4 - Sumar 10000

Este es un problema sencillo, hay que encontrar todas las series de números consecutivos cuya suma dé exactamente 10.000.

y además

¿Cómo sumar 2009 con 41 números consecutivos?

Podemos generalizar este problema de la siguiente manera :

Llamamos x: al primer número de la serie
I : al incremento, de forma tal que x+I es el último número de la serie
T : es el número que queremos que de la suma de la serie
Entonces lo que se nos pide son los x e I tal que :
(X + X+1 + X+2 + ... X+I-1 + X+I) = T
Si sumamos el primer y el último término nos da 2X+I, lo mismo sucede cuando sumamos
el segundo y el anteúltimo, el tercero y el antepenúltimo, etc de forma tal que hay (I+1)/2 pares 2x+I en la serie por lo tanto (2X+I)(I+1) = 2T.

Se puede ver que (2X+I) y (I+1) tienen paridades diferentes (Si I es par, 2X+I es par e I+1 es impar en tanto que si I es impar, 2X+ies impar y I+1 es par).
Sabemos que cada número tiene una sola factorización en números primos.
En nuestro caso 2T = 20000 = 2⁵ * 5⁴ Hay que buscar ahora la forma de factorizar 2T en dos números positivos de distinta paridad:

(32*1, 5⁴)= (32, 625) =(2X+I)(I+1) esto implica que==> I= 624 X = -296
(32*5, 5³)= (160, 125)==> I= 124 X = 18
(32*5², 5²)= (800, 25) ==> I= 24 X = 388
(32*5³, 5)= (4000, 5) ==> I= 4 X = 1998
(32*5⁴, 1)= (20000, 1) ==> I= 0 X = 10000
(5⁴, 32*1)= (625, 32) ==> I= 31 X = 297
(5³, 32*5)= (125, 160) ==> I= 159 X = -17
(5², 32*5²)= (25, 800) ==> I= 799 X = -387
(5, 32*5³)= (5, 4000) ==> I=3999 X = -1937
(1, 32*5⁴)= (1, 2000) ==> I=1999 X = -9999

Aquí tenemos las diez series de números consecutivos cuya suma da 10000.
Hay cinco que incluyen números negativos y cinco que no.
Ej X=1998 I=4 1998,1999,2000,2001,2002
1998+1999+2000+2001+2002 = 10000

Ej 2009 = 29+30+31+....+69 (41 números consecutivos)

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