231 - ¿Cómo calcular raíces cuadradas sin usar una calculadora?

Existen dos métodos que permiten calcular raíces cuadradas bastante rápidamente y con una muy buena aproximación.

En el primer método se usa recursivamente la siguiente fórmula:

(a+Nb)/(a+b)

Si N= 2 y a = b = 1

Entonces los valores que vamos obteniendo son :

3/2 ; 7/5 : 11/12 ; 41/29 ; 99/70 ; 239/169 ; 577/408 ; 1393/985 ; 3363/2378 ; etc

Vemos que 239/163 = 1.4142, que es una buena aproximación a raíz(2),
en tanto que 3363/2378 = 1.4142136 que da el mismo valor que obtenemos con una calculadora común

Nosotros tomamos a = b =1, pero se puede utilizar cualquier valor de a y b y siempre obtendremos una aproximación a raíz(2)
En este ejemplo N = 2, pero N puede tomar cualquier valor, y así obtendríamos la raíz(N)

¿Porqué funciona?

Como lo que nosotros hacemos es igualar a

a/b = ( A + Nb) / (a + b) = ( (a/b) + N ) / ( (a/b) + 1)

si llamamos a a/b = K y reemplazando nos queda

K = (K+N)/(K+1)

de donde K(K+1)=(K+N)
entonces K² + K = K + N
llegando a K² = N
Por lo tanto K = raíz(N)

El segundo método es atribuido a Heron y usa la siguiente fórmula :

a = 1/2 (a+N/a)

Donde a se elige como el valor aproximado de raíz(N) y obviamente no puede ser cero.
Por ejemplo si queremos calcular la raíz cuadrada de 5, podemos tomar a=2.

aplicando la fórmula repetidamente:
a= 2
a= 1/2(2+5/2) = 9/4
a= 1/2(9/4+5/(9/4)) = 1/2(9/4 + 20/9)= 1/2 (161/36) =161/72 = 2.236111
a= 1/2(161/72 + 5/ (161/72)) = 54841/23184 = 2.236068

Vemos que esta secuencia converge rápidamente,además si a es un menor que raíz(n) entonces N/a es mas grande raíz(n), por lo tanto el promedio debe estar entre ellos

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