La suma de los números 184 y 345, al igual que la de sus cuadrados y sus cubos dan cuadrados perfectos ¿Existen otros números con esta característica?
Buscando pares hasta el 10000, yo encontré estos pares que cumplen lo pedido,
184 y 345
736 y 1380
1656 y 3105
2944 y 5520
4600 y 8625
¿Mas ejemplos?
¿Existen pares en los cuales las sumas de potencias mas grandes además de las pedidas sean también sean cuadrados (cuarta, quinta, etc)?
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184*n^2 y 345*n^2, n = 1, 2, 3, ...
ResponderEliminarHans, 184 + 345 = 23^2
ResponderEliminar184^2 + 345^2 = 391^2
184^3 + 345^3 = 6877^2
Hay que localizar otros pares de números que cumplan dicha condición.
Hay infinitas soluciones del tipo (184N²,345N²) para N entero. Pero ninguna de estas da una cuarta potencia.
ResponderEliminarEntre los pares de números que suman menos de un millón las únicas soluciones son las del tipo anterior. Me sorprende que no aparezcan más.
ResponderEliminarDebe haber una razón matemática de por qué no existen soluciones con la cuarta potencia. Yo he experimentado con más de dos sumandos y dicha imposibilidad se mantiene. Además he buscado soluciones con enteros primos y he encontrado dos soluciones primitivas cuando se usan cuatro sumandos. El sábado subiré en mi sitio un puzzle basado en esta curiosidad aritmética.
ResponderEliminarEl día de hoy he añadido el puzzle prometido arriba. Ver http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_871.htm
ResponderEliminarSe me ocurrió la siguiente aproximación a una explicación de porque no existe la propiedad para la potencia 4 y para
ResponderEliminartodas las potencias pares, salvo para 2
tenemos
184 + 345 = 23^2
184^2 + 345^2 = 391^2
184^3 + 345^3 = 6877^2
y todas las familias multiplicando por N^2 y además sucede que
184= 8 * 23
345= 15 * 23
Entonces puedo reducir el problema a dos problema para los exponentes pares y los impares.
Para los pares
N^2*23^(2p)*( 15^(2p) + 8^(2p) ) = 23^(2p)*N^2* Z^(2)
es decir
15^(2p) + 8^(2p) = Z^(2)
donde p=1,2,3,... y Z es el resultado para N=1 en cada potencia 2p
La propiedad se cumpliría entonces cuando Z es un entero.
Ahora el famoso teorema de Fermat nos dice que no existe en un equivalente a la relación de Pitágoras para potencias diferentes a 2
por lo cual no existe el número entero tal que:
c^(2p)= 15^(2p) + 8^(2p), para p distinto de p=1.
Si no existe el número entero c^(2p) que cumple la relación, y como yo podría llamar c^p=Z, entonces no existe número entero
Z^2 que cumpla con la relación, salvo para p=1, es decir potencia 2.
Entonces la propiedad no podría ser cumplida para las potencias pares salvo para la potencia 2.
Para los impares ni idea como demostrarlo por ahora, ni tampoco porque hay una sola familia de números, pero creo que se debe a
alguna propiedad que desconozco del número 23. El 23 aparece una y otra vez en la familia de números
Este problema y sus soluciones resulta que ya estaban estudiadas y reportadas a OEIS desde el 2008 por Henry Bottomley. Ver https://oeis.org/A139265 y las respuestas dadas a mi puzzle 871. En suma, SI hay más soluciones primitivas aparte de (184, 345); y no existen soluciones no triviales para x^4+y^4=z^2, conocido esto desde Fermat.
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