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sábado, 31 de diciembre de 2016
miércoles, 21 de diciembre de 2016
sábado, 17 de diciembre de 2016
1469 - Como suma de palindromos
Ayer, Gustavo Piñeiro nos comentó que hay un paper escrito por William D Banks en el que se prueba que cualquier número natural puede expresarse como la suma de 49 palíndromos, incluyendo al cero como palíndromo.
Basado en eso se me ocurrió la siguiente secuencia :
An = es el mínimo número que puede expresarse como la suma de al menos n palíndromos diferentes
Así:
N=1 es 1
N= 2 es 10 (9+1), no son válidos números menores por ejemplo 5 = 4+1, ya que puede expresarse como un solo palíndromo, el mismo 5.
N=3 es 21 (11+9+1)
¿Cómo sigue la secuencia?
Basado en eso se me ocurrió la siguiente secuencia :
An = es el mínimo número que puede expresarse como la suma de al menos n palíndromos diferentes
Así:
N=1 es 1
N= 2 es 10 (9+1), no son válidos números menores por ejemplo 5 = 4+1, ya que puede expresarse como un solo palíndromo, el mismo 5.
N=3 es 21 (11+9+1)
¿Cómo sigue la secuencia?
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miércoles, 7 de diciembre de 2016
1468 - De peón a dama
sábado, 26 de noviembre de 2016
1467 - Formando primos
¿Cuál es la menor cantidad de números (N) que se necesitan para poder formar los primeros primos (P) usando solo sumas y restas?
Por ejemplo con N=2 (con dos números) se pueden formar los primeros 4 primos (P=4)
Usando el 2 y el 5 : 2, 3 (5-2), 5, 7 (5+2)
Otro ejemplo : con N= 5 es posible formar hasta P=22
Usando 2, 5, 6, 12 y 54
2
3=5-2
5
7=5+2
11 = 5+6
13 = 6+5+2
17 = 12+5
19 = 12+5+2
23 = 12+6+5
29 = 54-12-6-5-2
31 = 54-12-6-5
37 = 54-12-5
41 = 54-2-5-6
43 = 54-5-6
47 = 54-5-2
53 = 54+6-5
59 = 54+5
61 = 54+5+2
67 = 54+2+5+6
71 = 54+5+12
73 = 54+ 2+5+12
79 = 54+12+6+5+2
Estos ejemplos no necesariamente son la mejor solución posible.
Encontrar los mayores valores de P para los distintos N (2,3,4,etc)
Por ejemplo con N=2 (con dos números) se pueden formar los primeros 4 primos (P=4)
Usando el 2 y el 5 : 2, 3 (5-2), 5, 7 (5+2)
Otro ejemplo : con N= 5 es posible formar hasta P=22
Usando 2, 5, 6, 12 y 54
2
3=5-2
5
7=5+2
11 = 5+6
13 = 6+5+2
17 = 12+5
19 = 12+5+2
23 = 12+6+5
29 = 54-12-6-5-2
31 = 54-12-6-5
37 = 54-12-5
41 = 54-2-5-6
43 = 54-5-6
47 = 54-5-2
53 = 54+6-5
59 = 54+5
61 = 54+5+2
67 = 54+2+5+6
71 = 54+5+12
73 = 54+ 2+5+12
79 = 54+12+6+5+2
Estos ejemplos no necesariamente son la mejor solución posible.
Encontrar los mayores valores de P para los distintos N (2,3,4,etc)
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lunes, 21 de noviembre de 2016
1466 - Divisibles por los primeros primos
martes, 1 de noviembre de 2016
1465 - De a uno por vez
Es posible, como muestro a continuación, partir de un número de un solo dígito, y a través de sucesivas multiplicaciones ir obteniendo números sin cifras repetidas y que tengan un dígito mas que el anterior
Ejemplo :
Esto se puede lograr empezando por cualquier dígito.
Lo que no sé y me gustaría que me lo digan, si se puede lograr que el producto siempre tenga los mismos dígitos que el número anterior mas un nuevo dígito
Ejemplo truncado :
1
1 x 10 = 10
10 x 13 = 130
130 x 11 = 1430
1430 x 17 = 24310
Ejemplo :
Esto se puede lograr empezando por cualquier dígito.
Lo que no sé y me gustaría que me lo digan, si se puede lograr que el producto siempre tenga los mismos dígitos que el número anterior mas un nuevo dígito
Ejemplo truncado :
1
1 x 10 = 10
10 x 13 = 130
130 x 11 = 1430
1430 x 17 = 24310
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sábado, 24 de septiembre de 2016
1464 - Cuadrados mágicos
En esta ocasión busco cuadrados mágicos (filas, columnas y diagonales suman los mismo) en los que cada dígito aparezca exactamente n veces.
Por ejemplo en este cada uno de los diez dígitos aparece exactamente una vez :
Podemos definir para estos cuadrados tres parámetros :
- ST = Suma total, es decir la suma de todos los términos, en el ejemplo da 54.
- Min = Valor mínimo que aparece en el cuadrado, en el ejemplo 2
- Max = Valor máximo que aparece en el cuadrado, en el ejemplo 10.
Busco para cada condición indicada la mayor y la menor ST, el mayor y el menor Min y el mayor y menor Max.
Estos son los cuadrados que yo encontré para las siguientes condiciones:
A) Cada dígito aparece exactamente dos veces :
A.1 Menor ST = 684, Mayor Max = 130, Menor Min = 22
A.2 Menor Max = 120
A.3 Mayor ST =711, Mayor Min = 36
B) Cada dígito aparece exactamente tres veces en el cuadrado, y no se repiten dígitos ni en las columnas ni en las filas:
B.1 Menor ST = 8478
B.2 Mayor ST = 8748, Mayor Min =360
B.3 Menor Min = 203, Mayor Max = 1687
B.4 Menor Max = 1572
C) Cada dígito aparece exactamente cuatro veces
C.1 Menor ST = 80784, Menor Min = 2244, Mayor Max = 15708
C.2 Mayor ST= 86814. Mayor Min = 5565 , Menor Max = 13727
D) cada dígito aparece exactamente cinco veces:
D.1 Menor ST = 959688, Mayor Min = 38506, Menor Max = 174758
D.2 Mayor ST = 1183248 , Menor Min = 7968 , Mayor Max = 254976
Es casiseguro que todos estos valores se pueden mejorar ya que mi busqueda no fue exhaustiva. Espero contribuciones.
Inclusive se pueden formar cuadrados mágicos en los que cada dígito aparece n veces, donde n > 5
Por ejemplo en este cada uno de los diez dígitos aparece exactamente una vez :
Podemos definir para estos cuadrados tres parámetros :
- ST = Suma total, es decir la suma de todos los términos, en el ejemplo da 54.
- Min = Valor mínimo que aparece en el cuadrado, en el ejemplo 2
- Max = Valor máximo que aparece en el cuadrado, en el ejemplo 10.
Busco para cada condición indicada la mayor y la menor ST, el mayor y el menor Min y el mayor y menor Max.
Estos son los cuadrados que yo encontré para las siguientes condiciones:
A) Cada dígito aparece exactamente dos veces :
A.1 Menor ST = 684, Mayor Max = 130, Menor Min = 22
A.2 Menor Max = 120
A.3 Mayor ST =711, Mayor Min = 36
B) Cada dígito aparece exactamente tres veces en el cuadrado, y no se repiten dígitos ni en las columnas ni en las filas:
B.1 Menor ST = 8478
B.2 Mayor ST = 8748, Mayor Min =360
B.3 Menor Min = 203, Mayor Max = 1687
B.4 Menor Max = 1572
C) Cada dígito aparece exactamente cuatro veces
C.1 Menor ST = 80784, Menor Min = 2244, Mayor Max = 15708
C.2 Mayor ST= 86814. Mayor Min = 5565 , Menor Max = 13727
D) cada dígito aparece exactamente cinco veces:
D.1 Menor ST = 959688, Mayor Min = 38506, Menor Max = 174758
D.2 Mayor ST = 1183248 , Menor Min = 7968 , Mayor Max = 254976
Es casiseguro que todos estos valores se pueden mejorar ya que mi busqueda no fue exhaustiva. Espero contribuciones.
Inclusive se pueden formar cuadrados mágicos en los que cada dígito aparece n veces, donde n > 5
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sábado, 17 de septiembre de 2016
1463 - Una serie de Rodolfo
Rodolfo Kurchan publicó en un grupo de Facebook la siguiente serie :
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,23,14,20,13, 24,15,26,17,25,16,27,18,....
Donde a(n) es el menor número aún no presente en la serie tal que a(n-1) y a(n) en conjunto no tienen ningún dígito repetido.
La pregunta que hace Rodolfo es ¿Cuál es el último número de esta serie?
Yo propuse 78642, pero no estoy seguro. ¿Habrá algún método de encontrarlo sin utilizar la fuerza bruta? ¿Es ese el último número de la serie?
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,23,14,20,13, 24,15,26,17,25,16,27,18,....
Donde a(n) es el menor número aún no presente en la serie tal que a(n-1) y a(n) en conjunto no tienen ningún dígito repetido.
La pregunta que hace Rodolfo es ¿Cuál es el último número de esta serie?
Yo propuse 78642, pero no estoy seguro. ¿Habrá algún método de encontrarlo sin utilizar la fuerza bruta? ¿Es ese el último número de la serie?
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lunes, 22 de agosto de 2016
1462 - Primos en un pandigital
Tratando de resolver el puzzle de esta semana , Primes inside a sudoku solutions, del site de Carlos Rivera se me ocurrió estas preguntas:
1 .¿Cuál es el número zero less pandigital (tiene cada uno de los dígitos del 1 al 9 una y solo una vez) que tiene la mayor cantidad de primos dentro?
2 Lo mismo que la pregunta uno, pero tomando primos en ambas direcciones y considerando los primos diferentes
Por ejemplo :
123456789 tiene 9 primos si lo vemos de izquierda a derecha solamente : 2, 23, 2345789, 3, 4567, 5, 67, 7 y 89
En cambio si tomamos ambas direcciones encontramos dos primos mas 43 y 76543.
Yo encontré uno que tiene 18 si tomamos una sola dirección y 26 contando las dos, pero no sé si es el que mas primos tiene, ya me dirán ustedes.
1 .¿Cuál es el número zero less pandigital (tiene cada uno de los dígitos del 1 al 9 una y solo una vez) que tiene la mayor cantidad de primos dentro?
2 Lo mismo que la pregunta uno, pero tomando primos en ambas direcciones y considerando los primos diferentes
Por ejemplo :
123456789 tiene 9 primos si lo vemos de izquierda a derecha solamente : 2, 23, 2345789, 3, 4567, 5, 67, 7 y 89
En cambio si tomamos ambas direcciones encontramos dos primos mas 43 y 76543.
Yo encontré uno que tiene 18 si tomamos una sola dirección y 26 contando las dos, pero no sé si es el que mas primos tiene, ya me dirán ustedes.
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jueves, 18 de agosto de 2016
sábado, 13 de agosto de 2016
jueves, 11 de agosto de 2016
sábado, 30 de julio de 2016
1458 - Variante de un puzzle
Carlos Rivera publicó en su siempre interesante site Prime Puzzles el siguiente problema de Jean Brette : colocar en un grilla de 3x3 números primos tal que las diferencias entre dos números contiguos sean todas diferentes. (se consideran 18 diferencias ya que se toman como contiguos los números de los extremos, tanto los horizontales como los verticales).
Una solución que yo encontré es la siguiente :
Basado en este problema se me ocurrió el siguiente :
¿Es posible colocar en una grilla de 3x3 números comprendidos entre 1 y 27 tal que considerando los números colocados y sus 18 diferencias obtengamos todos los números entre 1 y 27?
Encontrar una solución o demostrar que es imposible.
A modo de ejemplo les pongo una grilla que yo encontré que solo repite dos números:
Como verán se repiten el 3 y el 12 y faltan el 9 y el 24
Actualización: Carlos Feinstein me manda la siguiente solución:
Actualización II: Dmitry Kamenetsky mandó a traves de Carlos Rivera además de la solución de Carlos Feinstein otrs dos para grillas de 3x3, y soluciones para n=4 y n=5
Una solución que yo encontré es la siguiente :
Basado en este problema se me ocurrió el siguiente :
¿Es posible colocar en una grilla de 3x3 números comprendidos entre 1 y 27 tal que considerando los números colocados y sus 18 diferencias obtengamos todos los números entre 1 y 27?
Encontrar una solución o demostrar que es imposible.
A modo de ejemplo les pongo una grilla que yo encontré que solo repite dos números:
Actualización: Carlos Feinstein me manda la siguiente solución:
Actualización II: Dmitry Kamenetsky mandó a traves de Carlos Rivera además de la solución de Carlos Feinstein otrs dos para grillas de 3x3, y soluciones para n=4 y n=5
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miércoles, 20 de julio de 2016
sábado, 16 de julio de 2016
1456 - La entrada 1130 de este blog
Hace mas de tres años publiqué lo siguiente :
Los 23 números que no figuran son: 37, 41, 43, 47,51,53, 59,61, 65, 67, 71, 73, 74,77, 79, 82, 83, 86, 89, 91, 94, 95, 97
1130 - Los números del 1 al 100
Nueve de los diez primeros números se pueden acomodar de la siguiente manera:
De forma tal que cada número o es múltiplo o es divisor de sus vecinos. Yo no encontré forma de acomodar los diez primeros números.
La idea es lograr con esta regla formar la cadena mas larga posible con los números del 1 al 100 inclusive.
Yo tengo una solución de mas de 70 y menos de 80 números, pero seguramente ustedes mis queridos lectores podrán superarla.
¿Existe una regla que nos permita calcular cuál es el número máximo de términos que se pueden colocar cuando los números van del 1 a N?
Por ejemplo para
N= 2, 1-2
N =3, 3-1-2
N =4, 3-1-2-4
N =5, el cinco no se puede agregar, o si se agrega hay que sacar el tres
N =6, 5-1-3-6-2-4
etcétera.
Este problema había aparecido hace unos cuantos años en el excelente blog 3decas de merfat (lamentablemente ya no se actualiza), donde está mi solución
8 - 4 - 2 - 6 - 3 - 9 - 1 - 5 - 10
De forma tal que cada número o es múltiplo o es divisor de sus vecinos. Yo no encontré forma de acomodar los diez primeros números.
La idea es lograr con esta regla formar la cadena mas larga posible con los números del 1 al 100 inclusive.
Yo tengo una solución de mas de 70 y menos de 80 números, pero seguramente ustedes mis queridos lectores podrán superarla.
¿Existe una regla que nos permita calcular cuál es el número máximo de términos que se pueden colocar cuando los números van del 1 a N?
Por ejemplo para
N= 2, 1-2
N =3, 3-1-2
N =4, 3-1-2-4
N =5, el cinco no se puede agregar, o si se agrega hay que sacar el tres
N =6, 5-1-3-6-2-4
etcétera.
Este problema había aparecido hace unos cuantos años en el excelente blog 3decas de merfat (lamentablemente ya no se actualiza), donde está mi solución
Los 23 números que no figuran son: 37, 41, 43, 47,51,53, 59,61, 65, 67, 71, 73, 74,77, 79, 82, 83, 86, 89, 91, 94, 95, 97
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