1285 - Mejorando las probabilidades

Cuatro estudiantes, Andrés, Bárbara, Clara y Daniel serán premiados si todos tienen éxito en la siguiente tarea:

Uno por uno serán introducidos en una habitación donde hay cuatro cortinas, numeradas del uno a cuatro. Se han escrito las letras A, B, C, D en cuatro tarjetas -- cada letra en una y sólo una tarjeta -- y las tarjetas han sido puestas al azar detrás de las cortinas, una detrás de cada cortina. Cada estudiante
podrá mirar detrás de dos cortinas de su elección. El estudiante tendrá éxito si encuentra una tarjeta con su inicial detrás de una de las dos cortinas. Si todos los estudiantes tienen éxito, el grupo gana. Si uno o más fallan, el grupo pierde.

Se permite a los estudiantes desarrollar una estrategia en común antes de comenzar la tarea, pero una vez que cada estudiante ha estado en la habitación, no se le permitirá comunicarse con el resto, ni con palabras ni con señales. Los estudiantes que no han estado todavía en la habitación tampoco podrán saber si los anteriores tuvieron éxito o no.

Si cada estudiante mira detrás de dos cortinas elegidas al azar, tendrá una chance del 50% de ganar, y el grupo tendrá una chance de ganar del 6.25%.

El desafío es desarrollar una estrategia (y justificarla) que de al grupo una probabilidad de ganar de 40% o más.

Un problema de la Universidad de Regina

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1285 - Mejorando las probabilidades

1254 -100 pasajeros en un avión

Este problema que ví en varios blogs de habla inglesa dice así:

El primer pasajero que sube al avión, decide sentarse en cualquier lugar al azar.
Los siguientes 99 pasajeros, a medida que van subiendo, van a su lugar, si este está vacío se sienta allí, sino elige cualquier asiento al azar.
Este procedimiento sigue hasta que sube el último pasajero.

La pregunta es  ¿Que probabilidad hay de que el último pasajero se siente en su lugar? 

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1254 -100 pasajeros en un avión

1172 - Jugando con los dados

Martín esta jugando con un dado. El juego consiste en tirar el dado hasta que la suma de los números que salen sea prima.
En el primer tiro le sale un 1, como no es primo sigue tirando.
Vuelve a tirar y le sale un 3. Martín suma 1+3 = 4, como 4 no es primo sigue tirando.
En el tiro siguiente le sale un 2. 4+2 = 6,  como 6 no es primo decide seguir tirando.
Martina que ve lo que hace Martín, le dice : yo creo que el primo en el que vas a parar va a ser el 11.
Mariana en cambio dice: yo creo que el primo en el que vas a parar es el 13.
Martín sigue tirando.

¿Cuál es la probabilidad de que Martina acierte? 
¿y la de Mariana?

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1172 - Jugando con los dados

1149 - Probabilidad de enfrentarse en un torneo

Markelo y Rodolfo se anotaron en el campeonato mundial de Piedra, papel y tijera.
En total participan 16 jugadores y el torneo es por eliminación simple, es decir en una primera ronda hay ocho partidos, los ganadores pasan a la segunda ronda y los perdedores quedan desclasificados, en la segunda ronda hay cuatro partidos y quedan los ganadores, etc.
La probabilidad de ganar en cualquier partido se supone que es un medio para todos los jugadores independientemente de como y contra quien juegue cada uno.


¿Si la primer ronda se hace por sorteo, cuál es la probabilidad de que Markelo enfrente a Rodolfo?

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1149 - Probabilidad de enfrentarse en un torneo

1115 - Uno de probabilidad

El otro día me pasaron este bonito problema :

¿ Si tiramos cuatro dados comunes, cual es la probabilidad de que la suma de los valores obtenidos sea un número primo?

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1115 - Uno de probabilidad

1045 - Tirando monedas

Alfredo, Bernardo y Casimiro tiran al aire una moneda 15, 16 y 17 veces respectivamente.
Al día siguiente tiran 15, 17 y 20 respectivamente
El tercer día las tiran 18, 19 y 20 veces

¿Quién tiene menos posibilidades de sacar mas caras que secas, cada día?

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1045 - Tirando monedas

1023 - Dados quien empieza

Imagínese que usted desea jugar un juego con 2-4 jugadores, y es necesario determinar aleatoriamente quién juega primero. Si cada uno de ustedes simplemente tirara un dado estándar, hay una buena probabilidad de que haya empates, ustedes tendrían que volver a tirar los dados y nadie quiere eso.
Estos dados diseñados por Eric Harshbarger resuelven este problema:

Son dados de doce caras cada uno, los cuales entre los cuatro, tienen escritos los números del 1 al 48 y fueron diseñados para que cumplan las siguientes condiciones:

a - Nunca habrá un empate
b - Independientemente de que grupo de dados sean tirados, todos los jugadores tienen la misma chance de obtener el número mas alto y por lo tanto de ser el ganador. Dicho de otro modo, dos, tres, o cuatro jugadores pueden tomar cada uno de los dados, tirarlos, y cada uno tendrá siempre una probabilidad de 1/2, 1/3 o 1/4, respectivamente, de obtener el resultado más alto.
c - Finalmente, no sólo pueden usarse todos los dados (o cualquier subconjunto) para determinar el primer jugador, sino que los números obtenidos también se pueden usar para determinar todas las posiciones de partida (el segundo número más alto puede ser el segundo jugador, el tercero más alto el tercer jugador, etc) ya que la probabilidad de cada una de las permutaciones de cualquier subconjunto determinado de dados es la misma, por lo que nunca habrá la posibilidad de que un subconjunto particular favoreciera a algunos de los jugadores.

Aquí están los números de cada uno de los dados:

D1: 1, 8, 11, 14, 19, 22, 27, 30, 35, 38, 41, 48
D2: 2, 7, 10, 15, 18, 23, 26, 31, 34, 39, 42, 47
D3: 3, 6, 12, 13, 17, 24, 25, 32, 36, 37, 43, 46
D4: 4, 5, 9, 16, 20, 21, 28, 29, 33, 40, 44, 45


Si arrojamos dos dados cualesquiera, por ejemplo el 1 y el 3 , tenemos 144 resultados posibles, y en la mitad ellos gana el dado 1 en tanto que en la otra mitad gana el 3.

Si arrojamos tres de los dados, por ejemplo el D1, D2 y el D3, tenemos 12³ = 1728 resultados posibles y el orden de los dados será  [D1,D2,D3] en 288 ocasiones, lo mismo para cualquiera de las otras cinco permutaciones [D1,D3,D2], [D2,D1,D3], [D2,D3,D1], [D3,D1,D2] y [D3,D2,D1

En tanto que al tirar los cuatro dados, hay 20736 resultados posibles, y cada dado ganará en  5184 ocasiones, y cada una de las 24 permutaciones [Da,Db,Dc,Dd] se da exactamente en 864 de las 20736.

Se puede ver todas las combinaciones y sus probabilidades aquí.


Esta entrada participa de la Edición 3,1415926 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Series Divergentes.

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1023 - Dados quien empieza

1019 - Tirando monedas

Juguemos  un juego con monedas.
 
Tu tienes 100 monedas de diez centavos, y yo tengo 99 monedas de cinco centavos. 
Al mismo tiempo, echamos nuestras monedas al aire y las dejamos caer en el suelo. 
Luego contamos meticulosamente los resultados de nuestros lanzamientos.

Tu ganas si logras más caras que las que yo obtengo. 

¿Cuál es tu probabilidad de ganar?



Un problema  de Presh Talwalkar

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1019 - Tirando monedas

1005 - Un problema que va contra la intuición

Alguien  reparte 13 cartas de una baraja de 52 cartas . 
Usted ve la mano, nota que hay un As y dice "tengo un as".  
¿Cuál es la probabilidad de que usted tenga otro as?

Las barajas se recogen y se reparte una nueva mano. 
En esta ocasión nos fijamos en la mano y vemos que tenemos el As de corazones  
¿Cuál es la probabilidad, esta vez,  de que tenga otro as?

Pregunta: ¿Es la probabilidad  en el segundo caso la misma que en la primera, es menor, o es más alta?

Piensélo.
Este es un problema en el que la primera impresión nos hace pensar que el problema no tiene mucho sentido, pero cuando se analiza matematicamente, se ve que la intuición no siempre va de la mano con la realidad.
Si sabe de probabilidad intente resolverlo antes de seguir leyendo   



Lo que en realidad nos pide el problema es calcular y comparar las siguientes probabilidades :

•  Manos con al menos dos ases /  Manos con al menos un as

y

•  Manos con al menos dos ases (uno de los cuales es el as de corazones) /  Manos con el As de Corazones

Aquí van los cálculos :
Para evitar usar ecuaciones muy grandes, voy a utilizar la abreviatura B{n, r} para representar al número combinatorio = n! / (r! (n-r)!)  
 

• Número total de manos posibles = Son todas las formas posibles de combinar las cartas para hacer una mano de bridge. Hay 52 cartas en una baraja, y son 13 en una mano = B{52,13}
• Manos sin ases  = El número de manos que no tienen ases. Hay 48 naipes que no son ases, y 13 en una mano =  B{48,13}
• Al menos un as = El número de manos que tienen al menos un As = Número total de manos posibles - Manos sin ases = B{52,13} - B{48,13}
• Exactamente un as =  El número de manos que tienen un solo As. (Elija cualquier As, a continuación, elija 12 no ases) = B{4,1} x B {48,12} 
• Al menos dos ases  =  Comience con el número total de manos, y luego reste las manos que tienen o un as o ninguno. Usted se queda con el número de manos con dos o más ases = Número total de manos posibles - (Manos sin ases + Exactamente un as) = B{52,13} - (B{48,13} + B{4,1} x B{48,12} )

Ahora tenemos suficiente para calcular nuestra primera relación (las probabilidades de tener un segundo As, si usted afirma que tiene un As):

Al menos dos ases / Al menos un as =

  B{52,13} - (B{48,13}  + (B{4,1} x B{48,12} )  /  (B{52,13} - B{48,13}) = 36,27%

o sea que la probabilidad de tener un segundo as en una mano de trece cartas cuando uno tiene un as es del 36.27%

Vamos a calcular ahora la segunda probabilidad, para ello necesitamos saber :

• Con As de Corazón = Número de manos con el as de corazón. (Elegimos el As de corazón, y luego tenemos que elegir 12 cartas de las 51 restantes) = B{51,12}
• Sin otros ases = Número de manos sin otros ases = B{48,12}
• Manos con dos ases, siendo uno el as de corazón = Número de manos con al menos dos ases, uno de los cuales es el As de corazón = Con As de Corazón - Sin otros ases = B{51,12} - B{48,12}

Ahora ya podemos calcular la segunda probabilidad (posibilidad de tener un segundo As  si usted afirma que tiene el As de corazón):

Manos con dos ases, siendo uno el as de corazón / Con As de Corazón=

( B{51,12} - B{48,12} ) / B{51,12} = 56,12%

He aquí el resultado sorprendente : Si usted dice "Tengo el As de corazones", es más probable que usted tenga otro As que si solamente usted dice  "Tengo un as"!

Si usted afirma que tiene el As de corazones hay  11686/20825 de probabilidad de que tiene (al menos) otro As, o sea un 56,12%. Si usted afirma que tiene un As, la posibilidad de que tenga (al menos)  otro As es de 5359/14498 (que es 36,27%). Es un 50% menos probable! 


Basado en el artículo Counterintuitive Conundrums

Esta entrada participa de la edición 3.141592 del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza ZTFnews.org

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1005 - Un problema que va contra la intuición

928 - Otro de probabilidades de cumpleaños

Si suponemos que la probabilidad de que el cumpleaños de una persona caiga en un determinado mes sea 1/12, 
¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 12 personas, ninguno de ellos cumpla el mismo mes?




 del libro Challenging mathematical problems with elementary solutions de A. M. Yaglom, I. M. Yaglom

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928 - Otro de probabilidades de cumpleaños

891 - Bolas negras y bolas blancas

En una bolsa tengo 100 bolas. 
Hay bolas blancas y hay bolas negras. 
Si me dicen que la probabilidad de sacar dos bolas del mismo color es igual a la probabilidad de sacar dos bolas de diferente color, ¿Cuál es la proporción de las bolas dentro de la bolsa? 

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891 - Bolas negras y bolas blancas

878 - Tomando cartas al azar

De un mazo de póker de 52 cartas se separan cuatro cartas al azar.
Al ver las cartas, Oscar se da cuenta de que si se toman dos de esas cuatro cartas al azar, la probabilidad de que dos sean rojas es de un 50%.


¿Cuál es la probabilidad de que si se toman dos cartas al azar de esas cuatro, dos sean negras?



Problema de Shecky Riemann

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878 - Tomando cartas al azar

868 - Probabilidad de vivir algunos añitos mas

- El otro día un vendedor de seguros me dijo que al tener yo 75 años la probabilidad de que viva al menos 10 años mas, es del 50%, y la de que viva al menos 15 años mas es del 20%
- A mi, que tengo 80 años, me dijo que la probabilidad de que viva 10 años mas es solo del 25%, pero  mi esposa quiere saber cuál es la probabilidad de que viva al menos 5 años mas. 
- Ya te lo calculo





Basado en un problema del  Euclid Contest 

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868 - Probabilidad de vivir algunos añitos mas

862 - Cumpliendo en vacaciones II

- ¿Y que tal el cumpleaños ?
- Bien, vino mas gente de la que creía.
- ¿Cuántos fueron?
- Mirá para que tengas una idea, en un momento, el cumpleañero Gustavo fue a buscar la torta y la probabilidad de que ninguna de las personas que estábamos en el patio haya nacido en enero  y febrero era del 1%.

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862 - Cumpliendo en vacaciones II

861 - Cumpliendo en vacaciones I

- Hoy es el cumpleaños de mi hijo Gustavo
- Felicidades!
- Gracias, este año se lo celebramos el mismo día de su cumpleaños, cuando era chico como su cumpleaños cae en fecha de vacaciones escolares se lo festejábamos en  Marzo, cuando empezaban las clases.
- Siempre el mismo problema con los que cumplen en vacaciones.
- Justamente ese es el problema de hoy.
- ¿ Festejar o no festejar ?
- No, no, quería saber, suponiendo que la probabilidad de nacer cualquier día del año es la misma, 
¿Cuál es la probabilidad de que una persona  haya nacido en enero o febrero? (en % con dos decimales)










Pd: Feliz cumple Gus! 
Pd 2 : A ver si lo resolvés!

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861 - Cumpliendo en vacaciones I

820 - Llaves, cajas y puerta

Usted tiene tres cajas cerradas que contienen dentro 1, 3 y 5 llaves respectivamente, y además usted tiene una llave en la mano. Las 10 llaves son diferentes unas de otras. Hay una puerta cerrada a su lado. Las llaves para las tres cajas y la puerta se encuentran entre las 10 llaves, pero colocadas al azar.

¿Cuál es la probabilidad de que usted puede abrir la puerta?

Formato de respuesta: la fracción p / q en forma reducida.

Nota: La puerta y las cajas tienen cada una su llave única.
Fuente : Mathalon

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820 - Llaves, cajas y puerta

806 - Paradoja probabilistica?

En el blog de Richard Wiseman publicaron esta pregunta:


Si usted elige la respuesta a esta pregunta al azar, ¿Cuál es su probabilidad de acertar?


a) 25%
b) 50%
c) 60 %
d) 25%

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806 - Paradoja probabilistica?

771 - Probabilidades en el dominó

¿De cuántas formas se pueden escoger dos fichas de dominó, de las 28 que hay, de forma tal que se pueda poner una junta a la otra? 

(es decir, de modo que por lo menos un mismo número se encuentre en las dos fichas)

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771 - Probabilidades en el dominó

765 - Probabilidades en el ajedrez VI

Aquí va otro de los problemas de Rouse Ball sobre el ajedrez : 

Si en un tablero de ajedrez común de 8x8 colocamos al azar un alfil negro y un rey blanco, ¿Cuál es la probabilidad de que el alfil de jaque al rey y el rey no pueda comer al alfil?

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765 - Probabilidades en el ajedrez VI

760 - Probabilidades en el ajedrez V

Aquí va otro de los problemas de Rouse Ball sobre el ajedrez : 

Si en un tablero de ajedrez común de 8x8 colocamos al azar una torre negra y un rey blanco, ¿Cuál es la probabilidad de que la torre de jaque al rey y el rey no pueda comer a la torre?

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760 - Probabilidades en el ajedrez V