viernes, 4 de noviembre de 2011

810 - Cuadrados que generan cuadrados

Existen números cuadrados perfectos a los cuales podemos dividirlos en números de forma tal que la suma de los mismos a su vez den  un cuadrado.
Ejemplo:




6112 = 373321 y 37 + 3 + 3 + 21 =   64  =    82
6112 = 373321 y 3 + 73 + 3 + 21 = 100  =  102
6112 = 373321 y 37 + 3 + 321 =      361 =   192


Desafíos : 
* Encontrar cuadrados que generen mas de tres cuadrados
* ¿Habrá alguno que genere cuadrados de números consecutivos?
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10 comentarios:

  1. 12012^2= 144288144 y 1+4+4+2+8+8+1+4+4 =36 = 6^2
    12012^2= 144288144 y 144 + 288 + 144 =576 = 24^2
    12012^2= 144288144 y 14+4+288+14+4 = 324 = 18^2
    12012^2= 144288144 y 144 +28 + 8 +144=324 18^2
    12012^2= 144288144 y 144 +28+8+1+44 =225 =15^2
    12012^2= 144288144 y 1+4+42+88+1+4+4= 144= 12^2
    12012^2= 144288144 y 1+4+42+8+81+4+4 =144= 12^2

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  2. 111111^2= 112345654321 y 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 =36 = 6^2
    111111^2 = 112345654321 y 1+2+3+4+56+5+4+3+2+1 =81 = 9^2
    111111^2= 112345654321 y 1+2+3+4+56+54+3+21 = 144 = 12^2
    111111^2 = 112345654321 y 1+2+3+4+56+54+321 = 441 = 21^2
    111111^2 = 112345654321 y 123+4+56+5+4+32+1 = 225 = 15^2

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  3. Antonio Cebrian Gil5 de noviembre de 2011, 6:02

    10201^2 = 104060401 y 1+0+4+0+6+0+4+0+1=16 =4^2
    10201^2 = 104060401 y 10+4+0+6+0+4+0+1 =25 =5^2

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  4. Excelente Anttonio! Será 10201 el mas chico que genera dos consecutivos?

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  5. El 169, ¿cuál si no? ;-)

    1+6+9 = 16 = 4^2
    16+9 = 25 = 5^2

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  6. Así es Mmonchi, 169 debe ser el menor.

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  7. mmm... como se puede demostrar que es el menor?

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  8. catorce tambien hace cuadrados de cuadrados

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  9. Demostremos que existe un numero ABC de la forma (A*10^2+B*10+C) que genere dos o más cuadrados consecutivos.

    -Sabemos que ABC<169 por lo que A=1 y B≤6
    Y en el caso que B=6, implicaría que C<9

    -Por otro lado, las cifras las estamos sumando en su orden respecto a la notación.
    Debido a esto, tenemos ciertos casos que estamos "obligados" a usar (entiendase como una limitacion, dado que no es posible tener mas posibilidades)

    (100+10B+C) = X_a (X subindice a)
    (10+B)+C = X_b
    1+(10B+C) = X_c
    1+B+C = X_d

    -El caso X_a correspondería al caso (x_a)^2 donde obtendríamos el número inicial

    Veamos entonces los tres casos con X_b; X_c; X_d

    (10+B)+C = X_b
    1+(10B+C) = X_c
    1+B+C = X_d

    -Para X_b tenemos como únicas posiblidades
    B=0; C=6 (16)
    B=1; C=5 (16)
    B=2; C=4 (16)
    B=3; C=3 (16)
    B=4; C=2 (16)
    B=5; C=1 (16)
    B=6; C=0 (16)
    B=6; C=9 (25)

    -Para X_c tenemos como únicas posiblidades
    B=0; C=0 (1)
    B=0; C=3 (4)
    B=0; C=8 (9)
    B=1; C=5 (16)
    B=2; C=4 (25)
    B=3; C=5 (36)
    B=4; C=8 (49)
    B=6; C=3 (64)

    y finalmente
    -Para X_d tenemos como únicas posiblidades
    B=0; C=0 (1)
    B=0; C=3 (4)
    B=0; C=8 (9)
    B=1; C=2 (4)
    B=1; C=7 (9)
    B=2; C=1 (4)
    B=2; C=6 (9)
    B=3; C=0 (4)
    B=3; C=5 (9)
    B=4; C=4 (9)
    B=5; C=3 (9)
    B=6; C=2 (9)
    B=6; C=9 (16)

    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

    En efecto, el único par de dígitos que aparece en los tres grupos es (B=6; C=9), lo que corrobora la suposición de que 169 es el menor número que cumple las condiciones del enunciado.

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