7 - Congreso

A un congreso asisten 100 personas. 90 de los congresistas entienden el español, 90 el inglés, 90 el chino y 90 el francés.

¿ Cuál es el menor número de congresistas que seguro entiende los cuatro idiomas?

El menor número de congresistas que hablan los cuatro idiomas es 60. Este tipo de problemas se resuelve primero viendo cuantos son los que seguro hablan dos idiomas. Si noventa hablan español quiere decir que hay diez que no lo hablan, por lo tanto si hay 90 que hablan inglés es posible que de esos noventa diez sean los que no hablan español, por lo tanto el mínimo de personas que hablan esos dos idiomas es ochenta. Después se compara los que hablan español e inglés (ochenta) con los hablan chino. Nuevamente vemos que de cien personas ochenta hablan español e inglés o sea que hay veinte que no lo hablan por lo tanto esos veinte pueden ser justo los que si hablen chino así que nos quedan setenta (90-20) que seguro hablan tres idiomas. Si hacemos lo mismo con el cuarto idioma nos da la respuesta: 60

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7 - Congreso

3 - Clase de inglés

En el instituto "English for kids" en una de las clases de la teacher Susan, el promedio de edad de los varones es N, en tanto que el promedio de edad de las nenas es V.
Sabiendo que el promedio de edad de todos los integrantes de la clase incluyendo a Susan que tiene 42 años es N+V y que hay más nenas que varones, ¿Cuántos varones y cuantas nenas hay en la clase de Susan?

El total de los años de los varones es V*N, y el total de años de las nenas es N*V
En tanto que la suma total de los años de todos los que están en la clase es 2*V*N y hay V+N+1 personas.
Por lo tanto

(2*V*N + 42)/(V+N+1) = V+N

2*V*N + 42 = (V+N)^2 + (V+N)

42 = V^2 + N^2 + V + N.
Hay infinitas soluciones para esta ecuación en números reales, en tanto que para los números enteros la situación es diferente

Si multiplicamos ambos lados de la ecuación por 4 y sumamos 1+1 a ambos lados , nos queda:


170 = (2*V + 1)^2 + (2*N + 1)^2

Es fácil ver que 170 es igual a 11^2 (121) + 7^2(49) y como las nenas son más que los varones tenemos Nenas = cinco, Varones = tres.

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3 - Clase de inglés

2 - Dos números, tres cuentas, un resultado

Hay un problema muy conocido en el que se pide encontrar dos números cuya suma y multiplicación den el mismo resultado. Si bien este problema tiene miles de respuestas correctas, existe solo una en la que tanto los números como el resultado son números enteros positivos.
Para resolverlo se plantea las siguientes ecuaciones :

(1) x + y = R
(2) x.y = R

De (1) x=R-y reemplazando x en (2)

(R-y).y = R o sea que Ry-y.y = R de ahí que

y.y=R(y-1)

por lo tanto R = (y.y)/(y-1)

Se ve claramente que si y=1 no se puede obtener R, pero si y= 2, R= (2.2)/(2-1) = 4

y de (1) se saca que x = 2 Por lo tanto la respuesta es que los números son el dos y el dos, ya que

su suma y su multiplicación dan cuatro

Ahora va la variante un poco más complicada:

Hallar dos números cuya suma, multiplicación y división dan el mismo resultado.

Una pequeña pista : No necesariamente tienen que ser números enteros y/o positivos.

Los números son el 0.5 y el -1. Ya que tanto la suma, la multiplicación y la división dan -0.5.

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2 - Dos números, tres cuentas, un resultado