174 - Cada cuanto

8202⁴ = 4525630158022416, y
4² + 5² + 2² + 56² + 30² + 1² + 58² + 0² + 22² + 4² + 16² = 8202.

Según una estadística en E.E.U.U. nace un niño cada 8 segundos, muere una persona cada 13 segundos y entra un inmigrante cada 25 segundos.
Basado en estos datos hay que determinar cada cuanto tiempo (redondeando a centésima de segundo) la población de E.E.U.U. aumenta en una persona.

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174 - Cada cuanto

173 - Mayor y menor producto

8209³ = 553185473329, y
5² + 5² + 3² + 1² + 85² +4² + 7² + 3² + 3² + 29² = 8209

Usando los digitos del 1 al 9 una sola vez cada uno, formar tres números de tres dígitos de forma tal que :

a) El producto sea el menor posible.
b) El producto sea el mayor posible.

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173 - Mayor y menor producto

172 - Probabilidad Pandigital

6×7 = 42
66×67 = 4422
666×667 = 444222
6666×6667 = 44442222

¿Cuál es la probabilidad de que un número pandigital sea múltiplo de 11?

Número Pandigital es aquél que tiene cada uno de los diez digitos una sola vez, por ejemplo 2.013.465.789

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172 - Probabilidad Pandigital

171 - Problemas similares Parte II

8 – 3 = 5 8² – 3² = 55
78 – 23 = 55 78²– 23² = 555
778 – 223 = 555 778² – 223²2 = 5555

Usando dos veces cada uno de los dígitos del 0 al 9 formar números primos de forma tal que la suma de estos primos sea la menor posible.

Por ejemplo 2 + 23 + 89 + 109 + 463 + 487+ 557+ 601 = 2331

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171 - Problemas similares Parte II

170 - Problemas similares Parte I

65² – 56² = 33²
6565² – 5656² = 3333²
656565² – 565656² = 333333²

Usando los digitos del 0 al 9 (una sola vez cada uno) formar números primos de forma tal que la suma de estos primos sea la menor posible.

Un ejemplo sería : 7 + 281 + 409 + 563= 1260, claro que el valor no es el menor que se puede lograr.

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170 - Problemas similares Parte I

169 - Máxima divisibilidad

67² = 4489
667² = 444889

¿Cuál es el mayor número, que teniendo todos sus dígitos diferentes (no siendo ninguno el cero), es divisible por cada uno de estos dígitos ?

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169 - Máxima divisibilidad

168 - Nuevo castigo matemático 7

x² - 81x + 1681
Con x = 1 al 81 siempre nos da un primo

Inspirado en aquellos reyes amantes de los castigos para aquellos que no saben matemáticas, un rey propuso el siguiente castigo:

Decir con cuantos ceros termina :

1!x2!x3!x4!x5!.....x98!x99!x100!

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168 - Nuevo castigo matemático 7

167 - Números encuadrados

x² - 79x + 1601
Con x =1 al 79 obtenemos un primo

Encontrar dos números distintos cuya suma es un cuadrado, la suma de sus cuadrados es un cuadrado y la suma de sus cubos es un cuadrado.


Se pide los menores valores posibles.

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167 - Números encuadrados

166 - Pocos festejos

15698 = 1 + 5⁶ + 9 * 8

Marta cumplía años y decidió hacerlo en un salón. Para ello fue con Carlos, su marido, al salón de Daniel. Una vez que hubieron hablado sobre los costos, Carlos le preguntó a Daniel como le había ido este mes con el salón.
Como Daniel sabía que Carlos era aficionado a los acertijos le respondió lo siguiente:
- Mirá, con esto de la gripe porcina, solo hicimos tres fiestas de cumpleaños.
Y el producto de los años de los tres cumpleañeros es 2450, y la suma es el doble de los años que cumple Marta.
_Hmm, _ contestó Carlos _ con esos datos, no puedo sacar la edad de los cumpleañeros.
_ Ah, pero me olvidé de decirte que yo era más joven que al menos uno de los cumpleañeros.
_Pero no conocemos tu edad_ dijo Marta
_ No importa... _ dijo Daniel

¿Cuál es las edad de cada uno de los cumpleañeros, la edad de Marta y la edad de Daniel?

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166 - Pocos festejos

165 - Multiplos engrillados

15688 = -1 + 5⁶ + 8 * 8

Colocar los números del 1 al 9 en una grilla de 3x3, de forma tal que cada número esté rodeado por números cuya suma sea múltiplo del número rodeado.

Por ejemplo en la siguiente grilla:

152
863
749

El cinco está rodeado por el 1, 8, 6, 3 y el 2 cuya suma es múltiplo de cinco : 1+8+6+3+2 = 20 .
El dos está rodeado por el 5, 6 y el 3 cuya suma es múltiplo de dos : 5+6+3 = 14.
Pero en este caso hay varios números que no están rodeados por números cuya suma es un múltiplo de ellos, por ejemplo para el: 9, 4+6+3= 13, que no es múltiplo de 9. Lo mismo para el 6,3,4,etc

Yo encontré una sola solución y sus rotaciones, por eso les pido la que tenga en el extremo superior izquierdo el número de menor valor.

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165 - Multiplos engrillados

164 - Números honestos

15667 = 1 * 5⁶ + 6 * 7

En la página de Erich Friedman se describe lo que él llama, números honestos.
Los define como aquellos números N que se pueden describir usando exactamente N letras
Se define H(n) como el número de honestidad de N, el número de maneras diferentes en que N puede ser descrito con N letras.Aparentemente en Inglés todo número mayor que 13 es honesto.
Un número es altamente honesto si H(N)=N
También define L(n) como el número letra de n, o sea el mínimo número de letras necesarias para describir a n. Si L(n) es menor que el número de letras en el nombre de n, se dice que n es un derrochador.
Por ejemplo 24 = "veinticuatro" tiene 12 letras, en tanto que "dos docenas" tiene 10, por lo tanto 24 es un derrochador, en tanto si L(n) es mayor que el número de letras de n se dice que el número es ahorrador (por ejemplo en castellano, cien, mil, un millón)

Como la página está en inglés, los ejemplos que allí se ponen no sirven para los que hablamos español. Aquí les pongo algunos ejemplos de números honestos que yo encontré :

1 I
2 II
3 III
4 Un IV (coki)
5 Cinco
6 Un seis
7 Un siete
8 Es un ocho
9 Es un nueve
10 Dos mas ocho
11 Nueve mas dos
12 Nueve mas tres
13 Un diez mas tres
14 Un uno y un cuatro
15 Catorce mas un uno
16 Cuatro al cuadrado
17 Veinte menos un tres
.....Una docena mas cinco
18 Sumar nueve mas nueve
19 Veintiuno menos el dos
20 Es dos por siete más seis.

¿A alguien se le ocurre otros ejemplos de estos o de otros números?
¿Y ejemplos de números derrochadores?

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164 - Números honestos

163 - Boletos capicúas

15662 = 1 + 5⁶ + 6²

El otro día uno de mis hijos fue al cine con tres amigos.
Como sabe que yo estoy haciendo un blog sobre matemáticas, cuando volvió me dijo lo siguiente:
_ Sacamos cuatro entradas, todas tenían un número de seis cifras.
_ Los cuatro números eran consecutivos
_ Los últimos cuatro dígitos del primer número formaban un número capicúa.
_ Los últimos cinco dígitos del segundo ticket formaban un número capicúa.
_ Los dígitos que van desde el segundo dígito hasta el quinto (inclusive) de la tercera entrada formaban un número capicúa.
_ La ultima entrada era un número capicúa

¿Cuáles eran los números de las entradas?

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163 - Boletos capicúas

162 - Sumar mil

15656 = 1 + 5⁶ + 5 * 6

Hay siete formas distintas de sumar 12 usando tres números enteros positivos y distintos:

1+2+9
1+3+8
1+4+7
1+5+6
2+3+7
2+4+6
3+4+5

No está permitido : 2+5+5 ó 1+2+3+6, deben ser tres números y todos distintos.

¿Cuántas formas distintas hay de sumar tres números enteros positivos distintos que sumen 1000?

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162 - Sumar mil

161- Primo palíndromo binario

15655 = 1 * 5 * (6 + 5⁵)

Existen pocos números que son capicúas tanto cuando se escriben en sistema decimal como cuando se escriben en sistema binario. Pero aún son menos los que además son primos y la representación binaria tomada como número decimal también es un número primo.

¿Cuáles son los números primos capicúas, cuya representación binaria también es capicúa y estos números tomados en el sistema decimal también son primos?

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161- Primo palíndromo binario

160 - Un problema familiar

15645 = 1* 5⁶ + 4 * 5

Si Diego tiene tantos meses como su abuelo años, y tantos días como su padre semanas y sabiendo que entre los tres suman 140 años, ¿Cuántos años tiene cada uno?

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160 - Un problema familiar

159 - Un ejercito de cuadrados

15642 = 1 + 5⁶ + 4²

Según las leyes de cuadradolandia, el ejército debía tener una cantidad de soldados tal, que pudiera ser dividido en dos grupos, cada uno de los cuales fuera un cuadrado perfecto. Así en un principio el ejercito tenía dos soldados ya que 2=1+1, luego pasó a tener cinco soldados de forma tal que podía dividirse en un grupo de 1 y en otro de 4. Es decir que había pasado de dos soldados a cinco, o sea que hubo una incorporación de tres soldados. A medida que el país crecía, aumentaba el ejército.
En un momento, cuando el ejército ya havbía pasado los cien soldados, se dio la circunstancia de que tuvo dos aumentos consecutivos de un solo soldado y siguió respetando la ley. Claro que después ocurrió esto varias veces, pero lo extraño fue una vez en la que incorporó primero un soldado, luego uno más, al poco tiempo incorporó seis soldados y luego otra vez uno, y por último uno más. Sabiendo que el ejército nunca tuvo más de 1000 soldados y siempre respetó la ley,
¿Cuál fue la primera vez que tuvo dos incorporaciones seguidas de un solo soldado (teniendo más de 100), y cuando ocurrió el hecho extraño de dos seguidas de un soldado, una de seis y después dos consecutivas de uno?

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159 - Un ejercito de cuadrados

158 - Una forma extraña de multiplicar

15632 = 1 + 5⁶ + 3 * 2

La maestra le pidió a Javier que multiplicara dos números de tres cifras.
Javier escribió los números de la siguiente manera :

abc
x def
------

y multiplicó ad x be x cf, la maestra le iba a poner una mala nota, cuando de repente se dio cuenta que el resultado era el correcto. La maestra le explicó que lo que estaba haciendo estaba mal aunque el resultado fuera el correcto y para demostrárselo le dio otro dos números de tres cifras y Javier utilizó el mismo método, volviendo a obtener el resultado correcto, la maestra no sabiendo que decir le dio una última oportunidad diciéndole que hiciera la cuenta como corresponde yporque si le daba mal la respuesta le iba a poner un uno. Le dio pues otros dos números de tres cifras y Javier como era muy obstinado volvió a hacer las cuentas como el sabía. Obviamente que por tercera vez obtuvo el resultado correcto, la maestra como no sabía que decirle lo mandó a sentar.

¿Cuáles son los tres pares de números de tres cifras que pueden multiplicarse con el sistema de Javier ?

Pd : abcdefg no tienen que ser obligatoriamente distintos

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158 - Una forma extraña de multiplicar

157 - Sumando digitos

15626 = 1 + 5^6*2-6

Tomemos los números desde el 0 al 999 y sumemos sus dígitos.
Los primeros resultados serían :0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1(para el 10 = 1+0), 2 (para el 11 = 1+1) ,3 (para el 12 = 1+2), etc.
Es fácil de ver que de todos los resultados se obtendrá un solo cero y tres unos (del 1,10 y 100).
Lo que no es tan fácil de ver es cuál el resultado que aparecerá más veces, y que números aparecerán un número primo de veces , por eso pregunto:

a) ¿Cuáles son los dos números que aparecen más veces y cuántas veces aparece cada uno?
b) Aparte del uno (que aparece tres veces), ¿qué otros números aparecen un número primo de veces?

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157 - Sumando digitos

156 - cinco con solo dos dos

Una pregunta simple :
¿Es posible obtener 5 como resultado, usando una calculadora y solo dos 2?
Se puede usar todas las otras funciones de la calculadora menos la de los números

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156 - cinco con solo dos dos

155 - Primos digitales

15624 = 1 + 5⁶ + 2 - 4

El otro día estuve en una reunión de amigos. Después de comer y divertirnos un rato, Iñaqui se paró y dijo que se tenía que ir.
-¿Ya te vas ? -le preguntamos
-Si, mañana tengo muchas cosas que hacer
_ ¿Pero qué hora es?
_ Es una hora muy interesante_ nos dijo_ , si la miramos en un reloj digital de esos que marcan desde las 00:00 hasta las 23:59, veremos un número primo, que casualmente es la cantidad total de números primos que se pueden ver en esos relojes.

¿A qué hora se fue Iñaqui?

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155 - Primos digitales

154 - La fábrica de pesas

15623 = -1 + 5⁶ + 2 - 3

Alfredo tiene una fábrica de pesas. En un principio fabricaba solo pesas de un gramo, luego las mandaba etiquetar a otra planta, y cuando las pesas volvían las empaquetaba y las vendía. Como todas las pesas eran de un gramo no necesitaba volver a pesarlas para ver si estaban bien etiquetadas. Con el tiempo también empezó a fabricar pesas de dos gramos que en apariencia eran iguales a las de un gramo. Si bien mandaba a etiquetar las pesas en cajas separadas. cuando éstas volvían, para hacer el control de calidad, con una sola pesada en una balanza de dos platillos le alcanzaba para diferenciar las pesas de un gramo de las de dos y ver si estaban bien etiquetadas.
Ponía una pesa etiquetada con un uno en el platillo izquierdo, y en el platillo derecho ponía una etiquetada con el dos, si estaban bien etiquetadas la balanza se inclinaba hacia la derecha. De esa forma con una sola pesada sabía si las pesas fueron bien etiquetadas.
1 < 2

Cuando empezó a fabricar la de tres gramos necesitó dos pesadas:

a. 1+2 =3 En ésta pesada verificaba la de tres gramos
b. 1 < 2 En ésta pesada verificaba la de uno y la de dos gramos

Si algunas de las pesadas no le daba como esperaba, sabía que las pesas estaban mal etiquetadas.
La cosa se le complicó cuando empezó a fabricar la de 4 gramos, pero después de pensarlo un poco logró resolver el problema haciendo solo dos pesadas.
Como la empresa siguió expandiéndose, pasó a fabricar respectivamente seis y luego diez pesas, todas del mismo tamaño y aspecto. Para el control de calidad del etiquetado solo necesitaba tres pesadas tanto para seis, como para diez pesas.
¿Cuáles eran las dos pesadas que tenía que hacer cuando fabricaba las pesas de 1, 2 ,3 y4 gramos?
¿Y cuáles las tres para cuando fabricaba las de 1, 2, 3, 4 ,5 y 6 gramos ?
¿Y las tres para las de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y 10?

Para que sea más claro: solo le interesaba saber si estaban bien etiquetadas, si alguna estaba mal etiquetada no le interesaba saber cuál era.

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154 - La fábrica de pesas

153 - Exámen sorpresa

15622 = 1 + 5⁶ - 2 - 2

Cansado del descontrol que era la clase, el profesor de matemáticas decidió tomar un exámen sorpresa. A pesar de las quejas de los 27 alumnos, la prueba fue tomada igual.
Luego de corregir las pruebas, el profesor notó que solo dos alumnos habían sacado la misma nota que otros dos.
Las calificaciones eran números enteros, siendo 99 la nota más alta que un alumno podía sacar (cosa que nadie logró), en tanto que la nota más baja fue un 10. Una vez entregados los exámenes, el profesor les dijo que les iba a subir las notas si podían dividirse en grupos de tres de forma tal que la suma de las notas de cualesquiera dos de estos tres alumnos diera un número cuadrado y no hubiera dos con la misma nota en un mismo grupo.
- ¿Pero eso es posible? - le preguntaron.
- Eso me lo tendrán que decir ustedes - les contestó el profesor

Luego de un buen rato, los alumnos lograron formar nueve grupos de tres chicos de forma tal que la suma de las notas de dos cualesquiera de ellos diera un numero cuadrado.

¿Alguien sabría decirme cuales eran esos nueve grupos?

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153 - Exámen sorpresa