lunes, 30 de enero de 2012

856 - Fracciones pandigitales

La entrada de hoy es una variación de la entrada 837 en la que "hablé" de las números enteros de dos dígitos expresados como fracciones hechas por números que tuvieran en su composición una sola vez cada uno  los dígitos del uno al nueve. 
En esta ocasión veremos los enteros que son iguales a fracciones formadas por números que usan las cifras del cero al nueve. Con estas condiciones se pueden formar todos los números de dos cifras excepto los terminados en 1 (porqué?), el 10, el 48, el 75,  el 82 y el 97. Yo encontré 437 fracciones de este tipo que generan enteros de dos cifras, y  al igual que cuando se usan los dígitos del uno al nueve hay números que pueden expresarse en mas de una manera y otros en los que solo de una forma.


Así el 17 se puede formar de dieciocho formas diferentes :
  1. 105978 / 6234  = 17 
  2. 107984 / 6352  = 17 
  3. 125936 / 7408  = 17 
  4. 126803 / 7459  = 17 
  5. 130594 / 7682  = 17 
  6. 135082 / 7946  = 17 
  7. 136459 / 8027  = 17 
  8. 137564 / 8092  = 17 
  9. 140369 / 8257  = 17 
  10. 140539 / 8267  = 17 
  11. 140573 / 8269  = 17 
  12. 142069 / 8357  = 17 
  13. 147203 / 8659  = 17 
  14. 153476 / 9028  = 17 
  15. 153782 / 9046  = 17 
  16. 154326 / 9078  = 17 
  17. 157046 / 9238  = 17 
  18. 162078 / 9534  = 17 

en tanto que el 80 se forma de 46 formas distintas:

  1. 254960 / 3187 = 80 
  2. 367120 / 4589 = 80 
  3. 367280 / 4591 = 80 
  4. 375120 / 4689 = 80 
  5. 375280 / 4691 = 80 
  6. 381520 / 4769 = 80 
  7. 418960 / 5237 = 80 
  8. 429680 / 5371 = 80 
  9. 463120 / 5789 = 80 
  10. 463280 / 5791 = 80 
  11. 467120 / 5839 = 80 
  12. 471360 / 5892 = 80 
  13. 473280 / 5916 = 80 
  14. 473680 / 5921 = 80 
  15. 518320 / 6479 = 80 
  16. 539280 / 6741 = 80 
  17. 543120 / 6789 = 80 
  18. 543280 / 6791 = 80 
  19. 547120 / 6839 = 80 
  20. 569840 / 7123 = 80 
  21. 584960 / 7312 = 80 
  22. 589120 / 7364 = 80 
  23. 593280 / 7416 = 80 
  24. 593680 / 7421 = 80 
  25. 631520 / 7894 = 80 
  26. 635280 / 7941 = 80 
  27. 653920 / 8174 = 80 
  28. 654320 / 8179 = 80 
  29. 671520 / 8394 = 80 
  30. 673520 / 8419 = 80 
  31. 675120 / 8439 = 80 
  32. 714560 / 8932 = 80 
  33. 715360 / 8942 = 80 
  34. 716240 / 8953 = 80 
  35. 716320 / 8954 = 80 
  36. 732480 / 9156 = 80 
  37. 732640 / 9158 = 80 
  38. 734560 / 9182 = 80 
  39. 745280 / 9316 = 80 
  40. 745680 / 9321 = 80 
  41. 748160 / 9352 = 80 
  42. 753280 / 9416 = 80 
  43. 753680 / 9421 = 80 
  44. 761840 / 9523 = 80 
  45. 762480 / 9531 = 80 
  46. 763280 / 9541 = 80 
El 12, 13, 16, 28, 33, 49, 54, 57, 63, 64, 66, 67, 78, 79, 85, 96, y 99 se pueden expresar de una sola manera con este tipo de fracciones .

Me imagino que se imaginan cual es su tarea.
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viernes, 27 de enero de 2012

855 - Cuadrado hecho de cuadrados II

Encontrar un cuadrado el cual es la concatenación de un cuadrado de un número primo de tres cifras y un cuadrado de un compuesto de tres cifras
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jueves, 26 de enero de 2012

854 - Productos anagramas

Desde que era chico siempre me asombró que al multiplicar el cuatro o el siete por tres se obtuviera dos productos con los mismo dígitos pero en diferente posición.


3 x  4 = 12
3 x  7 = 21   


Ahora que estoy un poco mas grande, no mucho, me sigue sorprendiendo que existan números que al multiplicarse por dos números distintos los productos sean uno una permutación del otro. Aparentemente se puede encontrar un número para cada par de números distintos siempre y cuando uno de dichos números no sea un múltiplo de diez del otro (es decir para n y n*10^m, no hay un número que al multiplicarlo por ellos den productos anagrama)


Hace dos años publiqué en la OEIS 8 secuencias basados en estos hechos. 
El título de cada una de estas secuencias es: 
a(n) es el menor número tal que a(n) multiplicado por n es un anagrama de a(n) * X  
donde X toma en las distintas secuencias los valores del 2 al 9.


Así por ejemplo la secuencia para X igual a cuatro es:
1782, 62937, 54, 1, 2826, 891, 3, 269631, 324, 2718, 4311, 3681, 37, 387, 25974, 4401, 477, 45, 48, 256437, 3393, 37, 26523, 3465, 3252, 3699, 34623, 2922, 27972, 27, 271, 284787, 27324, 25971, 263223, 26973, 25974, 2579247, 2514744  
(Oeis A175693)


Así: 
1782   x 1 =     1782  y   1782 x 4 =    7218 
62937 x 2 = 125874  y 62937 x 4 = 251748
54       x 3 =      162  y       54 x 4 =      216
etcétera.


Hay veces que un mismo número cumple con la condición por ejemplo:
37 x 13 = 481 , 37 x 22 = 814, 37 x 4 = 148


Si escribimos estos números en un cuadro:



Sheet1
.
123456789
.
1112587410351782142857138613591139671089
.
21258741178262937543651757748919
.
3103517821543641958459345
.
417826293754128268913269631324
.
51428575436362826192792522439
.
613865175419588919169327594
.
71359774453279693131518
.
81139678919269631252273151297
.
9108993453242439594182971
.
.
389350202879452653384491541355073434873853905116


vemos que a pesar de que los valores son distintos, curiosamente la suma de los valores para el uno es un anagrama de la suma de los valores para el ocho: 389350 - 385390


Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza el blog Resistencia Numantina
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miércoles, 25 de enero de 2012

853 - Diferencia de edades


Pedro nació en el siglo diecinueve en tanto que su hermano  Pablo en el siglo veinte.
Un día Pedro dijo: 
- Mi edad es igual a la suma de los dígitos del año en el que nací 
-La mía también -dijo Pablo


¿Que diferencia de edad había entre Pedro y Pablo?

Un problema de las olimpiadas rusas

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martes, 24 de enero de 2012

852 - Hoy

6003003/250000
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lunes, 23 de enero de 2012

851 - Un problema belga

Encontrar tres números consecutivos x , y , z,  tal que las diferencias de sus cubos den como resultado 


ABC = z3 - y3
ACB = y3 - x3   
ABC + ACB = z3 - x3
  




Este problema apareció en la revista Sphinx, dicha revista dedicada a las matemáticas recreativas, se publicó en Bélgica entre los años 1931 y 1939.
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viernes, 20 de enero de 2012

850 - Cuadrado hecho de cuadrados I

Encontrar dos números cuadrados los cuales son la concatenación de un cuadrado de un número compuesto de tres cifras y un cuadrado de un primo de dos cifras
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miércoles, 18 de enero de 2012

849 - Perdido en la playa

En estas vacaciones Brian se perdió en la playa.
Como no encontraba a sus padres decidió ir en su búsqueda, para ello caminó un paso para el este, después hizo dos para el norte, tres para el oeste, cuatro para el sur, cinco para el este, seis para el norte, siete para el oeste, etc, etc, hasta que terminó haciendo 2012 pasos para el sur.


¿A cuantos pasos del punto de partida  (aproximadamente) se encontraba Brian cuando dio el último paso?
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martes, 17 de enero de 2012

848 - Otro como el 2012

El 2012  presenta esta particularidad : su cuadrado es una permutación del cuadrado del 2021 (2012+9) :


20122 = 4048144 
y
20212 = 4084441


¿Cuál es el siguiente número N mayor a 2012 tal que su cuadrado es una permutación del cuadrado de N+9?
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