de particular este número?
Que es el menor número que tiene las letras de CUADRADO
DOsCientos cUARentA y Dos
4232
¿Qué tiene de particular este número?
Que es el menor número que tiene las letras de CUADRADO en orden :
CUAtro mil Doscientos tReintA y DOs
Claro que lamentablemente, ni 242 ni 4232 son cuadrados perfectos.
¿Cuál es el menor cuadrado perfecto que tiene en su nombre las letras de cuadrado en orden?
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jueves, 12 de noviembre de 2009
251 - Encuesta autor(r)eferente
El otro día leí una extraña encuesta, en la que solo se podía contestar a cada una de las cuatro preguntas con 0,1,2 ó 3. No necesariamente había que usar todos los números, es decir que se podía contestar todas las preguntas con 0, o usar dos 3 y dos 1 , etc, etc. Claro que había que responder correcta y logicamente.
Las preguntas eran las siguientes:
1. En las preguntas 1 - 4, cuántas respuestas son 0?
2. En las preguntas 1 - 4, cuántas respuestas son mayores a 1?
3. En las preguntas 1 - 4, cuántas respuestas son menores que 2?
4. En las preguntas 1 - 4, cuántas respuestas son 3?
Las preguntas eran las siguientes:
1. En las preguntas 1 - 4, cuántas respuestas son 0?
2. En las preguntas 1 - 4, cuántas respuestas son mayores a 1?
3. En las preguntas 1 - 4, cuántas respuestas son menores que 2?
4. En las preguntas 1 - 4, cuántas respuestas son 3?
¿Cómo responderías tú a esta encuesta?
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miércoles, 11 de noviembre de 2009
250 - Fecha de nacimiento
martes, 10 de noviembre de 2009
249 - Divisores terminados con todos los dígitos
lunes, 9 de noviembre de 2009
248 - Números en escalera descendente
Llamemos números en escalera descendente a aquellos números positivos de dos o más dígitos, los cuales están escritos en estricto orden de mayor a menor cuando son leidos de izquierda a derecha, así por ejemplo 742 , 987, 951 y 6540 serían números de este tipo, en tanto que 8221 y 65434 no.
La pregunta es :
La pregunta es :
¿Cuántos números en escalera descendente existen?
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sábado, 7 de noviembre de 2009
247 - Usando todas las letras
Los números del 1 al 999.999.999.999 usan las siguientes 18 letras:
a c d e h i l m n o q r s t u v y z
a) ¿Cuál es el menor número que tiene en su nombre todas estas 18 letras?
b)¿Cuál es el menor número que tiene en su nombre todas estas letras, y además usa la menor cantidad de letras?
(el que yo encontré usa 40 letras)
c)¿Cuál es el conjunto de números que entre todos tienen estas 18 letras y además usan la menor cantidad de letras?
d)¿Cuál es el conjunto de números que entre todos tienen estas letras y cuya suma es la menor posible?
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jueves, 5 de noviembre de 2009
246 - El primer cuadrado
En nuestro diccionario de los números ya tenemos el primer número que aparece en el mismo, el catorce, el primer impar catorce billones catorce mil ciento cinco , y el primer primo catorce billones catorce mil ciento noventa y nueve, (quizás haya otro anterior, si alguien lo conoce me avisa)
El otro día chateando con Rodolfo (para quien no lo conozca, un gran creador de acertijos y coleccionista de juegos de ingenio, como así también autor de varios libros y artículos de matematicas recreativas) me preguntó si conocía cuál es el primer cuadrado en el diccionario ya que quería incorporarlo a su colección de números. Como yo no lo conocía, empecé a buscarlo y encontré un posible primer cuadrado del diccionario, pero realmente no estoy seguro de que sea la respuesta correcta.
Pd: obviamente que empieza con catorce billones,,,,
El otro día chateando con Rodolfo (para quien no lo conozca, un gran creador de acertijos y coleccionista de juegos de ingenio, como así también autor de varios libros y artículos de matematicas recreativas) me preguntó si conocía cuál es el primer cuadrado en el diccionario ya que quería incorporarlo a su colección de números. Como yo no lo conocía, empecé a buscarlo y encontré un posible primer cuadrado del diccionario, pero realmente no estoy seguro de que sea la respuesta correcta.
¿Alguien nos podría ayudar a encontrar dicho cuadrado?
Pd: obviamente que empieza con catorce billones,,,,
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245 - Secuencia de cuadrados cuadrados
Los números del 9 al 15 presentan la particularidad de que la suma de los dígitos de sus cuadrados son números cuadrados.
92 = 81 y 8+1 = 9
102 = 100 y 1+0+0 = 1
112 = 121 y 1+2+1 = 4
122 = 144 y 1+4+4 = 9
132 = 169 y 1+6+9 = 16
142 = 196 y 1+9+6 = 16
152 = 225 y 2+2+5 = 9
92 = 81 y 8+1 = 9
102 = 100 y 1+0+0 = 1
112 = 121 y 1+2+1 = 4
122 = 144 y 1+4+4 = 9
132 = 169 y 1+6+9 = 16
142 = 196 y 1+9+6 = 16
152 = 225 y 2+2+5 = 9
¿Cuál es la próxima secuencia de siete números consecutivos cuyos cuadrados tienen una suma digital igual a un cuadrado?
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miércoles, 4 de noviembre de 2009
244 - Número complicado
martes, 3 de noviembre de 2009
243 - 3399999966
¿Qué tiene de particular este número?
Si sumamos todos los digitos (suma digital) de este número obtenemos el número 72 (3+9+9+9+9+9+9+6+6 = 72). Claro que esto no tiene nada de particular, pero lo que si es curioso es que si multiplicamos este número por 2 el resultado también tiene una suma digital igual a 72, probando con los números siguientes vemos que si lo multiplicamos por 3, 4, 5, etc. los productos obtenidos siempre dan una suma digital igual a 72. Claro que esto no ocurre con todos los números, por eso pregunto :
Si sumamos todos los digitos (suma digital) de este número obtenemos el número 72 (3+9+9+9+9+9+9+6+6 = 72). Claro que esto no tiene nada de particular, pero lo que si es curioso es que si multiplicamos este número por 2 el resultado también tiene una suma digital igual a 72, probando con los números siguientes vemos que si lo multiplicamos por 3, 4, 5, etc. los productos obtenidos siempre dan una suma digital igual a 72. Claro que esto no ocurre con todos los números, por eso pregunto :
¿Cuál es el primer número que al multiplicarlo por 3399999966 da un producto cuya suma digital no es 72?
Fuente: (Mathematical Gazette 1896)
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lunes, 2 de noviembre de 2009
242 - Jugando a la generala
Aurelia, Bernarda y Carlota jugaron a la generala.
Después de cada partido, la que salía última debía triplicar el monto de lo que las otras dos tenían.
Sabiendo que jugaron tres partidos, que primero perdió Aurelia, después Bernarda y por último perdió Carlota y que terminaron todas con $27,
Después de cada partido, la que salía última debía triplicar el monto de lo que las otras dos tenían.
Sabiendo que jugaron tres partidos, que primero perdió Aurelia, después Bernarda y por último perdió Carlota y que terminaron todas con $27,
¿Con cuánto empezó cada una?
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jueves, 29 de octubre de 2009
241 - Años simétricos
1991 fue hasta ahora el último de los llamados "Años simétricos" ya que no solo es capicúa, sino que también se puede expresar como el producto de factores primos capicúas:
1991 = 11 x 181
1991 = 11 x 181
¿Cuales serán los 3 próximos años simétricos?
Lo de primos fue agregado después del primer comentario-
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miércoles, 28 de octubre de 2009
240 - Que es más probable?
martes, 27 de octubre de 2009
239 - Dividiendo por el producto
238 - Facilongo
El cuadrado de lado 4 presenta la particularidad de que tanto su perímetro como su área valen 16, (obviamente que en otras unidades).
¿Cuál es el rectángulo cuyo lados tienen valores enteros, que tiene el mismo valor de perímetro que de área?
Se entiende que el área por ejemplo esta medida en m2 y el perímetro en m.
¿Cuál es el rectángulo cuyo lados tienen valores enteros, que tiene el mismo valor de perímetro que de área?
Se entiende que el área por ejemplo esta medida en m2 y el perímetro en m.
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lunes, 26 de octubre de 2009
237 - Escuchando conversaciones ajenas
El otro día estando sentado en el subte, escuché el siguiente diálogo :
-Tenés que encontrar un número que tiene cinco de sus seis dígitos pares, en tanto que su raíz cuadrada tiene todos los dígitos pares.
-Pero hay muchos números de ese tipo .
-Si, pero me olvidé decirte que el dígito impar esta en la posición... - justo en ese momento pasó un vendedor ambulante gritando y no pude escuchar el final de esta oración. Una vez que pasó el vendedor escuché que la otra persona decía:
- Ah, ahora si puedo decirte que número es.
-Tenés que encontrar un número que tiene cinco de sus seis dígitos pares, en tanto que su raíz cuadrada tiene todos los dígitos pares.
-Pero hay muchos números de ese tipo .
-Si, pero me olvidé decirte que el dígito impar esta en la posición... - justo en ese momento pasó un vendedor ambulante gritando y no pude escuchar el final de esta oración. Una vez que pasó el vendedor escuché que la otra persona decía:
- Ah, ahora si puedo decirte que número es.
¿Cuál era ese número?
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viernes, 23 de octubre de 2009
236 - Preguntita
jueves, 22 de octubre de 2009
235 - Número autoexplicativo
Existe un solo número de 8 cifras al que llamaremos N, tal que el primer dígito indica el resto que da dicho número al dividirlo por dos, el segundo dígito es el resto que da N al dividirlo por 3, el tercer número es el resto que da la división de N por 4 y así sucesivamente hasta el octavo dígito que es el resto de dividir N por 9.
Fuente : USA Mathematical Talent Search
¿Qué número es N?
Fuente : USA Mathematical Talent Search
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miércoles, 21 de octubre de 2009
234 - Dividiendo por la suma
Si dividimos cada uno de los números del 1 al 1000 por la suma de sus propios digitos,
Por ejemplo el 347 da un resto de 11 cuando se divide por 14 (3+4+7), ya que 347 = 14 x 24 +11
¿Cuál es el número que da mayor resto ?
¿y si lo hacemos hasta el 10000?
¿y hasta el 100000?
¿y hasta el 100000?
Por ejemplo el 347 da un resto de 11 cuando se divide por 14 (3+4+7), ya que 347 = 14 x 24 +11
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martes, 20 de octubre de 2009
233 - Mayor número
lunes, 19 de octubre de 2009
232 - Numerando a los alumnos
La maestra numeró a cada uno de sus 16 alumnos con un número entero diferente. Luego les pidió que se juntaran de a dos, pero de forma tal que la suma de los números de dos compañeros sea un cuadrado. Así primero se juntó el 1 con el 3 y formaron el 4, el 2 con el 14 (16), el 4 con el 5 (9), el 6 con el 10 (16), el 7 con el 9 (16), pero el 8 no pudo juntarse con ninguno de los quedaban para formar un cuadrado. La maestra les dijo que volvieran a intentar hasta que todos los alumnos tuvieran un compañero y entre los dos sumaran un cuadrado.
¿Como se pueden juntar los alumnos?
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sábado, 17 de octubre de 2009
231 - ¿Cómo calcular raíces cuadradas sin usar una calculadora?
Existen dos métodos que permiten calcular raíces cuadradas bastante rápidamente y con una muy buena aproximación.
En el primer método se usa recursivamente la siguiente fórmula:
(a+Nb)/(a+b)
Si N= 2 y a = b = 1
Entonces los valores que vamos obteniendo son :
3/2 ; 7/5 : 11/12 ; 41/29 ; 99/70 ; 239/169 ; 577/408 ; 1393/985 ; 3363/2378 ; etc
Vemos que 239/163 = 1.4142, que es una buena aproximación a raíz(2),
en tanto que 3363/2378 = 1.4142136 que da el mismo valor que obtenemos con una calculadora común
Nosotros tomamos a = b =1, pero se puede utilizar cualquier valor de a y b y siempre obtendremos una aproximación a raíz(2)
En este ejemplo N = 2, pero N puede tomar cualquier valor, y así obtendríamos la raíz(N)
¿Porqué funciona?
Como lo que nosotros hacemos es igualar a
a/b = ( A + Nb) / (a + b) = ( (a/b) + N ) / ( (a/b) + 1)
si llamamos a a/b = K y reemplazando nos queda
K = (K+N)/(K+1)
de donde K(K+1)=(K+N)
entonces K2 + K = K + N
llegando a K2 = N
Por lo tanto K = raíz(N)
El segundo método es atribuido a Heron y usa la siguiente fórmula :
a = 1/2 (a+N/a)
Donde a se elige como el valor aproximado de raíz(N) y obviamente no puede ser cero.
Por ejemplo si queremos calcular la raíz cuadrada de 5, podemos tomar a=2.
aplicando la fórmula repetidamente:
a= 2
a= 1/2(2+5/2) = 9/4
a= 1/2(9/4+5/(9/4)) = 1/2(9/4 + 20/9)= 1/2 (161/36) =161/72 = 2.236111
a= 1/2(161/72 + 5/ (161/72)) = 54841/23184 = 2.236068
Vemos que esta secuencia converge rápidamente,además si a es un menor que raíz(n) entonces N/a es mas grande raíz(n), por lo tanto el promedio debe estar entre ellos
En el primer método se usa recursivamente la siguiente fórmula:
(a+Nb)/(a+b)
Si N= 2 y a = b = 1
Entonces los valores que vamos obteniendo son :
3/2 ; 7/5 : 11/12 ; 41/29 ; 99/70 ; 239/169 ; 577/408 ; 1393/985 ; 3363/2378 ; etc
Vemos que 239/163 = 1.4142, que es una buena aproximación a raíz(2),
en tanto que 3363/2378 = 1.4142136 que da el mismo valor que obtenemos con una calculadora común
Nosotros tomamos a = b =1, pero se puede utilizar cualquier valor de a y b y siempre obtendremos una aproximación a raíz(2)
En este ejemplo N = 2, pero N puede tomar cualquier valor, y así obtendríamos la raíz(N)
¿Porqué funciona?
Como lo que nosotros hacemos es igualar a
a/b = ( A + Nb) / (a + b) = ( (a/b) + N ) / ( (a/b) + 1)
si llamamos a a/b = K y reemplazando nos queda
K = (K+N)/(K+1)
de donde K(K+1)=(K+N)
entonces K2 + K = K + N
llegando a K2 = N
Por lo tanto K = raíz(N)
El segundo método es atribuido a Heron y usa la siguiente fórmula :
a = 1/2 (a+N/a)
Donde a se elige como el valor aproximado de raíz(N) y obviamente no puede ser cero.
Por ejemplo si queremos calcular la raíz cuadrada de 5, podemos tomar a=2.
aplicando la fórmula repetidamente:
a= 2
a= 1/2(2+5/2) = 9/4
a= 1/2(9/4+5/(9/4)) = 1/2(9/4 + 20/9)= 1/2 (161/36) =161/72 = 2.236111
a= 1/2(161/72 + 5/ (161/72)) = 54841/23184 = 2.236068
Vemos que esta secuencia converge rápidamente,además si a es un menor que raíz(n) entonces N/a es mas grande raíz(n), por lo tanto el promedio debe estar entre ellos
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viernes, 16 de octubre de 2009
230 - Jugando con los cuadrados
miércoles, 14 de octubre de 2009
229 - Sumando casillas
En un tablero de 20 x 20 se anotaron en cada casilla la cantidad de movimientos que puede hacer un rey (del ajedrez) a partir de esa casilla.
Por ejemplo en la casillas de las esquinas figuraba el 3, ya que a partir de esas casillas el rey solo puede hacer 3 movimientos.
En otro tablero cuadrado la suma dio 9940
Por ejemplo en la casillas de las esquinas figuraba el 3, ya que a partir de esas casillas el rey solo puede hacer 3 movimientos.
¿Si se suman todos los números que se han escrito, que número se obtendría?
En otro tablero cuadrado la suma dio 9940
¿Qué dimensiones tenía ese tablero cuadrado?
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228 - Recaudando impuestos
Las patentes de los autos en Argentina constan de tres letras y tres números.
Como hay algunas letras que no se usan, el total de letras usadas son 26, en cambio se usan los números del 0 al 9, pudiendo estar el 0 en cualquier posición.
Supongamos que un futuro se hayan emitido todas las patentes posibles desde el AAA000 hasta ZZZ999. El gobierno de turno, decide entonces, para recaudar un poco, como de costumbre, poner un nuevo impuesto a las patentes. Para ello decide arbitrariamente que cada patente pagará en base a su valor, tomando en cuenta que cada letra tendrá los siguientes valores: A=1, B=2, C=3 ... Z=26, en tanto que los números valdrán su valor. Así por ejemplo la patente AAA000 pagará A+A+A+0+0+0= $3, en tanto que ABC 765 pagará 1+2+3+7+6+5 =$24, etc El que más pagará será la ZZZ999=26+26+26+9+9+9= $105.
Si se implementara esta política,
Como hay algunas letras que no se usan, el total de letras usadas son 26, en cambio se usan los números del 0 al 9, pudiendo estar el 0 en cualquier posición.
Supongamos que un futuro se hayan emitido todas las patentes posibles desde el AAA000 hasta ZZZ999. El gobierno de turno, decide entonces, para recaudar un poco, como de costumbre, poner un nuevo impuesto a las patentes. Para ello decide arbitrariamente que cada patente pagará en base a su valor, tomando en cuenta que cada letra tendrá los siguientes valores: A=1, B=2, C=3 ... Z=26, en tanto que los números valdrán su valor. Así por ejemplo la patente AAA000 pagará A+A+A+0+0+0= $3, en tanto que ABC 765 pagará 1+2+3+7+6+5 =$24, etc El que más pagará será la ZZZ999=26+26+26+9+9+9= $105.
Si se implementara esta política,
¿Cuánto recaudaría el gobierno?
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martes, 13 de octubre de 2009
227 - Secuencias de cincos
Consideremos la secuencia 1, 5, 6, 25, 26, 30, 31, 125, 126, etc. la cual esta formada por enteros formados por la suma de distintas potencias de 5 (50, 51, 50+51, 52, 50+52, 51+52 ,50+51+52, etc.) ordenados de menor a mayor,
¿Cuál sería el termino n° 75 de la secuencia?
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sábado, 10 de octubre de 2009
226 - Curiosidad
jueves, 8 de octubre de 2009
225 - Vendiendo rifas
En el colegio de matemáticos se organizó una rifa para fin de año. A cada alumno se le dio un talonario de un determinado color con 1000 rifas , numeradas del 1 al 1000. La orden que le dieron a cada alumno era que vendieran las rifas en orden, es decir primero la uno, después la dos, etc. Así era más fácil para contar las rifas que se habían vendido.
Los alumnos se quejaron porque decían que eran muchas rifas para vender, pero las autoridades les dijeron que el precio de cada una iba a ser de solo $0.50 por lo tanto iban a ser fáciles de vender.
Al terminar la venta de las rifas se escuchó el siguiente diálogo entre tres de los alumnos:
-Me pasó algo curioso - empezó a decir Carlos - vendí más de cien rifas y la mitad de ellas tenían por lo menos un uno.
- ¡Qué casualidad! - Dijo jesica - yo vendí más que vos y también la mitad de las rifas vendidas tenían por lo menos un uno.
-Eso no es nada - comentó Nati - a mi me pasó lo mismo y soy la que más vendí!
Los alumnos se quejaron porque decían que eran muchas rifas para vender, pero las autoridades les dijeron que el precio de cada una iba a ser de solo $0.50 por lo tanto iban a ser fáciles de vender.
Al terminar la venta de las rifas se escuchó el siguiente diálogo entre tres de los alumnos:
-Me pasó algo curioso - empezó a decir Carlos - vendí más de cien rifas y la mitad de ellas tenían por lo menos un uno.
- ¡Qué casualidad! - Dijo jesica - yo vendí más que vos y también la mitad de las rifas vendidas tenían por lo menos un uno.
-Eso no es nada - comentó Nati - a mi me pasó lo mismo y soy la que más vendí!
¿Cuántas rifas vendió cada uno de estos alumnos?
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miércoles, 7 de octubre de 2009
224 - Formar 19
¿Cómo se puede obtener como resultado el número 19 , usando una sola vez cada uno de los números 1 , 2 y 3 ?
Se pueden usar las siguientes operaciones suma, resta, multiplicación, división, potencias, factorial y raíz cuadrada. No se puede usar el punto decimal, ni concatenar números (no se puede usar 12, 23, etc.)
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223 - Sumando Fracciones
martes, 6 de octubre de 2009
222 - Concatenados
Veamos la siguiente cuenta:
El producto de dos números consecutivos genera un número que es la concatenación de dos números consecutivos.
78 x 79 = 6162
El producto de dos números consecutivos genera un número que es la concatenación de dos números consecutivos.
¿Cuál es el menor número que al elevarlo al cuadrado genera un número que es la concatenación de dos números consecutivos?
¿Y el siguiente?
¿Y el siguiente?
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lunes, 5 de octubre de 2009
221 - ¿Cuántos terminan ?
En el colegio de mi hijo hay 4000 alumnos.
De los que no terminan la secundaria a fin de año, el 56.5656...% se llevó por lo menos alguna materia en el secundario, en tanto que el 56.756756...% ya estuvo alguna vez de novio.
De los que no terminan la secundaria a fin de año, el 56.5656...% se llevó por lo menos alguna materia en el secundario, en tanto que el 56.756756...% ya estuvo alguna vez de novio.
¿Cuántos son los que terminan a fin de año la secundaria?
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sábado, 3 de octubre de 2009
220 - Curiosidad
viernes, 2 de octubre de 2009
219 - Haciendo ejercicio en las vacaciones
Entre Mar del plata y Chapadmalal hay unos 24 km aproximadamente.
Martín está en Mar del Plata, en tanto que Joni y Sebi están en Chapadmalal.
La bicicleta la tienen Joni y Sebi.
Se sabe que cualquiera de los tres hace 6 Km. por hora caminando, en tanto que cada uno hace 18 Km. en una hora en bicicleta.
Joni y Sebi quieren ir a Mar Del Plata y Martín a Chapadmalal.
Si no puede ir mas de uno en la bicicleta y no la pueden dejar sola en el camino,
Martín está en Mar del Plata, en tanto que Joni y Sebi están en Chapadmalal.
La bicicleta la tienen Joni y Sebi.
Se sabe que cualquiera de los tres hace 6 Km. por hora caminando, en tanto que cada uno hace 18 Km. en una hora en bicicleta.
Joni y Sebi quieren ir a Mar Del Plata y Martín a Chapadmalal.
Si no puede ir mas de uno en la bicicleta y no la pueden dejar sola en el camino,
¿Cuál es el menor tiempo para que los tres lleguen a destino?
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jueves, 1 de octubre de 2009
218 - Múltiplos consecutivos
Encontré cinco números consecutivos con la siguientes características : el primero es múltiplo de 5, el segundo es múltiplo de 7, el tercero es múltiplo de 9 , el cuarto es múltiplo de 11 y el quinto es múltiplo de 13.
¿Cuales son los menores números que cumplen estas condiciones?
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miércoles, 30 de septiembre de 2009
217 - El promedio de su propia permutación
Tomemos un número de tres cifras. Por ejemplo el 370
Formemos todas las permutaciones posibles con estas tres cifras:
Sumemos estos números : 073+037+307+370+703+730 =2220
Saquemos el promedio : 2220/6= 370 obtenemos el número con el que empezamos
Formemos todas las permutaciones posibles con estas tres cifras:
073
037
307
370
703
730
037
307
370
703
730
Sumemos estos números : 073+037+307+370+703+730 =2220
Saquemos el promedio : 2220/6= 370 obtenemos el número con el que empezamos
¿Con que otros números de tres cifras podemos hacer lo mismo ?
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martes, 29 de septiembre de 2009
216 - Corriendo la media maraton
El año pasado corrí una media maraton de 22.5 Km.
Mientras me entrenaba, solía medir el tiempo en el cual corría el kilómetro y nunca pude bajar de los seis minutos . Si bien no era una gran velocidad me propuse bajar ese tiempo en el recorrido de la media maraton. Para eso les pedí a mis hijos y a mi señora que se pongan en cualquier parte del recorrido y registraran el tiempo en que hacía un kilómetro, ya que a medida que pasaba por la posta donde estaba alguno de ellos, iban en bicicleta un kilómetro y volvían a tomar el tiempo. Les pedí además que lo hicieran en varios puntos del recorrido y que se ocultaran para que yo no supiera cuando me estaban cronometrando.
Una vez terminada la carrera, me pasaron los datos y todos me dijeron que siempre recorrí el kilómetro en seis minutos exactamente.
Me sentí un poco decepcionado , pero contento de haber finalizado la media maraton.
Finalmente cuando salieron la planillas con los tiempos, me sorprendí gratamente al ver que en promedio había recorrido el kilómetro en menos de seis minutos.
Mientras me entrenaba, solía medir el tiempo en el cual corría el kilómetro y nunca pude bajar de los seis minutos . Si bien no era una gran velocidad me propuse bajar ese tiempo en el recorrido de la media maraton. Para eso les pedí a mis hijos y a mi señora que se pongan en cualquier parte del recorrido y registraran el tiempo en que hacía un kilómetro, ya que a medida que pasaba por la posta donde estaba alguno de ellos, iban en bicicleta un kilómetro y volvían a tomar el tiempo. Les pedí además que lo hicieran en varios puntos del recorrido y que se ocultaran para que yo no supiera cuando me estaban cronometrando.
Una vez terminada la carrera, me pasaron los datos y todos me dijeron que siempre recorrí el kilómetro en seis minutos exactamente.
Me sentí un poco decepcionado , pero contento de haber finalizado la media maraton.
Finalmente cuando salieron la planillas con los tiempos, me sorprendí gratamente al ver que en promedio había recorrido el kilómetro en menos de seis minutos.
¿Es eso posible? ¿Cómo?
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viernes, 25 de septiembre de 2009
215 - Buena suerte, Mala suerte
Se dice que el 13 es el número de la mala suerte, en tanto que el 7 es el de la buena suerte.
Existen números como el 34117 que se puede expresar como la suma de dos cuadrados de por lo menos dos formas diferentes : 34117 = 1662+812 = 1592 + 942 .
Ahora si tomamos el valor absoluto de la diferencia entre las distintos bases vemos que nos da 7 y 13 ( /166-159/=7 y /81-94/ = 13).
Entonces el 34117 sería un número neutro.
Existen números como el 34117 que se puede expresar como la suma de dos cuadrados de por lo menos dos formas diferentes : 34117 = 1662+812 = 1592 + 942 .
Ahora si tomamos el valor absoluto de la diferencia entre las distintos bases vemos que nos da 7 y 13 ( /166-159/=7 y /81-94/ = 13).
Entonces el 34117 sería un número neutro.
¿Cuál es el menor número neutro?
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jueves, 24 de septiembre de 2009
214 - Formar 100 con 1,7,7 y 7
¿Cómo formar 100 con un 1 y cuatro 7 ? - Le preguntaron a Camila
- Muy fácil, 177-77
-Si, si, pero la solución que busco no permite la concatenación de números y solo se puede usar la suma, la resta, la multiplicación, la división y los paréntesis.
-Ah, eso es mucho más difícil.
- Muy fácil, 177-77
-Si, si, pero la solución que busco no permite la concatenación de números y solo se puede usar la suma, la resta, la multiplicación, la división y los paréntesis.
-Ah, eso es mucho más difícil.
¿Quién ayuda a Camila?
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miércoles, 23 de septiembre de 2009
213 - Euclides
Todos sabemos y sino se enteran ahora, que Euclides demostró que los números primos son infinitos. Su demostración es más o menos la siguiente :
Supongamos que el primo más grande conocido sea p, consideremos entonces el número Eu(p) = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × ... × p) + 1, el cual evidentemente no es divisible por ninguno de los primos menores a p, por lo tanto o bien es primo o bien es divisible por algún primo mayor a p.
En este último caso, pocas veces el primo mayor a p por el cual Eu(p) es divisible, es el primo siguiente a p.
Llamemos a los número Eu(p) como números Euclideanos.
En vez de los primos menores a p, Euclides podría haber usado todos los números menores a p y hubiera conseguido el mismo resultado , es decir p!+1 tampoco es divisible por ningún primo menor a p.
En base a estos números van estas preguntas :
Supongamos que el primo más grande conocido sea p, consideremos entonces el número Eu(p) = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × ... × p) + 1, el cual evidentemente no es divisible por ninguno de los primos menores a p, por lo tanto o bien es primo o bien es divisible por algún primo mayor a p.
En este último caso, pocas veces el primo mayor a p por el cual Eu(p) es divisible, es el primo siguiente a p.
Llamemos a los número Eu(p) como números Euclideanos.
En vez de los primos menores a p, Euclides podría haber usado todos los números menores a p y hubiera conseguido el mismo resultado , es decir p!+1 tampoco es divisible por ningún primo menor a p.
En base a estos números van estas preguntas :
a)¿Cuál es el menor primo p, para el cual Eu(p) no es primo?
b)¿Cuál es el menor primo p, para el cual Eu(p) es divisible por el primo siguiente a p?
c)¿Cuál es el menor primo p, para el cual p!+1 no es primo?
b)¿Cuál es el menor primo p, para el cual Eu(p) es divisible por el primo siguiente a p?
c)¿Cuál es el menor primo p, para el cual p!+1 no es primo?
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martes, 22 de septiembre de 2009
212 - Primo ordenado
lunes, 21 de septiembre de 2009
211 - Años capicúas
jueves, 17 de septiembre de 2009
210 - Aprendiendo a sumar
Cuando yo era chico mi papá inventó un juego para que practicara la suma.
Me daba un número por ejemplo el 6728, y me hacía sumar dos dígitos consecutivos y reemplazar la suma por los números originales, así el 6728 se transformaba en 13910 ya que 13(6+7)9(7+2)10(2+8), yo debía seguir haciendo estos reemplazos hasta que me quedara una sola cifra.
El 6728 pasaba por 13910, 412101, 53311, 8642, 14106, 5516, 1067, 1613, 774, 1411, 552, 107, 17 y 8. es decir que el 6728 "duraba" 14 vueltas. Con este juego mi papá me mantenía mucho tiempo entretenido y de paso me hacía practicar la suma.
Lo curioso es que hay algunos números menores que duran mucho más que otros mayores. Así por ejemplo hay números menores al 6728 que duran 15,16,17,18,19,20,21,22, 26 y 27 vueltas.
Me daba un número por ejemplo el 6728, y me hacía sumar dos dígitos consecutivos y reemplazar la suma por los números originales, así el 6728 se transformaba en 13910 ya que 13(6+7)9(7+2)10(2+8), yo debía seguir haciendo estos reemplazos hasta que me quedara una sola cifra.
El 6728 pasaba por 13910, 412101, 53311, 8642, 14106, 5516, 1067, 1613, 774, 1411, 552, 107, 17 y 8. es decir que el 6728 "duraba" 14 vueltas. Con este juego mi papá me mantenía mucho tiempo entretenido y de paso me hacía practicar la suma.
Lo curioso es que hay algunos números menores que duran mucho más que otros mayores. Así por ejemplo hay números menores al 6728 que duran 15,16,17,18,19,20,21,22, 26 y 27 vueltas.
Lo que se pide es encontrar cuales son los menores números que duran esa cantidad de vueltas (o por lo menos algunos)
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miércoles, 16 de septiembre de 2009
209 - ¿Cuántos?
martes, 15 de septiembre de 2009
208 - Yo soy tu cuadrado, tu eres mi cuadrado
El otro día Gustavo me dijo :
-Conozco dos números diferentes, cada uno de los cuales es el cuadrado del otro.
-Es eso posible ? - le pregunté - porque yo conozco el uno que es cuadrado de si mismo, pero ¿distintos?
-Si, si, claro, hay que ser imaginativo
-¿Imaginativo o imaginario ?
-Más bien imaginario - me dijo.
-Conozco dos números diferentes, cada uno de los cuales es el cuadrado del otro.
-Es eso posible ? - le pregunté - porque yo conozco el uno que es cuadrado de si mismo, pero ¿distintos?
-Si, si, claro, hay que ser imaginativo
-¿Imaginativo o imaginario ?
-Más bien imaginario - me dijo.
¿Qué dos números diferentes son uno cuadrado del otro?
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lunes, 14 de septiembre de 2009
207 - ¿Qué hora era?
El otro día me detuve ante la vidriera de una relojería. Estaban expuestos cuatro hermosos relojes, el problema era que cada uno exhibía una hora diferente, así el cucú marcaba las 10:03, el de dama marcaba las 9:57, el de pared las 9:54 y el de hombre marcaba las 10:02. Cuando miré mi reloj, que marcaba la hora exacta, me dí cuenta que ninguno de los relojes de la vidriera marcaba la hora correcta, ya que el verde tenía un error de 2 minutos, el plateado un error de 3 minutos, el negro un error de 4 minutos y por el último el blanco tenía un error de 5 minutos.
Conociendo estos datos, ¿alguien me podría decir que hora era?
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jueves, 10 de septiembre de 2009
206 - Jugando a la ruleta rusa
En un primer momento ponen una sola bala, giran la recámara y se la ponen a uno de los participantes, luego de gatillar y antes ponérsela al segundo de los participantes, tienen un gesto de bondad y le preguntan a éste si prefiere que se vuelva a girar la recámara o que se gatille directamente.
a) Suponga que en esta rueda usted es el segundo, ya han gatillado sobre el primero y la bala no salió, usted que pediría, ¿que se giré la recámara o no?
b) Luego de varias vueltas en la que no pasó nada, la mafia quiere ver un poco de acción y decide usar dos balas, en un primer momento las ponen en la recámara una al lado de la otra.
En estas circunstancias, ¿ qué elegiría usted después de que hayan gatillado sobre el otro voluntario, que gatillen directamente o que giren primero la recámara?
c) Nuevamente no hubo acción y entonces los muchachos cambian una de las balas de lugar poniendo las dos balas separadas una de la otra.
¿Qué elegiría usted cuando sea segundo, ¿Qué giren la recámara o no?
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205 - ¿Dónde va el catorce?
martes, 8 de septiembre de 2009
204 - Formar 2009
Sin cambiar de lugar ningun número y colocando solo paréntesis, simbolos de resta y de multiplicación formar 2009 . No se puede concatenar números, es decir no se puede usar 12, 123, 3456, 78 , etc. (No hay trampa)
Pd: se puede usar la nueva calculadora que aparece abajo de todo en esta página que va mostrando el resultado mientras se hace la cuenta. Además permite usar variables y hacer conversiones entre otras utilidades.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 2009
Pd: se puede usar la nueva calculadora que aparece abajo de todo en esta página que va mostrando el resultado mientras se hace la cuenta. Además permite usar variables y hacer conversiones entre otras utilidades.
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lunes, 7 de septiembre de 2009
203 - Carrera de caballos
Tu misión es encontrar los tres caballos más rápidos de un grupo de veinticinco.
No tienes un cronómetro.
Solo puedes realizar carreras de hasta cinco caballos al mismo tiempo.
No hay empates.
Todos los caballos tienen velocidades diferentes.
Un caballo más veloz siempre le gana a otro mas lento.
No tienes un cronómetro.
Solo puedes realizar carreras de hasta cinco caballos al mismo tiempo.
No hay empates.
Todos los caballos tienen velocidades diferentes.
Un caballo más veloz siempre le gana a otro mas lento.
¿Cuál es el mínimo número de carreras que debes hacer para decirme con certeza cual es el caballo más rápido, cual es el segundo y cual es el tercero de esos 25?
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202 - Facilitos II
a)¿Qué número da el mismo resultado al sumarle 5/4 que al mutiplicarlo por 5/4?
b) Ordenar los digitos del 0 al 9 en tres operaciones matemáticas (usando tres de las cuatro operaciones básicas,+,-,x,/)
Por Ej:
3 + 4 = 7 . . 9 - 8 = 1 .. 5 X 6 = 30
Claro que en este ejemplo falta el 2 y se repite el 3
b) Ordenar los digitos del 0 al 9 en tres operaciones matemáticas (usando tres de las cuatro operaciones básicas,+,-,x,/)
Por Ej:
3 + 4 = 7 . . 9 - 8 = 1 .. 5 X 6 = 30
Claro que en este ejemplo falta el 2 y se repite el 3
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viernes, 4 de septiembre de 2009
201 - Una nueva fórmula para generar números primos.
Algunas expresiones simples sorprendentemente pueden generar una gran cantidad de números primos. Es bien conocida la fórmula x2+x+41 que genera números primos cuando x toma los valores desde el cero hasta el 40. Otra fórmula simple es x2+x+17 que genera primos si x va desde 0 a 15. Sin embargo encontrar algún polinomio que genere primos para cualquier valor de x nunca dio frutos, inclusive los matemáticos ya probaron que no existe una expresión polinómica con coeficientes enteros que genere solo valores primos.
Jeffrey Shallit un profesor de la universidad de Waterloo y editor de "the Journal of Integer Sequences" publicó en su blog la fórmula recursiva del estudiante Eric Rowland para generar números primos.
La fórmula es la siguiente:
Se define como a(1)=7
Para los n mayores o iguales a 2, a(n)=a(n – 1) + mcd(n, a(n – 1)) donde mcd = Máximo
común divisor.
Así por ejemplo : a(1) = 7, a(2) = a(1) + mcd(2, 7) = 7 + 1 = 8.
El generador de primos es entonces a(n) – a(n – 1).
Los números resultantes son los llamados primeras diferencias de la secuencia original.
Los primeros 23 valores de la secuencia son :
7, 8, 9, 10, 15, 18, 19, 20, 21, 22, 33, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 69
En tanto que sus diferencias son :
1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 23
Si se ignoran los unos, se ve que la fórmula de Rowland genera los primos 5, 3, 11, 3(otra vez) y 23. Continuando el proceso y eliminado los duplicados, la fórmula genera la siguiente secuencia : 5, 3, 11, 23, 47, 101, 7, 13, 233, 467, 941, 1889, 3779, 7559,15131, 53, 30323, . . .
Rowland describió su fórmula en el blog "A New Kind of Science", él explica que genero su fórmula en el colegio donde los participantes estaban desarrollando sistemas
computacionales que exhiban un comportamiento interesante.
Esta fórmula produce el primo p después de generar (p – 3)/2 1s. Por lo tanto le lleva mucho tiempo a esta fórmula generar primos grandes.
Recientemente un matemático francés Benoit Cloitre probó que poniendo b(1) = 1 y b(n) = b(n – 1) + mcm(n, b(n – 1)) para n mayor o igual a 2, b(n)/b(n – 1) – 1 es 1 o primo.
Sacado del blog "The mathematical Tourist"
Jeffrey Shallit un profesor de la universidad de Waterloo y editor de "the Journal of Integer Sequences" publicó en su blog la fórmula recursiva del estudiante Eric Rowland para generar números primos.
La fórmula es la siguiente:
Se define como a(1)=7
Para los n mayores o iguales a 2, a(n)=a(n – 1) + mcd(n, a(n – 1)) donde mcd = Máximo
común divisor.
Así por ejemplo : a(1) = 7, a(2) = a(1) + mcd(2, 7) = 7 + 1 = 8.
El generador de primos es entonces a(n) – a(n – 1).
Los números resultantes son los llamados primeras diferencias de la secuencia original.
Los primeros 23 valores de la secuencia son :
7, 8, 9, 10, 15, 18, 19, 20, 21, 22, 33, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 69
En tanto que sus diferencias son :
1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 23
Si se ignoran los unos, se ve que la fórmula de Rowland genera los primos 5, 3, 11, 3(otra vez) y 23. Continuando el proceso y eliminado los duplicados, la fórmula genera la siguiente secuencia : 5, 3, 11, 23, 47, 101, 7, 13, 233, 467, 941, 1889, 3779, 7559,15131, 53, 30323, . . .
Rowland describió su fórmula en el blog "A New Kind of Science", él explica que genero su fórmula en el colegio donde los participantes estaban desarrollando sistemas
computacionales que exhiban un comportamiento interesante.
Esta fórmula produce el primo p después de generar (p – 3)/2 1s. Por lo tanto le lleva mucho tiempo a esta fórmula generar primos grandes.
Recientemente un matemático francés Benoit Cloitre probó que poniendo b(1) = 1 y b(n) = b(n – 1) + mcm(n, b(n – 1)) para n mayor o igual a 2, b(n)/b(n – 1) – 1 es 1 o primo.
Sacado del blog "The mathematical Tourist"
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200 - Combinando primos
Una maestra decidió utilizar para enseñar en la escuela, unas tarjetas en las que escribió todos los números primos hasta el 97, poniendo un cero delante de los de una cifra
Para que los chicos pudieran estudiarlos y memorizarlos les pidió que juntaran cinco de esas tarjetas de forma tal que no hubiera dígitos repetidos entre las cinco tarjetas.
(02 03 05 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97).
Para que los chicos pudieran estudiarlos y memorizarlos les pidió que juntaran cinco de esas tarjetas de forma tal que no hubiera dígitos repetidos entre las cinco tarjetas.
¿Cuántas combinaciones posibles son las que se pueden hacer con esos requisitos?
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jueves, 3 de septiembre de 2009
199 - Diseccionando Primos
¿Cuál es el menor primo de 6 dígitos que si lo subdividimos en cadenas de 2 o 3 cifras da todos números primos diferentes?
Por ejemplo en 113131 son primos 11, 13, 31,113, 131 y 313 pero repiten el 13, el 31 y el 131
Los primos se pueden ver en prime numbers
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miércoles, 2 de septiembre de 2009
198 - Trabalenguas
martes, 1 de septiembre de 2009
197 - Dos Facilitos
a) ?? x ? = ???
Reemplazar cada ? con un dígito distinto del 1 al 6 para que la operación sea la correcta
b)En un exámen se otorgan 10 puntos por cada respuesta correcta y se restan 5 por cada incorrecta, si Nico contestó 20 preguntas y sacó 125 puntos,
Reemplazar cada ? con un dígito distinto del 1 al 6 para que la operación sea la correcta
b)En un exámen se otorgan 10 puntos por cada respuesta correcta y se restan 5 por cada incorrecta, si Nico contestó 20 preguntas y sacó 125 puntos,
¿Cuántas preguntas contestó bien Nico?
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