1528 - Casi cuadrados, mágicos

El otro día estaba tratando de resolver un cuadrado mágico, a mano, cuando de repente me equivoqué  y tuve que tachar una celda del cuadrado quedándome un dibujo como el siguiente:

Al ver este dibujo, me olvidé del problema original y empecé a  pensar si era posible llenar las celdas restantes con números no repetidos de forma tal que la suma de las filas, columnas y diagonales den una misma suma, es decir formar un casi cuadrado que sea mágico.
Después de probar y probar llegué a una solución.
y como siempre pasa, uno quiere mas, entonces cambié la casilla negra de posición y volví a buscar una solución.
Una vez encontrada las soluciones, pensé  si se podía encontrar soluciones para cuadrados de 3 x 3.

Acá van las soluciones encontradas :

3 x 3

Vemos que solo el del medio tiene todos los valores positivos.
Las sumas mágicas son 9, 21 y 0 respectivamente.

Para 4x4

En este caso, todos los valores son número positivos.
y las sumas mágicas son 56, 65 y 83 respectivamente

Algunas preguntas que me surgieron:

a) Para la de 3x3 , se podrá obtener casi cuadrados con todos los valores positivos para todos los modelos?
b)  ¿Cuál es la menor suma constante posible (usando solo números positivos), para cada  modelo de casi cuadrado, de 3x3 y de 4x4?

*Actualización:
Pensando un poco el problema , llegué a la conclusión de que para los de 4x4, se puede hacer un cuadrado mágico tradicional  (con los números del 1 al 16), restar uno a cada casillero y tachar la casilla que queda con el cero.
Así que media  pregunta B ya tiene respuesta. Eso me dio idea para otra entrada.

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1528 - Casi cuadrados, mágicos

1421 - Cuadrados mágicos con suma pandigital máxima

Como escribí en la entrada 1417 estuve buscando el cuadrado pandigital compuesto por números pandigitales tal que la suma mágica (filas, columnas y diagonales) sea máxima y también pandigital.
Para cuadrados de 3x3 los que aparecen en la entrada 1417 son los máximos.
Pero para cuadrados de 4x4 se puede lograr cuadrados mágicos cuya constante mágica es 9876543210.

Aquí les pongo algunos de los que yo encontré :

La pregunta que surge ahora es cuantos cuadrados diferentes de estos hay, obviamente sin tomar reflexiones y simetrías.

Esta entrada participa en la Edición 6.8 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Gaussianos.

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1421 - Cuadrados mágicos con suma pandigital máxima

1417 - Cuadrado mágico pandigital con suma máxima?

  Este sábado, como les conté en mi entrada anterior, transcurrió el encuentro G4G  en homenaje a Martin Gardner.

En una de las exposiciones, Rodolfo Kurchan contó como descubrió (SIN EL USO DE COMPUTADORA!!!) el cuadrado mágico de 4x4 formado por 16 números pandigitales cuya número mágico también es un número pandigital.

Suma mágica : 4120967358

 Este cuadrado apareció en  el número 28 de la revista "Journal of rercreational mathematics", como así también en el libro de C.A Pickover "Wonders of numbers"
La imagen la tome de la página de Carlos Rivera, PrimePuzzles

En la exposición del sábado, Rodolfo explicó que se logró un cuadrado mágico pandigital de 3x3 con una suma mágica menor, justamente en el site de Carlos Rivera y propuso encontrar el cuadrado mágico  con la mayor suma mágica pandigital posible.

Yo acepté el desafio y encontré los siguientes cuadrados mágicos, ambos con suma mágica pandigital 9875304162

La pregunta es evidente ¿se puede lograr un cuadrado mágico con una suma mágica pandigital mayor?

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1417 - Cuadrado mágico pandigital con suma máxima?

1400 -Cuadrado mágico 123

Con los dígitos 1, 2 y 3 pueden formarse exactamente 81 números distintos de 4 dígitos cada uno.
Esto es así ya que para el primer dígito podemos elegir cualquiera de los 3 dígitos, y lo mismo ocurre para el segundo, el tercero y el cuarto dígito, de ahí que 3x3x3x3 = 81.
Con esos 81 números podemos formar este cuadrado mágico:

Visto en http://mathematicalmysterytour.blogspot.co.uk

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1400 -Cuadrado mágico 123

1393 - Cuadrado mágico de 7x7 compuesto por cubos

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1393 - Cuadrado mágico de 7x7 compuesto por cubos

1326 - Dos cuadrados mágicos para la fecha de hoy

Hoy es 18/06/2014 y aquí les dejo dos cuadrados mágicos en los que dicha fecha aparece en el renglón superior, en el primero todas las filas, columnas y diagonales suman 58, en tanto que en el segundo el producto de sus filas, columnas y diagonales da 30240.

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1326 - Dos cuadrados mágicos para la fecha de hoy

1062 - Cuadrado mágico de 14 x14 con números primos consecutivos

El siguiente es un cuadrado mágico de 14 x 14 que tiene todos los números primos entre el 89 y el 1367

Fue descubierto por Natalia Makarova y lo vi en Prime Puzzles

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1062 - Cuadrado mágico de 14 x14 con números primos consecutivos

821 - Cuadrado con sumas primas

Colocar en una grilla de 3x3 los nueve primos consecutivos a partir del 419 de forma tal que la sumas de las filas, de las columnas y de las dos diagonales sean números distintos y primos. 
Hacerlo de forma tal que el número puesto en la esquina superior izquierda sea el menor del de la cuatro esquinas

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821 - Cuadrado con sumas primas

814 - Cuadrados con sumas primas

Un cuadrado mágico de 3x3 tiene esta estructura :

a	b	c
d	e	f
g	h	i

La constante mágica es siempre 3e, es decir que todas las columnas, las filas y las dos diagonales principales suman 3e.
Pero en este caso además de esta característica los siguientes cuadrados tienen 36 sumas que dan números primos: a + b + f, a + b + i, a + c + e, a + c + h, a + d + h, a + d + i, a + e + f, a + e + g, a + e + h, a + f + g, a + f + i, a + h + i, b + c + d, b + c + g, b + d + f, b + d + g, b + e + g, b + e + i, b + f + h, b + f + i, b + g + i, b + h + d, c + d + e, c + d + g, c + d + i, c + e + h, c + e + i, c + f + g, c + f + h, c + h + g, d + e + i, d + f + h, d + h + i, e + f + g, e + g + i, f + g + h .

441	1639	545
979	875	771
1205	111	1309

En este caso tenemos: todas las columnas, filas y las dos diagonales suman 2625 y además tenemos 36 sumas que dan números primos:
a+b+f= 2851, a+b+i= 3389, a+c+e= 1861, a+c+h= 1097, a+d+h= 1531, a+d+i= 2729, a+e+f= 2087, a+e+g= 2521, a+e+h= 1427, a+f+g= 2417, a+f+i= 2521, a+h+i= 1861, b+c+d= 3163, b+c+g= 3389, b+d+f= 3389, b+d+g= 3823, b+e+g= 3719, b+e+i= 3823, b+f+h= 2521, b+f+i= 3719, b+g+i= 4153, b+h+d= 2729, c+d+e= 2399, c+d+g= 2729, c+d+i= 2833, c+e+h= 1531, c+e+i= 2729, c+f+g= 2521, c+f+h= 1427, c+h+g= 1861, d+e+i= 3163, d+f+h= 1861, d+h+i= 2399, e+f+g= 2851, e+g+i= 3389, f+g+h= 2087 .

Los siguientes cuadrados además de esta característica presentan además uno o mas números primos en su estructura

455	2749	951
1881	1385	889
1819	21	2315

567	2773	935
1793	1425	1057
1915	77	2293

801	3329	1435
2489	1855	1221
2275	381	2909

¿Habrá cuadrados mágicos con estas características que tengan mas de dos números primos en su estructura?

¿Es posible encontrar cuadrados mágicos con mas de 36 sumas (de tres de sus números) primas?

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814 - Cuadrados con sumas primas

809 - Un cuadrado mágico especial

Este es un cuadrado mágico especial, ya que además de que todas las filas, columnas y diagonales tienen la misma suma, 1752, los números que lo componen tienen una característica especial, ¿Cuál? ¿Otros ejemplos?

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809 - Un cuadrado mágico especial

591 - Cuadrados mágicos en los que cada dígito aparece una misma cantidad de veces

Sobre los cuadrados mágicos (aquellos en los la suma de la columnas, filas y diagonales suman lo mismo) se ha escrito muchísimo y desde hace mucho tiempo.
Se han encontrado miles de variantes y varias son realmente extraordinarias.
Además de los cuadrados clásicos en los que se colocan los números del 1 al n² en cuadrados de n x n, existen aquellos en los se ponen números consecutivos (no empezando necesariamente por el uno), y aquellos en los que  los números no son consecutivos. Hay cuadrados mágicos, multimágicos o diabólicos, antimágicos y hasta alfamágicos . También se hicieron cuadrados dentro de cuadrados, cuadrados hechos por números primos, y hasta cuadrados hechos con números pandigitales como el que logró Rodolfo Kurchan
Este último tiene la particularidad, al estar hecho por números pandigitales, que si contamos la cantidad de veces que aparece cada dígito vemos que obviamente es la misma para todos ellos, es decir que en todo el cuadrado hay exactamente dieciseis ceros, dieciseis unos, etc.
Basado en este cuadrado empecé a buscar cuadrado mágicos de orden tres en los que todos los dígitos aparezcan una misma cantidad de veces.
Así encontré estos cuadrados mágicos :

a)      Cuadrado mágico en el que cada dígito aparece exactamente una vez :

9	2	7
4	6	8
5	10	3

b) Cuadrados mágicos en el que cada dígito aparece exactamente dos veces

107	32	89
58	76	94
63	120	45

105	30	93
64	76	88
59	122	47

103	36	98
74	79	84
60	122	55

105	34	98
72	79	86
60	124	53

103	30	95
68	76	84
57	122	49

109	22	97
64	76	88
55	130	43

107	22	99
68	76	84
53	130	45

c) Cuadrados mágicos en los que cada dígito aparece exactamente tres veces

1329	276	996
534	867	1200
738	1458	405

1560	348	972
372	960	1548
948	1572	360

1572	360	984
384	972	1560
960	1584	372

En los siguientes también se da la particularidad de que en cada fila y en cada columna aparece cada dígito una sola vez

1645	203	987
287	945	1603
903	1687	245

1542	306	978
378	942	1506
906	1578	342

1560	342	978
378	960	1542
942	1578	360

1560	348	972
372	960	1548
948	1572	360

1572	360	984
384	972	1560
960	1584	372

El siguiente cuadrado en el que cada dígito aparece tres veces,  es el único en la que en cada fila y columna aparece algún dígito repetido y el único que tiene una diagonal en la que no se repite ningún dígito

1329	276	996
534	867	1200
738	1458	405

d) Cuadrados mágicos en los que cada dígito aparece exactamente cuatro veces

22950	204	18156
8976	13770	18564
9384	27336	4590

El siguiente presenta dos números capicúas (7667 y 3553)

14399	2244	10285
4862	8976	13090
7667	15708	3553

12985	5565	10388
7049	9646	12243
8904	13727	6307

13774	4656	10379
6208	9603	12998
8827	14550	5432

e) Cuadrados mágicos en los que cada digito aparece cinco veces

154024	38506	127366
79974	106632	133290
85898	174758	59240

227088	7968	159360
63744	131472	199200
103584	254976	35856

El desafío queda abierto, habría que encontrar otros cuadrados mágicos de orden tres o mayores en los que cada digito aparezca  una igual cantidad de veces

Pd: usando un programa de computación he encontrado cientos de ejemplos diferentes, que no estan aquí.

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591 - Cuadrados mágicos en los que cada dígito aparece una misma cantidad de veces