viernes, 21 de octubre de 2011

799 - El problema de los cuatro dígitos



Generalización del problema de los cuatro cuatros

El problema de los cuatro cuatros es un muy conocido y antiguo problema el cual consiste, en encontrar la forma matemática para representar cualquier número, usando para ello sólo cuatro cuatros, y a lo sumo, algunos símbolos para las operaciones básicas. Sobre este problema se ha escrito mucho  y se han obtenido todos los valores hasta el 40000 (ver The Definitive Four Fours Answer Key )
A partir de este problema se han generado muchas variantes en los cuales en vez de usar cuatro cuatros, se usan cuatro cincos, cinco cincos, seis seises, un uno, un dos, un tres y un cuatro, etc, etc.
Veamos como se pueden obtener los primeros cuatro números:

0 = 4+4-4-4
1 = (4+4)/(4+4)
2 = 4/4 + 4/4
3 = (4+4+4)/4

Cuando uno mira detenidamente estas fórmulas se da cuenta de que si reemplazamos cada uno de los cuatros por cualquier otro dígito, la fórmula seguiría siendo válida.
Por ejemplo :

0 = 1+1-1-1 = 2+2-2-2 = 3+3-3-3 = d+d-d-d
1 = 1+1 / 1+1 = 2+2 / 2+2 = 3+3 / 3+3 = d+d / d+d
2 = 1/1 + 1/1 = 2/2 +2/2 = 3/3 +3/3 = d/d +d/d
3 = (1+1+1)/1 = (2+2+2)/2 = (3+3+3)/3 = (d+d+d)/d
donde d representa cualquier dígito.
En base a esto empecé a pensar si era posible lograr cualquier número usando cuatro dígitos iguales cualesquiera.
Pero lograr los siguientes números es mas complicado, es por ello que podemos usar algunos “trucos”.
El primero que podemos usar es el punto decimal.
Así con .d representamos a 0.d = d/10.
También podemos usar el símbolo para los números decimales periódicos así .d   = 0.dddddd…. = d/9
Con estos dos “trucos” y permitiendo la concatenación de los dígitos, donde dd = 10d+d y d.d = d+0.d , y usando además raíces cuadradas  podemos obtener los números del cero al 13 inclusive, y los números del 17 al 21, el 27 y el 30 entre otros.
Para los números que nos faltan hasta el 45 podemos usar el logaritmo en base raíz de d del número d (log√d d) que es igual a 2, y si agregamos raíces a la base podemos obtener todos los números del tipo 2n donde n es igual a la cantidad de raíces cuadradas, (4 = log√√d d, 8 = log√√√d d, etc).Hay que tener en cuenta que cuando usamos logaritmos d no puede ser 1.
Con estas operaciones llegamos hasta el 36. Si usamos el signo de % obtenemos el 100 de la siguiente manera: 100 = d/d%.
También podemos usar el símbolo para tomar la parte entera de un número que nos permite llegar al 45.

Resumiendo :
Con un dígito :
.d =  d/10
.d = d/ 9
d% = d/100
|d| = parte entera de d


Con dos dígitos :

½ = log(d) √ (d)
0 = d-d
1 = d/d
2 = log √d d
3 = √ (d/.d)
4 = log √√d d
5 = |log √√√√√d d|
6 = (√ (d/.d))!
7 = | log √√√√√dd|
8 = log √√√d d
9 = d/.d
10 = d/.d
11 = | log √√√√√√dd|
16 = log √√√√d d
24 = (log √√d d)!
26 = |(√ (d/.d))!!|
32 = log √√√√√d d
64 = log √√√√√dd
100 = d/d%
720 = (√ (d/.d))!!

Así con cuatro dígitos iguales podemos formar :

0 = d + d - d - d
1 = dd/dd
2 = d/d +d/d
3 = (d+d+d) / d
4= d/d + √(d / .d)
5 = √(d * d) / (.d + .d)
6 = d/.d - √ (d / .d)
7 = (d - .d  - .d) / .d   
8 = (d - .d - .d) / .d
9 = d/.d - d/d
10 = dd / d.d
11 = d/.d + d/d
12 = (dd + d) / d
13 = d/.d +  √(d/.d)
14 = d/.d + log √√d d
15 = log √√√√d d – d/d
16 = log √√√√d d  + d - d
17 = (d + d - .d) / .d
18 = d/.d + d/.d
19 = (d + d + .d) / .d
20 = d/.d + d/.d
21 = (d + d + .d) / .d
22 = log √√√√√d d  - d/.d
23 = log √√√√√d d - d/.d
24 = (d/d + √(d / .d)) !
25 = log √√√√d d + d/.d
26 = log √√√√d d + d/.d
27 = (d + d + d) / .d
28 = log √√√√√d d - log √√d d
29 = log √√√√√d d - √ (d/.d)
30 = (d + d + d) / .d
31 = log √√√√√d d- d/d
32 = log √√√√√d d + d - d
33 = dd / √(d * .d )
34 = log √√√√√d d+  log √d
35 = log √√√√√d dd + √ (d/.d)
36 = log √√√√√d d + log √√d
37 = log √√√√√d d + |log √√√√√d d|
38 = (√ (d/.d))! + log √√√√√d d
39 = log √√√√√d d + | log √√√√√dd|
40 = log √√d d * d/.d = log √√√√d d + (log √√d d)!
41 = log √√√√√d d + d/.d
42 = d/.d + log √√√√√d d
43 = log √√√√√d d + | log √√√√√√dd|
44 = log √√d d * | log √√√√√√dd|
45 = (√ (d/.d))!! / log √√√√d d(d)
46 = ?
47 = ?
48 =(√ (d/.d))! * log √√√d d  (d)
49 = | log √√√√dd| * | log √√√√√dd|
50 = d/d% / log √d d
51 = ?
52 = log √d d *  |(√ (d/.d))!!|
53 = log √√√√√dd - | log √√√√√√dd|
54 =(√ (d/.d ))! * d/.d
55 = dd / (.d + .d)
56 = (log √√d d)! + log √√√√√d d
57 = log √√√√√dd - | log √√√√√dd|
58 = log √√√√√dd - (√ (d/.d))!
59 = log √√√√√dd - |log √√√√√d d|
60 = (√ (d/.d))! * d/.d
61 = log √√√√√dd - √ (d/.d)
62 = log √√√√√dd - log √dd
63 = log √√√√√dd - d/d
64 = log √√√d d * log √√√d d
65 = log √√√√√dd + d/d
66 = log √√√√√dd + log √dd
67 = log √√√√√dd + √ (d/.d)
68 = d/d% – log √√√√√d d
69 = log √√√√√dd + |log √√√√√d d|
70 = log √√√√√dd + (√ (d/.d))!
71 = log √√√√√dd + | log √√√√√dd|
72 = log √√√d d * d/.d
73 = log √√√√√dd + d/.d
74 = log √√√√√dd + d/.d
75 = log √√√√√dd + | log √√√√√√dd|
76 = d/d% - (log √√d d)!
77 = | log √√√√√dd| * | log √√√√√√dd|
78 = ?
79 = ?
80 = (d - .d) / (.d  - .d)
81 = (d * d) / (.d  * .d)  ó  d/.d  * d/.d
82 = ?
83 = ?
84 = d/d% - log √√√√d d
85 = ?
86 = d/d% - (log √√d d)!
87 = ?
88 = log √√√√√dd + (log √√d d)!
89 = d/d% - | log √√√√√√dd|
90 = d/.d   * d/.d
91 = d/d%  -  d/.d
92 = d/d% - log √√√d d
93 = d/d% - | log √√√√√dd|
94 = d/d% - (√ (d/.d ))!
95 = d/d% - |log √√√√√d d|
96 = √ (d/. d )  * log √√√√√d d
97 = d/d% - √ (d/.d )
98 = (dd - .d ) / .d   
99 = dd / .d d  
100 = dd / .dd  ó  d/.d * d/.d

108 = (dd + d) / .d
109 = (dd - .d) / .d
110 = dd / √ (.d * .d)
111 = ddd / d
120 = (dd + d) / .d
180 = (d + d) / (.d - .d)
900 = d / (.d - .dd)
990 = dd / (. d - .d)
999 = ddd / .d
1110 =  ddd/.d


El primer número que no pude formar es el 46. Otros que faltan son : 47, 51, 78, 79, etc.


¿A alguien se le ocurre alguna fórmula para formar los números que faltan?
Espero contribuciones


Pd: Una forma para generar cualquier número pero que no sería válida es usar log n√d d = n


Bibliografía : 


Mathematical recreations and Essays de Rouse Ball
El hombre que calculaba de Malba Tahan



Esta entrada forma parte de la Edición 2.7 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión  en esta ocasión es La Aventura de la Ciencia

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9 comentarios:

  1. Se puede conseguir cualquier número con dos d:

    |√√...a...√√ log √√...b...√√d d|

    Solo hay que elegir el número "a" de raíces que van delante del logaritmo y el número "b" de raíces que van en la base del logaritmo.

    En la siguiente tabla están los valores de a y b para obtener los números del 1 al 50:

    N a b

    1 0 0
    2 0 1
    3 2 7
    4 0 2
    5 1 5
    6 2 11
    7 3 23
    8 0 3
    9 2 13
    10 3 27
    11 1 7
    12 3 29
    13 2 15
    14 3 31
    15 4 63
    16 0 4
    17 3 33
    18 4 67
    19 2 17
    20 3 35
    21 4 71
    22 1 9
    23 4 73
    24 3 37
    25 4 75
    26 2 19
    27 5 153
    28 4 77
    29 3 39
    30 4 79
    31 5 159
    32 0 5
    33 4 81
    34 3 41
    35 5 165
    36 4 83
    37 5 167
    38 2 21
    39 4 85
    40 5 171
    41 3 43
    42 5 173
    43 4 87
    44 5 175
    45 1 11
    46 5 177
    47 4 89
    48 5 179
    49 3 45
    50 5 181

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  2. Es verdad Mmonchi, ¿hay una fómula para calcular los a y los b o solo sale por fuerza bruta?

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  3. Para hallar los "a" y "b" que corresponden a N voy dando valores a "a" en la siguiente fórmula:

    b = |2^a * log2 N| + 1

    Compruebo a partir de qué "a" los valores que da son correctos con la fórmula:

    N = |2^(b/2^a)|

    Si hacemos a = N, el valor de b = |2^N * log2 N| + 1 siempre es válido, aunque no necesariamente el más pequeño.

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  4. Hola soy virginia en la escuela me dieron un ejercicio igual al de los 4 pero con el numero 9

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  5. 99-99:0 9/9+9-9:1 99/9-9:2 (9+9+9)/9:3 no me sale el 4,5,6,7,9

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  6. Hola soy virginia en la escuela me dieron un ejercicio igual al de los 4 pero con el numero 9

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  7. Para 7 = 9 - (9+9)/9
    Para los otros lo puedes resolver usando raiz cuadrada, como raíz(9)= 3

    4 = (9 /raíz(9)) + (9/9)
    5 = 9 - raíz( 9) - 9/9
    6 = (9 - raíz (9)) x 9/9
    9 = (9 + 9 + 9) / raíz(9)

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