1139 - Mirando el horizonte

Sergio y su hijo estaban en la playa recostados mirando el mar con la pera apoyada en la arena.
- Papá, ¿que tan lejos podemos ver?
- Eso depende hijo, así como estamos ahora no podemos ver muy lejos
- ¿y como podemos ver mas lejos?, porque me gustaría ver ese barquito se que se va alejando de nosotros
- y si nos paramos podemos ver bastante mas lejos
- Me gustaría que pudiéramos ver al barco cuando esté a 10 kilómetros de la costa, porque el capitán me dijo que cuando este a esa distancia iba a tirar unas bengalas.
- Para verlo a esa distancia vamos a tener que tener que subirnos a algún lugar


¿A que altura deberán tener los ojos Sergio y su hijo para poder ver el barquito a 10 Km de distancia? ¿y si fueran 20 km?

Suponemos que el radio de la tierra es de 6371 Km

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1139 - Mirando el horizonte

1138 - Cuadrados sumados

Encontrar dos números cuadrados de 8 cifras cada uno, cuya suma es uno de  dichos cuadrados escritos en forma invertida

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1138 - Cuadrados sumados

1137 - Setenta y uno

Encontrar una expresión matemática que utilice el 7 y el 1 para formar 71, no es válido concatenar :)
Se puede usar suma, resta, división, multiplicación, factorial, potencias y raíz cuadrada

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1137 - Setenta y uno

1136 - Increíbles igualdades

El otro día vi estas igualdades:

5882352941176470588² + 23529411764705882353² = 

588235294117647058823529411764705882353

42791475135812787296280819055578771416631842882 + 49477643125783535311324697033012954450480568332 = 42791475135812787296280819055578771416631842884947764312578353531132469703301295445048056833

87671232876712328767123287671232876712328767122 + 32876712328767123287671232876712328767123287682 = 87671232876712328767123287671232876712328767123287671232876712328767123287671232876712328768

12328767123287671232876712328767123287671232882 + 32876712328767123287671232876712328767123287682 = 12328767123287671232876712328767123287671232883287671232876712328767123287671232876712328768

223936040083154193549112969948423005460722429083598731176136621599663299918841003563705614408202  + 416879706911994160594736642180110910764279586121150395419786322913352811493259330977730120324002  = 2239360400831541935491129699484230054607224290835987311761366215996632999188410035637056144082041687970691199416059473664218011091076427958612115039541978632291335281149325933097773012032400

Al verlas me acordé del número de carnet del club que tuve en mi infancia.
Era un número de 8 cifras que era igual a la suma de sus primeros cuatro dígitos elevados  al cuadrado mas el cuadrado de sus últimos cuatro dígitos.

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1136 - Increíbles igualdades

1135 - Dividiendo pandigitales

Hay muchos números pandigitales sin cero (o sea que tienen todos los dígitos del 1 al 9 una  sola vez cada uno) que pueden ser divididos en cuatro números de dos formas diferentes tal que el producto de los términos de cada una de las divisiones de el mismo producto:

Ejemplos

123596847 : 12x35x968x47 =  1x235x96x847 = 19108320 

297541368 :  29754x13x6x8 = 2x9x754x1368 = 18566496

584136297 :  5841x36x29x7 = 58x413x6x297 = 42686028

638742915 :  638x742x9x15 = 63x87x4x2915 = 63908460

Pero de todos los que encontré, solo uno da un producto con todos los dígitos diferentes, serías capaz de encontrarlo?

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1135 - Dividiendo pandigitales

1134 - Otra forma de escribir los factoriales

El factorial de N, N!, es igual al producto de todos los números que van del 1 a N, es decir que es igual al producto de N números de los cuales el mas pequeño es siempre el uno.

Pero cuando N es lo suficientemente grande es posible expresar N! igualmente como el producto de N (no todos distintos) factores tal que el que el factor mas pequeño (F1) no sea uno.
Así por ejemplo:

27 ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x.....x 25 x 26 x 27  
F1 =1

27 ! = 7³ x 8³ x 9⁴ x 10⁴ x 11² x 12⁵ x 13² x 17 x 19 x 23 x 25 
F1 = 7

y

27! =  8⁴ x 9⁶ x 10⁶ x 11² x 12 x 13² x 14³ x 17 x 19 x 23 
F1 = 8

En esta caso 8 es el menor valor que encontré para expresar factorial de 27 como el producto de 27 factores, o sea F1 = 8

Encontrar la forma de expresar los siguientes factoriales con el menor F1 para los factoriales de
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100 



Un problema de Michel Lafond

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1134 - Otra forma de escribir los factoriales

1133 - Jugando con los primos

- Tengo un juego
- Contame
- Se empieza siempre por el primo mas pequeño, el 2, y por turnos le agregamos o sacamos, por delante o por detrás, una cifra para formar un nuevo número el cual siempre tendrá que ser un número primo.
- Dame un ejemplo
- Empezamos con el 2, en este caso solo le podemos agregar por detrás, por ejemplo 23 y seguimos por turnos así : 2 , 23, 3, 53, 5, 59, 5, 53, 3 , etc
- ¿Quiere decir que podemos repetir números ?
- Si, si, claro
- Interesante, ¿pero podremos formar todos los primos?
- Las veces que lo jugué logré formar todos los primos menores a cien salvo uno que  no se puede formar nunca.
-¿Cuál?

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1133 - Jugando con los primos

1132 - El mas grande con todos los dígitos diferentes

- Decime un número en cuya composición participen solo dos dígitos diferentes.
- el 355,  puede ser?
- Ahora yo voy a decir otro con las mismas características dejame pensar,   hmmmmmmmmm, ya está, 1121
- y ?
- Me olvidé de explicarte, suma los dos números
- 355 +1121 = 1476 ¿y la magia?
- Fijate que la suma no tiene dígitos repetidos
- Entiendo, pero hay muchisimos ejemplos.
- Si pero hay uno solo que es el mayor
- O sea ¿que buscas el mayor número con todos los dígitos diferentes que sea el resultado de la suma de dos sumandos cada uno de los cuales esta formado por solo dos dígitos diferentes?
-Si vos lo queres decir así, si

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1132 - El mas grande con todos los dígitos diferentes

1131 - La plata de un corrupto

- El otro día denunciaron a un funcionario por corrupto
- ¿Y cuál es la noticia?
- La plata que se robó
- ¿Era mucha?
- Para que te des una idea te digo que si al monto que se robó le anteponemos un uno y le ponemos un uno por detrás, obtenemos el número original multiplicado por 99
- Uh, creo que era mucho entonces

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1131 - La plata de un corrupto

1130 - Los números del 1 al 100

Nueve de los diez primeros números se pueden acomodar de la siguiente manera:

 8 - 4 - 2 - 6 - 3 - 9 - 1 - 5 - 10

De forma tal que cada número o es múltiplo o es divisor de sus vecinos. Yo no encontré forma de acomodar los diez primeros números.

La idea es lograr con esta regla formar la cadena mas larga posible con los números del 1 al 100 inclusive.
Yo tengo una solución de mas de 70  y menos de 80 números, pero seguramente ustedes mis queridos lectores podrán superarla.

¿Existe una regla que nos permita calcular cuál es el número máximo de términos que se pueden colocar cuando los números van del 1 a N?

Por ejemplo para 
N= 2,  1-2
N =3,  3-1-2
N =4,  3-1-2-4
N =5,  el cinco no se puede agregar, o si se agrega hay que sacar el tres
N =6,  5-1-3-6-2-4
etcétera.


Este problema había aparecido hace unos cuantos años en el excelente blog 3decas de merfat (lamentablemente ya no se actualiza), donde está mi solución  

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1130 - Los números del 1 al 100

1129 - Un número particular

Encontrar un número de cinco cifras, todas distintas y diferentes a cero, tal que dicho número sea igual  a la suma de todos los números  de tres cifras que se pueden formar con las cifras  de dicho número.



Por ejemplo si el número fuera abcde debería ser igual a abc+abd+abe+bca+cba+bda+dba+.....etc

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1129 - Un número particular

1128 - Sumas instantáneas

 - 93, 845, 7612, 68514, 616632, ....
- 2013, 18118, 163063, 1467568, .....


¿Cómo siguen estas series?

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1128 - Sumas instantáneas

1127 - Acomodando los números II

En esta ocasión haya que acomodar los números de 1 a N, para que el producto de dos números vecinos menos uno  sea primo:


Para N = 2 no es posible
N = 3       1 3 2
N = 4       1 3 2 4
N = 5       1 3 2 4 5
N = 6       1 3 2 4 5 6
N = 7       1 3 2 4 5 6 7
N = 8       8 1 3 2 4 5 6 7
N = 9       9 8 1 3 2 4 5 6 7
N = 10     10 9 8 1 3 2 4 5 6 7
N = 11     11 10 9 8 1 3 2 4 5 6 7
N = 12     12 11 10 9 8 1 3 2 4 5 6 7

¿Se podrá siempre ordenar los números de 1 a N para que el producto menos uno de dos números vecinos sea primo? 
 



Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas edición 4.123 que en esta ocasión organiza el blog Eulerianos

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1127 - Acomodando los números II

1126 - Acomodando los números I

Colocar los números de 1 a N en fila de forma tal que el producto de dos números vecinos mas uno  sea primo:

N = 2       1 2
N = 3       1 2 3
N = 4       1 2 3 4
N = 5      5 2 3 4 1
N = 6      5 2 3 4 1 6 
N = 7      5 2 3 4 1 6 7
N = 8      8 5 2 3 4 1 6 7
N = 9      9 8 5 2 3 4 1 6 7
N = 10    9 8 5 2 3 4 1 6 7 10


La pregunta es obvia, ¿Se podrá siempre ordenar los números de 1 a N para que el producto mas uno de dos números vecinos sea primo?

Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas edición 4.123 que en esta ocasión organiza el blog Eulerianos

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1126 - Acomodando los números I

1125 - Expresando números en otras bases como Repdigit

 Para cualquier número par se cumple la siguiente igualdad:

por lo tanto si escribimos dicho número en base    sera 22 :

Podemos generalizar esta propiedad para cualquier número n múltiplo de a, por lo tanto se escribe como aa en base

que resulta de la identidad:

Así si  n  es igual a este año, 2013 = 3  x 11 x 61, lo podemos escribir como repdigit en base 670 (n/3 -1)

(2013)₁₀  = (33)₆₇₀   

En cambio 2520 = 2 x 2 x  3 x 3 x 5 x 7 se puede escribir como repdigit en 8 bases

(2520)₁₀  = (22)₁₂₅₉ = (33)₈₃₉ = (44)₆₂₉ = (55)₅₀₃ = (66)₄₁₉ = (77)₃₅₉  = (88)₃₁₄ = (99)<sub>279

Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas edición 4.123 que en esta ocasión organiza el blog Eulerianos</sub> 

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1125 - Expresando números en otras bases como Repdigit

1124 - Los últimos serán los primeros

Cuentan que un día se reunieron los últimos dígitos cansados de estar siempre detras del uno.
 - ¿Porqué siempre el uno va primero? - preguntó el 9 - Estoy cansado de ser siempre el último, no es justo
-  ¿Si, y por que el dos va detrás, y nosotros siempre atrás? - preguntó el ocho
-  ¿Y como piensan cambiar el orden? - preguntó el siete
- Lo mas fácil sería multiplicarnos por menos uno - dijo el seis - pero sabemos que eso no nos está permitido
-  Es verdad, pero debe haber alguna manera de que cambiemos el orden - propuso el ocho
-  Yo tengo una solución - dijo el cinco - aunque para mi va a ser lo mismo porque voy a quedar en el medio  igual que antes, aunque los últimos serán los  primeros y los primeros serán los últimos.
- Dinos tu solución
- Podemos multiplicarnos por el 329 y listo
- ¿Te volviste loco?  Si nos multiplicamos por 329 quedariamos así:

1 = 329
2 = 658
3 = 987
4 = 1316
5 = 1645
6 = 1974
7 = 2303
8 = 2632
9 = 2961

y yo seguiria siendo el último dijo el 9

- Estás equivocado, tienes que mirarlo con otros ojos, piensalo un rato y si no te das cuenta yo te lo explicaré.

Antes de seguir leyendo trata de resolver lo que plantea el cinco
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Solución :
Para ver lo que queria decir el cinco solo hay que escribir en letras el resultado:

1    329    TRESCIENTOS VEINTINUEVE
2    658    SEISCIENTOS CINCUENTA Y OCHO
3    987    NOVECIENTOS OCHENTA Y SIETE
4    1316    MIL TRESCIENTOS DIECISEIS
5    1645    MIL SEISCIENTOS CUARENTA Y CINCO
6    1974    MIL NOVECIENTOS SETENTA Y CUATRO
7    2303    DOS MIL TRESCIENTOS TRES
8    2632    DOS MIL SEISCIENTOS TREINTA Y DOS
9    2961    DOS MIL NOVECIENTOS SESENTA Y UNO

y si aún no lo tienes claro, ordena alfabeticamente los resultados:

9    2961    DOS MIL NOVECIENTOS SESENTA Y UNO
8    2632    DOS MIL SEISCIENTOS TREINTA Y DOS
7    2303    DOS MIL TRESCIENTOS TRES
6    1974    MIL NOVECIENTOS SETENTA Y CUATRO
5    1645    MIL SEISCIENTOS CUARENTA Y CINCO
4    1316    MIL TRESCIENTOS DIECISEIS
3     987    NOVECIENTOS OCHENTA Y SIETE
2     658    SEISCIENTOS CINCUENTA Y OCHO
1     329    TRESCIENTOS VEINTINUEVE



Este orden inverso se mantiene si multiplicamos los primeros dígitos por 330, 331, 332 y 333


Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas edición 4.123 que en esta ocasión organiza el blog Eulerianos




 

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1124 - Los últimos serán los primeros

1123 - De la nada todo

Todos las personas que leen sobre matemáticas conocen aquel problema en el que con cuatro cuatros y usando operaciones matemáticas deben obtenerse los números del uno al cien. 
En este blog yo hice una entrada en el que en vez de usar cuatro cuatros, usaba una fórmula general en la que participaban cuatro dígitos iguales y sea cual sea dicho digito el resultado es el mismo (799 - El problema de los cuatro dígitos).

En la página Integermania encontraron la siguiente fórmula que permite obtener cualquier número a partir de la nada :

donde el valor de n es igual a la cantidad de simbolos porcentaje que hay.



Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas edición 4.123 que en esta ocasión organiza el blog Eulerianos

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1123 - De la nada todo

1122 - Llenando la grilla

Se toma un tablero de 3 x 3, se coloca el uno en la casilla superior izquierda, y a partir de ahí se llena la grilla colocando un número por casilla.. El número que se coloca es igual a la suma de los números de todas las casillas vecinas hasta ese momento ocupadas.

Veamos un ejemplo :

Como vemos el mayor número colocado es el 36. Si numeramos las casillas como se ve en la siguiente imágen,

 los pasos del llenado del ejemplo se pueden resumir así : 1,2,4,8,7,5,9,3,6
Es obligatorio empezar por la casilla número 1.

¿Cuál es el mayor valor que se puede lograr en un tablero de 3 x3? 
¿y en tableros mayores? (es muy dificil de calcular y los valores suben muy rápido)

Este es un problema del diario Le monde
Es muy parecido a la caminata marciana desarrollada por el topo lógico en su blog, con la diferencia que ahí se colocaba la cantidad de casillas contiguas ocupadas y aquí la suma de las vecinas ya ocupadas.

Rodolfo Kurchan  me dice y con razón que es un problema muy parecido a uno que apareció en 1990 en la revista Humor y después en El acertijo, basado en ideas similares  

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1122 - Llenando la grilla

1121 - Facilito

Encontrar un número  de cinco cifras que al ser multiplicado por x, donde x tiene un solo dígito, da como producto un número que al multiplicarse por cualquier digito d, da un número solo formado por d's

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1121 - Facilito

1120 - El 17

17⁰ = 1
17¹ = 17
17² = 289
17³ = 4913
17⁴ = 83521
17⁵ = 1419857
17⁶ = 24137569
17⁷ = 410338673
17⁸ = 6975757441
17⁹ = 118587876497
17¹⁰ = 2015993900449
17¹¹ = 34271896307633
17¹² = 582622237229761
17¹³ = 9904578032905937
17¹⁴ = 168377826559400929
17¹⁵ = 2862423051509815793
17¹⁶ = 48661191875666868481

Concatenando obtenemos un número de 176 dígitos

117289491383521141985724137569410338673697575744111858787 649720159939004493427189630763358262223722976199045780329 059371683778265594009292862423051509815793486611918756668
68481
El cual es un número primo

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1120 - El 17

1119 - Sumas cuadradas

Sergio estaba jugando al bingo, su cartón tenía cinco números de dos cifras cada uno. 
Ninguno de los números era un número primo y las diez cifras eran todas diferentes.
Sergio notó que la suma de los cinco números daba un número cuadrado perfecto.
A medida que el juego se desarrollaba, Sergio fue tachando los números que iban saliendo.
Cuando tachó el primer número de su cartón se dió cuenta que la suma de los cuatro números restantes daba también un número cuadrado, cuando tachó el segundo, la suma de los tres restantes también daba un cuadrado y lo mismo cuando tachó el tercero.

¿Qué cinco números tenía Sergio en el cartón?

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1119 - Sumas cuadradas

1118 - Cuadrados invertidos que dan múltiplos de 43

¿Qué dos cuadrados consecutivos al invertirlos obtenemos múltplos de 43 ?

Por ejemplo el cuadrado de 23, es 529, que invertido es 925 el cuál es múltiplo de 5 y de 37 entre otros

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1118 - Cuadrados invertidos que dan múltiplos de 43

1117 - Cubos impares

Veamos el siguiento cubo

22893³ = 11997979755957

Es un cubo compuesto por todos dígitos impares, en cuya base (22893) predominan los dígitos pares

Otros ejemplos?
Para mas cifras? Para seis y siete tengo respuestas

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1117 - Cubos impares

1116 - Completar la multiplicación

     ???
  x   ??
  ---------
  3????


Reemplazar cada signo de pregunta por un dígito del 0 al 9, salvo el tres que ya está puesto.





Del libro Puzzles in math and logic De A Friedlan

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1116 - Completar la multiplicación

1115 - Uno de probabilidad

El otro día me pasaron este bonito problema :

¿ Si tiramos cuatro dados comunes, cual es la probabilidad de que la suma de los valores obtenidos sea un número primo?

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1115 - Uno de probabilidad

1114 - Multiplos de 13 invertidos son cuadrados

4264 = 13 X 328

            y si invertimos 4264 obtenemos un cuadrado

4624 =  68²


Encontrar dos múltiplos consecutivos de 13 que al invertirlos se transforman en cuadrados.

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1114 - Multiplos de 13 invertidos son cuadrados

1113 - Sumando cuadrados

¿Qué dos cuadrados perfectos de cuatro cifras sumados dan como resultado uno de los sumandos invertido?

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1113 - Sumando cuadrados

1112 - Sumando permutaciones

Estuve sumando todas las permutaciones de los números de cinco cifras que tuvieran todos los dígitos distintos.  Encontré varios que tienen una suma capicúa, como por ejemplo :

23469 + 23496 +23649 +23694 + .....  +96423 + 96432 = 6399936

Lo curioso es que todas las combinaciones que dan una suma capicúa dan este valor excepto una, ¿Cuál?

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1112 - Sumando permutaciones

1111 - Con unos y cuatros

Hoy es 1/4/2013 por lo tanto :

41 / 4 x 14 x 14 + 1 x 4 = 2013
41 / 4 x 14 x 14 x 1 + 4 = 2013
41 / 4 x 14 x 14 / 1 + 4 = 2013
4 + 14 x 14 x 1 x 41 / 4 = 2013
4 + 14 x 14 / 1 x 41 / 4 = 2013
4 + 14 x 1 x 41 / 4 x 14 = 2013
4 + 14 / 1 x 41 / 4 x 14 = 2013
4 + 1 x 41 / 4 x 14 x 14 = 2013
4 x 1 + 41 / 4 x 14 x 14 = 2013
4 / 1 + 41 / 4 x 14 x 14 = 2013

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1111 - Con unos y cuatros

1110 - ¿Cuántos circulos ves?

En la siguiente imágen, ¿Cuántos círculos ves?, Mira bien antes de contestar....

 

Esta imágen fue tomada de http://illusionoftheyear.com/2006/coffer-illusion/ es de Anthony Norcia, y fue una de la diez finalistas en al año 2006 en el concurso Best ilusión year contest

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1110 - ¿Cuántos circulos ves?