1492 - Pandigitales como concatención de potencias

En este caso el pandigital aparece al concatenar dos potencias.

Ejemplo (el caso mas conocido es)

5³//76³= 125438976 
2⁹//76³= 512438976 
8³//76³= 512438976 
2³//17⁶= 824137569

 18⁴//18³ = 1049765832 
 5³//44⁴ = 1253748096 
6⁴//93³ = 1296804357 
2⁹//44⁴= 5123748096 
8³//44⁴= 5123748096 
18³//18⁴= 5832104976 
3⁶//48⁴= 7295308416 
9³//48⁴= 7295308416 
21³//93³= 9261804357  

Mas ejemplos?

Si lo quieres compartir o guardar

1492 - Pandigitales como concatención de potencias

1491 - Pandigitales como concatenación de potencias

En este caso concateno el resultado de dos potencias y el número obtenido lo factoreo y los factores tienen todos los dígitos una y solo una vez


15³ // 20³   =  33758000   =  2⁴ x 5³ x 16879 

  2⁶ // 41⁴   =  642825761  = 10847 x 59263 
  4³ // 41⁴   =  642825761  = 10847 x 59263 
  8² // 41⁴   =  642825761  = 10847 x 59263 

 28³ // 43³  = 2195279507 =  8419 x 260753


Mas ejemplos?

Si lo quieres compartir o guardar

1491 - Pandigitales como concatenación de potencias

1490 - Pandigitales como suma de potencias II

En este caso la suma de dos potencias dan como resultado un número cuyos factores usan cada uno de los dígitos una y solo una vez:



El único ejemplo que encontré es el siguiente:

  22² + 43⁶ =  6321363533 = 73 x 86594021

Otros ejemplos?

Si lo quieres compartir o guardar

1490 - Pandigitales como suma de potencias II

1489 - Pandigitales como suma de potencias I

Comienzo aquí una serie de entradas relacionadas.
En esta primera busco suma de potencias que den números pandigitales.
Aquí van los que yo encontré :

Pandigitales sin cero: 
   8⁹   + 44⁴  =   137965824  
  3¹³   + 15⁷  =  172453698 
  4¹³  + 47⁵  =   296453871 
  6¹¹  + 33²  =   362798145 
  4¹⁴  + 41⁵  =   384291657 
  16⁷  + 41⁵   =  384291657 
  17⁵  + 29⁶   =  596243178 
   
Pandigitales con cero
  7¹¹  + 20⁵   = 1980526743
 10⁵   + 11⁹   = 2358047691 
 15⁸   + 18⁵   = 2564780193 
  9¹⁰  + 15⁶   = 3498175026 
  9⁸   +  39⁶   = 3561790482 
 18⁴  +  42⁶   = 5489136720


Mas ejemplos?

Si lo quieres compartir o guardar

1489 - Pandigitales como suma de potencias I

1390 - Dividiendo los dígitos del 1 al 9

Encontrar cinco números A, B, C, D y E usando una sola vez cada uno de los dígitos del 1 al 9 (no necesariamente en ese orden), de forma tal que:  

A⁵ + B⁵ + C⁵+ D⁵+ E⁵ = Total

Siendo Total un número que contiene una sola vez cada uno de los dígitos del 1 al 9.

Si lo quieres compartir o guardar

1390 - Dividiendo los dígitos del 1 al 9

1224 - Todos los Dígitos

Sebi y Julieta tienen unas edades tales que multiplicadas por 2013 dan dos números que entre los dos tienen los 10 dígitos.
Que edades tienen Sebi y Julieta?

Curiosamente este problema tiene una sola solución, en cambio si el año fuera 2014 hay tres soluciones (claro que en este caso Sebi y Julieta no serían seres humanos).
Cuales?

Para que año existen la mayor cantidad de soluciones?
y el primer año en el que no existen soluciones?

Si lo quieres compartir o guardar

1224 - Todos los Dígitos

1145 - Una curiosidad del 8614

Entre 8614 y sus factores primos aparece cada dígito del uno al nueve una sola vez cada uno.

8614 = 2 x 59 x 73

¿Habrá algun número en el que aparezcan todos los dígitos (con o sin cero) exactamente dos o mas veces al considerarlo junto a sus factores primos?

Si lo quieres compartir o guardar

1145 - Una curiosidad del 8614

1135 - Dividiendo pandigitales

Hay muchos números pandigitales sin cero (o sea que tienen todos los dígitos del 1 al 9 una  sola vez cada uno) que pueden ser divididos en cuatro números de dos formas diferentes tal que el producto de los términos de cada una de las divisiones de el mismo producto:

Ejemplos

123596847 : 12x35x968x47 =  1x235x96x847 = 19108320 

297541368 :  29754x13x6x8 = 2x9x754x1368 = 18566496

584136297 :  5841x36x29x7 = 58x413x6x297 = 42686028

638742915 :  638x742x9x15 = 63x87x4x2915 = 63908460

Pero de todos los que encontré, solo uno da un producto con todos los dígitos diferentes, serías capaz de encontrarlo?

Si lo quieres compartir o guardar

1135 - Dividiendo pandigitales

1119 - Sumas cuadradas

Sergio estaba jugando al bingo, su cartón tenía cinco números de dos cifras cada uno. 
Ninguno de los números era un número primo y las diez cifras eran todas diferentes.
Sergio notó que la suma de los cinco números daba un número cuadrado perfecto.
A medida que el juego se desarrollaba, Sergio fue tachando los números que iban saliendo.
Cuando tachó el primer número de su cartón se dió cuenta que la suma de los cuatro números restantes daba también un número cuadrado, cuando tachó el segundo, la suma de los tres restantes también daba un cuadrado y lo mismo cuando tachó el tercero.

¿Qué cinco números tenía Sergio en el cartón?

Si lo quieres compartir o guardar

1119 - Sumas cuadradas

1087 - Tres productos todos los dígitos

El número 107 presenta la particularidad que al multiplicarlo por 3 ,7 y 8 respectivamente genera tres números de tres cifras que entre los tres tienen los nueve dígitos del uno al nueve sin que se repita ninguno:

107 x 3 = 321
107 x 7 = 749
107 x 8 = 856

Hay varios números de tres cifras con esta característica :
109  x   3, 6 y 9  =  327, 654, 981
123  x   4, 5 y 6 =  492, 615, 738
129  x  1, 3 y 5  =  129, 387, 645
192  x  1, 2 y 3  = 192, 384, 576
219  x  1, 2 y 3  =  219, 438, 657
273  x  1, 2, y 3  =  273, 546, 819
327  x  1, 2  y 3  =   327,  654, 981

El 123 es el único que tiene un dígito suyo en cada producto:
123 x 4 = 492
123 x 5 = 615
123 x 6 = 738

Si consideramos productos que además de los nueve dígitos tengan el cero, tenemos muchos resultados, mas de 100.
Por ejemplo :

102 x 3     = 306
102 x 7     = 714
102 x 29  = 2958 

Este es uno de los casos mas curiosos ya que en cada producto aparece solo uno de los dígitos del 102 y además cada uno de los números por los que se multiplica  aparecen en sus propios productos.

El 102 también genera con otros multiplicandos productos que tienen cada uno de los diez dígitos una sola vez y además tienen la misma característica que los productos anteriores :

102 x 3   = 306
102 x 9   = 918
102 x 27 = 2754

Otra curiosidad es que la suma de los tres productos es igual en las dos ocasiones 306 + 714 + 2958 = 306 + 918 + 2754 = 3978

 Así pues es 102 genera los diez dígitos en los productos de dos formas distintas.

El 103, que es primo, genera una sola solución:

103 x 3 = 309
103 x 4 = 412
103 x 56 = 5768


Preguntas:

- ¿Cuál es el número de tres cifras que genera los 10 dígitos en los productos, de mas formas distintas? 
- ¿Cuál es el primo de tres cifras que tiene mas soluciones distintas?
- ¿Cuál es el mayor número de tres cifras con esta característica?
 -¿Cuál es la mayor suma de los tres multiplicandos para números de tres cifras?
- Si concatenamos los productos del 102 según el orden de los multiplicandos ordenados de menor a mayor, obtenemos 3067142958  y 3069182754. 

¿Que número de tres cifras genera el mayor pandigital concatenado?
y si los productos se pudieran concatenar como uno quisiera?


Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza tito eliatron  

Si lo quieres compartir o guardar

1087 - Tres productos todos los dígitos

1086 - Con 2013 y su cuadrado con todos

¿Cual es el menor número que tiene como subcadena al 2013 que su cuadrado tiene los números del 1 al nueve en orden y de forma consecutiva?

Un ejemplo de estos números es : 
29088201333² = 846123456789142976889

Hay que buscar al menor

Si lo quieres compartir o guardar

1086 - Con 2013 y su cuadrado con todos

1079 - 987654321 en los cuadrados

En 30493877143² = 929876543212377842449, aparece 987654321, 

¿Cuál es el menor cuadrado en el que aparece?

Si lo quieres compartir o guardar

1079 - 987654321 en los cuadrados

1074 - 123456789 en los cuadrados

Veamos el siguiente cuadrado:

25433939827² = 646885295123456789929

¿Cuál es el menor cuadrado que tiene a 123456789 dentro?

Si lo quieres compartir o guardar

1074 - 123456789 en los cuadrados

1010 - Dandole vuelta a los múltiplos de 9091

Si un número de diez dígitos, abcdefghij es múltiplo de 9091 también lo son bcdefghija, cdefghijab, defghijabc, efghijabcd, fghijabcde, ghijabcdef, hijabcdefg, ijabcdefgh y jabcdefghi

6852013974 =   753714 x 9091

8520139746 =   937206 x 9091

5201397468 =   572148 x 9091
 2013974685 =   221535 x 9091 
  0139746852 =   15372 x 9091 
 1397468520 =   153720 x 9091 
3974685201 =   437211 x 9091
9746852013 =  1072143 x 9091
7468520139 =   821529 x 9091
4685201397 =   515367 x 9091

  En este ejemplo en particular el número además es pandigital y tiene el 2013 dentro, existen mas de 1200 números pandigitales que son multiplos de 9091 y por lo tanto todos presentan esta particularidad. 
Esta característica no es una propiedad exclusiva de los múltiplos de 9091, sino que tambien lo es de los múltiplos de 3, 11, 41 y 271. 

Veamos porque :

Para transformar a abcdefghij en bcdefghija realizamos las siguientes operaciones, (llamamos M a abcdefghij):

bcdefghija = 10M - 10⁹a + a = 10M - a (10⁹- 1)
y como 999999999 = 3² x 11 x 41 x 271 x 9091
si M es múltiplo de cualquiera de estos factores también lo será bcdefghija

Esta propiedad se puede extender para números de n cifras:
Si un número de n cifras es multiplo de un factor de  10ⁿ -1, también lo serán los que deriven de pasar el primer dígito al último lugar sucesivamente.


Así por ejemplo si abcde es múltiplo de 271, también lo serán bcdea,  cdeab, deabc y eabcd

Si lo quieres compartir o guardar

1010 - Dandole vuelta a los múltiplos de 9091

918 - Fracciones que general decimales pandigitales

La siguiente fracción tiene tanto un numerador como un denominador primo :

34481017 / 109613237 = 0.3145698270...

y lo curioso es que en el número decimal generado aparecen en las primeras diez posiciones decimales los diez dígitos sin repetir.

¿Cuántas fracciones como estas se pueden encontrar?

Supongo que muchas ya que esta la encontré haciendo una busqueda "a mano".

Si lo quieres compartir o guardar

918 - Fracciones que general decimales pandigitales

867 - Pandigitales especiales

5630924187 es un número pandigital especial, es pandigital porque tiene los diez dígitos una sola vez cada uno y es especial porque aparecen los productos de cualesquiera dos dígitos consecutivos que están presentes en él .


Así aparecen como cadena dentro de este número : 30(5x6), 18(6x3), 0(3x0), 0(0x9), 18(9x2), 8(2x4), 4(4x1), 8(1x8) y el 56(8x7)  


¿Cuál es el menor de estos pandigitales?  ¿Cuál es el mayor?

Si lo quieres compartir o guardar

867 - Pandigitales especiales

856 - Fracciones pandigitales

La entrada de hoy es una variación de la entrada 837 en la que "hablé" de las números enteros de dos dígitos expresados como fracciones hechas por números que tuvieran en su composición una sola vez cada uno  los dígitos del uno al nueve. 
En esta ocasión veremos los enteros que son iguales a fracciones formadas por números que usan las cifras del cero al nueve. Con estas condiciones se pueden formar todos los números de dos cifras excepto los terminados en 1 (porqué?), el 10, el 48, el 75,  el 82 y el 97. Yo encontré 437 fracciones de este tipo que generan enteros de dos cifras, y  al igual que cuando se usan los dígitos del uno al nueve hay números que pueden expresarse en mas de una manera y otros en los que solo de una forma.


Así el 17 se puede formar de dieciocho formas diferentes :

1. 105978 / 6234  = 17 
2. 107984 / 6352  = 17 
3. 125936 / 7408  = 17 
4. 126803 / 7459  = 17 
5. 130594 / 7682  = 17 
6. 135082 / 7946  = 17 
7. 136459 / 8027  = 17 
8. 137564 / 8092  = 17 
9. 140369 / 8257  = 17 
10. 140539 / 8267  = 17 
11. 140573 / 8269  = 17 
12. 142069 / 8357  = 17 
13. 147203 / 8659  = 17 
14. 153476 / 9028  = 17 
15. 153782 / 9046  = 17 
16. 154326 / 9078  = 17 
17. 157046 / 9238  = 17 
18. 162078 / 9534  = 17 

en tanto que el 80 se forma de 46 formas distintas:

1. 254960 / 3187 = 80 
2. 367120 / 4589 = 80 
3. 367280 / 4591 = 80 
4. 375120 / 4689 = 80 
5. 375280 / 4691 = 80 
6. 381520 / 4769 = 80 
7. 418960 / 5237 = 80 
8. 429680 / 5371 = 80 
9. 463120 / 5789 = 80 
10. 463280 / 5791 = 80 
11. 467120 / 5839 = 80 
12. 471360 / 5892 = 80 
13. 473280 / 5916 = 80 
14. 473680 / 5921 = 80 
15. 518320 / 6479 = 80 
16. 539280 / 6741 = 80 
17. 543120 / 6789 = 80 
18. 543280 / 6791 = 80 
19. 547120 / 6839 = 80 
20. 569840 / 7123 = 80 
21. 584960 / 7312 = 80 
22. 589120 / 7364 = 80 
23. 593280 / 7416 = 80 
24. 593680 / 7421 = 80 
25. 631520 / 7894 = 80 
26. 635280 / 7941 = 80 
27. 653920 / 8174 = 80 
28. 654320 / 8179 = 80 
29. 671520 / 8394 = 80 
30. 673520 / 8419 = 80 
31. 675120 / 8439 = 80 
32. 714560 / 8932 = 80 
33. 715360 / 8942 = 80 
34. 716240 / 8953 = 80 
35. 716320 / 8954 = 80 
36. 732480 / 9156 = 80 
37. 732640 / 9158 = 80 
38. 734560 / 9182 = 80 
39. 745280 / 9316 = 80 
40. 745680 / 9321 = 80 
41. 748160 / 9352 = 80 
42. 753280 / 9416 = 80 
43. 753680 / 9421 = 80 
44. 761840 / 9523 = 80 
45. 762480 / 9531 = 80 
46. 763280 / 9541 = 80 

El 12, 13, 16, 28, 33, 49, 54, 57, 63, 64, 66, 67, 78, 79, 85, 96, y 99 se pueden expresar de una sola manera con este tipo de fracciones .

Me imagino que se imaginan cual es su tarea.

Si lo quieres compartir o guardar

856 - Fracciones pandigitales

837- Con todos los dígitos del 1 al 9

Usando los nueve dígitos es posible formar fracciones que den como resultado los siguientes valores :  2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 32, 35, 37, 38, 43, 44, 46, 52, 53, 59, 62, 66 y 68

Por ejemplo:

13458 / 6729 = 2
17469 / 5823 = 3
15768 / 3942 = 4
Hay resultados que pueden obtenerse con mas de una fracción como por ejemplo:

14 = 25746 / 1839
14 = 27384 / 1956
14 = 41538 / 2967
14 = 46158 / 3297
14 = 51492 / 3678
14 = 54768 / 3912
14 = 61572 / 4398
14 = 65982 / 4713

26 = 61854 / 2379
26 = 67314 / 2589
26 = 67418 / 2593
26 = 76518 / 2943
26 = 82654 / 3179
26 = 89726 / 3451
26 = 92846 / 3571

Estas últimas creo que le gustarán a un amigo de la casa.

En tanto que hay resultados que pueden obtenerse de una sola manera: 18, 22, 32, 37, 43, 46, 52, 59, 66 y 68

El desafío es encontrar estas únicas fracciones.

Si lo quieres compartir o guardar

837- Con todos los dígitos del 1 al 9

801 - Suma pandigital prima

(4+5)³ + (6+8)² + (7+9)¹ = 941

¿Otros ejemplos?


Yo conozco otra expresión pandigital que da un primo de once dígitos.

Si lo quieres compartir o guardar

801 - Suma pandigital prima

768 - Suma pandigital que da un número capicúa

(1+3)⁹ + (2+5)⁸ + (6+7)⁴ = 6055506

Le ecuación anterior usa del lado izquierdo todos los dígitos del uno al nueve una sola vez, dando como resultado un número capicúa. Existe una ecuación similar del tipo:
 
(a+b)^c+ (d+e)^f+ (g+h)ⁱ = Capicúa

En el que capicúa es un número menor a mil.

¿Cuál esa ecuación?

Si lo quieres compartir o guardar

768 - Suma pandigital que da un número capicúa