1207 - Igualdad

1! + 2! + 3! + (4! x 5)² + 6! + 7! + 8! + 9! + 10! = 2013²

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1207 - Igualdad

1206 - Completar la multiplicación

Reemplazar las N por lo diez dígitos del 0 al 9, de forma tal que la multiplicación sea correcta
Como ayuda ya se puso el 4


      NNN
x        N4
 ------------
  NNNNN

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1206 - Completar la multiplicación

1205 - Curiosidad con primos

Usando la siguiente fórmula, forme los siguiente ocho números

189489010766982716904671360066987086536413865444291475408862860716126025520041510000 + n

Donde  n = 0121, 0123, 0211, 0213, 1021, 1023, 1201, 1203

Obtendremos así ocho números primos consecutivos de 84 dígitos cada uno, los cuales pueden dividirse en cuatro pares de primos gemelos, de forma tal que los miembros menores de cada uno de los pares tienen los mismos dígitos y otro tanto ocurre con los cuatro primos mayores de cada par .

encontrado por Jens Kruse Andersen

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1205 - Curiosidad con primos

1204 - Dos triángulos especiales

En twitter leí el siguiente problema:

"Encontrar dos triángulos diferentes, ambos con los tres lados enteros, distintos y menores a 10 (entre 1 y 9), que tienen un mismo ángulo"

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1204 - Dos triángulos especiales

1203 - ¿Qué número estoy pensando?

-  ¿Qué número estoy pensando?
-  Uf, el 14958097
-  No, tiene tres dígitos
-  El 101
-  No, es primo y para escribirlo necesitamos un número impar de letras
-  El 107
-  No, si te digo la cantidad de letras que tiene lo podes deducir.
-  OK

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1203 - ¿Qué número estoy pensando?

1202 - Reordenando los dígitos de pi

Si tomamos los primeros 16 dígitos de pi y los reordenamos como la fracción que se muestra a continuación, obtenemos pi con los primeros 12 dígitos correctos

3,141592653589793 

833719 / (265345+(9-5)*9*1) = 3,14159265358..


Se buscan fracciones similares

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1202 - Reordenando los dígitos de pi

1201 - Un conjunto sin cuadrados

Armar el conjunto mas grande posible con números del 1 al 15 tal que si tomamos tres números cualquiera de dicho conjunto, su producto no es número cuadrado.

Por ejemplo si dicho conjunto tuviera el 1 y el 2, no podría tener el 8, ya que 1x2x8 = 16 = 4²

^{¿Cuál es el conjunto mas grande con estas características que se puede formar?}

^{Un problema de la Universidad de Regina}

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1201 - Un conjunto sin cuadrados

1200 - Repunits primos en otras bases

Los repunits son números formados solo por números unos.
Si  los expresamos repunits con n unos en base n encontramos los siguientes primos

11₂ = 3
111₃ = 13
lamentablemente 1111₄, 11111₅ no son primos

¿Cuales son los dos siguientes repunits de n unos que son primos en base n?
:

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1200 - Repunits primos en otras bases

1199 - Abriendo una caja fuerte

Haz encontrado una caja fuerte, pero no conoces la combinación.

Buscando en internet encontras que estas cajas fuertes se abren de la siguiente manera:

Antes de marcar la combinación de tres números, se debe apretar el botón rojo.

Empezando con el dial en cero, hay que girar el dial en el sentido de las agujas del reloj hasta el primer número de la combinación, luego retornar el dial en sentido inverso hasta el cero,  luego hay que llevar el dial nuevamente hasta el segundo número y volver a cero, y finalmente llevar el dial hasta el tercer número de forma tal que al marcar este número la puerta de la caja se abrirá inmediatamente.

Hay 40 números en el dial incluyendo el cero. Las combinaciones no pueden tener el cero como uno de sus números.

a) ¿Cuál es el máximo número de intentos requeridos para abrir la caja fuerte? 

b) Si no hubiera que apretar el botón rojo antes de los tres números, ¿Cuál sería el máximo de número de intentos? Si alguien sabe como minimizar el números de intentos por favor expliquemelo, a ver si aprendo (No sé la respuesta)

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1199 - Abriendo una caja fuerte

1198 - Números dados vuelta

En un display digital, ciertos números cuando se  invierten dan origen a números válidos (diferentes o iguales al original)

Así por ejemplo el 1995 pasa a ser el 5661 y el 1881 es el mismo cuando se lo da vuelta.
 Los primeros diez números que pueden invertirse son 1,2, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12 y 15

¿Cuál es el número 1000000 que puede invertise ?

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1198 - Números dados vuelta

1197 - Números muy ordenaditos

Llamemos número ordenadito a aquel en que  cualquier cifra ubicada a la  izquierda de otra es siempre menor o igual que esta.
Por ejemplo son números ordenaditos 445, 4556, 3578, 22225668, 355688889

Un número muy ordenadito es aquel que es ordenadito él y su cuadrado.
Por ejemplo son números muy ordenaditos :12, 13, 15 y 16

¿Cuáles son todos los números muy ordenaditos de 3, 4 y 5 cifras?
¿Cuál es el mayor número muy ordenadito de n cifras?
¿Cuál es el mayor número muy ordenadito de n cifras que empieza con 3?  

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1197 - Números muy ordenaditos

1196 - Jugando con Fibonacci II

En esta ocasión formaré varias secuencias tipo Fibonacci que comienzan con un mismo número, pero los segundos términos son los primos consecutivos mayores a él.
Por ejemplo si tomo como primer término al 34:

1. 34, 37, 71, 108, 179, 287
2. 34, 41, 75, 116, 191, 307
3. 34, 43, 77, 120, 197, 317
4. 34, 47, 81, 128, 209, 337
5. 34, 53, 87, 140, 227, 367
6. 34, 59, 93, 152, 245, 397
7. 34, 61, 95, 156, 251, 407
8. 34, 67, 101, 168, 269, 437
9. 34, 71, 105, 176, 281, 457
10. 34, 73, 107, 180, 287, 467

Lo curioso con estas diez secuencias es que el quinto y/o el sexto término es siempre un número primo.

Hay otros casos similares?
Evidentemente si:

1. 136, 137, 273, 410, 683, 1093
2. 136, 139, 275, 414, 689, 1103
3. 136, 149, 285, 434, 719, 1153
4. 136, 151, 287, 438, 725, 1163
5. 136, 157, 293, 450, 743, 1193
6. 136, 163, 299, 462, 761, 1223
7. 136, 167, 303, 470, 773, 1243

1. 160, 163, 323, 486, 809, 1295
2. 160, 167, 327, 494, 821, 1315
3. 160, 173, 333, 506, 839, 1345
4. 160, 179, 339, 518, 857, 1375
5. 160, 181, 341, 522, 863, 1385

1. 280, 281, 561, 842, 1403, 2245
2. 280, 283, 563, 846, 1409, 2255
3. 280, 293, 573, 866, 1439, 2305
4. 280, 307, 587, 894, 1481, 2375
5. 280, 311, 591, 902, 1493, 2395
6. 280, 313, 593, 906, 1499, 2405
7. 280, 317, 597, 914, 1511, 2425
8. 280, 331, 611, 942, 1553, 2495
9. 280, 337, 617, 954, 1571, 2525
10. 280, 347, 627, 974, 1601, 2575
11. 280, 349, 629, 978, 1607, 2585
12. 280, 353, 633, 986, 1619, 2605
13. 280, 359, 639, 998, 1637, 2635

1. 304, 307, 611, 918, 1529, 2447
2. 304, 311, 615, 926, 1541, 2467
3. 304, 313, 617, 930, 1547, 2477
4. 304, 317, 621, 938, 1559, 2497
5. 304, 331, 635, 966, 1601, 2567
6. 304, 337, 641, 978, 1619, 2597
7. 304, 347, 651, 998, 1649, 2647
8. 304, 349, 653, 1002, 1655, 2657
9. 304, 353, 657, 1010, 1667, 2677
10. 304, 359, 663, 1022, 1685, 2707
11. 304, 367, 671, 1038, 1709, 2747
12. 304, 373, 677, 1050, 1727, 2777

Aquí la mayoría de los quintos términos de estas 18 secuencias son primos

1. 17195, 17203, 34398, 51601, 85999
2. 17195, 17207, 34402, 51609, 86011
3. 17195, 17209, 34404, 51613, 86017
4. 17195, 17231, 34426, 51657, 86083
5. 17195, 17239, 34434, 51673, 86107
6. 17195, 17257, 34452, 51709, 86161
7. 17195, 17291, 34486, 51777, 86263
8. 17195, 17293, 34488, 51781, 86269
9. 17195, 17299, 34494, 51793, 86287
10. 17195, 17317, 34512, 51829, 86341
11. 17195, 17321, 34516, 51837, 86353
12. 17195, 17327, 34522, 51849, 86371
13. 17195, 17333, 34528, 51861, 86389
14. 17195, 17341, 34536, 51877, 86413
15. 17195, 17351, 34546, 51897, 86443
16. 17195, 17359, 34554, 51913, 86467
17. 17195, 17377, 34572, 51949, 86521
18. 17195, 17383, 34578, 51961, 86539

Habrá mas secuencias de este tipo, alguna con mas secuencias consecutivas ? Alguna con abundantes primos en otros términos? 

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1196 - Jugando con Fibonacci II

1195 - Jugando con Fibonacci I

La secuencia de Fibonacci es aquella que empieza 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 11, 19, etc. en donde cada término es igual a la suma de los dos anteriores. 
Se denomina a cada término como F_n . 
Así F₀ = 0, F₁ = 1, F₂ =1, F₃ = 2, etcétera.

La idea para este puzzle es cambiar los primeros dos términos de la serie  de forma tal que uno de los términos de la secuencia tenga un valor dado.

Por ejemplo hay 5 secuencias tipo Fibonacci que tienen a 10 como uno de sus términos:

Tres de 3 términos : 
1, 9, 10
2, 8 ,10
3, 7, 10

Una de 4 términos
0, 5, 5, 10

Una de 6 términos
0, 2, 2, 4, 6, 10

Siendo la secuencia mas larga esta última.

Las secuencias no pueden tener valores negativos y, si puede tener un elemento menor debe estar presente en la secuencia (es decir que 4, 6, 10 no es una secuencia válida porque se puede agregar tres términos mas por la izquierda)

¿Cuántas secuencias tipo Fibonacci hay tal que 100 sea uno de sus términos?
¿Cuál es la mas larga?

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1195 - Jugando con Fibonacci I

1194 - Eligiendo cuadrados

Mickey  eligió  dos números cuadrados de cuatro dígitos cada uno, tal que entre los dos números no hay dígitos repetidos. Mickey me dijo que dos dígitos no había usado
Mouse cuando se enteró de esto, hizo lo mismo, eligió dos números cuadrados de cuatro dígitos cada uno, tal que entre los dos usaban ocho dígitos diferentes y me dijo que dos dígitos no había usado.
Yo con esta información pude deducir que números había elegido cada uno.

Lo curioso es que si bien los dos no eligieron exactamente los mismos  números, hubo un cuadrado que si fue elegido por los dos.

¿Cuál es dicho cuadrado?

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1194 - Eligiendo cuadrados

1193 - Tres fechas primas consecutivas

- ¿Te diste cuenta que el 12 de julio y el 13 de julio de este año fueron fechas primas?
- ¿Porqué  fueron fechas primas?
- Porque  tanto 12072013 como 13072013 son números primos
- ¿Ocurrirá alguna vez que hay tres días seguidos primos?
- Eso es Im-po-si-ble! 
- Porque imposible?
- Espera, dejame pensar. No, no es imposible, podría llegar a haber tres días consecutivos  con fechas primas


¿Cuando ocurrirá en el futuro que tres días seguidos tomados como se indicó, sean fechas primas?


Aclaración los días 1 al 9 del mes se toman como números de 7 cifras ej: 1mmaaaa, 1082013

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1193 - Tres fechas primas consecutivas

1192 - Un problemas de monedas II

Siguiendo las mismas premisas que en el problema 1191.

¿Cuál es la cantidad de monedas con las cuales es posible formar 100 de la mayor cantidad posible de formas diferentes?
Por ejemplo con 4 monedas es posible formar 100 de 3 maneras diferentes :
a. 4 monedas de 25
b. 1 de 50, 2 de 20 y 1 de 10
c. 1 de 50, 1 de 25, 1 de 20 y 1 de 5

Para los mas inquietos: ¿De cuántas formas diferentes se puede formar 100?

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1192 - Un problemas de monedas II

1191 - Un problema de monedas I

Puzzle up es un sitio que todos los años en los meses de Julio Agosto saca una serie de problemas de ingenio. 
Esta semana publicaron este problema:

En un determinado país existen monedas de las siguientes denominaciones : 1, 2, 5, 10, 20, 25, 50 y 100
Usted debe seleccionar X de estas monedas para formar exactamente 100.
¿Cuál es el menor valor de X para el  cual es imposible formar 100?

Aclaración : X debe ser mayor a cero

Aclaración II: Como bien me señala Carlos en los comentarios, las monedas de dos son falsas y no se pueden usar.

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1191 - Un problema de monedas I

1190 - Bugs Bunny & Elmer

Todos sabemos que Bugs Bunny le roba las zanahorias a Elmer.
Un día Bugs cansado de que Elmer lo persiga durante todo el día le hace la siguiente proposición.
-Yo tengo hechos cinco pozos que podemos denominar de  izquierda a derecha como 1,2,3,4 y 5
Cada noche voy a dormir en un pozo diferente y adyacente al que dormí el día anterior, así si ayer dormí en el 2, hoy puede ser que duerma en el 1 o en el 3, pero si dormí en el 1 solo podré dormir en el 2 al día siguiente (lo mismo si dormí en el 5, solo podré dormir en el 4). Todas las mañanas vos vas a mirar en un solo pozo, si estoy ahí ganaste y me voy, sino gano yo y no me molestas en todo el día.
Elmer aceptó pero nunca adivina donde duerme Bugs (todos sabemos que Elmer no es muy inteligente)

¿Que táctica puede usar Elmer para encontrar a Bugs? ¿ En cuantos días se asegura de encontrarlo?
Si en vez de 5 pozos hubiera N pozos se puede establecer una estrategia similar?

Adaptado de un problema de la colección de Rustan M Leino en Microsoft Research

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1190 - Bugs Bunny & Elmer

1189 - Recorridos

¿De cuántas formas diferentes se puede ir de A hasta B, en este tablero de 8 x 8 si se puede ir de izquierda a derecha, de abajo a arriba y en diagonal de abajo hacia arriba y hacia la derecha? (No es válido retroceder)

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1189 - Recorridos