Los tres primeros parece-primo son el 49, el 77 y el 91.
Hay 168 primos menores a 1000.
¿Cuántos parece-primo habrá menores a 1000?
Fuente: 2005 AMC 12A
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martes, 9 de febrero de 2010
296 - Los parece-primo
Llamemos parece-primo a los números compuestos que no son divisibles por 2, 3 ni 5.
Los tres primeros parece-primo son el 49, el 77 y el 91.
Hay 168 primos menores a 1000.
Los tres primeros parece-primo son el 49, el 77 y el 91.
Hay 168 primos menores a 1000.
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A ver si podemos ir deduciendo
ResponderEliminarDel 7 al 139 hay 31 primos, el 7 multiplicado por cada uno da 31 parece-primo
Del 11 al 89 hay 20 primos el 11 por ellos dan 20 más
del 13 al 73 hay 16, multiplicados por el 13 dan 16 más
del 17 al 53 hay 10, multiplicados por el 17
del 19 al 47 hay 8, multiplicados por el 19
del 23 al 43 hay 6 multiplicados por el 23
29*31 es uno mas
49* 7 al 19 son 5
121 * 7 es otro
Y creo que son todos..????
31+20+16+10+8+6+1+5+1= 98..
Lo hice deduciendo y no probando a dividir...
Pablo ; Buena deducción pero te salteaste dos : 29 x 29 = 841 y el 31 x 31 =961 en total son justo 100
ResponderEliminarEn primer lugar quiero felicitar al blog por las cosas interesantes que tiene, sobre todo los problemas, originales y algunos demasiado difíciles y espero sigan así.
ResponderEliminarEn segundo lugar yo lo resolví por un camino diferente:
Del 1 al mil tenemos... evidentemente 1000 números!!
La mitad son divisibles por 2 por lo que tenemos 500 números.
Además tenemos 100 números que terminan en 5 (recordando que los que terminan en 0 ya se contaron) por lo que tenemos 400 números no divisibles por 2 ni 5.
Para el 3 es un poco más difícil: Sabemos que del 1 al 30 hay 10 divisibles por 3 pero descontando los pares y el que termina en 5 tenemos 4 divisibles por 3 en 30.
En 1000 números caben 33 grupos de 30 enteros y por lo tanto tenemos 33*4 = 132 divisores de 3.
Pero sobran los 10 últimos: del 991 al 1000.
De ahí el 993 y el 999 son divisbles por 3 (el 996 no cuenta por ser par) y entonces tenemos 134 números divisibles por 3.
Tenemos entonces 400-134 = 266 números
En el enunciado se dijo que había 168 primos (gracias por el dato) así que descontanto el 2,3 y 5 quedan 165.
266 - 165 = 101
Y restando el 1 que no es primo ni casi primo tenemos 100!!
Alejandro 3 : Gracias!
ResponderEliminarEs verdad puede resolverse de varias maneras, acá te pongo como lo resolví yo:
Hay 499 múltiplos de 2, 333 de 3 y 199 de 5 (entre 1 a 999). Pero 166 son múltiplos de 6, 99 de 10, 66 de 15 y 33 de 30 (múltiplos de 2,3 y 5)
Por lo tanto hay
499+333+199-166-99-66+33 = 733 números que son divisibles por 2,3 o 5.
Quedan 999-733 = 266 números - 165 primos (168-2,3,5) = 101 hay que restar el uno que no es primo ni compuesto = 100
Saludos
SON 96 EXACTAMENTE.
ResponderEliminarHPrado - Javeriana Cali
Me retracto: Son 97 !!!!!
ResponderEliminarVa mi demostración:
PROBLEMA:
Llamemos parece-primo a los números compuestos que no son divisibles por 2, 3 ni 5.
Los tres primeros parece-primo son el 49, el 77 y el 91.
Hay 168 primos menores a 1000.
¿Cuántos parece-primo habrá menores a 1000?
SOLUCIÓN
Si imagino un listado de los números desde el 1 hasta el 1000, y elimino los múltiplos de 2 , eliminaré así a todos los números pares. Así que quedarán en el listado 500 impares. Ahora, elimino el 1 y el 3, quedando reducido el listado a 498. En esta lista : ( 5 , 7 , 9 ) ,( 11, 13, 15 ), (17,19,21 ),... …..999 deben eliminarse los múltiplos de 3 que haya entre ellos, los cuales serán múltiplos impares de 3, los cuales se hallan ahora a cada 3 posiciones dentro de este listado, es decir, de cada grupo de 3 sólo quedarán 2 impares después de eliminarlos. Cuántos quedan ahora? ( 498/3)x2 = 332.
De esta lista residual de 332 números impares : ( 5 , 7, 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 25 , 29 , 31 ) , ( 35 , 37, 43, 47 , 49, 53 , 55, 59, 61 ) , .. ………. ( 965, 967, 971, 973, 977, 979 , 983, 985, 989, 991 ), ( 995 , 997 ) ninguno divisible entre 2 y 3 , deben eliminarse los múltiplos de 5. Ahora, elimino 995 por ser múltiplo de 5. Quedan 331. No considero por lo pronto a 997. Quedan 330. Se observa que de cada grupo de 10 de este último listado después de eliminar los dos múltiplos de 5 de cada grupo, quedan 8 por grupo: (330/10)x8 = 264. Si agregamos el 997, ahora son 265 números no divisibles entre 2, 3 y 5 entre los cuales se hallan los números primos menores que 1000, que según el enunciado son 168. Finalmente, entonces, los parece-primos menores que 1000 son : 265 – 168 = 97.
HPrado - Javeriana Cali
Claudio:
ResponderEliminarCometí un error. Una vez determiné la cardinalidad de los números no divibles entre 2,3 y 5 al restar "olímpicamente" los 168 primos que establecía el enunciado "eliminé" dos veces al 2,3 y 5. Así que son : 97 + 3 = 100 parece-primos menores que 1000, como ya lo habías establecido.
HPrado - Javeriana Cali