429 - "Igualando números" I

Hay números que son anagramas de otros, es decir que usan los mismos dígitos que otros pero en otro orden.
Por ejemplo 237 y 372, o 65123 y 15632.


También existen potencias que son anagramas de otras potencias
Por ejemplo 5³ y 8³, ya que el primero es igual a 125 en tanto que el segundo es igual a 512.


En el problema de hoy les propongo buscar el número que al ser multiplicado por cualquiera de los dos números de cada uno de los pares siguientes dan productos anagramas entre ellos.


¿Por que número hay que multiplicar cada uno de los números de estos pares para obtener productos anagramas? (para cada par se usa otro número)

A. 205 y 291

B. 536 y 718

C. 571 y 838

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429 - "Igualando números" I

428 - El tirano "generoso"

El tirano del pueblo en un acto demagógico , decidió poner a sus ciudadanos - esclavos en fila uno al lado de otro ya que tenía grandes noticias para ellos.

- Cada uno de ustedes - anunció el tirano - recibirá cierta cantidad de dinero.
Los ciudadanos empezaron a festejar, aunque los mas desconfiados algo sospechaban.
- Cada uno de ustedes recibirá un monto igual a la suma de los montos de los dos que están a su lado, así por ejemplo el que este en la sexta posición recibirá un monto igual a la suma de lo recibirá el quinto mas lo que recibirá el séptimo, en tanto que el séptimo recibirá lo mismo que la suma del sexto mas la del octavo, y así sucesivamente.
Claro que inmediatamente algunos de  los esclavos que sabían algo de matemáticas empezaron a quejarse diciendo que habrá algunos que recibirán montos negativos.
- Correcto dijo el tirano, a los que les toque montos negativos deberán abonarme a mi la cantidad correspondiente. Pero para que vean que soy un rey generoso les diré que el que esté en la posición 2010 recibirá 2010 monedas, en tanto que el que esté en la posición 2009 recibirá 2009 monedas.

¿Cuánto recibirán/deberán los dos primeros de la fila?

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428 - El tirano "generoso"

427 - La edad de los hermanos sicilianos

La batalla de Ponza fue librada e1 14 de junio de 1300 en aguas de la isla de Ponza, junto al golfo de Gaeta y al norte de Nápoles, entre la escuadra catalano-angevina mandada por el almirante calabrés Roger de Lauria y la siciliana mandada por el genovés Conrado Doria. 
La flota siciliana sufrió una derrota completa gracias a la habilidad táctica de Roger de Lauria. 

 Se cuenta que una vez capturados los sicilianos se les preguntó a cuatro hermanos en que año habían nacido. Estos amantes de las matemáticas contestaron lo siguiente:

-Cada uno de nosotros ha nacido en un año distinto. - dijo el mayor.
-El mayor me lleva un año a mi que soy el segundo.
-En tanto que yo, que soy el tercero, le llevo un año al mas chico.
-El dato mas importante es que el cuadrado del año de nacimiento del mayor mas el cuadrado del año de nacimiento del segundo da un número capicúa, y el cuadrado del año de nacimiento del tercero mas el cuadrado del año en que yo naci también es un número capicúa. - dijo el menor.

¿En que año nacieron estos cuatro hermanos?

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427 - La edad de los hermanos sicilianos

426 - Sábados autorreferentes VI

Completar con letras para que ambas oraciones sean correctas

La oración posterior a esta tiene ____________ letras.

Si multiplicamos la cantidad de letras de la oración anterior por la cantidad de letras de esta oración, el resultado sería ________________.

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426 - Sábados autorreferentes VI

425 - Un Sudoku muy especial

El siguiente Sudoku es muy especial por tres motivos :

1. Por la disposición de los números iniciales.

2. Porque además de cumplir con las reglas del sudoku tradicional  tiene dos soluciones posibles

3. Porque una de sus soluciones presenta la particularidad de que si sumamos las casillas que forman las diagonales y las diagonales fraccionadas (las casillas de igual color en la imagen y las diagonales opuestas a estas)  todas suman 45.

4. Porque, y esto es lo mas curioso, este Sudoku fue publicado  por B. Meyniel en el diario La France el 6 de julio de 1895.

Aparentemente ya en el año 1892 se publicaba en Francia varios acertijos como estos en los diarios.

 

La idea es completarlo como un sudoku y  además una vez completado, las diagonales (casillas del mismo color) deben sumar 45.

¿Quién se anima?

(No es tan difícil)

Fuente: http://www.mathpuzzle.com/SudokuAncestors.pdf

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425 - Un Sudoku muy especial

424 - Uno de Martin Gardner

Una mujer millonaria deposita un número entero (X) de dolares en el banco. 
La siguiente vez que va al banco deposita otra cantidad entera de dolares (Y). 
A partir de ahí cada vez que va al banco deposita una cantidad igual a la suma de los dos depósitos anteriores.
Curiosamente  el depósito número 20 será de exactamente un millón de dolares.

Averiguar los valores de los dos primeros depósitos

Este interesante problema fue escrito por el recientemente fallecido Martín Gardner en su libro "Wheels, Life, and Other Mathematical Amusements"

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424 - Uno de Martin Gardner

423 - Usando los digitos del 1 al 8

Con los dígitos del 1 al 8 podemos formar una igualdad como la siguiente :

4³ = 2⁶ x 1⁵⁷⁸

^{¿Qué otras igualdades de productos de potencias se pueden formar usando una sola vez cada dígito del 1 al 8?}

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423 - Usando los digitos del 1 al 8

422 - Mayor primo que...

¿Cuál es el mayor primo cuyo cuadrado no tiene digitos repetidos?

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422 - Mayor primo que...

421 - Pasado mañana no esta en Pi

Lamento informarles que  el 23 de junio de 2010 no esta en pi.
O mejor dicho no está dentro de los primeros 200.000.000 de dígitos de pi
Así es, en la página pi search results puede escribirse cualquier número y ver si esta dentro de los primeros 200.000.000 de dígitos de pi.
Yo busqué el 23062010  y lamentablemente no está. 
Sin embargo está si lo buscamos en el formato inglés (mm/dd/aa) ya que 06232010 está en la posición 152,955,003 contando desde el primer decimal. (el tres inicial no lo toman en cuenta)
No sé para que servirá saber en que posición dentro de pi esta un número pero es divertido buscar fechas o números de documentos .

Por ejemplo pi mismo o por lo menos los primeros ocho dígitos (31415926) están en la posición  50.366.472 a partir del primer decimal, en tanto que curiosamente el 314159265 (los primeros nueve dígitos del propio pi) no aparece después del signo decimal.


Si alguien se aburre podría buscar si hay dos numeros consecutivos que no aparecen o sino buscar el menor número que no aparece.

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421 - Pasado mañana no esta en Pi

420 - Sábados autorreferentes V

Completar con números para que las cuatro oraciones sean correctas

Frase A : Si contamos todos los digitos que aparecen en las frases b,c y d tendremos :
 _ 0, _1 , _2, _3, _4, _5, _6, _7, _ 8, _ 9

Frase B : El cubo de la suma de todos los digitos que aparecen en A tiene exactamente:
 _ 0, _1 , _2, _3, _4, _5, _6, _7, _ 8, _ 9

Frase C : La suma de los digitos de la frase B elevada a la cuarta potencia tiene exactamente:
 _ 0, _1 , _2, _3, _4, _5, _6, _7, _ 8, _ 9

Frase D : El producto de las suma de los digitos de B por la suma de los digitos de C tiene
_ 0, _1 , _2, _3, _4, _5, _6, _7, _ 8, _ 9

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420 - Sábados autorreferentes V

419 - Sudoku contiguo

Este es un sudoku mas.
Cumple las mismas reglas del sudoku tradicional , pero además los números que están separados por una linea roja son consecutivos. 
Si dos números  no estan separados por una linea roja eso implica que no son consecutivos

						5
6			2					9
								8
	3				4	1
		1
							5

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419 - Sudoku contiguo

418 - Suma de los digitos de los cuadrados es un cuadrado

En la siguiente tabla vemos que la  suma de los dígitos de los cuadrados de  estos siete números consecutivos (del 9 al 15) son cuadrados.

-->

N	N^2	Suma
9	81	8+1=	9	=	3^2
10	100	1+0+0=	1	=	1^2
11	121	1+2+1=	4	=	2^2
12	144	1+4+4=	9	=	3^2
13	169	1+6+9=	16	=	4^2
14	196	1+9+6=	16	=	4^2
15	225	2+2+5=	9	=	3^2

Existe otra serie de siete números enteros consecutivos en que la suma de las cifras de sus cuadrados son también un cuadrado.

¿Cuáles son estos números?

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418 - Suma de los digitos de los cuadrados es un cuadrado

417 - 5,007,367 = 13,176,600

Si, si, no es un error el título de esta entrada.
5,007,367 es igual a 13,176,600  pero en letras.


En la excelente página Math Magic pedían buscar anagramas de números en cualquier idioma, evitando envíar los anagramas triviales (son aquellos formados por los mismos dígitos mas algun que otro cero, pero en otro orden como por ejemplo doce mil cuatro 12004 y cuatro mil doce 4012 o ochocientos seis 806 y seiscientos ocho 608).

El que publicaron en español es


CINCO MILLONES SIETE MIL TRESCIENTOS SESENTA Y SIETE =
TRECE MILLONES CIENTO SETENTA Y SEIS MIL SEISCIENTOS

que fue descubierto por Joe de Vicentis.

Seguramente habrá muchos mas.

¿Alguien conoce algun otro? 

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417 - 5,007,367 = 13,176,600

416 - El número mas grande que ...

¿Cuál es el mayor número de seis cifras que teniendo todos sus dígitos distintos, tiene la propiedad de que la suma de los cuadrados de los digitos ubicados en una posición impar es igual a la suma de los cuadrados de los digitos que estan en una posición par?

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416 - El número mas grande que ...

415 - Jugando con pi

Si tomamos pi = 3,1416 y lo dividimos en tres partes nos queda 3, 14 y 16 cuya suma es 33 y su producto 672.
 

¿Qué otros tres números (todos diferentes) dan la misma suma y el mismo producto?

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415 - Jugando con pi

414 - El 919 y el 1459

919 = 1³+4³+5³+9³ 

y

1459 = 9³+1³+9³

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414 - El 919 y el 1459

413 - Sábados autorreferentes IV

Completar los espacios con números para que ambas frases sean verdaderas :

Frase A : La frase B tiene exactamente: _ 0,  _ 1,  _ 2,  _  3, _  4, _ 5,  _ 6,  _  7,  _  8  y  _ 9


Frase B : Si sumamos todos los dígitos de la frase A y dicha suma la elevamos a la cuarta potencia, el número obtenido tiene exactamente : _ 0,  _ 1,  _ 2,  _  3, _  4, _ 5,  _ 6,  _  7,  _  8  y  _ 9

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413 - Sábados autorreferentes IV

412 - Sudoku sin uno y sin dos

En este Sudoku  he borrado todos los números 1 y 2 que en él había. En los costados de las columnas y de las filas puse la suma de los números consecutivos que quedaron.
Así si por ejemplo si una fila original hubiera sido 943518627 al borrarle el uno y el 2 hubiera quedado : 9435 86 7, por lo tanto en el costado de esta fila habría aparecido : 21(9+4+3+5), 14(8+6) y 7.

							24			18
			24	39	9	22	15	5	27	20
			18	3	33	20	3	37	15	4	42
		42
	34	8
9	10	23
17	22	3
	16	26
	26	16
7	26	9
25	12	5
5	8	29

¿Quién se anima a resolverlo?

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412 - Sudoku sin uno y sin dos

411 - ¿Cuántas veces?

Si escribimos los números del 1 al 1000 en forma ininterrumpida 123456789101112........9979989991000 ,

¿Cuántas veces aparecerá el grupo "21" ?        ¿ y el "87" ?

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411 - ¿Cuántas veces?

410 - Festejando los aniversarios de mundial 78

Un multimillonario fanático del fútbol hizo hace varios años una promesa.
Si Argentina salía campeón, cada año que fuera múltiplo del aniversario  que ese año se cumpliera iba a donar un millón de dolares a una fundación.
Como Argentina salió campeón en 1978, al año siguiente hizo la primera donación ya que 1979 es múltiplo de 1 (primer aniversario), lo mismo sucedió en 1980 ya que 1980 es múltiplo de 2 (segundo aniversario). En el año 1981 no hizo donación ya que 1981 no era múltiplo de 3.

¿Cuáles fueron/serán los siguientes  años  en los que este buen hombre hizo/hará una donación?

Pd:¿A este buen señor le habría convenido tomar  1979 (Argentina campeón mundial juvenil) como año del primer campeonato ?   

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410 - Festejando los aniversarios de mundial 78

409 - El número mas vueltero

Tomamos los números del 1 al 10000 y les aplicamos  el siguiente proceso : si tiene una sola cifra le sumamos su valor y si tiene mas de una cifra le sumamos su valor al producto de sus cifras. 
Continuamos con este proceso hasta obtener llegar a un número que tiene un cero.Es evidente que este número no genera nuevos números, sino que al aplicarle este procedimiento vuelve a generarse a si mismo

Ej para el 7: 
7 -> 7+7 =14 -> 1x4+14=18  -> 1x8+18 =26 ->2x6+26= 38 -> 3x8+38 = 62 -> 6x2+62=74 -> 7x4+74=102 -> 1x0x2+102=102
Por lo tanto el 7 genera  siete números distintos, además de el mismo (7,14,18, 26, 38, 62, 74 y 102).

¿Cuál es el menor número que genera mas números?

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409 - El número mas vueltero

408 - El profesor Pedro y Sergio II

Nuevamente el profesor elige dos números distintos mayores a 1 y le da la suma a Sergio y el producto a Pedro.
Se escucha el siguiente diálogo:

Pedro :Yo  no puedo decir con certeza que números son.
Sergio: La suma es menor a 23
Pedro: Ahora ya sé que números son
Sergio: Yo también sé que números son

¿Qué números son?

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408 - El profesor Pedro y Sergio II

407 - Sábados autorreferentes III

Completar con números escritos en letras para que las dos frases sean verdaderas.

Estas dos oraciones tienen en conjunto exactamente ___________ letras.

Esta oración tiene ________ letras menos que la anterior.

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407 - Sábados autorreferentes III

406 - Sky sudoku

21	18	24	17	28	9	21	19	24	15	22
28										15
28										9
9										17
16										28
18										24
18										17
16										28
15										25
17										12
17	17	13	21	16	45	23	19	9	32	19

Esto que están viendo es un Sky Sudoku mezcla de skyscrapers (Rascacielos en inglés) y el conocido sudoku.
Para los que no lo conocen el skyscrapers tiene las siguientes reglas:

• Se juega en un tablero de n x n casillas (4x4, 5x5, 6x6, etc.)
• Cada casilla tiene un número X que representa un edificio de X pisos
• Una vez completada la grilla cada fila y cada columna tiene los números del 1 hasta el del tamaño del tablero (si es de 4x4 tendrá un número del 1 al 4)
• Cada columna y cada fila tiene cada número exactamente una sola vez.
• Los números del costado indican cuantos edificios se ven.
• No se puede ver un edificio mas petiso detrás de uno mas alto.

Aquí hay un ejemplo resuelto :

	1	2	3	3
1	4	3	2	1	4
2	1	4	3	2	3
2	3	2	1	4	1
2	2	1	4	3	2
	3	3	1	2

Se ve por ejemplo que en el borde superior derecho hay un uno, eso implica que desde ese lugar se ve un solo edificio, por lo tanto el primer edificio es el de 4 pisos ya que tapa a todos los demás. Por otro lado en el borde izquierdo arriba de todo hay un 4, eso indica que se ven 4 edificios, por lo tanto el único orden posible es 4321 : 4 ya que si estuvieran en otro orden no se verían los 4 edificios de la fila.

En el juego que yo propongo se respetan las reglas del sudoku (no se repiten números en una fila ni en una columna, ni en un bloque) pero además no se repite un número en ninguna de las dos  diagonales (marcadas con verde). Los números rojos del costado en vez de indicar la cantidad de edificios que se ven indican la cantidad de pisos de  los edificios que se ven. Así por ejemplo si hubiera un 10, las dos primeras casillas deberían ser 1 y 9 (el de nueve se ve siempre), si en cambio fuera un 11 las primeras casillas podrían ser 2 y 9  ó 219,  para el 12 : 3 y 9, 329,319,3129,3219 o 129 y así sucesivamente.

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406 - Sky sudoku

405 - Del cero al ocho

Colocar en una grilla de 3x3 los números del 0 al 8 de forma tal que la suma de los dígitos de la  segunda fila sea el doble de la suma de los dígitos de la primera fila y la suma de los dígitos de la tercera fila sea el triple de la suma de los dígitos de la primera fila.
  Por otra parte la suma de los dígitos de la segunda columna debe ser el doble de la suma de los dígitos de la  primera columna y la suma de las cifras de la tercera columna debe ser igual al triple de la suma de las cifras de la primera columna.

Problema de la olimpiada brasilera de matemáticas

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405 - Del cero al ocho

404 - ¿Cuál es mas grande I ?

¿Cuál de estos números es el más grande?

  a. 10¹⁰⁰

b. 20⁸⁰

c. 30⁶⁰

d. 40⁴⁰

e. 50²⁰

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404 - ¿Cuál es mas grande I ?

403 - Dividiendo los naipes

Un mago dividió un mazo de poker (52 cartas: 26 rojas y 26 negras) en dos pilones, en el primero había 4 veces mas cartas negras que rojas, en tanto que en el otro pilón la cantidad de cartas rojas era un múltiplo entero de los naipes negros. 

¿Cuántas cartas había en cada pilón?

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403 - Dividiendo los naipes