1196 - Jugando con Fibonacci II

En esta ocasión formaré varias secuencias tipo Fibonacci que comienzan con un mismo número, pero los segundos términos son los primos consecutivos mayores a él.
Por ejemplo si tomo como primer término al 34:

1. 34, 37, 71, 108, 179, 287
2. 34, 41, 75, 116, 191, 307
3. 34, 43, 77, 120, 197, 317
4. 34, 47, 81, 128, 209, 337
5. 34, 53, 87, 140, 227, 367
6. 34, 59, 93, 152, 245, 397
7. 34, 61, 95, 156, 251, 407
8. 34, 67, 101, 168, 269, 437
9. 34, 71, 105, 176, 281, 457
10. 34, 73, 107, 180, 287, 467

Lo curioso con estas diez secuencias es que el quinto y/o el sexto término es siempre un número primo.

Hay otros casos similares?
Evidentemente si:

1. 136, 137, 273, 410, 683, 1093
2. 136, 139, 275, 414, 689, 1103
3. 136, 149, 285, 434, 719, 1153
4. 136, 151, 287, 438, 725, 1163
5. 136, 157, 293, 450, 743, 1193
6. 136, 163, 299, 462, 761, 1223
7. 136, 167, 303, 470, 773, 1243

1. 160, 163, 323, 486, 809, 1295
2. 160, 167, 327, 494, 821, 1315
3. 160, 173, 333, 506, 839, 1345
4. 160, 179, 339, 518, 857, 1375
5. 160, 181, 341, 522, 863, 1385

1. 280, 281, 561, 842, 1403, 2245
2. 280, 283, 563, 846, 1409, 2255
3. 280, 293, 573, 866, 1439, 2305
4. 280, 307, 587, 894, 1481, 2375
5. 280, 311, 591, 902, 1493, 2395
6. 280, 313, 593, 906, 1499, 2405
7. 280, 317, 597, 914, 1511, 2425
8. 280, 331, 611, 942, 1553, 2495
9. 280, 337, 617, 954, 1571, 2525
10. 280, 347, 627, 974, 1601, 2575
11. 280, 349, 629, 978, 1607, 2585
12. 280, 353, 633, 986, 1619, 2605
13. 280, 359, 639, 998, 1637, 2635

1. 304, 307, 611, 918, 1529, 2447
2. 304, 311, 615, 926, 1541, 2467
3. 304, 313, 617, 930, 1547, 2477
4. 304, 317, 621, 938, 1559, 2497
5. 304, 331, 635, 966, 1601, 2567
6. 304, 337, 641, 978, 1619, 2597
7. 304, 347, 651, 998, 1649, 2647
8. 304, 349, 653, 1002, 1655, 2657
9. 304, 353, 657, 1010, 1667, 2677
10. 304, 359, 663, 1022, 1685, 2707
11. 304, 367, 671, 1038, 1709, 2747
12. 304, 373, 677, 1050, 1727, 2777

Aquí la mayoría de los quintos términos de estas 18 secuencias son primos

1. 17195, 17203, 34398, 51601, 85999
2. 17195, 17207, 34402, 51609, 86011
3. 17195, 17209, 34404, 51613, 86017
4. 17195, 17231, 34426, 51657, 86083
5. 17195, 17239, 34434, 51673, 86107
6. 17195, 17257, 34452, 51709, 86161
7. 17195, 17291, 34486, 51777, 86263
8. 17195, 17293, 34488, 51781, 86269
9. 17195, 17299, 34494, 51793, 86287
10. 17195, 17317, 34512, 51829, 86341
11. 17195, 17321, 34516, 51837, 86353
12. 17195, 17327, 34522, 51849, 86371
13. 17195, 17333, 34528, 51861, 86389
14. 17195, 17341, 34536, 51877, 86413
15. 17195, 17351, 34546, 51897, 86443
16. 17195, 17359, 34554, 51913, 86467
17. 17195, 17377, 34572, 51949, 86521
18. 17195, 17383, 34578, 51961, 86539

Habrá mas secuencias de este tipo, alguna con mas secuencias consecutivas ? Alguna con abundantes primos en otros términos? 

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1196 - Jugando con Fibonacci II

1195 - Jugando con Fibonacci I

La secuencia de Fibonacci es aquella que empieza 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 11, 19, etc. en donde cada término es igual a la suma de los dos anteriores. 
Se denomina a cada término como F_n . 
Así F₀ = 0, F₁ = 1, F₂ =1, F₃ = 2, etcétera.

La idea para este puzzle es cambiar los primeros dos términos de la serie  de forma tal que uno de los términos de la secuencia tenga un valor dado.

Por ejemplo hay 5 secuencias tipo Fibonacci que tienen a 10 como uno de sus términos:

Tres de 3 términos : 
1, 9, 10
2, 8 ,10
3, 7, 10

Una de 4 términos
0, 5, 5, 10

Una de 6 términos
0, 2, 2, 4, 6, 10

Siendo la secuencia mas larga esta última.

Las secuencias no pueden tener valores negativos y, si puede tener un elemento menor debe estar presente en la secuencia (es decir que 4, 6, 10 no es una secuencia válida porque se puede agregar tres términos mas por la izquierda)

¿Cuántas secuencias tipo Fibonacci hay tal que 100 sea uno de sus términos?
¿Cuál es la mas larga?

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1195 - Jugando con Fibonacci I

1070 - Jugando con Fibonacci

Veamos los primeros números de Fibonacci :

0. 0
1. 1
2. 1
3. 2
4. 3
5. 5
6. 8
7. 13
8. 21
9. 34
10. 55
11. 89
12. 144
13. 233
14. 377
15. 610
16. 987
17. 1597
18. 2584
19. 4181
20. 6765
21. 10946
22. 17711
23. 28657
24. 46368
25. 75025

Considero al cero como el cero número de Fibonacci.
Vemos que el cero, el primer y el quinto número terminan con el mismo número de su posición.
Para los de dos cifras, el número 25 de Fibonacci es  el primero que termina como su ubicación.

 ¿Cuál es el primer número de Fibonacci  que termina como las tres cifras de su ubicación?, y el de cuatro?  y para mas cifras?

 

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1070 - Jugando con Fibonacci

993 - Fibonacci

¿La suma de cuantos números de Fibonacci consecutivos es siempre divisible por 29 ?

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993 - Fibonacci

792 - Conoces los Repfigits?

Elijamos un número, por ejemplo 197. 
Bien, ahora formemos una serie tipo Fibonacci con estos dígitos (sumando de a tres dígitos ya que el número original, 197,  tiene tres dígitos):


1, 9, 7, 17, 33, 57, 107, 197


Vemos que después de una serie de términos obtenemos el número del cual partimos. 
A este tipo de números se los llama Repfigits (del inglés REPetitive FIbonacci-like diGIT) o Números de Keith


Los primeros Repfigits son:


14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285, 34348, 55604, 62662, 86935, 93993, 120284, 129106, 147640, 156146, 174680, 183186, 298320, 355419, 694280, 925993, 1084051, 7913837, 11436171, 33445755, 44121607 (Sloane A007629)




Yo estuve buscando números parecidos a estos, con la pequeña diferencia de que en vez de dar exactamente el número del cual partimos, dan uno mas que el número generador, los primeros términos son :12, 43, 59, 265, 610, 778, 1521, 2625, 3729. 
Estos números serían casi repfigits +1


Ya que por ejemplo 778 genera: 7, 7, 8, 22, 37, 67, 126, 230, 423, 779

¿Cuál es el primer término de cuatro dígitos de mi secuencia?

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792 - Conoces los Repfigits?

607 - Números tipo Fibonacci

Definimos como números tipo fibonnaci aquellos en los que a partir del tercer digito, cada digito es igual a la suma de los dos digitos anteriores, asi por ejemplo el tercer digito es igual a la suma de los dos primeros, el cuarto es igual a la suma del segundo mas el tercero, el quinto a la suma del tercero mas el cuarto, etc.

Por ejemplo si el primer dígito es 2 y el segundo es 3. el número sería : 2358 y no podría tener más dígitos ya que 5+8=13.

Otros ejemplos de número Fibonacci : 729,  617, 1347, etc
Si ordenaramos todos los números Fibonacci de mayor a menor , 

¿Cuales serían los primeros quince ?

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607 - Números tipo Fibonacci

330 - El curioso 510510

¿Qué tiene de curioso el número 510510?

Es el producto de dos números consecutivos : 714  x  715

También es el producto de los primeros siete primos :

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 

Y también es el producto de cuatro números de Fibonacci consecutivos : 
13 x 21 x 34 x 55

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330 - El curioso 510510

107 - Castigo matemático 4

6594 x 5 = 5495 x 6
7231 x 4 = 4132 x 7

A este rey le encantaba los números de Fibonacci.
Estos números forman una sucesión en el que cada número es igual a la suma de los dos anteriores de la serie. Así el término cero es 0, el 1 es el uno, el 2 es el uno, etcétera.
Los primeros números de la serie son : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89

Aquí va el castigo: obtener el número de la sucesión de Fibonacci N° 123.456.789 y decir cuál es la última cifra del mismo.
Claro que el que se equivocaba iba directo a la horca.

¿Cuál es la última cifra del término 123456789 de la sucesión de Fibonacci?

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107 - Castigo matemático 4