La entrada en cuestión es 1315 - Goligonos, goliedros y demás .
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viernes, 27 de junio de 2014
1328 - Mejor post del carnaval de matemáticas -Mayo 2014
Con mucho orgullo y felicidad les comento que ustedes y yo hemos ganado como mejor entrada al carnaval de matemáticas que en ésta oportunidad organizó el blog Gaussianos.
La entrada en cuestión es 1315 - Goligonos, goliedros y demás .
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viernes, 23 de mayo de 2014
1315 - Golígonos, Goliedros y demás
El otro día leyendo la página Math overflow me enteré de la existencia de los Golígonos.
Un golígono (técnicamente llamado "isógono serial de 90 grados") es cualquier polígono con todos los ángulos rectos, cuya longitud de los lados son una secuencia de números enteros. Los golígonos fueron inventados y nombrados por Lee Sallows, y popularizados por A.K. Dewdney en la columna de Scientific American de 1990.
Así lo presentaban en la revista:
"Permítanme introducirlos a un viaje en Golygon City. Usted puede realizar un viaje similar en Nueva York, Kioto o en casi cualquier gran ciudad cuyas calles forman una cuadrícula . Aquí están sus instrucciones. Camine una sola calle de la ciudad en cualquier dirección, al final de la misma gire a la izquierda o a la derecha y. camine dos cuadras más, luego gire nuevamente a la izquierda o a la derecha, y camine ahora otras tres calles mas, y así sucesivamente. Cada vez que gira, debe caminar en línea recta una cuadra más que antes. Si después de una serie de giros llega a su punto de partida, es que ha trazado un golígono. Si usted no quiere hacer ejercicio físico, puede simular fácilmente el viaje al mover un lápiz a lo largo de un pedazo de papel cuadriculado . Si queda perdido, puede ver al mapa a continuación. "
Una forma de describir a un goligono es usando puntos cardinales, así el golígono de la imagen puede describirse como : 1N 2E 3S 4W 5S 6W 7N 8E
Donde N,S, E y W significan Norte, Sur, Este y Oeste
En cualquier golígono, todos los lados horizontales tienen la misma paridad, así como también pasa en los lados verticales. Por lo tanto, el número n de lados debe permitir la solución en un sistema de ecuaciones.
No se permite pasar dos veces por un mismo punto
Un dato interesante es que se puede teselar una superficie usando golígonos:
A partir de allí muchas preguntas surgieron:
a) ¿Cuantos golígonos diferentes de 16 lados existen?
b) ¿Es posible formar golígonos con lados primos?
c) ¿Es posible formar un golígono de 8 lados que empiece en cualquier número diferente a 1?
Todas estas preguntas ya fueron respondidas
a) Es posible formar 72 golígonos distintos de 16 lados
Un ejemplo:
1N 2E 3N 4E 5S 6E 7S 8E 9S 10W 11S 12W 13N 14W 15N 16E
El número total de golígonos de 16 lados es 112.
En la Oeis aparece la siguiente secuencia A007618: 4, 112, 8432, 909288, 121106960, 18167084064, 2956370702688, 510696155882492, 92343039606440064, 17311893232788414400, 3342127071364266721200 que indica la cantidad de golígonos de largo 8n
b) Golígono con 16 lados primos :
1N 3E 5N 7W 11N 13W 17N 19E 23N 29W 31N 37E 41S 43E 47S 53W y
1N 3E 5S 7W 11S 13W 17N 19E 23N 29W 31S 37E 41S 43E 47N 53W
c) ¿Es posible formar un golígono de 8 lados que empiece en cualquier número diferente a 1?
La respuesta es sí :
1N 2E 3S 4W 5S 6W 7N 8E
2N 3E 4S 5W 6S 7W 8N 9E
3N 4E 5S 6W 7S 8W 9N 10E
etc
Podemos seguir indefinidamente porque si vemos las direcciones del primer golígono obtenemos las siguientes ecuaciones
1-3-5+7 =0 y 2-4-6+8 = 0, en los siguientes golígonos lo único que hacemos es sumarle 1 a cada término por lo que la igualdad se mantiene (sumamos y restamos 2)
Lo que preguntó Joe O’Rourke en Mathoverflow era si existia un goliedro, es decir una versión 3D de un golígono.
Adam P Goucher leyó el post y construyó el primer goliedro que se conoce que tiene 32 caras
Adam escribió un post en su blog en el cual explica como lo obtuvo.
Alexey Nigin recientemente descubrió este goliedro mas pequeño de solo 15 lados:
Actualización : Alexey Nigin encontró este Goliedro de 12 lados
Una idea que se me ocurrió leyendo sobre los golígonos es si podía haber alguno en que los lados horizontales fueran números consecutivos desde el 1 hasta n y los verticales los números que van de n+1 hasta 2n.
Evidentemente existen estas figuras ya que por ejemplo 1-2-3+4 = 0 y 5-6-7+8=0
Así por ejemplo podemos formar la siguiente figura 1E 5S 2W 6N 3W 7N 4E 8S
También se pueden hacer polígonos con lados que sean números de Fibonacci con una cantidad de lados horizontales y verticales múltiplos de 3 (ya que siempre Fi + Fi+1 = Fi+2)
Ejemplo: 1E 5S 2E 8S 3W 13N
¿Qué otras variantes para los golígonos se les ocurre?
Pd: aquí está el golígono de 8 lados primos consecutivos que me envió Carlos Rivera, empieza en el 359
y este es el de 16 lados primos consecutivos, también encontrado por Carlos Rivera
Fuentes :
Golígono en Wikipedia
Mathoverflow
Cp4 Golygons and Golyhedra
Golygons el sitio de Harry Smith
Oeis A006718
Esta entrada participa en la Edición 5.4: Martin Gardner del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es Gaussianos.
Esta entrada ganó como mejor post de dicha edición del carnaval de matemáticas
Un golígono (técnicamente llamado "isógono serial de 90 grados") es cualquier polígono con todos los ángulos rectos, cuya longitud de los lados son una secuencia de números enteros. Los golígonos fueron inventados y nombrados por Lee Sallows, y popularizados por A.K. Dewdney en la columna de Scientific American de 1990.
Así lo presentaban en la revista:
"Permítanme introducirlos a un viaje en Golygon City. Usted puede realizar un viaje similar en Nueva York, Kioto o en casi cualquier gran ciudad cuyas calles forman una cuadrícula . Aquí están sus instrucciones. Camine una sola calle de la ciudad en cualquier dirección, al final de la misma gire a la izquierda o a la derecha y. camine dos cuadras más, luego gire nuevamente a la izquierda o a la derecha, y camine ahora otras tres calles mas, y así sucesivamente. Cada vez que gira, debe caminar en línea recta una cuadra más que antes. Si después de una serie de giros llega a su punto de partida, es que ha trazado un golígono. Si usted no quiere hacer ejercicio físico, puede simular fácilmente el viaje al mover un lápiz a lo largo de un pedazo de papel cuadriculado . Si queda perdido, puede ver al mapa a continuación. "
Una forma de describir a un goligono es usando puntos cardinales, así el golígono de la imagen puede describirse como : 1N 2E 3S 4W 5S 6W 7N 8E
Donde N,S, E y W significan Norte, Sur, Este y Oeste
En cualquier golígono, todos los lados horizontales tienen la misma paridad, así como también pasa en los lados verticales. Por lo tanto, el número n de lados debe permitir la solución en un sistema de ecuaciones.
No se permite pasar dos veces por un mismo punto
Un dato interesante es que se puede teselar una superficie usando golígonos:
A partir de allí muchas preguntas surgieron:
a) ¿Cuantos golígonos diferentes de 16 lados existen?
b) ¿Es posible formar golígonos con lados primos?
c) ¿Es posible formar un golígono de 8 lados que empiece en cualquier número diferente a 1?
Todas estas preguntas ya fueron respondidas
a) Es posible formar 72 golígonos distintos de 16 lados
Un ejemplo:
1N 2E 3N 4E 5S 6E 7S 8E 9S 10W 11S 12W 13N 14W 15N 16E
El número total de golígonos de 16 lados es 112.
En la Oeis aparece la siguiente secuencia A007618: 4, 112, 8432, 909288, 121106960, 18167084064, 2956370702688, 510696155882492, 92343039606440064, 17311893232788414400, 3342127071364266721200 que indica la cantidad de golígonos de largo 8n
b) Golígono con 16 lados primos :
1N 3E 5N 7W 11N 13W 17N 19E 23N 29W 31N 37E 41S 43E 47S 53W y
1N 3E 5S 7W 11S 13W 17N 19E 23N 29W 31S 37E 41S 43E 47N 53W
 |
| Golígono con lados primos |
c) ¿Es posible formar un golígono de 8 lados que empiece en cualquier número diferente a 1?
La respuesta es sí :
1N 2E 3S 4W 5S 6W 7N 8E
2N 3E 4S 5W 6S 7W 8N 9E
3N 4E 5S 6W 7S 8W 9N 10E
etc
Podemos seguir indefinidamente porque si vemos las direcciones del primer golígono obtenemos las siguientes ecuaciones
1-3-5+7 =0 y 2-4-6+8 = 0, en los siguientes golígonos lo único que hacemos es sumarle 1 a cada término por lo que la igualdad se mantiene (sumamos y restamos 2)
Lo que preguntó Joe O’Rourke en Mathoverflow era si existia un goliedro, es decir una versión 3D de un golígono.
Adam P Goucher leyó el post y construyó el primer goliedro que se conoce que tiene 32 caras
Adam escribió un post en su blog en el cual explica como lo obtuvo.
Alexey Nigin recientemente descubrió este goliedro mas pequeño de solo 15 lados:
Actualización : Alexey Nigin encontró este Goliedro de 12 lados
Una idea que se me ocurrió leyendo sobre los golígonos es si podía haber alguno en que los lados horizontales fueran números consecutivos desde el 1 hasta n y los verticales los números que van de n+1 hasta 2n.
Evidentemente existen estas figuras ya que por ejemplo 1-2-3+4 = 0 y 5-6-7+8=0
Así por ejemplo podemos formar la siguiente figura 1E 5S 2W 6N 3W 7N 4E 8S
También se pueden hacer polígonos con lados que sean números de Fibonacci con una cantidad de lados horizontales y verticales múltiplos de 3 (ya que siempre Fi + Fi+1 = Fi+2)
Ejemplo: 1E 5S 2E 8S 3W 13N
¿Qué otras variantes para los golígonos se les ocurre?
Pd: aquí está el golígono de 8 lados primos consecutivos que me envió Carlos Rivera, empieza en el 359
Fuentes :
Golígono en Wikipedia
Mathoverflow
Cp4 Golygons and Golyhedra
Golygons el sitio de Harry Smith
Oeis A006718
Esta entrada participa en la Edición 5.4: Martin Gardner del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es Gaussianos.
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viernes, 22 de noviembre de 2013
1259 - Contraseñas, contraseñas, contraseñas!
El martes quise hacer una transacción bancaria por Internet y luego de colocar mi documento y la contraseña, la página me indicaba que o bien el documento o bien la contraseña estaban equivocados, volví a colocar los mismos datos y me apareció un cartelito en el que se me indicaba que mi cuenta estaba bloqueada por haber introducido mal dos veces la contraseña. Al ver este cartel, me dí cuenta que un mes atrás el banco me había obligado a cambiar la contraseña ya que habían pasado dos meses desde la última vez que había cambiado la contraseña.
Haciendo un cálculo rápido me di cuenta que tengo que recordar mas de 50 contraseñas distintas (contando las telefónicas, bancarias, número de usuario, nombre de usuario, emails, facebook, twitter, etc)
En un comienzo tenía la misma para todas las cuentas, luego cuando empecé a leer sobre lo fácil que es descubrir una contraseña de 6 caracteres, decidí aumentar el número de los mismos a 11, usando mayúsculas y caracteres "extraños". El inconveniente que tuve es que en cada sitio el número de caracteres permitidos es distinto y en algunos lugares solo se permiten números. Además la frecuencia de cambio es distinta para cada lugar.
Así fui teniendo cada vez mas contraseñas, sobre una misma base de caracteres y números (siempre y cuando se pudiera), en un principio cuando me pedían un cambio de contraseña, cambiaba todas las demás, pero a medida que tenia mas y mas contraseñas el sistema me venció (como me pasó el otro día)
Pregunta ¿ Alguien tiene un buen método para usar una misma contraseña en varios lugares diferentes?
Hace un tiempo había pensado como hacer para crear y memorizar números gigantes no triviales, y que no tuvieran ciclos
Así uno de los números era :
1484938271594176655109912233412359247920247269360925950493856793681363457146914123592479290137025704....
Si eres de los que te gusta resolver problemas no sigas leyendo y trata de deducir que método usé.
.
.
.
.
.
.
.
El método es simple, en primer lugar escribo cualquier número en este caso, lo mas fácil el uno.
Para la segunda cifra o sea la que va a estar en la posición "dos" sumo la cantidad de letras de "dos" o sea 3 a la cifra anterior o sea 1 , así 3+1=4.
Para la cifra que va a estar en la posición "tres" sumo su cantidad de letras o sea 4 a la cifra anterior, así 4+4 =8
Para la cifra que va a estar en la posición "cuatro" sumo la cantidad de letras de "cuatro" o sea 6 a la cifra anterior, 8, así 6+8 = 14, aquí obtengo un número de dos cifras , tengo dos alternativas o escribo el número entero o solo escribo la última cifra. En este ejemplo hago esto último. Si escribiera las dos, sigo con la cifra que va ir en la posición seis y no la que va en la cinco como en este caso.
El proceso sigue indefinidamente hasta la cantidad de cifras que quiero que tenga el número.
¿Qué pasa si queremos generar mas números como estos y recordarlos?
Es fácil, en vez de empezar con 1 empezamos con cualquier número que querramos, así si empezamos con 2 obtenemos:
2595049382605287766210023344523460358031358370471036061504967804792474568257025234603580301248136815.....
El primer número puede tener una o mas cifras por ejemplo puede ser tu número de documento o el de la dirección de tu casa.
Así si tomo 1259 (como el número de este post) empezaría así
Posición 1234 5678
Letras 5454
1259 4837... etc
¿Alguien conoce o se le ocurre algún otro método para generar números largos y recordarlos?
Esta entrada forma parte de esta edición del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza zfnews
Haciendo un cálculo rápido me di cuenta que tengo que recordar mas de 50 contraseñas distintas (contando las telefónicas, bancarias, número de usuario, nombre de usuario, emails, facebook, twitter, etc)
En un comienzo tenía la misma para todas las cuentas, luego cuando empecé a leer sobre lo fácil que es descubrir una contraseña de 6 caracteres, decidí aumentar el número de los mismos a 11, usando mayúsculas y caracteres "extraños". El inconveniente que tuve es que en cada sitio el número de caracteres permitidos es distinto y en algunos lugares solo se permiten números. Además la frecuencia de cambio es distinta para cada lugar.
Así fui teniendo cada vez mas contraseñas, sobre una misma base de caracteres y números (siempre y cuando se pudiera), en un principio cuando me pedían un cambio de contraseña, cambiaba todas las demás, pero a medida que tenia mas y mas contraseñas el sistema me venció (como me pasó el otro día)
Pregunta ¿ Alguien tiene un buen método para usar una misma contraseña en varios lugares diferentes?
Hace un tiempo había pensado como hacer para crear y memorizar números gigantes no triviales, y que no tuvieran ciclos
Así uno de los números era :
1484938271594176655109912233412359247920247269360925950493856793681363457146914123592479290137025704....
Si eres de los que te gusta resolver problemas no sigas leyendo y trata de deducir que método usé.
.
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El método es simple, en primer lugar escribo cualquier número en este caso, lo mas fácil el uno.
Para la segunda cifra o sea la que va a estar en la posición "dos" sumo la cantidad de letras de "dos" o sea 3 a la cifra anterior o sea 1 , así 3+1=4.
Para la cifra que va a estar en la posición "tres" sumo su cantidad de letras o sea 4 a la cifra anterior, así 4+4 =8
Para la cifra que va a estar en la posición "cuatro" sumo la cantidad de letras de "cuatro" o sea 6 a la cifra anterior, 8, así 6+8 = 14, aquí obtengo un número de dos cifras , tengo dos alternativas o escribo el número entero o solo escribo la última cifra. En este ejemplo hago esto último. Si escribiera las dos, sigo con la cifra que va ir en la posición seis y no la que va en la cinco como en este caso.
El proceso sigue indefinidamente hasta la cantidad de cifras que quiero que tenga el número.
¿Qué pasa si queremos generar mas números como estos y recordarlos?
Es fácil, en vez de empezar con 1 empezamos con cualquier número que querramos, así si empezamos con 2 obtenemos:
2595049382605287766210023344523460358031358370471036061504967804792474568257025234603580301248136815.....
El primer número puede tener una o mas cifras por ejemplo puede ser tu número de documento o el de la dirección de tu casa.
Así si tomo 1259 (como el número de este post) empezaría así
Posición 1234 5678
Letras 5454
1259 4837... etc
¿Alguien conoce o se le ocurre algún otro método para generar números largos y recordarlos?
Esta entrada forma parte de esta edición del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza zfnews
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miércoles, 25 de septiembre de 2013
1225 - Calculando logaritmos
Los logaritmos son muy útiles para realizar cálculos con números grandes
Hoy en día con las calculadoras modernas e internet se puede hacer todo tipo de cálculos rapidamente y sin tener ningún tipo de conocimiento matemático, pero cuando no se disponen de estas herramientas usar logaritmos para hacer cálculos aproximados es muy útil. Claro que para poder usarlos hay que tener una tabla de logaritmos o saber algunos logaritmos de memoria para poder hacer las cuentas.
Sin embargo es posible deducir muchos logaritmos decimales sin tener que memorizarlos.
Solo hay que saber unas cosas básicas que cualquier persona que haya terminado el colegio sabe.
En primer lugar un repaso sobre los logaritmos (log) y sus características principales:
- El logaritmo en base b de un número X es el número al cual hay que elevar a b para obtener X.
En esta entrada usaré solo logaritmos en base 10 o decimales por lo tanto se puede adaptar la definición anterior :
- El logaritmo decimal de un número X es el número al cual hay que elevar a 10 para obtener X.
Así por ejemplo el log de 10 es el número al que hay que elevar a 10 para que nos de 10 por lo tanto log 10 = 1 ya que 101 = 10.
- El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores (y el de una division es la resta):
así el logaritmo de 35 = log (7x5) = log 7 + log 5
- El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base
Ejemplo log 100 = log 102 = 2 log 10 = 2
Es muy fácil por lo tanto calcular los logaritmos de las potencias de diez, el valor del logaritmo es igual a la cantidad de ceros que tiene dicha potencia
Sabiendo estas cosas básicas y usando aproximaciones podemos deducir los valores de muchos logaritmos:
Logaritmo de 2
210 = 1024 ~ 1000 = 103
entonces 10 x log 2 = 3 x log 10
log 2 = 3/10 = 0.3
Valor real = 0.30103
Logaritmo de 3
Para calcular el log de 3 sabiendo el de 2, hay que notar que 216 = 65536 y 38 = 6561
por lo tanto 216 ~ 10 x 38 aplicando logaritmos
16 log 2 = 1 + 8 log 3
log 3 = 16/8 log 2 - 1/8 = 2 log 2 - 0.125 = 0.477
log 3 = 0.477
Mas fácil para recordar:
34 = 81 ~ 80 = 10 x 23
4 log 3 = 3 log 2 + 1
log 3 = 3/4 log 2 + 1/4 = 0.476 ~ 0.477
Logaritmo de 4
4 = 2x2
log 4 = log 2 + log 2 = 0.602
log 4 = 0.602
Logaritmo de 5
5 = 10/2
log 5 = log 10 - log 2 = 1 - 0.301 = 0.699
log 5 = 0.699
Logaritmo de 6
6 = 2 x 3
log 6 = log 2 + log 3 = 0.301 + 0.477 = 0.778
log 6 = 0.778
Logaritmo de 7
En este caso aprovechamos que 74 = 2401 ~ 2400 = 23 x 3 x 100 por lo tanto:
74 ~ 23 x 3 x 100
4 log 7 = 3 log 2 + log 3 + log 100
log 7 = (0.903 + 0.477 + 2) / 4
log 7 = 0.845
Más fácil para recordar
72 ~ 50 = 5 x 10
2 log 7 = log 5 + log 10
log 7 = log 5/2 + 1/2 = 0.699/2 + 0.5 = 0.849 ~ 0.845
Logaritmo 8
8 = 23
log 8 = 3 log 2
log 8 = 0.903
Logaritmo de 9
9 = 3x3
log 9 = log 3 + log 3
log 9 = 0.954
Habiendo obtenido estos valores es fácil calcular los logaritmos de 1.5, 2.5, 3.5, 4.5
El de 5.5 se puede calcular haciendo el promedio entre el de 5.4 (6x9/10) y el de 5.6 (7x8/10), con el valor del log de 5.5 podemos deducir el de 11 (5.5 x 2) y con el de 11 el de 6.6 (6x11/10) lo que nos permite calcular el de 6.5 por promedio, y así obtener el de 13, de la misma forma podemos obtener el de 8.5 y con este el de 17
Esta entrada participa de la edición 4.123105 del Carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza el blog Cifras y Teclas
Hoy en día con las calculadoras modernas e internet se puede hacer todo tipo de cálculos rapidamente y sin tener ningún tipo de conocimiento matemático, pero cuando no se disponen de estas herramientas usar logaritmos para hacer cálculos aproximados es muy útil. Claro que para poder usarlos hay que tener una tabla de logaritmos o saber algunos logaritmos de memoria para poder hacer las cuentas.
Sin embargo es posible deducir muchos logaritmos decimales sin tener que memorizarlos.
Solo hay que saber unas cosas básicas que cualquier persona que haya terminado el colegio sabe.
En primer lugar un repaso sobre los logaritmos (log) y sus características principales:
- El logaritmo en base b de un número X es el número al cual hay que elevar a b para obtener X.
En esta entrada usaré solo logaritmos en base 10 o decimales por lo tanto se puede adaptar la definición anterior :
- El logaritmo decimal de un número X es el número al cual hay que elevar a 10 para obtener X.
Así por ejemplo el log de 10 es el número al que hay que elevar a 10 para que nos de 10 por lo tanto log 10 = 1 ya que 101 = 10.
- El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores (y el de una division es la resta):
así el logaritmo de 35 = log (7x5) = log 7 + log 5
- El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base
Ejemplo log 100 = log 102 = 2 log 10 = 2
Es muy fácil por lo tanto calcular los logaritmos de las potencias de diez, el valor del logaritmo es igual a la cantidad de ceros que tiene dicha potencia
Sabiendo estas cosas básicas y usando aproximaciones podemos deducir los valores de muchos logaritmos:
Logaritmo de 2
210 = 1024 ~ 1000 = 103
entonces 10 x log 2 = 3 x log 10
log 2 = 3/10 = 0.3
Valor real = 0.30103
Logaritmo de 3
Para calcular el log de 3 sabiendo el de 2, hay que notar que 216 = 65536 y 38 = 6561
por lo tanto 216 ~ 10 x 38 aplicando logaritmos
16 log 2 = 1 + 8 log 3
log 3 = 16/8 log 2 - 1/8 = 2 log 2 - 0.125 = 0.477
log 3 = 0.477
Mas fácil para recordar:
34 = 81 ~ 80 = 10 x 23
4 log 3 = 3 log 2 + 1
log 3 = 3/4 log 2 + 1/4 = 0.476 ~ 0.477
Logaritmo de 4
4 = 2x2
log 4 = log 2 + log 2 = 0.602
log 4 = 0.602
Logaritmo de 5
5 = 10/2
log 5 = log 10 - log 2 = 1 - 0.301 = 0.699
log 5 = 0.699
Logaritmo de 6
6 = 2 x 3
log 6 = log 2 + log 3 = 0.301 + 0.477 = 0.778
log 6 = 0.778
Logaritmo de 7
En este caso aprovechamos que 74 = 2401 ~ 2400 = 23 x 3 x 100 por lo tanto:
74 ~ 23 x 3 x 100
4 log 7 = 3 log 2 + log 3 + log 100
log 7 = (0.903 + 0.477 + 2) / 4
log 7 = 0.845
Más fácil para recordar
72 ~ 50 = 5 x 10
2 log 7 = log 5 + log 10
log 7 = log 5/2 + 1/2 = 0.699/2 + 0.5 = 0.849 ~ 0.845
Logaritmo 8
8 = 23
log 8 = 3 log 2
log 8 = 0.903
Logaritmo de 9
9 = 3x3
log 9 = log 3 + log 3
log 9 = 0.954
Habiendo obtenido estos valores es fácil calcular los logaritmos de 1.5, 2.5, 3.5, 4.5
El de 5.5 se puede calcular haciendo el promedio entre el de 5.4 (6x9/10) y el de 5.6 (7x8/10), con el valor del log de 5.5 podemos deducir el de 11 (5.5 x 2) y con el de 11 el de 6.6 (6x11/10) lo que nos permite calcular el de 6.5 por promedio, y así obtener el de 13, de la misma forma podemos obtener el de 8.5 y con este el de 17
Esta entrada participa de la edición 4.123105 del Carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza el blog Cifras y Teclas
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lunes, 17 de junio de 2013
1158 - ¿Qué número compuesto solo por nueves es múltiplo de 2013?
Es posible encontrar un número formado solo por nueves que sea múltiplo de 2013?
La respuesta es si, y esto es posible porque "Todo número que no es múltiplo de dos o de cinco tiene un múltiplo formado por solo nueves".
Es decir que en la sucesión 9, 99, 999, 9999, 99999,... etcétera, encontraremos siempre un múltiplo de cualquier número impar no terminado en cinco
Como hallar dicho número compuesto solo por nueves para un determinado número N?
Existe un método "relativamente" rápido sin tener la necesidad de probar una a una las sucesivas divisiones 9/N, 99/N, 999/N, para determinar el múltiplo.
En primer lugar calculamos 1/N, esta división genera un número decimal.
Al no ser N ni múltiplo de 5, ni de 2, el decimal es periódico puro, es decir que existe un grupo de cifras que se repiten indefinidamente inmediatamente después de la coma decimal.
La longitud de dicho período es siempre menor a N, siendo como máximo igual a N-1, de ahí que haya puesto que el método es relativamente rápido.
Una vez obtenida la división solo hay que contar la cantidad de números que forman el periodo a partir de la coma.
El número formado por esa cantidad de nueves es el múltiplo buscado.
Porque?
Es sabido que los números decimales periódicos puros menores a uno se pueden expresar como P / 9...9 donde el numerador son los números que forman el período y el denominador está formado por la misma cantidad de nueves que largo tiene el período, entonces tenemos :
1 / N = P / 9...9
por lo tanto
9...9 = N x P
Veamos un ejemplo, queremos hallar que número formado solo por nueves es múltiplo de 17.
Calculamos 1/17 = 0.0588235294117647...
Como el período tiene 16 cifras, 9999999999999999 es el múltiplo de 17 buscado.
Ahora ya saben como encontrar el múltiplo de 2013 formado por solo nueves, el cual es un poco mas largo que el de 17.
Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza el blog Geometría dinámica
La respuesta es si, y esto es posible porque "Todo número que no es múltiplo de dos o de cinco tiene un múltiplo formado por solo nueves".
Es decir que en la sucesión 9, 99, 999, 9999, 99999,... etcétera, encontraremos siempre un múltiplo de cualquier número impar no terminado en cinco
Como hallar dicho número compuesto solo por nueves para un determinado número N?
Existe un método "relativamente" rápido sin tener la necesidad de probar una a una las sucesivas divisiones 9/N, 99/N, 999/N, para determinar el múltiplo.
En primer lugar calculamos 1/N, esta división genera un número decimal.
Al no ser N ni múltiplo de 5, ni de 2, el decimal es periódico puro, es decir que existe un grupo de cifras que se repiten indefinidamente inmediatamente después de la coma decimal.
La longitud de dicho período es siempre menor a N, siendo como máximo igual a N-1, de ahí que haya puesto que el método es relativamente rápido.
Una vez obtenida la división solo hay que contar la cantidad de números que forman el periodo a partir de la coma.
El número formado por esa cantidad de nueves es el múltiplo buscado.
Porque?
Es sabido que los números decimales periódicos puros menores a uno se pueden expresar como P / 9...9 donde el numerador son los números que forman el período y el denominador está formado por la misma cantidad de nueves que largo tiene el período, entonces tenemos :
1 / N = P / 9...9
por lo tanto
9...9 = N x P
Veamos un ejemplo, queremos hallar que número formado solo por nueves es múltiplo de 17.
Calculamos 1/17 = 0.0588235294117647...
Como el período tiene 16 cifras, 9999999999999999 es el múltiplo de 17 buscado.
Ahora ya saben como encontrar el múltiplo de 2013 formado por solo nueves, el cual es un poco mas largo que el de 17.
Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza el blog Geometría dinámica
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martes, 21 de mayo de 2013
1141 - La constante e en el triángulo de Pascal
La semana pasada encontré en Cut the Knot, este artículo que relaciona a e con el triángulo de Pascal, como es un descubrimiento relativamente reciente les traduzco lo que leí:
Harlan J. Brothers ha descubierto recientemente la constante fundamental "e" oculta en el triángulo de Pascal, para ello en lugar de las sumas de los elementos de cada fila, toma sus productos, así en las primeras filas:
Demostración:
Los términos de la nª fila del triángulo de Pascal son los coeficientes binomiales
, de modo que el producto de los términos de la fila n, Sn es :
Entonces el producto de una fila dividido por el producto de la fila inmediatamente inferior es
por lo tanto
La cual es una expresión bien conocida cuyo límite es e
Referencias:
H. J. Brothers, Pascal's triangle: The hidden stor-e, The Mathematical Gazette, March 2012, 145
H. J. Brothers, Finding e in Pascal's triangle, Mathematics Magazine, 85, No. 1 (2012), 51
Este artículo es una traducción del escrito en cut the knot
Esta entrada participa del carnaval de matemáticas edición 4.12312 que en esta ocasión organiza el blog Matemáticas interactivas
Harlan J. Brothers ha descubierto recientemente la constante fundamental "e" oculta en el triángulo de Pascal, para ello en lugar de las sumas de los elementos de cada fila, toma sus productos, así en las primeras filas:
Demostración:
Los términos de la nª fila del triángulo de Pascal son los coeficientes binomiales
Entonces el producto de una fila dividido por el producto de la fila inmediatamente inferior es
por lo tanto
La cual es una expresión bien conocida cuyo límite es e
Referencias:
H. J. Brothers, Pascal's triangle: The hidden stor-e, The Mathematical Gazette, March 2012, 145
H. J. Brothers, Finding e in Pascal's triangle, Mathematics Magazine, 85, No. 1 (2012), 51
Este artículo es una traducción del escrito en cut the knot
Esta entrada participa del carnaval de matemáticas edición 4.12312 que en esta ocasión organiza el blog Matemáticas interactivas
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viernes, 26 de abril de 2013
1127 - Acomodando los números II
En esta ocasión haya que acomodar los números de 1 a N, para que el producto de dos números vecinos menos uno sea primo:
Para N = 2 no es posible
N = 3 1 3 2
N = 4 1 3 2 4
N = 5 1 3 2 4 5
N = 6 1 3 2 4 5 6
N = 7 1 3 2 4 5 6 7
N = 8 8 1 3 2 4 5 6 7
N = 9 9 8 1 3 2 4 5 6 7
N = 10 10 9 8 1 3 2 4 5 6 7
N = 11 11 10 9 8 1 3 2 4 5 6 7
N = 12 12 11 10 9 8 1 3 2 4 5 6 7
¿Se podrá siempre ordenar los números de 1 a N para que el producto menos uno de dos números vecinos sea primo?
Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas edición 4.123 que en esta ocasión organiza el blog Eulerianos
Para N = 2 no es posible
N = 3 1 3 2
N = 4 1 3 2 4
N = 5 1 3 2 4 5
N = 6 1 3 2 4 5 6
N = 7 1 3 2 4 5 6 7
N = 8 8 1 3 2 4 5 6 7
N = 9 9 8 1 3 2 4 5 6 7
N = 10 10 9 8 1 3 2 4 5 6 7
N = 11 11 10 9 8 1 3 2 4 5 6 7
N = 12 12 11 10 9 8 1 3 2 4 5 6 7
¿Se podrá siempre ordenar los números de 1 a N para que el producto menos uno de dos números vecinos sea primo?
Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas edición 4.123 que en esta ocasión organiza el blog Eulerianos
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jueves, 25 de abril de 2013
1126 - Acomodando los números I
Colocar los números de 1 a N en fila de forma tal que el producto de dos números vecinos mas uno sea primo:
N = 2 1 2
N = 3 1 2 3
N = 4 1 2 3 4
N = 5 5 2 3 4 1
N = 6 5 2 3 4 1 6
N = 7 5 2 3 4 1 6 7
N = 8 8 5 2 3 4 1 6 7
N = 9 9 8 5 2 3 4 1 6 7
N = 10 9 8 5 2 3 4 1 6 7 10
La pregunta es obvia, ¿Se podrá siempre ordenar los números de 1 a N para que el producto mas uno de dos números vecinos sea primo?
Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas edición 4.123 que en esta ocasión organiza el blog Eulerianos
N = 2 1 2
N = 3 1 2 3
N = 4 1 2 3 4
N = 5 5 2 3 4 1
N = 6 5 2 3 4 1 6
N = 7 5 2 3 4 1 6 7
N = 8 8 5 2 3 4 1 6 7
N = 9 9 8 5 2 3 4 1 6 7
N = 10 9 8 5 2 3 4 1 6 7 10
La pregunta es obvia, ¿Se podrá siempre ordenar los números de 1 a N para que el producto mas uno de dos números vecinos sea primo?
Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas edición 4.123 que en esta ocasión organiza el blog Eulerianos
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miércoles, 24 de abril de 2013
1125 - Expresando números en otras bases como Repdigit
Para cualquier número par se cumple la siguiente igualdad:
por lo tanto si escribimos dicho número en base
sera 22 :
Podemos generalizar esta propiedad para cualquier número n múltiplo de a, por lo tanto se escribe como aa en base
Así si n es igual a este año, 2013 = 3 x 11 x 61, lo podemos escribir como repdigit en base 670 (n/3 -1)
(2520)10 = (22)1259 = (33)839 = (44)629 = (55)503 = (66)419 = (77)359 = (88)314 = (99)279
Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas edición 4.123 que en esta ocasión organiza el blog Eulerianos
por lo tanto si escribimos dicho número en base
sera 22 :Podemos generalizar esta propiedad para cualquier número n múltiplo de a, por lo tanto se escribe como aa en base
que resulta de la identidad:
Así si n es igual a este año, 2013 = 3 x 11 x 61, lo podemos escribir como repdigit en base 670 (n/3 -1)
(2013)10 = (33)670
En cambio 2520 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 7 se puede escribir como repdigit en 8 bases
(2520)10 = (22)1259 = (33)839 = (44)629 = (55)503 = (66)419 = (77)359 = (88)314 = (99)279
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martes, 23 de abril de 2013
1124 - Los últimos serán los primeros
Cuentan que un día se reunieron los últimos dígitos cansados de estar siempre detras del uno.
- ¿Porqué siempre el uno va primero? - preguntó el 9 - Estoy cansado de ser siempre el último, no es justo
- ¿Si, y por que el dos va detrás, y nosotros siempre atrás? - preguntó el ocho
- ¿Y como piensan cambiar el orden? - preguntó el siete
- Lo mas fácil sería multiplicarnos por menos uno - dijo el seis - pero sabemos que eso no nos está permitido
- Es verdad, pero debe haber alguna manera de que cambiemos el orden - propuso el ocho
- Yo tengo una solución - dijo el cinco - aunque para mi va a ser lo mismo porque voy a quedar en el medio igual que antes, aunque los últimos serán los primeros y los primeros serán los últimos.
- Dinos tu solución
- Podemos multiplicarnos por el 329 y listo
- ¿Te volviste loco? Si nos multiplicamos por 329 quedariamos así:
1 = 329
2 = 658
3 = 987
4 = 1316
5 = 1645
6 = 1974
7 = 2303
8 = 2632
9 = 2961
y yo seguiria siendo el último dijo el 9
- Estás equivocado, tienes que mirarlo con otros ojos, piensalo un rato y si no te das cuenta yo te lo explicaré.
Antes de seguir leyendo trata de resolver lo que plantea el cinco
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Solución :
Para ver lo que queria decir el cinco solo hay que escribir en letras el resultado:
1 329 TRESCIENTOS VEINTINUEVE
2 658 SEISCIENTOS CINCUENTA Y OCHO
3 987 NOVECIENTOS OCHENTA Y SIETE
4 1316 MIL TRESCIENTOS DIECISEIS
5 1645 MIL SEISCIENTOS CUARENTA Y CINCO
6 1974 MIL NOVECIENTOS SETENTA Y CUATRO
7 2303 DOS MIL TRESCIENTOS TRES
8 2632 DOS MIL SEISCIENTOS TREINTA Y DOS
9 2961 DOS MIL NOVECIENTOS SESENTA Y UNO
y si aún no lo tienes claro, ordena alfabeticamente los resultados:
9 2961 DOS MIL NOVECIENTOS SESENTA Y UNO
8 2632 DOS MIL SEISCIENTOS TREINTA Y DOS
7 2303 DOS MIL TRESCIENTOS TRES
6 1974 MIL NOVECIENTOS SETENTA Y CUATRO
5 1645 MIL SEISCIENTOS CUARENTA Y CINCO
4 1316 MIL TRESCIENTOS DIECISEIS
3 987 NOVECIENTOS OCHENTA Y SIETE
2 658 SEISCIENTOS CINCUENTA Y OCHO
1 329 TRESCIENTOS VEINTINUEVE
Este orden inverso se mantiene si multiplicamos los primeros dígitos por 330, 331, 332 y 333
Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas edición 4.123 que en esta ocasión organiza el blog Eulerianos
- ¿Porqué siempre el uno va primero? - preguntó el 9 - Estoy cansado de ser siempre el último, no es justo
- ¿Si, y por que el dos va detrás, y nosotros siempre atrás? - preguntó el ocho
- ¿Y como piensan cambiar el orden? - preguntó el siete
- Lo mas fácil sería multiplicarnos por menos uno - dijo el seis - pero sabemos que eso no nos está permitido
- Es verdad, pero debe haber alguna manera de que cambiemos el orden - propuso el ocho
- Yo tengo una solución - dijo el cinco - aunque para mi va a ser lo mismo porque voy a quedar en el medio igual que antes, aunque los últimos serán los primeros y los primeros serán los últimos.
- Dinos tu solución
- Podemos multiplicarnos por el 329 y listo
- ¿Te volviste loco? Si nos multiplicamos por 329 quedariamos así:
1 = 329
2 = 658
3 = 987
4 = 1316
5 = 1645
6 = 1974
7 = 2303
8 = 2632
9 = 2961
y yo seguiria siendo el último dijo el 9
- Estás equivocado, tienes que mirarlo con otros ojos, piensalo un rato y si no te das cuenta yo te lo explicaré.
Antes de seguir leyendo trata de resolver lo que plantea el cinco
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Solución :
Para ver lo que queria decir el cinco solo hay que escribir en letras el resultado:
1 329 TRESCIENTOS VEINTINUEVE
2 658 SEISCIENTOS CINCUENTA Y OCHO
3 987 NOVECIENTOS OCHENTA Y SIETE
4 1316 MIL TRESCIENTOS DIECISEIS
5 1645 MIL SEISCIENTOS CUARENTA Y CINCO
6 1974 MIL NOVECIENTOS SETENTA Y CUATRO
7 2303 DOS MIL TRESCIENTOS TRES
8 2632 DOS MIL SEISCIENTOS TREINTA Y DOS
9 2961 DOS MIL NOVECIENTOS SESENTA Y UNO
y si aún no lo tienes claro, ordena alfabeticamente los resultados:
9 2961 DOS MIL NOVECIENTOS SESENTA Y UNO
8 2632 DOS MIL SEISCIENTOS TREINTA Y DOS
7 2303 DOS MIL TRESCIENTOS TRES
6 1974 MIL NOVECIENTOS SETENTA Y CUATRO
5 1645 MIL SEISCIENTOS CUARENTA Y CINCO
4 1316 MIL TRESCIENTOS DIECISEIS
3 987 NOVECIENTOS OCHENTA Y SIETE
2 658 SEISCIENTOS CINCUENTA Y OCHO
1 329 TRESCIENTOS VEINTINUEVE
Este orden inverso se mantiene si multiplicamos los primeros dígitos por 330, 331, 332 y 333
Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas edición 4.123 que en esta ocasión organiza el blog Eulerianos
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lunes, 22 de abril de 2013
1123 - De la nada todo
Todos las personas que leen sobre matemáticas conocen aquel problema en el que con cuatro cuatros y usando operaciones matemáticas deben obtenerse los números del uno al cien.
En este blog yo hice una entrada en el que en vez de usar cuatro cuatros, usaba una fórmula general en la que participaban cuatro dígitos iguales y sea cual sea dicho digito el resultado es el mismo (799 - El problema de los cuatro dígitos).
En la página Integermania encontraron la siguiente fórmula que permite obtener cualquier número a partir de la nada :
donde el valor de n es igual a la cantidad de simbolos porcentaje que hay.
Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas edición 4.123 que en esta ocasión organiza el blog Eulerianos
En este blog yo hice una entrada en el que en vez de usar cuatro cuatros, usaba una fórmula general en la que participaban cuatro dígitos iguales y sea cual sea dicho digito el resultado es el mismo (799 - El problema de los cuatro dígitos).
En la página Integermania encontraron la siguiente fórmula que permite obtener cualquier número a partir de la nada :
Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas edición 4.123 que en esta ocasión organiza el blog Eulerianos
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martes, 19 de marzo de 2013
1103- Impresiona a tus conocidos con primos largos y fáciles de recordar
Los números primos siempre han fascinado a todos a los que les gustan las matemáticas. Dentro de los infinitos primos hay muchos que toman una forma curiosa y estéticamente son mas atractivos que otros. Además hay muchos que son fáciles de recordar, en esta entrada les mostraré algunos de los este tipo que encontré
a) Primos que resultan de la concatenación de los impares
135791113151719
135791113151719212325272931
135791113151719212325272931333537394143454749515355575961636567
b) Primos que resultan de sumar de a tres
Se empieza con un número y los siguiente son el resultado de sumar dicho número mas tres
14710131619
14710131619222528313437
47101316192225283134374043464952555861646770737679828588919497100103
58111417202326293235384144475053565962656871
8111417202326293235384144475053565962656871747780838689
c) Primos que resultan de sumar de a cinco
38131823
38131823283338434853586368737883
d) Primos que resultan de sumar 99
Empiezo con 2, lo concateno con 101, 200, etc (total 195 cifras)
210120029939849759669579489399210911190128913881487158616851784188319822081218022792378247725762675277428732972307131703269336834673566366537643863396240614160425943584457455646554754485349525051
e) Primos que resultan de sumar 100
Empezando con el 3 hasta el 3703 (140 dígitos)
31032033034035036037038039031003110312031303140315031603170318031903200321032203230324032503260327032803290330033103320333033403350336033703
Empezando con el 11 hasta el 5711(195 dígitos)
11111211311411511611711811911101111111211131114111511161117111811191120112111221123112411251126112711281129113011311132113311341135113611371138113911401141114211431144114511461147114811491150115111521153115411551156115711
f) Primos ascendentes
Empiezo por el 1 hasta el 9, luego se repiten del 1 al 0
123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901
Este número lo podemos representar (1234567890)17 1
Otros ejemplos usando esta notación
(2345678901)8 23
(2345678901)11 23456789
(2345678901)15 23456789
(3456789012)17 345678901
4567
45678901
(4567890123)19 4567
56789012345678901234567890123
678901
6789012345)3 678901
(6789012345)12 67
78901
789012345678901
(7890123456)5 7
(8901234567)889
(8901234567)15 89
9012345678901
(9012345678)2 901234567
(9012345678)4 901
g) Primos descendientes
109
10987
1098765432)3 10987
(1098765432)13 109876543
(1098765432)15 109
(1098765432)25 109 Este tiene 253 dígitos
(4321098765)6 4321
(4321098765)17 432109
h) Primos capicúas
123424321
12345254321
1234562654321
(1234567890)70 2 (0987654321)70 Con 141 dígitos
123456737654321
(1234567890)3 1234 3 4321 (0987654321)3
12421
12345678487654321
1234567894987654321
123456789012343210987654321
(1234567890)24(0987654321)2
1235321
1234565654321
12721
12821
123484321
12345854321
123456789012345678901282109876543210987654321
123456789012345678901234585432109876543210987654321
(1234567890)8 12345854321 (0987654321)8
123494321
123456797654321
12345678901234567976543210987654321
y por último un capicúa de 211 dígitos todos impares :
(13579)21 1 (97531)21
Esta entrada forma parte de la edición 4.12 del carnaval de matematicas que en esta ocasión organiza High Ability Dimension
a) Primos que resultan de la concatenación de los impares
135791113151719
135791113151719212325272931
135791113151719212325272931333537394143454749515355575961636567
b) Primos que resultan de sumar de a tres
Se empieza con un número y los siguiente son el resultado de sumar dicho número mas tres
14710131619
14710131619222528313437
47101316192225283134374043464952555861646770737679828588919497100103
58111417202326293235384144475053565962656871
8111417202326293235384144475053565962656871747780838689
c) Primos que resultan de sumar de a cinco
38131823
38131823283338434853586368737883
d) Primos que resultan de sumar 99
Empiezo con 2, lo concateno con 101, 200, etc (total 195 cifras)
210120029939849759669579489399210911190128913881487158616851784188319822081218022792378247725762675277428732972307131703269336834673566366537643863396240614160425943584457455646554754485349525051
e) Primos que resultan de sumar 100
Empezando con el 3 hasta el 3703 (140 dígitos)
31032033034035036037038039031003110312031303140315031603170318031903200321032203230324032503260327032803290330033103320333033403350336033703
Empezando con el 11 hasta el 5711(195 dígitos)
11111211311411511611711811911101111111211131114111511161117111811191120112111221123112411251126112711281129113011311132113311341135113611371138113911401141114211431144114511461147114811491150115111521153115411551156115711
f) Primos ascendentes
Empiezo por el 1 hasta el 9, luego se repiten del 1 al 0
123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901
Este número lo podemos representar (1234567890)17 1
Otros ejemplos usando esta notación
(2345678901)8 23
(2345678901)11 23456789
(2345678901)15 23456789
(3456789012)17 345678901
4567
45678901
(4567890123)19 4567
56789012345678901234567890123
678901
6789012345)3 678901
(6789012345)12 67
78901
789012345678901
(7890123456)5 7
(8901234567)889
(8901234567)15 89
9012345678901
(9012345678)2 901234567
(9012345678)4 901
g) Primos descendientes
109
10987
1098765432)3 10987
(1098765432)13 109876543
(1098765432)15 109
(1098765432)25 109 Este tiene 253 dígitos
(4321098765)6 4321
(4321098765)17 432109
h) Primos capicúas
123424321
12345254321
1234562654321
(1234567890)70 2 (0987654321)70 Con 141 dígitos
123456737654321
(1234567890)3 1234 3 4321 (0987654321)3
12421
12345678487654321
1234567894987654321
123456789012343210987654321
(1234567890)24(0987654321)2
1235321
1234565654321
12721
12821
123484321
12345854321
123456789012345678901282109876543210987654321
123456789012345678901234585432109876543210987654321
(1234567890)8 12345854321 (0987654321)8
123494321
123456797654321
12345678901234567976543210987654321
y por último un capicúa de 211 dígitos todos impares :
(13579)21 1 (97531)21
Esta entrada forma parte de la edición 4.12 del carnaval de matematicas que en esta ocasión organiza High Ability Dimension
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viernes, 22 de febrero de 2013
1087 - Tres productos todos los dígitos
El número 107 presenta la particularidad que al multiplicarlo por 3 ,7 y 8 respectivamente genera tres números de tres cifras que entre los tres tienen los nueve dígitos del uno al nueve sin que se repita ninguno:
107 x 3 = 321
107 x 7 = 749
107 x 8 = 856
Hay varios números de tres cifras con esta característica :
109 x 3, 6 y 9 = 327, 654, 981
123 x 4, 5 y 6 = 492, 615, 738
129 x 1, 3 y 5 = 129, 387, 645
192 x 1, 2 y 3 = 192, 384, 576
219 x 1, 2 y 3 = 219, 438, 657
273 x 1, 2, y 3 = 273, 546, 819
327 x 1, 2 y 3 = 327, 654, 981
El 123 es el único que tiene un dígito suyo en cada producto:
123 x 4 = 492
123 x 5 = 615
123 x 6 = 738
Si consideramos productos que además de los nueve dígitos tengan el cero, tenemos muchos resultados, mas de 100.
Por ejemplo :
102 x 3 = 306
102 x 7 = 714
102 x 29 = 2958
Este es uno de los casos mas curiosos ya que en cada producto aparece solo uno de los dígitos del 102 y además cada uno de los números por los que se multiplica aparecen en sus propios productos.
El 102 también genera con otros multiplicandos productos que tienen cada uno de los diez dígitos una sola vez y además tienen la misma característica que los productos anteriores :
102 x 3 = 306
102 x 9 = 918
102 x 27 = 2754
Otra curiosidad es que la suma de los tres productos es igual en las dos ocasiones 306 + 714 + 2958 = 306 + 918 + 2754 = 3978
Así pues es 102 genera los diez dígitos en los productos de dos formas distintas.
El 103, que es primo, genera una sola solución:
103 x 3 = 309
103 x 4 = 412
103 x 56 = 5768
Preguntas:
- ¿Cuál es el número de tres cifras que genera los 10 dígitos en los productos, de mas formas distintas?
- ¿Cuál es el primo de tres cifras que tiene mas soluciones distintas?
- ¿Cuál es el mayor número de tres cifras con esta característica?
-¿Cuál es la mayor suma de los tres multiplicandos para números de tres cifras?
- Si concatenamos los productos del 102 según el orden de los multiplicandos ordenados de menor a mayor, obtenemos 3067142958 y 3069182754.
¿Que número de tres cifras genera el mayor pandigital concatenado?
y si los productos se pudieran concatenar como uno quisiera?
Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza tito eliatron
107 x 3 = 321
107 x 7 = 749
107 x 8 = 856
Hay varios números de tres cifras con esta característica :
109 x 3, 6 y 9 = 327, 654, 981
123 x 4, 5 y 6 = 492, 615, 738
129 x 1, 3 y 5 = 129, 387, 645
192 x 1, 2 y 3 = 192, 384, 576
219 x 1, 2 y 3 = 219, 438, 657
273 x 1, 2, y 3 = 273, 546, 819
327 x 1, 2 y 3 = 327, 654, 981
El 123 es el único que tiene un dígito suyo en cada producto:
123 x 4 = 492
123 x 5 = 615
123 x 6 = 738
Si consideramos productos que además de los nueve dígitos tengan el cero, tenemos muchos resultados, mas de 100.
Por ejemplo :
102 x 3 = 306
102 x 7 = 714
102 x 29 = 2958
Este es uno de los casos mas curiosos ya que en cada producto aparece solo uno de los dígitos del 102 y además cada uno de los números por los que se multiplica aparecen en sus propios productos.
El 102 también genera con otros multiplicandos productos que tienen cada uno de los diez dígitos una sola vez y además tienen la misma característica que los productos anteriores :
102 x 3 = 306
102 x 9 = 918
102 x 27 = 2754
Otra curiosidad es que la suma de los tres productos es igual en las dos ocasiones 306 + 714 + 2958 = 306 + 918 + 2754 = 3978
Así pues es 102 genera los diez dígitos en los productos de dos formas distintas.
El 103, que es primo, genera una sola solución:
103 x 3 = 309
103 x 4 = 412
103 x 56 = 5768
Preguntas:
- ¿Cuál es el número de tres cifras que genera los 10 dígitos en los productos, de mas formas distintas?
- ¿Cuál es el primo de tres cifras que tiene mas soluciones distintas?
- ¿Cuál es el mayor número de tres cifras con esta característica?
-¿Cuál es la mayor suma de los tres multiplicandos para números de tres cifras?
- Si concatenamos los productos del 102 según el orden de los multiplicandos ordenados de menor a mayor, obtenemos 3067142958 y 3069182754.
¿Que número de tres cifras genera el mayor pandigital concatenado?
y si los productos se pudieran concatenar como uno quisiera?
Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza tito eliatron
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martes, 19 de febrero de 2013
1084 - Criterios de divisibilidad
Las reglas de divisibilidad son criterios que sirven para saber si un número
es divisible por otro sin necesidad de realizar la división.
Para los primeros números primos existen reglas muy simples que todo el mundo conoce, que aquí las repito:
Un número es divisible por 2 si termina en un número par
Un número es divisible por 3 si la suma de los dígitos de dicho número es múltiplo de 3
Un número es divisible por 5 si termina en cero o cinco
Pero que pasa para números primos mas grandes?
Existe un método que permite generar una regla para cada número primo. En esta entrada les voy a explicar como saber si un número es divisible por un número primo determinado sin tener que hacer la división, porque el método funciona y como obtener los números que permiten hacer estos cálculos.
El método se basa en una acción recursiva sobre el número original, haciéndolo cada vez mas pequeño hasta lograr un número que nos permita saber si es múltiplo o no del primo elegido.
Cada número primo tendrá dos números asociados (uno positivo y otro negativo) que permitirán ir disminuyendo el valor del número original hasta que tome un valor tal del cual podamos decir si es o no múltiplo del primo elegido
Voy a explicarlo usando un ejemplo:
Es 28373 divisible por 17?
Los números asociados al 17 son -5 y 12
Lo que hay que hacer es dividir el número en dos partes en la primera entran todos las cifras menos la última, que es la que se multiplica por el número asociado y el resultado se suma a la primera parte. Así 28373 lo divido en 2837 y 3, y al 3 lo multiplico por el número asociado y lo sumo:
28373 : 2837 + (3 x -5) = 2837-15 = 2822
como no sabemos si 2822 es múltiplo de 17 repetimos el proceso :
2822 : 282 + (2 x -5) = 282 -10 = 272
una vez mas :
272 : 27 + (2 x -5) = 17
Por lo tanto 28373 es múltiplo de 17 (obviamente que también lo son 2822 y 272)
Usando el 12 en vez de -5 :
28373 : 2837 + 3 x 12 =2873
2873 : 287 + 3 x 12 =323
323 : 32 + 3 x 12 = 68
y como 68 es múltiplo de 17, 28373 también lo es.
Como encontrar los números asociados?
Hay buscar el menor múltiplo del primo que termine en 1, así por ejemplo para el 17 este número es el 51 (3 x 17).
Uno vez obtenido este múltiplo, el número asociado son todos los dígitos de este número sin el último, multiplicado por -1. Así obtenemos el -5, el otro número asociado sale de la suma del primo mas este primer número, o sea 17 - 5 = 12
Otro ejemplo , si el primo es 19 el menor múltiplo terminado en 1 es 19 x 9 = 171, entonces los número asociados son -17 y 2.
Si el primo termina en uno, el número asociado es el negativo de los primeros dígitos del primo.
Así para el 31 , -3 es uno de los números (28 es el otro)
Porque funciona?
Veamoslo con el 17
Si el número N es múltiplo de 17 entonces
N = 17a = 10 P + U
donde P = primeros dígitos de N, salvo el último y U = último dígito de N
Si multiplicamos por -5 ambos miembros :
17 (-5a) = -50P - 5 U
Sumando 51P a ambos miembros (noten que 51 es el menor múltiplo de 17 terminado en 1) :
17(-5a) + 51P = P -5U
Vemos que en lado derecho tenemos el número que obtenemos después de realizar el primer paso, ahora hay que demostrar que el lado izquierdo es múltiplo de 17
17(-5a) + 17.3.P = 17 (-5a+3P)
Así queda demostrado que si 10P + U es múltiplo de 17, P-5U también lo es.
Tabla de números asociados para los primos hasta el 971
Analizando un poco la tabla podemos calcular mas rápido los números asociados :
Si el test es para un primo terminado en 9 (xxxxx9), y el número a evaluar es M,
el número asociado positivo es uno mas que los primeros dígitos del primo
Ej para saber si un número M es divisible por el primo 269, se multiplica el último dígito de M por 27 y se suma a lo que queda.
M= 2152 : 215 2
Primo = 269, número asociado uno mas que los primeros dígitos = 27
2152 : 215 + 27*2 = 269 , por lo tanto 2152 es múltiplo de 269
Si el test es para un número primo terminado en 1 (xxxxx1), y el número asociado negativo son los primeros dígitos del primo
Ej para saber si un número M es múltiplo del primo 61, se multiplica el ultimo dígito de M por -6 y se suma a los primeros dígitos de M
1037 : 103 - 7*6 = 61, por lo tanto 1067 es múltiplo de 61
El numero asociado positivo en primos terminados en 7 es 7 x primeros números del primo mas 5,
ej para el primo 13687: 7 x 1368 +5 = 9581
El numero asociado positivo para primos terminados en 3 es 3 x primeros números del primo + 1
ej para el primo10273: 3 x 1027 + 1 = 3082
Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza tito eliatron
Para los primeros números primos existen reglas muy simples que todo el mundo conoce, que aquí las repito:
Un número es divisible por 2 si termina en un número par
Un número es divisible por 3 si la suma de los dígitos de dicho número es múltiplo de 3
Un número es divisible por 5 si termina en cero o cinco
Pero que pasa para números primos mas grandes?
Existe un método que permite generar una regla para cada número primo. En esta entrada les voy a explicar como saber si un número es divisible por un número primo determinado sin tener que hacer la división, porque el método funciona y como obtener los números que permiten hacer estos cálculos.
El método se basa en una acción recursiva sobre el número original, haciéndolo cada vez mas pequeño hasta lograr un número que nos permita saber si es múltiplo o no del primo elegido.
Cada número primo tendrá dos números asociados (uno positivo y otro negativo) que permitirán ir disminuyendo el valor del número original hasta que tome un valor tal del cual podamos decir si es o no múltiplo del primo elegido
Voy a explicarlo usando un ejemplo:
Es 28373 divisible por 17?
Los números asociados al 17 son -5 y 12
Lo que hay que hacer es dividir el número en dos partes en la primera entran todos las cifras menos la última, que es la que se multiplica por el número asociado y el resultado se suma a la primera parte. Así 28373 lo divido en 2837 y 3, y al 3 lo multiplico por el número asociado y lo sumo:
28373 : 2837 + (3 x -5) = 2837-15 = 2822
como no sabemos si 2822 es múltiplo de 17 repetimos el proceso :
2822 : 282 + (2 x -5) = 282 -10 = 272
una vez mas :
272 : 27 + (2 x -5) = 17
Por lo tanto 28373 es múltiplo de 17 (obviamente que también lo son 2822 y 272)
Usando el 12 en vez de -5 :
28373 : 2837 + 3 x 12 =2873
2873 : 287 + 3 x 12 =323
323 : 32 + 3 x 12 = 68
y como 68 es múltiplo de 17, 28373 también lo es.
Como encontrar los números asociados?
Hay buscar el menor múltiplo del primo que termine en 1, así por ejemplo para el 17 este número es el 51 (3 x 17).
Uno vez obtenido este múltiplo, el número asociado son todos los dígitos de este número sin el último, multiplicado por -1. Así obtenemos el -5, el otro número asociado sale de la suma del primo mas este primer número, o sea 17 - 5 = 12
Otro ejemplo , si el primo es 19 el menor múltiplo terminado en 1 es 19 x 9 = 171, entonces los número asociados son -17 y 2.
Si el primo termina en uno, el número asociado es el negativo de los primeros dígitos del primo.
Así para el 31 , -3 es uno de los números (28 es el otro)
Porque funciona?
Veamoslo con el 17
Si el número N es múltiplo de 17 entonces
N = 17a = 10 P + U
donde P = primeros dígitos de N, salvo el último y U = último dígito de N
Si multiplicamos por -5 ambos miembros :
17 (-5a) = -50P - 5 U
Sumando 51P a ambos miembros (noten que 51 es el menor múltiplo de 17 terminado en 1) :
17(-5a) + 51P = P -5U
Vemos que en lado derecho tenemos el número que obtenemos después de realizar el primer paso, ahora hay que demostrar que el lado izquierdo es múltiplo de 17
17(-5a) + 17.3.P = 17 (-5a+3P)
Así queda demostrado que si 10P + U es múltiplo de 17, P-5U también lo es.
Tabla de números asociados para los primos hasta el 971
 |
| Hacer Click sobre la imágen para ver el cuadromas grande |
Analizando un poco la tabla podemos calcular mas rápido los números asociados :
Si el test es para un primo terminado en 9 (xxxxx9), y el número a evaluar es M,
el número asociado positivo es uno mas que los primeros dígitos del primo
Ej para saber si un número M es divisible por el primo 269, se multiplica el último dígito de M por 27 y se suma a lo que queda.
M= 2152 : 215 2
Primo = 269, número asociado uno mas que los primeros dígitos = 27
2152 : 215 + 27*2 = 269 , por lo tanto 2152 es múltiplo de 269
Si el test es para un número primo terminado en 1 (xxxxx1), y el número asociado negativo son los primeros dígitos del primo
Ej para saber si un número M es múltiplo del primo 61, se multiplica el ultimo dígito de M por -6 y se suma a los primeros dígitos de M
1037 : 103 - 7*6 = 61, por lo tanto 1067 es múltiplo de 61
El numero asociado positivo en primos terminados en 7 es 7 x primeros números del primo mas 5,
ej para el primo 13687: 7 x 1368 +5 = 9581
El numero asociado positivo para primos terminados en 3 es 3 x primeros números del primo + 1
ej para el primo10273: 3 x 1027 + 1 = 3082
Esta entrada forma parte del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza tito eliatron
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martes, 22 de enero de 2013
1065 - Un número para el carnaval
Todos los que participamos mes a mes del carnaval de matemáticas conocemos perfectamente el logo del mismo, pero siendo éste un carnaval de matemáticas sería bueno que además de un logo, el carnaval tuviera un número que lo represente.
Así que estuve pensando cual sería una buen número para identificar el carnaval y se me ocurrió el siguiente :
en base 36
y porque está fracción en particular podría servir?
Como es sabido, cuando expresamos números en bases mayores a 10, debemos usar letras para representar a los números mayores a 9, así por ejemplo en base 16 además de los dígitos (0 al 9) se usan las siguientes letras A, B, C, D, E y F
A medida que que la base aumenta se van incorporando las otras letras, hasta que en base 36 se utilizan todas las letras (la ñ no se usa)
Ahora bien que pasa cuando expresamos esta fracción en base 36....
El misterio queda develado.
Hoy en día cualquiera puede realizar su propia fracción usando algun programa en internet.
Ustedes pueden obtener la suya usando por ejemplo la página Wolfram Alpha.
Supongamos que queremos obtener como resultado de la fracción 0.numerosnumerosnumeros...
En primer lugar ponemos 0.numerosnumerosnumerosnumeros_36 en la casilla de entrada, es importante poner la palabra repetida para indicar que sea un numero periódico, y poner al lado el guón bajo 36 para indicar que es un número expresado en dicha base.
Vemos que aparece el número transformado a su forma decimal, ahora lo que hay que hacer es hacer doble click sobre dicha forma para que el programa calcule la fracción :
y así obtenemos la fracción que en base 36 es 0.numerosnumeros....
Esta entrada participa en la Edición 3.1415926535 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es La Aventura de la Ciencia.
Así que estuve pensando cual sería una buen número para identificar el carnaval y se me ocurrió el siguiente :
y porque está fracción en particular podría servir?
Como es sabido, cuando expresamos números en bases mayores a 10, debemos usar letras para representar a los números mayores a 9, así por ejemplo en base 16 además de los dígitos (0 al 9) se usan las siguientes letras A, B, C, D, E y F
A medida que que la base aumenta se van incorporando las otras letras, hasta que en base 36 se utilizan todas las letras (la ñ no se usa)
Ahora bien que pasa cuando expresamos esta fracción en base 36....
El misterio queda develado.
Hoy en día cualquiera puede realizar su propia fracción usando algun programa en internet.
Ustedes pueden obtener la suya usando por ejemplo la página Wolfram Alpha.
Supongamos que queremos obtener como resultado de la fracción 0.numerosnumerosnumeros...
En primer lugar ponemos 0.numerosnumerosnumerosnumeros_36 en la casilla de entrada, es importante poner la palabra repetida para indicar que sea un numero periódico, y poner al lado el guón bajo 36 para indicar que es un número expresado en dicha base.
Vemos que aparece el número transformado a su forma decimal, ahora lo que hay que hacer es hacer doble click sobre dicha forma para que el programa calcule la fracción :
y así obtenemos la fracción que en base 36 es 0.numerosnumeros....Esta entrada participa en la Edición 3.1415926535 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es La Aventura de la Ciencia.
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jueves, 22 de noviembre de 2012
1042 - Nació usted en una fecha interesante?
¿Cómo saber si naciste en una fecha interesante?
Fácil, multiplica el día x N° mes x año.
Ahora divide el resultado por 77, el número obtenido dividelo por 13.
Si obtienes un número sin decimales tu fecha de nacimiento es interesante
Si en cambio obtienes un número con decimales suma los primeros seis.
Listo?
Esta entrada participa en la Edición 3.14159265 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog PiMedios: La aventura de las matemáticas.
Fácil, multiplica el día x N° mes x año.
Ahora divide el resultado por 77, el número obtenido dividelo por 13.
Si obtienes un número sin decimales tu fecha de nacimiento es interesante
Si en cambio obtienes un número con decimales suma los primeros seis.
Listo?
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miércoles, 21 de noviembre de 2012
1040 - Sin palabras
1) Pi
La animación es de John Reid
2) Teorema de Pitágoras
Animación de Joaquim Alves Gaspar
3) Como hacer una hipotrocoide
Animación de Sam Derbyshire
4) Hipercubo
Animación de Jason Hise
Los gifs los obtuve de 20 gif que explican como funcionan las cosas
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La animación es de John Reid
2) Teorema de Pitágoras
Animación de Joaquim Alves Gaspar
3) Como hacer una hipotrocoide
Animación de Sam Derbyshire
4) Hipercubo
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