sábado, 30 de abril de 2011

670 - Puntajes en un partido de bowling

En un partido de bowling hay obviamente una sola forma de sacar cero o trescientos puntos.
Pero, ¿Sabía usted que en un partido de bowling hay  50613244155051856 formas distintas de obtener 100 puntos?


77 es el puntaje que se puede lograr de la mayor cantidad de formas posibles, exactamente : 172542309343731946

Fuente THE LIGHTER SIDE MATHEMATICS de RICHARD K. GUY AND ROBERT E. WOODROW
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viernes, 29 de abril de 2011

669 - Semana del 1 al 9 (parte 4)

Existen muchísimos problemas del tipo : "usando los dígitos del 1 al 9 y  las operaciones matemáticas básicas (suma, resta, multiplicación y división) y la cantidad de paréntesis necesarios obtener el número x"


Por ejemplo el cien lo podemos obtener haciendo :  

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) + (8 x 9) = 100


En este ejemplo los dígitos están ordenados, pero no siempre se puede lograr.

El número a lograr hoy es el 2011. En este caso no se pide que los dígitos esten ordenados.
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jueves, 28 de abril de 2011

668 - Semana del 1 al 9 (parte 3)

Existen muchísimos problemas del tipo : "usando los dígitos del 1 al 9 y  las operaciones matemáticas básicas (suma, resta, multiplicación y división) y la cantidad de paréntesis necesarios obtener el número x"


Por ejemplo el cien lo podemos obtener haciendo :  

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) + (8 x 9) = 100


En este ejemplo los dígitos están ordenados, pero no siempre se puede lograr.

El número a lograr hoy es el 100000. En este caso no se pide que los dígitos esten ordenados.
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miércoles, 27 de abril de 2011

667 - Semana del 1 al 9 (parte 2)

Existen muchísimos problemas del tipo : "usando los dígitos del 1 al 9 y  las operaciones matemáticas básicas (suma, resta, multiplicación y división) y la cantidad de paréntesis necesarios obtener el número x"


Por ejemplo el cien lo podemos obtener haciendo :  

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) + (8 x 9) = 100


En este ejemplo los dígitos están ordenados, pero no siempre se puede lograr.

El número a lograr hoy es el 10000. En este caso no se pide que los dígitos esten ordenados.
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martes, 26 de abril de 2011

666 - Matematicas en la India

Resulta que la fuerte tradición oral de la comunicación del conocimiento en la India dio lugar a diversos trucos mnemotécnicos para recordar números grandes. En el libro de Kim Plofker, Matemáticas en la India: 500 BCE-1800 CE relata una discusión de Bhūtasaṃkhyā, en la que se da un método para representar un número a través de objetos que "existe/n en ese número". Y así se podría comunicar las matemáticas en forma de verso, como Madhava de la Escuela de Kerala dice que ha hecho:

Dioses, los ojos, elefantes, serpientes, fuego, tres, cualidades, los Vedas, nakshatras, elefantes, los brazos: los sabios han dicho que esta es la medida de la circunferencia cuando el diámetro del círculo es de nueve nikharvas.

Hay 33 dioses en el panteón estándar, dos ojos y dos brazos, cuatro Vedas, los elefantes y las serpientes son ocho, tres tipos de fuego ritual, tres gunas (o cualidades) en el mundo; veintisiete nakshatras (son como las constelaciones del Zodiaco) , un nikharva es 1011, y los números se encuentran todos en orden creciente de lugar-valor.

Por lo tanto podemos calcular:

$ \frac{2.827.433.388.233} {900.000.000.000} \approx \pi$


lo cual es una buena aproximación a pi con 11 decimales.


Publico este artículo hoy, 26 de abril, ya que es el día en que la Tierra completa dos unidades astronómicas de su órbita anual (es decir, dos radianes). La longitud total de la órbita de la Tierra dividida entre la longitud recorrida hasta este día es igual a pi.
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lunes, 25 de abril de 2011

665 - Semana del 1 al 9 (parte 1)

Existen muchísimos problemas del tipo : "usando los dígitos del 1 al 9 y  las operaciones matemáticas básicas (suma, resta, multiplicación y división) y la cantidad de paréntesis necesarios obtener el número x"


Por ejemplo el cien lo podemos obtener haciendo :  

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) + (8 x 9) = 100


En este ejemplo los dígitos están ordenados, pero no siempre se puede lograr.

El número a lograr hoy es el mil. En este caso no se pide que los dígitos esten ordenados.
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jueves, 21 de abril de 2011

664 - Dados primos

- Tengo dos dados que son primos.
- Hijos de dos dados hermanos?
- No, gracioso, los llamo primos, porque a pesar de que no tienen números repetidos, en cada tiro la suma de las caras de los dos dados da siempre un número primo.
- Ah, genial, pero puede haber muchos pares distintos de dados primos?
- Claro, pero en este par, el mayor número que aparece en las doce caras es el menor de los posibles.
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miércoles, 20 de abril de 2011

663 - Números reducibles II

Siguiendo con los números reducibles del post anterior, ¿Cuál es el mayor número que es reducible a 1?
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martes, 19 de abril de 2011

662 - Números reducibles I

Llamemos números reducibles a x, a aquellos que no tienen un cero entre sus dígitos y que se pueden achicar calculando el valor absoluto de la diferencia entre dos digitos consecutivos (siempre y cuando este no sea cero), hasta reducirlo a un solo dígito igual a x.


Por ejemplo :
El número 18 es reducible a 7 (8 -1)
1  8
7


El número 712 es un número reducible a 5, (pasa a ser 61 (7-1 2-1) y este a su vez pasa a ser 5) lo cual podemos representar como:

7  1  2
 6  1
 5

El número 6217  es reducible a 2
 

6  2  1  7
4  1  6
  3  5  
2

¿Cuál es el mayor número que es reducible a cuatro?
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lunes, 18 de abril de 2011

661 - Decodificando un diario escrito en tiempo de guerra

PJ Aston es un matemático de la universidad de Surrey y es quien escribió este artículo explicando como descifró el código que usó un soldado para escribir un diario durante la segunda guerra mundial.

La historia
Donald Hill fue el líder de un escuadrón de jóvenes  en Kai Tak, en Hong Kong en 1941. Los japoneses  atacaron el 8 de diciembre y diecisiete días después, el día de Navidad, la inferioridad numérica de  las fuerzas de la defensa se rindieron y fueron puestos en campos de prisioneros de guerra en los que muchos murieron. Donald mantuvo un diario durante la batalla por un tiempo durante su cautiverio. 
Él lo escribió en un código numérico, disfrazado como  "Tablas Matemáticas de Russels". Después de la  guerra se llevó a su casa el diario, pero su experiencia fue tan traumática que no le gustaba  hablar de ello. El diario no fue traducido antes de su muerte acaecida en 1985.

Descodificación 
Me quedé mirando las páginas de los números delante de mí. ¿Cómo podrían estos números convertirse en una historia? Dado que esto se hizo durante la guerra, debía ser bastante simple,  así que motivado y con un equipo de colaboradores, no debería tomar mucho esfuerzo  descifrar el código.

Una muestra del diario cifrado.



 La primera observación es que sólo se utilizan los números del 1 -26. Eso me pareció un buen comienzo.
Supuse que el método utilizado fue un cifrado simple de sustitución en la que cada número representa a una  letra en particular y todo lo que se requeria era hacer coincidir los números con las letras y  entonces sería posible leer la historia.
Un método estándar de cracking de un código, se basa en la frecuencia con la que aparece cada letra.
El número de veces que cada letra se produce en un pedazo largo de texto en Inglés que se ha tomado de  un libro o de un periódico ya está determinado. Por ejemplo la letra E siempre será la letra más  común. La segunda más común es la T y la tercera es la A. Del mismo modo, las letras menos comunes  son la J, la Q y la Z. El alfabeto entero puede ser escrito según este orden de frecuencia. Si se escriben piezas largas de texto , se comprueba que este orden será casi siempre el mismo. Así que me fui a mi computadora, escribí la primera página de los números y escribí un pequeño  programa para comprobar la frecuencia de cada uno de ellos. Así descubrí que los números más  frecuentes fueron el 5, el 20 y el 1, mientras que los menos frecuentes fueron: el 10, el 26 y el 17. 
Ahora, la quinta letra del alfabeto es la E, la 20 es la T, y la primera es la A ,  esto sugería que había una simple traducción de números a letras dada por 1 = A, 2 = B, 3 = C, etc. (Nota: los dos últimos números 26 (Z) y 17 (Q) están en el orden equivocado en comparación con  la lista de frecuencias, pero este pequeño cambio no era importante.) Sin embargo, esta traducción de  números a letras no dio lugar a una historia, sólo a un montón de letras desordenadas. Esto parecía  un paso de progreso, pero, obviamente, el método utilizado no era simplemente un cifrado de  sustitución.

El paso siguiente 
Después de haber convertido los números en letras, ahora tenía que considerar la transposición de las letras y averiguar cual era el método usado . Al observar algunas marcas en las páginas del diario,  me di cuenta de que las letras estaban escritas en forma de bloques rectangulares que constaban de 33  filas de 34 letras cada una. Además, en la primera página de las tablas, estaban escritos dos nombre dos nombres . Estoseran

DONALD SAMUEL HILL  y
PAMELA KIRRAGE SEELY.

Estos nombres eran los de él  y el de su novia Pamela. Yo no estaba seguro del significado de estos  nombres, hasta que, acostado en la cama una mañana, de repente se me ocurrió contar el número de  letras en estos nombres, y para mi orpresa eran exactamente treinta y cuatro !, el mismo que el número que la cantidad de columnas de los bloques de  letras! Esto me sugirió que estos nombres fueron usados como una palabra clave para la reordenación  de las columnas de los bloques, otro método estándar.

Ejemplo 
Para ilustrar el método utilizando una palabra clave, supongamos que queremos codificar el mensaje : LA MATEMÁTICA ES MUY INTERESANTE.

Hay 28 letras en este mensaje el cual se puede escribir en un bloque rectangular que conste de 7  filas de 4 letras cada uno. Así

 L A M A
 T E M Á
 T I C A
 E S M U
 Y I N T
 E R E S
 A N T E


Ahora usamos una palabra clave de 4 letras para reorganizar las columnas.
Supongamos que usamos la palabra TIPO.  
El método de codificación consiste en escribir la palabra  clave sobre las columnas del bloque y luego mover las columnas  para poner las letras de la palabra  clave en orden alfabético.
En este caso, al reordenar las letras de la palabra clave obtenemos IOPT lo que corresponde a tomar las columnas en el orden 2, 4, 3, 1. Al reorganizar de las columnas de esta  manera da el siguiente bloque.


 A A M L
 E A M T
 I A C T
 S U M E
 I T N Y
 R S E E
 N E T A

El paso final es escribir las columnas del bloque como el mensaje cifrado

AEISIRN     AAAUTSE      MMCMNET       LTTEYEA

Creo que usted estará de acuerdo en que no es del todo evidente de cual era el mensaje original  mirando las letras mezcladas! Una de las ventajas de este método es que es muy difícil de decodificar el mensaje si no conoce la palabra clave que se utilizó en la codificación.

La solución
Después de haber escrito todas las letras del diario cifrado en bloques rectangulares, escribí un  programa para utilizar el método de palabras clave a la inversa, tomando el nombre como la palabra  clave, para reordenar las columnas y, a continuación, apareció en la pantalla delante mío, una  historia que pude leer! Las 12 páginas de números del diario se convirtieron en aproximadamente 11  páginas de texto. El diario hace a un fascinante relato de primera mano de la batalla de Hong Kong,  la confusión después de la rendición y, a continuación algunos detalles sobre la vida en un campo de  prisioneros de guerra.

Bibliografía
A Decoded Diary Reveals A War Time Story 
Translation of ''Russels Mathematical Tables'' 
Dr Philip J. Aston


PD: Esta entrada va a formar parte de la Edición 2.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Los Matemáticos no son Gente Seria
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viernes, 15 de abril de 2011

660 - El número 73 es el Chuck Norris de los números

En un capítulo de "The big band theory" Sheldon propone al 73 como el mejor de todos los números.


Las dos primeras de las siguientes  propiedades son las que nombra Sheldon, las otras estan en prime curios:

  •      El reverso de 73 (que es el primo número 21), es el número 37 que es el primo número 12 .  El número 21 tiene como factores al 7 y al 3.
  •     En binario, el 73 es un palíndromo  1001001
  •     De los 7 dígitos binarios que representan al 73, hay 3 unos.
  •     Cada número entero positivo es la suma de como máximo  73 potencias sextas.
  •     En octal, el 73  es el repdigit  111
  •     El día de Pi (14 de marzo) se produce el día 73 de el año en los años no bisiestos
  •     73 es el mayor entero con la propiedad de que todas las permutaciones de todos sus subcadenas son primos
  •     73 es el primo "sin agujero" mas grande de dos dígitos. Primo "sin agujeros" son los primos tales que no tienen dígitos con agujeros (0,6,8,9)
  •     73 es el número más pequeño (además del 1), que es uno menos que el doble de su inverso.
  •     73 es el valor alfanumérico de la palabra Number : 14 + 21 + 13 + 2 + 5 + 18 = 73
  •     73 es el impar número 37
  •     73 (3 + 4)= 343 
  •     Si concatenamos los números impares que van del 73 al 1 obtenemos un número primo.
  •     73 = 23! + 32!
  •     73! + 1 es primo. 
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659 - Capicúas de 16 dígitos

¿Cuántos capicúas de 16 dígitos tienen una suma  digital  y producto digital (sin contar los ceros) igual a16?


Uno de dichos números sería por ejemplo : 1100140110410011
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jueves, 14 de abril de 2011

658 - Solo con nueves II

¿Cuál es el menor numero que no se puede obtener como resultado usando exactamente seis nueves y las siguientes operaciones +,-,*,/ y () ?

Por ejemplo : 1 = $9+9-9-9+\frac{9}{9}$

En esta ocasión, tampoco es válido concatenar.
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miércoles, 13 de abril de 2011

657 - Solo con nueves I

¿Cuál es el menor numero que no se puede obtener como resultado usando exactamente cinco nueves y las siguientes operaciones +,-,*,/ y () ?

Por ejemplo : 1 = $\frac{9-9}{9}$+$\frac{9}{9}$

No es válido concatenar nueves.
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martes, 12 de abril de 2011

656 - Primos viajeros

19231 y 29017 son números primos y
 
1923129017
1923219017
1922391017
1922930117
1299203117
2
199021371
2910912731
2901197231
2901179231
2901719231

Son todos primos.

Esta es una de las soluciones que se mandaron a la excelente página de Carlos Rivera Primepuzzles.

PD: Esta entrada va a formar parte de la Edición 2.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Los Matemáticos no son Gente Seria
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lunes, 11 de abril de 2011

655 - Borrando un dígito

   3826
+ 2768
   --------
   6594


En esta cuenta se puede borrar un dígito de cada término para que la cuenta siga siendo correcta, una vez hecho esto, podemos seguir borrando  un dígito de cada término para obtener otra cuenta correcta de dos dígitos por término, y por último podemos sacar un dígito  por término para que quede una suma de un digito mas otro dígito y obviamente el resultado sea correcto


Yo tengo una solución, pero quizás haya mas de una, espero vuestra colaboración.
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viernes, 8 de abril de 2011

654 - Capicúa por capicúa por capicúa = ...Capicúa

101 * 111 * 121 = 1356531
101 * 111 * 131 = 1468641
101 * 111 * 202 = 2264622
101 * 111 * 212 = 2376732
101 * 121 * 202 = 2468642
101 * 111 * 222 = 2488842
101 * 111 * 303 = 3396933
151 * 272 * 616 = 25300352
161 * 383 * 484 = 29844892
161 * 303 * 858 = 41855814
161 * 333 * 858 = 45999954
272 * 363 * 474 = 46800864
292 * 363 * 454 = 48122184
121 * 555 * 797 = 53522535
101 * 555 * 979 = 54877845
111 * 505 * 979 = 54877845
121 * 585 * 777 = 54999945
181 * 606 * 616 = 67566576
242 * 292 * 959 = 67766776
252 * 484 * 656 = 80011008
282 * 363 * 808 = 82711728
282 * 484 * 606 = 82711728
171 * 737 * 777 = 97922979
111 * 949 * 959 = 101020101
121 * 949 * 959 = 110121011
181 * 909 * 919 = 151202151
222 * 949 * 959 = 202040202
232 * 949 * 959 = 211141112
323 * 656 * 999 = 211676112
333 * 656 * 969 = 211676112
404 * 616 * 858 = 213525312
242 * 949 * 959 = 220242022
353 * 626 * 999 = 220757022
353 * 666 * 939 = 220757022
343 * 676 * 999 = 231636132
444 * 616 * 858 = 234666432
484 * 606 * 808 = 236989632
333 * 818 * 878 = 239161932
373 * 646 * 999 = 240717042
373 * 666 * 969 = 240717042
292 * 909 * 959 = 254545452
383 * 828 * 878 = 278434872
292 * 959 * 999 = 279747972
333 * 949 * 959 = 303060303
343 * 949 * 959 = 312161213
353 * 949 * 959 = 321262123
363 * 949 * 959 = 330363033
444 * 949 * 959 = 404080404
454 * 949 * 959 = 413181314
464 * 949 * 959 = 422282224
474 * 949 * 959 = 431383134
484 * 949 * 959 = 440484044
979 * 989 * 999 = 967262769

Visto en mathpuzzle
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jueves, 7 de abril de 2011

653 - Desafios del contest center II

Aqui va otro problema de la página The contest Center

¿Cuál es el número N mas pequeño  para el que los factores primos de N! contienen todos los dígitos del 0 al 9, y los exponentes también contienen todos los dígitos del 0 al 9?


Por ejemplo a 6! = 24 32 51, le faltarian los dígitos 0,1,4,6,7,8 y 9 en los factores primos y el 0,3,5,6,7,8 y 9 a los exponentes
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miércoles, 6 de abril de 2011

652 - Desafios del contest center I

En la página The contest Center se presentan una serie de desafíos  bastante complicados. Muchos de los desafíos presentados permiten ganar premios en efectivo siempre y cuando uno antes se anote y pague un arancel. Existen otros desafíos en los cuales el premio es la satisfacción de poder solucionarlo y  aparecer como uno de los que pudieron resolverlo.
Aqui va uno de los problemas :
  Si factoreamos los factoriales de un número en función de sus divisores primos y sus potencias, ¿Cuál es el menor número N tal que entre los factores primos y los exponentes de estos, N! contiene los digitos del cero al nueve?

Por ejemplo 6! = 24 32 51, le faltarian los dígitos 0,6,7,8 y 9
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lunes, 4 de abril de 2011

651 - Un primo hecho de cuadrados

- ¿Qué número salió en la loteria?
- Salió un número primo.
- Pero hay infinitos números primos.
- Si, pero este tiene la característica de que si se toman sus dígitos de dos en dos, se forman todos números cuadrados
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viernes, 1 de abril de 2011

650 - Shakespeare y los números primos

¿Sabía Shakespeare matemática?  
Parece que si.


En los 154 sonetos de William Shakespeare, el usa la palabra "prime" (primo) exactamente cuatro veces. Lo hace solamente en los sonetos números 3, 12, 70 y 97. 
Al concatenar estos cuatro números se obtiene 3127097 el cual es un número primo. ¿Coincidencia? 
Hay que tener en cuenta que la inversión de este primo es 7907213, que también es un número primo.

SONNET 3

Look in thy glass, and tell the face thou viewest
Now is the time that face should form another;
Whose fresh repair if now thou not renewest,
Thou dost beguile the world, unbless some mother,
For where is she so fair whose unear'd womb
Disdains the tillage of thy husbandry?
Or who is he so fond will be the tomb
Of his self-love, to stop posterity?
Thou art thy mother's glass, and she in thee
Calls back the lovely April of her prime:
So thou through windows of thine age shall see
Despite of wrinkles this thy golden time.
    But if thou live, remember'd not to be,
    Die single, and thine image dies with thee.

SONNET 12

When I do count the clock that tells the time,
And see the brave day sunk in hideous night;
When I behold the violet past prime,
And sable curls all silver'd o'er with white;
When lofty trees I see barren of leaves
Which erst from heat did canopy the herd,
And summer's green all girded up in sheaves
Borne on the bier with white and bristly beard,
Then of thy beauty do I question make,
That thou among the wastes of time must go,
Since sweets and beauties do themselves forsake
And die as fast as they see others grow;
   And nothing 'gainst Time's scythe can make defence
   Save breed, to brave him when he takes thee hence.


SONNET 70

That thou art blamed shall not be thy defect,
For slander's mark was ever yet the fair;
The ornament of beauty is suspect,
A crow that flies in heaven's sweetest air.
So thou be good, slander doth but approve
Thy worth the greater, being woo'd of time;
For canker vice the sweetest buds doth love,
And thou present'st a pure unstained prime.
Thou hast pass'd by the ambush of young days,
Either not assail'd or victor being charged;
Yet this thy praise cannot be so thy praise,
To tie up envy evermore enlarged:
   If some suspect of ill mask'd not thy show,
   Then thou alone kingdoms of hearts shouldst owe


SONNET 97

How like a winter hath my absence been
From thee, the pleasure of the fleeting year!
What freezings have I felt, what dark days seen!
What old December's bareness every where!
And yet this time removed was summer's time,
The teeming autumn, big with rich increase,
Bearing the wanton burden of the prime,
Like widow'd wombs after their lords' decease:
Yet this abundant issue seem'd to me
But hope of orphans and unfather'd fruit;
For summer and his pleasures wait on thee,
And, thou away, the very birds are mute;
   Or, if they sing, 'tis with so dull a cheer
   That leaves look pale, dreading the winter's near.



Visto en prime curios
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