miércoles, 23 de abril de 2014

1304 - Uno de las olimpiadas

A Ariel le pidieron que sumara los números que van del 1 hasta n.
Ariel hizo la suma, pero se olvidó de sumar cuatro números pares consecutivos.
Si el promedio de la suma que hizo Ariel es 51.5625, ¿Qué números no sumó Ariel?



Pd : he corregido el promedio que había copiado mal.
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lunes, 21 de abril de 2014

1303 - La biblioteca de Borges

Cuentan que Borges tenía muchísimos libros.
Algunos dicen que tenía exactamente 1000001 libros, los cuales estaban todos numerados.
Como le gustaban las matemáticas, decidió ordenarlos de modo que no haya dos libros vecinos con una misma diferencia entre sus números, es decir que no haya diferencias entre libros vecinos que se repitan, así por ej. Si el 300 y el 250 fueran vecinos, no podría haber otro par de vecinos con una diferencia igual a 50.

A) Si el primer libro es el uno, ¿cuál/es otro/s libros además del 1 tienen el mismo número que la posición que ocupa/n? (Si es que hay alguno)

B)¿Cuál es el número del último libro de la biblioteca?
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miércoles, 16 de abril de 2014

1302 - Una variante sobre las supermutaciones mínimas

A raíz de los comentarios de Vicente Iq. y Carlos Rivera de la entrada sobre supermutaciones mínimas para los números del 1 al 5, surgió la siguiente inquietud:

Es posible con cinco dígitos formar una cadena la cual incluye una sola permutación, ej: ABCDE
Con seis dígitos podemos obtener una cadena con dos permutaciones diferentes: ABCDEA (ABCDE - BCDEA)
Así para n dígitos vamos obteniendo un máximo de n-4 permutaciones, por ejemplo en la cadena de 14 dígitos ABCDEABCEDABCE estan incluidas las siguientes 10 permutaciones (todas diferentes):

ABCDE
BCDEA
CDEAB
DEABC
EABCD
ABCED
BCEDA
CEDAB
EDABC
DABCE

Si tomamos también como válidas las permutaciones tomadas de derecha a izquierda vemos que en esta misma cadena se pueden formar otras 10 permutaciones, es decir que dentro de esta cadena de 14 dígitos hay 20 permutaciones diferentes si vale la lectura en ambos sentidos.

a) ¿Cuál es la mayor cadena de n dígitos, compuesta por los dígitos del 1 al 5 que pueden obtener, la cual contenga  n-4 permutaciones distintas leidas de izquierda a derecha?

b)¿ Cuál es la mayor cadena de n dígitos, compuesta por los dígitos del 1 al 5, que pueden obtener, la cual contenga 2n-8 permutaciones distintas si vale la lectura en ambos sentidos?
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lunes, 14 de abril de 2014

1301 - Pi en el triángulo de Pascal

Y finalmente lo lograron,  según nos cuenta la página Cut the knot, Tony Foster encontró a Pi en el triángulo de Pascal..
Basandose en la serie para obtener Pi de Nilakantha Somayaji,  Foster obtuvo la siguiente fórmula:






Que podemos encontrar en el Triángulo de Pascal:



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1300 - Un problema para Sherlock

Eran exactamente las 4.15 cuando Sherlock se dio cuenta que no llegaría a tiempo y perdería la apuesta .
Le faltaba aún recorrer 19.3 Km y tenían que llegar el y sus tres compañeros antes de las 6.
Fue ahí cuando vio un taxi que era una moto con sidecar. 
El chofer le dijo que podía cargar solo un pasajero por vez y que la velocidad  de la moto era de 56 Km/H.
Sherlock que sabía que ellos caminaban a 4 Km/H, empezó a hacer cuentas y decidió alquilar el taxi para que llegaran los cuatro a tiempo. El pensó que mientras uno viajaba en la moto una cierta distancia, los otros caminarian, luego la moto dejaría al pasajero en cierto punto de la ruta, volveria para recoger a otro pasajero, mientras los otros seguirian caminando y así hasta el final.
Exactamente a las 4.20 empezaron su camino

¿Podrá Sherlock y sus tres compañeros recorrer los 19.3 Km antes de las 6? ¿Cómo?



Un problema del libro Solución de problemas a través de la matemática recreativa de Bonnie Averbach


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viernes, 11 de abril de 2014

1299 - Supermutaciones mínimas


Ed Pegg publicó en su página lo siguiente:

"123412314231243121342132413214321 tiene todas las permutaciones posibles de "1234", y es mínimo. (En otras palabras este es el menor número en el cual están incluidas las 24 permutaciones posibles que se pueden formar con "1234")
La menor cadena para "12345" es aún desconocida, a estas cadenas se las llama supermutaciones  mínimas y son mucho mas difíciles de encontrar que las secuencias de DeBrujin."

Pregunta : ¿Cuál es la supermutación mínima para "123"?
Desafío : ¿Cuál es la supermutación mínima para "12345" que pueden encontrar?
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miércoles, 9 de abril de 2014

1298 - Numerito

Tengo un numerito que es la concatenación de tres primos de dos dígitos cada uno.
Tanto la suma como el producto de estos seis dígitos es un número cuadrado, y el númerito es un múltiplo de la diferencia entre esa suma y ese producto.

¿Cuál es mi numerito?


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lunes, 7 de abril de 2014

1297 - La última bola

a) Hay 20 bolas negras y 16 blancas dentro de una bolsa. 
Repita el siguiente procedimiento hasta que quede solo una bola en la bolsa : retire sin mirar dos bolas de la bolsa, si ambas son del mismo color agregue una negra en la bolsa, si son de diferente color agregue una blanca a la bolsa. 
¿Puede usted predecir el color de la última bola que quedará en la bolsa?

b)¿Qué pasaría si al comienzo hubiera 20 bolas negras y 15 bolas blancas?

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