James Tanton plantea encontrar un número N tal que N! es múltiplo de N^6.
Podemos ampliar la búsqueda a Ns, tal que N! es múltiplo de N^x
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viernes, 6 de octubre de 2017
1494 - N! múltiplo de N^X
James Tanton plantea encontrar un número N tal que N! es múltiplo de N^6.
Podemos ampliar la búsqueda a Ns, tal que N! es múltiplo de N^x
viernes, 8 de septiembre de 2017
jueves, 27 de julio de 2017
1492 - Pandigitales como concatención de potencias
En este caso el pandigital aparece al concatenar dos potencias.
Ejemplo (el caso mas conocido es)
Ejemplo (el caso mas conocido es)
53//763= 125438976
29//763= 512438976
83//763= 512438976
23//176= 824137569
184//183 = 1049765832
53//444 = 1253748096
64//933 = 1296804357
29//444= 5123748096
83//444= 5123748096
183//184= 5832104976
36//484= 7295308416
93//484= 7295308416
213//933= 9261804357
29//763= 512438976
83//763= 512438976
23//176= 824137569
184//183 = 1049765832
53//444 = 1253748096
64//933 = 1296804357
29//444= 5123748096
83//444= 5123748096
183//184= 5832104976
36//484= 7295308416
93//484= 7295308416
213//933= 9261804357
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jueves, 20 de julio de 2017
1491 - Pandigitales como concatenación de potencias
En este caso concateno el resultado de dos potencias y el número obtenido lo factoreo y los factores tienen todos los dígitos una y solo una vez
153 // 203 = 33758000 = 24 x 53 x 16879
26 // 414 = 642825761 = 10847 x 59263
43 // 414 = 642825761 = 10847 x 59263
82 // 414 = 642825761 = 10847 x 59263
283 // 433 = 2195279507 = 8419 x 260753
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viernes, 14 de julio de 2017
1490 - Pandigitales como suma de potencias II
domingo, 9 de julio de 2017
1489 - Pandigitales como suma de potencias I
Comienzo aquí una serie de entradas relacionadas.
En esta primera busco suma de potencias que den números pandigitales.
Aquí van los que yo encontré :
Pandigitales sin cero:
89 + 444 = 137965824
313 + 157 = 172453698
413 + 475 = 296453871
611 + 332 = 362798145
414 + 415 = 384291657
167 + 415 = 384291657
175 + 296 = 596243178
Pandigitales con cero
711 + 205 = 1980526743
105 + 119 = 2358047691
158 + 185 = 2564780193
910 + 156 = 3498175026
98 + 396 = 3561790482
184 + 426 = 5489136720
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En esta primera busco suma de potencias que den números pandigitales.
Aquí van los que yo encontré :
Pandigitales sin cero:
89 + 444 = 137965824
313 + 157 = 172453698
413 + 475 = 296453871
611 + 332 = 362798145
414 + 415 = 384291657
167 + 415 = 384291657
175 + 296 = 596243178
Pandigitales con cero
711 + 205 = 1980526743
105 + 119 = 2358047691
158 + 185 = 2564780193
910 + 156 = 3498175026
98 + 396 = 3561790482
184 + 426 = 5489136720
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martes, 4 de julio de 2017
1488 - Menos primos en un pandigital
Espero no repetirme como ayer. 😜
En este caso busco lo inverso, el pandigital (con cada uno de los 9 digitos una y solo una vez) con menos primos dentro, obviamente que menos de cuatro es imposible, pero hay alguno con solo cuatro (2,3,5,7)?
Por ejemplo 915482763 tiene seis : 2, 3, 5, 7, 827 y 82763
Y si hay con cuatro, cuantos hay?
Lo mismo para panditales con un cero
En este caso busco lo inverso, el pandigital (con cada uno de los 9 digitos una y solo una vez) con menos primos dentro, obviamente que menos de cuatro es imposible, pero hay alguno con solo cuatro (2,3,5,7)?
Por ejemplo 915482763 tiene seis : 2, 3, 5, 7, 827 y 82763
Y si hay con cuatro, cuantos hay?
Lo mismo para panditales con un cero
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lunes, 3 de julio de 2017
1487 - Pandigital con mas primos
La idea es encontrar el menor pandigital (número que contiene los 9 dígitos una y solo una vez) con la mayor cantidad de primos dentro.
Por ejemplo 123456789 contiene 9 primos (de los 46 números que se forman en él ) : 2, 3, 5, 7, 23, 67, 4567 y 23456879
y el 987654321 contiene solo seis: 2, 3, 5, 7, 43 y 76543
Yo encontré uno con 16 primos, pero no verifiqué que sea el de mas primos.
¿Qué pasa si incluimos también el cero?
Por ejemplo 123456789 contiene 9 primos (de los 46 números que se forman en él ) : 2, 3, 5, 7, 23, 67, 4567 y 23456879
y el 987654321 contiene solo seis: 2, 3, 5, 7, 43 y 76543
Yo encontré uno con 16 primos, pero no verifiqué que sea el de mas primos.
¿Qué pasa si incluimos también el cero?
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martes, 13 de junio de 2017
lunes, 12 de junio de 2017
1485 -
12 es el menor número que puede expresarse de tres formas como suma de tres números usando nueve números diferentes.
17 es el menor número (?) que puede expresarse de cuatro formas como suma de tres números usando doce números diferentes.
¿Cuáles son los menores números que pueden expresarse de n formas usando nx3 números diferentes?, donde n = 5, 6, etc
12 = 0+4+8, 1+5+6, 2+3+7
17 es el menor número (?) que puede expresarse de cuatro formas como suma de tres números usando doce números diferentes.
17 = 0+8+9, 1+5+11, 2+3+12 y 4+6+7
¿Cuáles son los menores números que pueden expresarse de n formas usando nx3 números diferentes?, donde n = 5, 6, etc
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martes, 6 de junio de 2017
1484 - Sumando de a tres
El número 12 es el menor número que puede formarse con tres sumas de tres números no repetidos en ninguna de las sumas.
Además puede hacerse de dos formas distintas:
12 = 0+4+8, 1+5+6, 2+3+7
12 = 0+5+7, 1+3+8, 2+4+6
Para el 13 yo encontré6 5 formas
13 = 0+2+11, 1+5+7, 3+4+6
13 = 0+3+10, 1+4+8, 2+5+6
13 = 0+4+9,
1+3+9, 2+5+6
13 = 0+4+9, 1+5+7, 2+3+8
13 = 0+5+8, 1+2+10, 3+4+6
13 = 0+5+8, 1+3+9, 2+4+7
Encontrar la cantidad de soluciones para n=14, 15, etc
Existe una fórmula para encontrar la cantidad de soluciones?
La serie comienza así : 2, 5, ...
Además puede hacerse de dos formas distintas:
12 = 0+4+8, 1+5+6, 2+3+7
12 = 0+5+7, 1+3+8, 2+4+6
Para el 13 yo encontré
13 = 0+2+11, 1+5+7, 3+4+6
13 = 0+3+10, 1+4+8, 2+5+6
13 = 0+5+8, 1+2+10, 3+4+6
13 = 0+5+8, 1+3+9, 2+4+7
Encontrar la cantidad de soluciones para n=14, 15, etc
Existe una fórmula para encontrar la cantidad de soluciones?
La serie comienza así : 2, 5, ...
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miércoles, 24 de mayo de 2017
1483 - 2017 con otros primos
2017 además de ser un número primo, tiene todos los dígitos diferentes.
Basado en esto se me ocurrió la siguiente pregunta:
¿En cuántos conjuntos de primos, todos con los diez dígitos una sola vez presentes, puede participar el 2017?
Aquí van unos ejemplos de estos conjuntos :
{2017, 5, 89, 463} y {2017, 5, 89, 643}
Basado en esto se me ocurrió la siguiente pregunta:
¿En cuántos conjuntos de primos, todos con los diez dígitos una sola vez presentes, puede participar el 2017?
Aquí van unos ejemplos de estos conjuntos :
{2017, 5, 89, 463} y {2017, 5, 89, 643}
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sábado, 20 de mayo de 2017
1482 - Igualdades sin iguales
2016
= 7 x 9 x (3+5) x (8-4)
En esta igualdad se utiliza cada dígito una sola vez.
Seguramente es posible formar muchos números usando todos los dígitos una sola vez de esta forma (a ambos lados de la igualdad).
La pregunta es,
¿Cuál es el primero que NO se puede formar*?
Es válido usar suma, resta, multiplicación, división, concatenación, potencias, raíces y paréntesis.
* Que no tenga dígitos repetidos, como bien me señala Mmonchi
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sábado, 6 de mayo de 2017
1481 - Cadena de primos formados por no primos
lunes, 24 de abril de 2017
1480 - Conjeturando sobre la suma de potencias de dos primos
Tomemos dos primos como por ejemplo 2 y 3.
Calculemos todas las sumas posibles del tipo :
2m + 3n
donde m y n pueden tomar cualquier valor mayor a 0 y pueden ser iguales entre sí
Así obtendremos como resultados de esas sumas : 5, 7, 11, 13, 17, 19, 25, 29, 31, 35, etc.
De los números compuestos obtenidos veamos sus factores, así por ejemplo 259 = 7x37, 265 = 5x53.
Yo calculé todos las sumas posible para n y m entre 1 y 20 (400 sumas) y veo que entre los resultados, ya sea en la suma en sí o en sus factores, están muchos de los primos menores a 200.
Salvo el 23, 47, 71, 167 y 191 están todos los otros, muchos como resultados directos de las sumas correspondientes y otros como factores.
La preguntas son las siguientes (preguntar es fácil, responder es lo difícil) :
1. Aparecerán todos los primos?, ya sea como suma directa, ya sea como factores de esas sumas.
2. Ocurre algo similar independientemente de los primos que tomemos como bases?
3. Alguien puede encontrar si aparecen el 23, el 47, etc?
Calculemos todas las sumas posibles del tipo :
2m + 3n
donde m y n pueden tomar cualquier valor mayor a 0 y pueden ser iguales entre sí
Así obtendremos como resultados de esas sumas : 5, 7, 11, 13, 17, 19, 25, 29, 31, 35, etc.
De los números compuestos obtenidos veamos sus factores, así por ejemplo 259 = 7x37, 265 = 5x53.
Yo calculé todos las sumas posible para n y m entre 1 y 20 (400 sumas) y veo que entre los resultados, ya sea en la suma en sí o en sus factores, están muchos de los primos menores a 200.
Salvo el 23, 47, 71, 167 y 191 están todos los otros, muchos como resultados directos de las sumas correspondientes y otros como factores.
La preguntas son las siguientes (preguntar es fácil, responder es lo difícil) :
1. Aparecerán todos los primos?, ya sea como suma directa, ya sea como factores de esas sumas.
2. Ocurre algo similar independientemente de los primos que tomemos como bases?
3. Alguien puede encontrar si aparecen el 23, el 47, etc?
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sábado, 8 de abril de 2017
1479 - Continuando con Goldbach
A raíz del problema anterior, Graeme McRae encontró solo dos números pares menores a 1000 (8 y 12) que al sumarles cada uno de los primos que forman el par cuya suma da dicho número, esta suma da un número primo.
Para aclarar:
8 = 3+5 y 8+3 y 8+5 son números primos
12 = 5+7 y 12+5 y 12+7 son números primos
Para todo otro número par menor a 1000
Si P = mi + ni alguna de las sumas P + mi ó P + ni es compuesto
Por ejemplo para 16
16 = 3+13 = 5+11 y la sumas 16+5 y 16+11 dan un número compuesto.
Hay muchos números pares en los que alguna de las sumas da primo, pero no en todas.
Por otra parte Graeme señala que 8, 12, 18, 24, y 30 son los únicos números en los que todas las sumas dan un número primo o que todas las sumas menos una da un número primo.
Por ejemplo
24 = 5+19 = 7+17 = 11+13
Son primos 24+5, 24+19, 24+7, 24+17, y 24+13 pero 24+11 es compuesto.
¿Alguien puede encontrar algún otro ejemplo además del 8 y el 12 en los que todas las sumas dan números primos?
¿Alguien puede encontrar algun otro número par en las que todas las sumas menos una da un número primo?
Para aclarar:
8 = 3+5 y 8+3 y 8+5 son números primos
12 = 5+7 y 12+5 y 12+7 son números primos
Para todo otro número par menor a 1000
Si P = mi + ni alguna de las sumas P + mi ó P + ni es compuesto
Por ejemplo para 16
16 = 3+13 = 5+11 y la sumas 16+5 y 16+11 dan un número compuesto.
Hay muchos números pares en los que alguna de las sumas da primo, pero no en todas.
Por otra parte Graeme señala que 8, 12, 18, 24, y 30 son los únicos números en los que todas las sumas dan un número primo o que todas las sumas menos una da un número primo.
Por ejemplo
24 = 5+19 = 7+17 = 11+13
Son primos 24+5, 24+19, 24+7, 24+17, y 24+13 pero 24+11 es compuesto.
¿Alguien puede encontrar algún otro ejemplo además del 8 y el 12 en los que todas las sumas dan números primos?
¿Alguien puede encontrar algun otro número par en las que todas las sumas menos una da un número primo?
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miércoles, 5 de abril de 2017
1478 - Conjetura de Goldbach
La conjetura de Goldbach dice :
Todo número par mayor a dos puede expresarse como suma de dos primos.
o sea P = a + b
donde P = Nº par mayor a dos y a y b son números primos.
Así :
4= 2+2
6= 3+3
8= 3+5
10 = 3+7 = 5+5
12 = 5+7
14 = 3+11 = 7+7
etc
Ahora bien que pasa si a P le sumamos a o b, se obtendrá siempre al menos un número primo?
Lamentablemente no.
Por ejemplo 28 = 5+23 = 11+17 y 28+5, 28+23, 28+11 y 28+17 son todos números compuestos.
Los siguientes números pares no dan un primo cuando le sumamos alguno de estos primos
4, 6, 28, 38, 52, 58, 62, 68, 74, 80, 82 etc.
¿Cuáles son los primeros x pares consecutivos que no están en la secuencia? Donde x = 3, 4, etc.
¿Qué pasa si el primo a sumar puede ser cualquier primo?
Aparentemente siempre se puede encontrar un primo que sumado a un número par de un número primo.
Alguien puede demostrarlo o refutarlo?
Quizás ya está comprobado, disculpen mi desconocimiento sobre el tema.
Todo número par mayor a dos puede expresarse como suma de dos primos.
o sea P = a + b
donde P = Nº par mayor a dos y a y b son números primos.
Así :
4= 2+2
6= 3+3
8= 3+5
10 = 3+7 = 5+5
12 = 5+7
14 = 3+11 = 7+7
etc
Ahora bien que pasa si a P le sumamos a o b, se obtendrá siempre al menos un número primo?
Lamentablemente no.
Por ejemplo 28 = 5+23 = 11+17 y 28+5, 28+23, 28+11 y 28+17 son todos números compuestos.
Los siguientes números pares no dan un primo cuando le sumamos alguno de estos primos
4, 6, 28, 38, 52, 58, 62, 68, 74, 80, 82 etc.
¿Cuáles son los primeros x pares consecutivos que no están en la secuencia? Donde x = 3, 4, etc.
¿Qué pasa si el primo a sumar puede ser cualquier primo?
Aparentemente siempre se puede encontrar un primo que sumado a un número par de un número primo.
Alguien puede demostrarlo o refutarlo?
Quizás ya está comprobado, disculpen mi desconocimiento sobre el tema.
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viernes, 24 de marzo de 2017
1477 - Capicúas raros
64446 es un capicúa raro.
Es raro porque es la suma de dos primos consecutivos,
64446 = 32213 + 32233
y además es la suma de dichos primos invertidos,
64446 = 31223 + 33223
Otro ejemplo de capicúa raro es 264080462, ya que
264080462 = 132040201 + 132040261
y
264080462 = 102040321 + 162040231
¿Habrá otros ejemplos?
Sobre una idea de ady Tzidon
Es raro porque es la suma de dos primos consecutivos,
64446 = 32213 + 32233
y además es la suma de dichos primos invertidos,
64446 = 31223 + 33223
Otro ejemplo de capicúa raro es 264080462, ya que
264080462 = 132040201 + 132040261
y
264080462 = 102040321 + 162040231
¿Habrá otros ejemplos?
Sobre una idea de ady Tzidon
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miércoles, 8 de marzo de 2017
1476 - Pares que suman cuadrados
Rafael Cerezo Perez me comentó que vio en internet lo siguiente:
La suma de los números 184 y 345, al igual que la de sus cuadrados y sus cubos dan cuadrados perfectos ¿Existen otros números con esta característica?
Buscando pares hasta el 10000, yo encontré estos pares que cumplen lo pedido,
184 y 345
736 y 1380
1656 y 3105
2944 y 5520
4600 y 8625
¿Mas ejemplos?
¿Existen pares en los cuales las sumas de potencias mas grandes además de las pedidas sean también sean cuadrados (cuarta, quinta, etc)?
La suma de los números 184 y 345, al igual que la de sus cuadrados y sus cubos dan cuadrados perfectos ¿Existen otros números con esta característica?
Buscando pares hasta el 10000, yo encontré estos pares que cumplen lo pedido,
184 y 345
736 y 1380
1656 y 3105
2944 y 5520
4600 y 8625
¿Mas ejemplos?
¿Existen pares en los cuales las sumas de potencias mas grandes además de las pedidas sean también sean cuadrados (cuarta, quinta, etc)?
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lunes, 20 de febrero de 2017
1475 - Formando primos
Hoy que es el día 51 del año, Jim wilder publicó el siguiente tweet:
Que traducido sería mas o menos así :
Para el día 51 : 51 es el menor número que puede escribirse con los números del 1 al 5 como suma de primos
Eso me dio la idea para la siguiente entrada.
Con los números del 1 al 3 podemos formar los siguientes primos : 2 y 13 cuya suma es 15, también podemos formar 2 y 31 pero la suma es mayor a la anterior, 33, por lo tanto nos quedamos con los números anteriores
Con los números del 1 al 4 podemos formar los siguientes primos : 2 y 431 cuya suma es 433 pero también podemos formar 3 y 241 cuya suma es menor, 244, por lo tanto tomamos esta como solución válida.
La idea está establecida, lograr formar con los números del 1 al n primos de forma tal que la suma de dichos primos sea la mínima posible.
Acá van los resultados que yo obtuve (sin esforzarme por encontrar las sumas menores, cosa que dejo para ustedes)
3 = 2, 13 Suma 15
4 = 3, 241 Suma 244
5 = 2, 3, 5, 41 Suma 51
6 = 461, 523 Suma 984
7 = 7, 461, 523 Suma 991
8 = 5, 7, 461, 823 Suma 1296
9 = 5, 97, 461, 823 Suma 1386
10 = 5, 461, 823, 1097 Suma 2386
11 = 5, 23, 461, 811, 1097 ó 5, 11, 461, 823, 1097 Suma 2397
Nótese que a medida que entran los números de dos cifras éstas deben permanecer juntas.
Encontrar las menores sumas de primos formados por los primeros n números.
También se puede empezar con el cero 2, 103, etc.
Que traducido sería mas o menos así :
Para el día 51 : 51 es el menor número que puede escribirse con los números del 1 al 5 como suma de primos
Eso me dio la idea para la siguiente entrada.
Con los números del 1 al 3 podemos formar los siguientes primos : 2 y 13 cuya suma es 15, también podemos formar 2 y 31 pero la suma es mayor a la anterior, 33, por lo tanto nos quedamos con los números anteriores
Con los números del 1 al 4 podemos formar los siguientes primos : 2 y 431 cuya suma es 433 pero también podemos formar 3 y 241 cuya suma es menor, 244, por lo tanto tomamos esta como solución válida.
La idea está establecida, lograr formar con los números del 1 al n primos de forma tal que la suma de dichos primos sea la mínima posible.
Acá van los resultados que yo obtuve (sin esforzarme por encontrar las sumas menores, cosa que dejo para ustedes)
3 = 2, 13 Suma 15
4 = 3, 241 Suma 244
5 = 2, 3, 5, 41 Suma 51
6 = 461, 523 Suma 984
7 = 7, 461, 523 Suma 991
8 = 5, 7, 461, 823 Suma 1296
9 = 5, 97, 461, 823 Suma 1386
10 = 5, 461, 823, 1097 Suma 2386
11 = 5, 23, 461, 811, 1097 ó 5, 11, 461, 823, 1097 Suma 2397
Nótese que a medida que entran los números de dos cifras éstas deben permanecer juntas.
Encontrar las menores sumas de primos formados por los primeros n números.
También se puede empezar con el cero 2, 103, etc.
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