1214 - Super cuadrados

La siguiente curiosidad la vi en internet, no sé quien tiene el mérito de haberla encontrado:

¿Qué características tienen estos tres números de doce dígitos?

100307124369
111824028801
433800063225

Fácil son tres números cuadrados :

100307124369 = 316713²
111824028801 = 334401²
433800063225 = 656635²

pero además, la suma de sus dígitos también es un cuadrado:

1+0+0+3+0+7+1+2+4+3+6+9 = 36 = 6²

1+1+1+8+2+4+0+2+8+8+0+1 = 36 = 6²

4+3+3+8+0+0+0+6+3+2+2+5 = 36 = 6²

y si los sumamos de a dos dígitos

10+03+07+12+43+69 = 144 = 12²

11+18+24+02+88+01 = 144 = 12²

43+38+00+06+32+25 = 144 = 12²

o de a tres:

100+307+124+369 = 900 = 30²

111+824+028+801 = 1764 = 42²

433+800+063+225 = 1521 = 39²

o de a cuatro:

1003+0712+4369 = 6084 = 78²

1118+2402+8801 = 12321 = 111²

4338+0006+3225 = 7569 = 87²

o de seis

100307+124369 = 224676 = 474²

111824+028801 = 140625 = 375²

433800+063225 = 497025 = 705²

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1214 - Super cuadrados

1197 - Números muy ordenaditos

Llamemos número ordenadito a aquel en que  cualquier cifra ubicada a la  izquierda de otra es siempre menor o igual que esta.
Por ejemplo son números ordenaditos 445, 4556, 3578, 22225668, 355688889

Un número muy ordenadito es aquel que es ordenadito él y su cuadrado.
Por ejemplo son números muy ordenaditos :12, 13, 15 y 16

¿Cuáles son todos los números muy ordenaditos de 3, 4 y 5 cifras?
¿Cuál es el mayor número muy ordenadito de n cifras?
¿Cuál es el mayor número muy ordenadito de n cifras que empieza con 3?  

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1197 - Números muy ordenaditos

1194 - Eligiendo cuadrados

Mickey  eligió  dos números cuadrados de cuatro dígitos cada uno, tal que entre los dos números no hay dígitos repetidos. Mickey me dijo que dos dígitos no había usado
Mouse cuando se enteró de esto, hizo lo mismo, eligió dos números cuadrados de cuatro dígitos cada uno, tal que entre los dos usaban ocho dígitos diferentes y me dijo que dos dígitos no había usado.
Yo con esta información pude deducir que números había elegido cada uno.

Lo curioso es que si bien los dos no eligieron exactamente los mismos  números, hubo un cuadrado que si fue elegido por los dos.

¿Cuál es dicho cuadrado?

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1194 - Eligiendo cuadrados

1138 - Cuadrados sumados

Encontrar dos números cuadrados de 8 cifras cada uno, cuya suma es uno de  dichos cuadrados escritos en forma invertida

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1138 - Cuadrados sumados

1119 - Sumas cuadradas

Sergio estaba jugando al bingo, su cartón tenía cinco números de dos cifras cada uno. 
Ninguno de los números era un número primo y las diez cifras eran todas diferentes.
Sergio notó que la suma de los cinco números daba un número cuadrado perfecto.
A medida que el juego se desarrollaba, Sergio fue tachando los números que iban saliendo.
Cuando tachó el primer número de su cartón se dió cuenta que la suma de los cuatro números restantes daba también un número cuadrado, cuando tachó el segundo, la suma de los tres restantes también daba un cuadrado y lo mismo cuando tachó el tercero.

¿Qué cinco números tenía Sergio en el cartón?

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1119 - Sumas cuadradas

1114 - Multiplos de 13 invertidos son cuadrados

4264 = 13 X 328

            y si invertimos 4264 obtenemos un cuadrado

4624 =  68²


Encontrar dos múltiplos consecutivos de 13 que al invertirlos se transforman en cuadrados.

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1114 - Multiplos de 13 invertidos son cuadrados

1100 - Capicúa dividido al cuadrado da capicúa

Veamos el siguiente número capicúa:

113311

Si lo dividimos por la mitad obtenemos dos números que al juntar sus cuadrados obtenemos otro capicúa :

113² = 12769
311² = 96721

y


1276996721  es capicúa.

Otros ejemplos no triviales? 
Se esperan aportes

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1100 - Capicúa dividido al cuadrado da capicúa

1097 - La suma de tres cuadrados que dan cuadrados

Tito y Sofía son un matrimonio al que les gusta las matemáticas.
Este año se dieron cuenta que :

• 2013² + 2014² + A²
• 2013² + 2014² + B²
• 2013² + 2014² + C²
• 2013² + 2014² + D²

 
^{eran  todos números cuadrados perfectos.}

Donde  
A = (2013² + 2014² - Edad de Tito²)/ (2 x Edad de Tito) 
B= (2013² + 2014² - Edad de Sofía²)/ (2 x Edad de Sofía) 
C = (2013² + 2014² - Años de casados²)/ (2 x Años de casados)
D = (2013² + 2014² - Altura de la calle donde viven²)/ (2 x Altura de la calle donde viven)


Si Tito es mas grande que Sofía, diganme lo que ustedes ya se imaginan

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1097 - La suma de tres cuadrados que dan cuadrados

1088 - Suma y productos cuadrados

Si al número 5 le sumamos 20 obtenemos 25 que es un cuadrado perfecto, curiosamente si a 5 lo multiplicamos por 20 obtenemos 100 el cual también es un número cuadrado perfecto.

5 + 20 = 25 = 5²
5 x 20 = 100 = 10²

Así podemos decir que para el cinco el 20 seria un número "cuadratizante"
Obviamente que si multiplicamos al 5 y al 20 por un número cuadrado, obtendremos otro ejemplo de estos números:

Así si los multiplicamos por 9 = 3² :
45  +180  = 225 =  15²  = 5² x 3²
45 x 180 = 8100 =  90² = 10² x 3² x 3²

Estuve buscando mas ejemplos como estos y encontré muchos :

8 + 392 = 400 = 20²  y 8 x 392 = 3136 = 56²
9 + 16 = 25 = 5²        y 9  x 16 = 144 = 12²
10 + 90 = 100 = 10²  y 10 x 90 = 900 = 30²

Para algunos primos no logré encontar su número "cuadratizante", y  para otros como el 5 encontré varios.



- ¿Habrá un número cuadratizante para cada primo?
- ¿Cuales son los menores números "cuadratizantes" para el 5 además del 20?
- ¿Hay una forma de encontrarlos?

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1088 - Suma y productos cuadrados

1075 - De que año es?

- En que año naciste Sergio?
- En un año que si lo elevas  al cuadrado, aparece el mismo dígito en todas  las posiciones pares.

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1075 - De que año es?

1072 - Primo que se transforma en cuadrado

Encontrar un número primo de siete dígitos, todos diferentes, que al anteponerle un dígito se transforma en un número cuadrado perfecto

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1072 - Primo que se transforma en cuadrado

1002 - Sumando cuadrados II

¿Cuál es la menor suma que se puede lograr usando cuadrados distintos que tengan en su composición

cada dígito exactamente tres veces?

Pd : Buscar una solución en la que participa el cero como cuadrado y una en la que no participa

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1002 - Sumando cuadrados II

1001 - Sumando cuadrados I

En la siguiente suma de cuadrados cada dígito aparece exactamente dos veces en los sumandos:


1  +  4  +  9  +  289  +  576 +  784  +  2500 +  3136  =  7299

¿Cuál es la menor suma que se puede lograr usando cuadrados diferentes que tengan en su composición

cada dígito exactamente dos veces?

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1001 - Sumando cuadrados I

943 - Como diferencia de los cuadrados de dos primos consecutivos

La edad de Laura es el menor número que puede expresarse como la diferencia de los cuadrados de dos números primos consecutivos de dos formas distintas


¿Que edad tiene Laura?

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943 - Como diferencia de los cuadrados de dos primos consecutivos

900 - Cuadrados con los dígitos duplicados

  Si elevamos 72576, que tiene un 2, un 5, un 6 y dos 7, al cuadrado obtenemos 5267275776 el cual tiene exactamente dos 2, dos 5, dos 6 y cuatro 7 . Es decir que si en el número original el dígito d aparece v veces, en el cuadrado, d aparece 2v veces.

¿Cual es el siguiente número con esta propiedad?
¿Habrá algún primo que lo haga?

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900 - Cuadrados con los dígitos duplicados

855 - Cuadrado hecho de cuadrados II

Encontrar un cuadrado el cual es la concatenación de un cuadrado de un número primo de tres cifras y un cuadrado de un compuesto de tres cifras

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855 - Cuadrado hecho de cuadrados II

850 - Cuadrado hecho de cuadrados I

Encontrar dos números cuadrados los cuales son la concatenación de un cuadrado de un número compuesto de tres cifras y un cuadrado de un primo de dos cifras

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850 - Cuadrado hecho de cuadrados I

835 - Porque es bueno saber matemáticas...

Por no saber un poco de matemáticas no ganó 15000 dólares...
Además el 70% del público del estudio tampoco sabía la respuesta...
La pregunta era bastante fácil:
¿Cuál de los siguientes números cuadrados es además la suma de dos números cuadrados mas pequeños?

A : 16
B : 25
C : 36
D : 49

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835 - Porque es bueno saber matemáticas...

828 - La edad de Francisco y la de Matías

- ¿Sabías que Francisco tiene una edad tal que si a su cuadrado le agregamos dos ceros después de su primera cifra obtenemos un número cuya raíz cuadrada es igual a la edad de Matías insertada entre los dígitos de la edad de  Francisco?


- ¿Lo que?

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828 - La edad de Francisco y la de Matías

810 - Cuadrados que generan cuadrados

Existen números cuadrados perfectos a los cuales podemos dividirlos en números de forma tal que la suma de los mismos a su vez den  un cuadrado.
Ejemplo:




611² = 373321 y 37 + 3 + 3 + 21 =   64  =    8²
611² = 373321 y 3 + 73 + 3 + 21 = 100  =  10²
611² = 373321 y 37 + 3 + 321 =      361 =   19²


Desafíos : 
* Encontrar cuadrados que generen mas de tres cuadrados
* ¿Habrá alguno que genere cuadrados de números consecutivos?

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810 - Cuadrados que generan cuadrados