viernes, 28 de septiembre de 2012

1005 - Un problema que va contra la intuición

Alguien  reparte 13 cartas de una baraja de 52 cartas . 
Usted ve la mano, nota que hay un As y dice "tengo un as".  
¿Cuál es la probabilidad de que usted tenga otro as?

Las barajas se recogen y se reparte una nueva mano

En esta ocasión nos fijamos en la mano y vemos que tenemos el As de corazones  
¿Cuál es la probabilidad, esta vez,  de que tenga otro as?

Pregunta: ¿Es la probabilidad  en el segundo caso la misma que en la primera, es menor, o es más alta?


Piensélo.
Este es un problema en el que la primera impresión nos hace pensar que el problema no tiene mucho sentido, pero cuando se analiza matematicamente, se ve que la intuición no siempre va de la mano con la realidad.
Si sabe de probabilidad intente resolverlo antes de seguir leyendo   



Lo que en realidad nos pide el problema es calcular y comparar las siguientes probabilidades :

  •  Manos con al menos dos ases Manos con al menos un as
y
  •  Manos con al menos dos ases (uno de los cuales es el as de corazones) Manos con el As de Corazones

Aquí van los cálculos :
Para evitar usar ecuaciones muy grandes, voy a utilizar la abreviatura B{n, r} para representar al número combinatorio = n! / (r! (n-r)!)  
 

  • Número total de manos posibles = Son todas las formas posibles de combinar las cartas para hacer una mano de bridge. Hay 52 cartas en una baraja, y son 13 en una mano = B{52,13}
  • Manos sin ases  = El número de manos que no tienen ases. Hay 48 naipes que no son ases, y 13 en una mano =  B{48,13}
  • Al menos un as = El número de manos que tienen al menos un As = Número total de manos posibles - Manos sin ases = B{52,13} - B{48,13}
  • Exactamente un as =  El número de manos que tienen un solo As. (Elija cualquier As, a continuación, elija 12 no ases) = B{4,1} x B {48,12} 
  • Al menos dos ases  =  Comience con el número total de manos, y luego reste las manos que tienen o un as o ninguno. Usted se queda con el número de manos con dos o más ases = Número total de manos posibles - (Manos sin ases + Exactamente un as) = B{52,13} - (B{48,13} + B{4,1} x B{48,12} )

Ahora tenemos suficiente para calcular nuestra primera relación (las probabilidades de tener un segundo As, si usted afirma que tiene un As):

Al menos dos ases / Al menos un as =

  B{52,13} - (B{48,13}  + (B{4,1} x B{48,12} )  /  (B{52,13} - B
{48,13}) = 36,27%


o sea que la probabilidad de tener un segundo as en una mano de trece cartas cuando uno tiene un as es del 36.27%

Vamos a calcular ahora la segunda probabilidad, para ello necesitamos saber :

  • Con As de Corazón = Número de manos con el as de corazón. (Elegimos el As de corazón, y luego tenemos que elegir 12 cartas de las 51 restantes) = B{51,12}
  • Sin otros ases = Número de manos sin otros ases = B{48,12}
  • Manos con dos ases, siendo uno el as de corazón = Número de manos con al menos dos ases, uno de los cuales es el As de corazón = Con As de Corazón - Sin otros ases = B{51,12} - B{48,12}

Ahora ya podemos calcular la segunda probabilidad (posibilidad de tener un segundo As  si usted afirma que tiene el As de corazón):

Manos con dos ases, siendo uno el as de corazón / Con As de Corazón=

( B{51,12} - B{48,12} ) / B{51,12} = 56,12%


He aquí el resultado sorprendente : Si usted dice "Tengo el As de corazones", es más probable que usted tenga otro As que si solamente usted dice  "Tengo un as"!

Si usted afirma que tiene el As de corazones hay  11686/20825 de probabilidad de que tiene (al menos) otro As, o sea un 56,12%. Si usted afirma que tiene un As, la posibilidad de que tenga (al menos)  otro As es de 5359/14498 (que es 36,27%). Es un 50% menos probable!
 



Basado en el artículo Counterintuitive Conundrums

Esta entrada participa de la edición 3.141592 del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza ZTFnews.org

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jueves, 27 de septiembre de 2012

1004 - Problemita

Elegir cuatro dígitos diferentes a, b, c y d de forma tal que la suma de los seis números ac, ba, cd, da, db y dc (donde ac no es el producto de a por c sino que es la concatenación de a y c) es igual a cab  y el producto de dos de estos números es igual a abcd.
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domingo, 23 de septiembre de 2012

1003 - Curiosidad del cubo de 2222222



22222223 =  10973933607682085048
y
(109739 + 3360768 + 2085048)2 = 5555555
y
55555553 = 171467712620032578855
y

1714677 + 1262003 + 2578855 = 5555555
y
55555552 = 30864191358025
y
3086419 + 1358025 = 4444444
y
44444442 = 19753082469136
y
1975308 + 2469136 = 4444444


La última parte es un aporte de Rafael Cerezo (ver los comentarios)

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jueves, 20 de septiembre de 2012

1002 - Sumando cuadrados II



¿Cuál es la menor suma que se puede lograr usando cuadrados distintos que tengan en su composición
cada dígito exactamente tres veces?


Pd : Buscar una solución en la que participa el cero como cuadrado y una en la que no participa
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miércoles, 19 de septiembre de 2012

1001 - Sumando cuadrados I

En la siguiente suma de cuadrados cada dígito aparece exactamente dos veces en los sumandos:


1  +  4  +  9  +  289  +  576 +  784  +  2500 +  3136  =  7299



¿Cuál es la menor suma que se puede lograr usando cuadrados diferentes que tengan en su composición
cada dígito exactamente dos veces?
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lunes, 17 de septiembre de 2012

1000 - Mil

Esta es la entrada número 1000 de este blog, que en realidad es la número 1001, ya que hubo una entrada cero.
 Quiero agradecerles a todos aquellos que de una u otra manera participaron en el blog ya sea con sus comentarios, críticas, correciones y aportes, porque hicieron que en estos tres años y medio yo aprendiera muchísimas cosas. 
Me divertí mucho buscando curiosidades, problemas y acertijos matemáticos.
Espero poder seguir divirtiéndome y diviertiéndolos con las matemáticas.

Gracias.

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jueves, 13 de septiembre de 2012

999 - Como suma de nueve cubos

¿Cuál es el número, menor a mil, que puede expresarse de la mayor cantidad de formas posibles como sumas de 9 cubos (incluyendo al cero) ?

Por ejemplo el 189 se puede expresar como suma de nueve cubos de seis formas diferentes :
  1. [1,1,2,2,2,2,3,4,4] 
  2. [0,0,0,1,1,2,3,3,5] 
  3. [0,1,2,2,3,3,3,3,4] 
  4. [2,2,2,2,2,2,2,2,5] 
  5. [0,0,3,3,3,3,3,3,3] 
  6. [0,0,0,0,0,0,0,4,5]
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miércoles, 12 de septiembre de 2012

998 - Cubo mas divisores = cuadrado

¿Cuál es el menor cubo que sumado a sus divisores propios da un números cuadrado?

¿Hay muchos ?
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martes, 11 de septiembre de 2012

997 - Tio Rico

- ¿Cuanta plata tenes tío Rico?
- Exactamente no lo sé, lo que si sé es que tengo una moneda de dos pesos, dos de tres, tres de cuatro, cuatro de cinco, y así hasta  999999 de un millón pesos.


¿Cuánta plata tiene el tío Rico?
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viernes, 7 de septiembre de 2012

996 - El imperio del número

He encontrado un página muy útil para todos aquellos a los que nos gustan las matemáticas. 
Se llama El imperio del número y ella nos permite entre  otras cosas, hacer lo que figura en el siguiente menú


El Imperio del Número

Herramientas matemáticas
Calculadora de Derivadas
Calculadora de Integrales
Integración definida
Calculadora de límites
Calculadora de Series
Resolver ecuaciones
Simplificador de Expresiones
Factorizar expresión
Calculador de Expresiones
Función inversa
Series de Taylor
Calculadora de matrices
Aritmética de matrices
Calculadora gráfica
Calculadoras de formas 2D
Calculadoras de formas 3D
Números primos
Factorizador de Números
Números de Fibonacci
Números de Bernoulli
Números de Euler
Números complejos
Calculadora de factoriales
Función Gamma
Calculadora combinatoria
Calculadora de Fracciones
Calculadora Estadística
Editor de ecuaciones LateX


Por ejemplo podemos ver los primeros 10000 números de Fibonacci, calcular los factoriales del 1 al 5000, comprobar si un número es primo (de hasta 128 cifras) introduciendo el mismo o una expresión matemática, calcular derivadas e integrales, y varias cosas mas. 
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jueves, 6 de septiembre de 2012

995 - Número y sus divisores

Encontrar un número tal que concatenado a la suma de sus divisores propios, da un número pandigital (tiene todos los números del 0 al 9 una sola vez) el cual además es igual a un cuadrado por un primo.

Por ejemplo el menor número que concatenado a la suma de sus divisores propios es pandigital es el 15870, ya que la suma de sus divisores propios da 23946, y al concatenarlos obtenemos  1587023946 el cual tiene cada uno de los dígitos una sola vez.

Ahora bien 1587023946 no es un cuadrado por un primo, sino que es igual 2 x 32 x 61 x 193 x 7489 

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miércoles, 5 de septiembre de 2012

994 - Corriendo en la ciudad

El otro día me tomé el tiempo corriendo, cuando voy en bajada hago 12 km/hora, si el camino es llano hago 6 Km/hora pero si el camino va en subida hago solo 4 km/hora.
Si para ir hasta la casa de Carlitos tardo 105 minutos y para volver 95 minutos, ¿A que distancia estoy de la casa de Carlitos?
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lunes, 3 de septiembre de 2012

993 - Fibonacci

¿La suma de cuantos números de Fibonacci consecutivos es siempre divisible por 29 ?
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