jueves, 28 de febrero de 2013

1091 - Otro de sombreros II

Este problema es exactamente igual al anterior "otro problema de sombreros" pero con la diferencia de que los presos no saben si el anterior habló o no.

Existe una estrategia que permite salvarse en el 90% de los casos



  Hacer click aquí para ver la solución 
Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark

miércoles, 27 de febrero de 2013

1090 - Otro problemas de sombreros

El director de la cárcel les dice a los presos que les pondrá a cada uno un sombrero blanco o uno negro
Cada preso podrá ver los sombreros de los otros presos pero no el suyo.
El color de cada sombrero va a ser elegido al azar (por ejemplo tirando una moneda).
A cada preso se le da la opción de adivinar que color de sombrero tiene puesto, pero si quiere puede optar por pasar.

Obviamente la comunicación entre ellos, una vez colocados los sombreros, está prohibida, pero pueden establecer una estrategia antes de que les coloquen los sombreros
Al menos uno de los presos debe arriesgar un color (No pueden pasar todos).

Si arriesga más de un preso, deben acertar todos para poder salvarse.
Si uno solo falla, todos serán ejecutados.

Parecería que la opción de salvarse es del 50%, haciendo que uno arriesgue y los demás pasen, pero con una buena estrategia este porcentaje puede aumentase notablemente.

Si hay 15 presos ese porcentaje puede elevarse hasta alrededor del 90%.

¿Cuál sería la estrategia a seguir?
¿y que probabilidad tendrían de salvarse?

Para acercarse a la solución se da como pista que se trate de solucionar primero el caso de tres presos en las mismas condiciones.



Del libro Mathematical puzzles de Peter Winkler
Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark

martes, 26 de febrero de 2013

1089 - Truco de magia

Un mago le pide a un espectador que elija un número de tres cifras ABC, las cuales no deben ser necesariamente diferentes.
Luego le pide que haga la siguiente suma :
ACB + BAC + BCA + CAB + CBA  y que le diga  el resultado (el número original no se suma)

¿Sabiendo el resultado, es posible deducir siempre el número ABC original?
Si la repuesta es si, ¿Que debe hacer el mago para averiguar el número original ABC?
¿Que número da 2013 como suma?
Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark

lunes, 25 de febrero de 2013

1088 - Suma y productos cuadrados

Si al número 5 le sumamos 20 obtenemos 25 que es un cuadrado perfecto, curiosamente si a 5 lo multiplicamos por 20 obtenemos 100 el cual también es un número cuadrado perfecto.

5 + 20 = 25 = 52
5 x 20 = 100 = 102

Así podemos decir que para el cinco el 20 seria un número "cuadratizante"
Obviamente que si multiplicamos al 5 y al 20 por un número cuadrado, obtendremos otro ejemplo de estos números:

Así si los multiplicamos por 9 = 32 :
45  +180  = 225 =  152  = 52 x 32
45 x 180 = 8100 =  902 = 102 x 32 x 32

Estuve buscando mas ejemplos como estos y encontré muchos :

8 + 392 = 400 = 202  y 8 x 392 = 3136 = 562
9 + 16 = 25 = 52        y 9  x 16 = 144 = 122
10 + 90 = 100 = 102  y 10 x 90 = 900 = 302

Para algunos primos no logré encontar su número "cuadratizante", y  para otros como el 5 encontré varios.



- ¿Habrá un número cuadratizante para cada primo?
- ¿Cuales son los menores números "cuadratizantes" para el 5 además del 20?
- ¿Hay una forma de encontrarlos?


Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark

viernes, 22 de febrero de 2013

1087 - Tres productos todos los dígitos

El número 107 presenta la particularidad que al multiplicarlo por 3 ,7 y 8 respectivamente genera tres números de tres cifras que entre los tres tienen los nueve dígitos del uno al nueve sin que se repita ninguno:

107 x 3 = 321
107 x 7 = 749
107 x 8 = 856

Hay varios números de tres cifras con esta característica :
109  x   3, 6 y 9  =  327, 654, 981
123  x   4, 5 y 6 =  492, 615, 738
129  x  1, 3 y 5  =  129, 387, 645
192  x  1, 2 y 3  = 192, 384, 576
219  x  1, 2 y 3  =  219, 438, 657
273  x  1, 2, y 3  =  273, 546, 819
327  x  1, 2  y 3  =   327,  654, 981


El 123 es el único que tiene un dígito suyo en cada producto:
123 x 4 = 492
123 x 5 = 615
123 x 6 = 738

Si consideramos productos que además de los nueve dígitos tengan el cero, tenemos muchos resultados, mas de 100.
Por ejemplo :

102 x 3     = 306
102 x 7     = 714
102 x 29  = 2958 

Este es uno de los casos mas curiosos ya que en cada producto aparece solo uno de los dígitos del 102 y además cada uno de los números por los que se multiplica  aparecen en sus propios productos.

El 102 también genera con otros multiplicandos productos que tienen cada uno de los diez dígitos una sola vez y además tienen la misma característica que los productos anteriores :

102 x 3   = 306
102 x 9   = 918
102 x 27 = 2754

Otra curiosidad es que la suma de los tres productos es igual en las dos ocasiones 306 + 714 + 2958 = 306 + 918 + 2754 = 3978

 Así pues es 102 genera los diez dígitos en los productos de dos formas distintas.

El 103, que es primo, genera una sola solución:

103 x 3 = 309
103 x 4 = 412
103 x 56 = 5768


Preguntas:

- ¿Cuál es el número de tres cifras que genera los 10 dígitos en los productos, de mas formas distintas? 
- ¿Cuál es el primo de tres cifras que tiene mas soluciones distintas?
- ¿Cuál es el mayor número de tres cifras con esta característica?
 -¿Cuál es la mayor suma de los tres multiplicandos para números de tres cifras?
- Si concatenamos los productos del 102 según el orden de los multiplicandos ordenados de menor a mayor, obtenemos 3067142958  y 3069182754

¿Que número de tres cifras genera el mayor pandigital concatenado?
y si los productos se pudieran concatenar como uno quisiera?


Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza tito eliatron  
Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark

jueves, 21 de febrero de 2013

1086 - Con 2013 y su cuadrado con todos



¿Cual es el menor número que tiene como subcadena al 2013 que su cuadrado tiene los números del 1 al nueve en orden y de forma consecutiva?

Un ejemplo de estos números es : 
290882013332 = 846123456789142976889

Hay que buscar al menor
Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark

miércoles, 20 de febrero de 2013

1085 - Reconstruyendo la multiplicación

Reconstruya la multiplicación :

       * * * * * *        
               * *                
      -------------               
       * * * * * *                    
     * * * * * *                     
    --------------- 

     EXPERTO

Teniendo en cuenta que :

EXPE
  XPE
  XPER
     PE
     PERT
     PERTO
       ERTO
          RTO
          RT
            TO
               O

Son todos números primos 

De la revista Sphinx, 1934
 
Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark

martes, 19 de febrero de 2013

1084 - Criterios de divisibilidad

Las reglas de divisibilidad son criterios que sirven para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división.
Para los primeros números primos existen reglas muy simples que todo el mundo conoce, que aquí las repito:

Un número es divisible por 2 si termina en un número par
Un número es divisible por 3 si la suma de los dígitos de dicho número es múltiplo de 3 
Un número es divisible por 5 si termina en cero o cinco

Pero que pasa para números primos mas grandes?

Existe un método que permite generar una regla para cada número primo. En esta entrada les voy a explicar como saber si un número es divisible por un número primo determinado sin tener que  hacer la división, porque el método funciona y como obtener los números que permiten hacer estos cálculos.

El método se basa en una acción recursiva sobre el número original, haciéndolo cada vez mas pequeño hasta lograr un número que nos permita saber si es múltiplo o no del primo elegido.
Cada número primo tendrá dos números asociados (uno positivo y otro negativo) que permitirán ir disminuyendo el valor del número original hasta que tome un valor tal del cual podamos decir si es o no múltiplo del primo elegido

Voy a explicarlo usando un ejemplo:
Es 28373 divisible por 17?
Los números asociados al 17 son -5 y 12
Lo que hay que hacer es dividir el número en dos partes en la primera entran todos las cifras menos la última, que es la que se multiplica por el número asociado y el resultado se suma a la primera parte. Así 28373 lo divido en 2837 y  3, y al 3 lo multiplico por el número asociado y lo sumo:

28373 :  2837 + (3 x -5) = 2837-15 = 2822
como no sabemos si 2822 es múltiplo de 17 repetimos el proceso :
2822 : 282 +  (2 x -5) = 282 -10 = 272
una vez mas :
272 : 27 + (2 x -5)   = 17

Por lo tanto  28373 es múltiplo de 17 (obviamente que también lo son 2822 y 272)

Usando el 12 en vez de -5 :
28373 : 2837 + 3 x 12 =2873
2873 : 287 + 3 x 12 =323
323 : 32 + 3 x 12 = 68
y como 68 es múltiplo de 17, 28373 también lo es.


Como encontrar los números asociados?

Hay buscar el menor múltiplo del primo que termine en 1, así por ejemplo para el 17 este número es el 51 (3 x 17).
Uno vez obtenido este múltiplo, el número asociado son todos los dígitos de este número sin el último, multiplicado por -1. Así obtenemos el -5, el otro número asociado sale de la suma del primo mas este primer número, o sea 17 - 5 = 12

Otro ejemplo , si el primo es 19 el menor múltiplo terminado en 1 es 19 x 9 = 171, entonces los número asociados son -17 y 2.

Si el primo termina en uno, el número asociado es el negativo de los primeros dígitos del primo.
Así para el 31  , -3 es uno de los números (28 es el otro)

Porque funciona?
Veamoslo con el 17
Si el número N  es múltiplo de 17 entonces
N = 17a = 10 P + U
donde P = primeros dígitos de N, salvo el último y U = último dígito de N

Si multiplicamos por -5 ambos miembros :

17 (-5a) = -50P - 5 U
Sumando 51P a ambos miembros (noten que 51 es el menor múltiplo de 17 terminado en 1) :

17(-5a) + 51P = P -5U
Vemos que en lado derecho tenemos el número que obtenemos después de realizar el primer paso, ahora hay que demostrar que el lado izquierdo es múltiplo de 17
17(-5a) + 17.3.P = 17 (-5a+3P)
Así queda demostrado que si  10P + U es múltiplo de 17, P-5U también lo es.


Tabla de números asociados para los primos hasta el 971

Hacer Click sobre la imágen para ver el cuadromas grande

Analizando un poco la tabla podemos calcular mas rápido los números asociados :

Si el test es para un primo terminado en 9 (xxxxx9), y el número a evaluar es M,
el número asociado positivo es uno mas que los primeros dígitos del  primo

Ej para saber si un número M es divisible por el primo 269, se multiplica el último dígito de M por 27 y se suma a lo que queda.
 M= 2152 : 215 2 
 Primo = 269, número asociado uno mas que los primeros dígitos =  27

2152 :  215 + 27*2 = 269 , por lo tanto 2152 es múltiplo de 269

Si el test es para un número primo terminado en 1 (xxxxx1), y el número asociado negativo son los primeros dígitos del primo

Ej para saber si un número M es múltiplo del primo 61, se multiplica el ultimo dígito de M por -6 y se suma a los primeros dígitos de M
  1037 : 103 - 7*6 = 61, por lo tanto 1067 es múltiplo de 61

El numero asociado positivo en primos terminados en 7 es 7 x primeros números del primo mas 5,
ej para el primo 13687:   7 x 1368 +5 = 9581

El numero asociado positivo para primos terminados en 3 es 3 x primeros números del primo + 1
ej para el primo10273:  3 x 1027 + 1 =  3082


Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza tito eliatron
Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark

lunes, 18 de febrero de 2013

1083 - A ojo de buen cubero

Recientemente se descubrió el primo mas grande que se conoce hasta la fecha, 2^{57885161} - 1 que es el primo de Mersenne N° 48, el segundo primo mas grande que se conoce es 2^{43112609} - 1 que es el primo de Mersenne N° 47.
Es interesante notar que el mas grande tiene alrededor de 17 millones de dígitos, en tanto que el segundo tiene mas o menos 12.9 millones.

A ojo de buen cubero, ¿Cuántos primos creen que hay como mínimo entre estos dos ?

Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark

viernes, 15 de febrero de 2013

1082 - Cubos encadenados

Encontrar los diez cubos de 4 dígitos que pueden encadenarse de la siguiente forma :


*
*
*
* * * *
          *
          *
          * * * *
                    *
                    *
                    * * * *
                              *
                              *
                              * * * *
                                        *
                                        *
                                        * * * *


Un problema de la revista Sphinx de 1934
Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark

jueves, 14 de febrero de 2013

1081 - Raíces pandigitales

La raíz cuadrada de 86 presenta la particularidad de que después de la coma aparecen todos los dígitos del 1 al 9 :  
Raíz (86) = 9.273618495....

¿Cuál es el menor número en el que en su raíz cuadrada aparecen los dígitos del 0 al 9 en forma consecutiva pero no en orden después de la coma?

¿Y el siguiente a 86 en el que aparecen los números del 1 al 9 (pero no el cero)?
Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark

miércoles, 13 de febrero de 2013

1080 - 11 a la 79


1179 = 

18621820132595144528407508578788012958402726053563392593510831217730632927190897891

Este número no solo tiene a 2013 como parte sino que también tiene a los dígitos del 1 al 9 en orden dentro
Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark

martes, 12 de febrero de 2013

1079 - 987654321 en los cuadrados

En 304938771432 = 929876543212377842449, aparece 987654321, 


¿Cuál es el menor cuadrado en el que aparece?
Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark

lunes, 11 de febrero de 2013

1078 - Potencias cuya suma de digitos es igual a la base II

¿Cuál es el menor número N que elevado a x , x+1, x+2 y x+3 da como como resultados números cuya suma de digitos es igual a N?
y para mas de cuatro potencias consecutivas?


Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark

viernes, 8 de febrero de 2013

1077 -Potencias cuya suma de digitos es igual a la base

¿Cuál es el menor número N que elevado a x y x+1 da como como resultados números en los cuales la suma de sus digitos es igual a N?

Por ejemplo :  
74 = 2401 y 2+4+0+1 = 7, 

pero 

75 = 16807 y1+6+8+0+7 no es igual a 7
Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark

jueves, 7 de febrero de 2013

1076 - El próximo año

- Me hubiera gustado vivir en el año 1571

- Porque?

- Porque 15712 = 2468041, y 2601 = 512, 484 = 222

- Vas a tener que esperar unos cuantos años para tener un año como 1571

¿Cuántos?
Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark

miércoles, 6 de febrero de 2013

1075 - De que año es?

- En que año naciste Sergio?
- En un año que si lo elevas  al cuadrado, aparece el mismo dígito en todas  las posiciones pares.
Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark

martes, 5 de febrero de 2013

1074 - 123456789 en los cuadrados

Veamos el siguiente cuadrado:

254339398272 = 646885295123456789929



¿Cuál es el menor cuadrado que tiene a 123456789 dentro?
Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark

lunes, 4 de febrero de 2013

1073 - Ordenaditos

Con los dígitos ordenados :

12 + 345 x 6 - 78 + 9 = 2013

9 x 8 + 7 + 6 x 54 x 3 x 2 - 10 = 2013


Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark

viernes, 1 de febrero de 2013

1072 - Primo que se transforma en cuadrado

Encontrar un número primo de siete dígitos, todos diferentes, que al anteponerle un dígito se transforma en un número cuadrado perfecto
Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark