1521 - Un lindo problema

Un interesante problema leído en Internet
Estás en una fiesta y escuchas una conversación entre Marta y su amiga.
En la conversación, Marta menciona que tiene un número secreto que es menor a 100.También da la siguiente información:

"El número se puede describir exactamente conociendo únicamente  las respuestas a las siguientes cuatro preguntas:"

   1) ¿Es el número divisible por dos?
   2) ¿Es el número divisible por tres?
   3) ¿Es el número divisible por cinco?
   4) ¿Es el número divisible por siete?

Luego procede a susurrar las respuestas a estas preguntas a su amiga.
Desafortunadamente, debido al ruido ambiental en la fiesta, solo escuchas la respuesta a una de las preguntas. 
Sin embargo, saber solo esta respuesta te permite determinar el número secreto de Marta.

A) ¿Qué pregunta y respuesta escuchaste?
B) Si la respuesta a esta pregunta es "Sí", ¿Cuál es el número secreto de Marta?

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1521 - Un lindo problema

1520 - 2 a la séptima

¿Habrá alguna otra potencia, ya sea de 2 o de otro valor, que el resultado sea a su vez potencias de dicho número?

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1520 - 2 a la séptima

1519 - Superando al 59

Veamos la siguiente secuencia :

59 x 2 + 59 + 2 = 179 Primo 
59 x 3 + 59 + 3 =  239 Primo
59 x 5 + 59 + 5 =  359 Primo
59 x 7 + 59 + 7 =  479 Primo
59 x 11 + 59 + 11 = 719 Primo
59 x 13 + 59 + 13 = 839 Primo

y la serie se corta ya que :

59 x 17 + 59 +17 = 1079 No es primo.

Es decir que el primo 59 genera aplicando esta operación con los primeros primos , 6 primos consecutivos.

Preguntas :
1. ¿Algún primo que genere una secuencia mas larga con los primos iniciales?
2. ¿Algún primo que genere una secuencia mas larga con primos consecutivos, aunque no sean con los iniciales?

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1519 - Superando al 59

1518 - Números en un cuadrado

¿Es posible colocar nueve números consecutivos en un cuadrado de tres por tres de forma tal que si consideramos todas las sumas ortogonales (de dos número vecinos) todas ellas sean distintas?

¿Es posible colocar nueve números consecutivos en un cuadrado de tres por tres de forma tal que si consideramos todas las sumas ortogonales (de dos número vecinos) todas ellas no sean sumas únicas?

Por ejemplo en este cuadrado :

Se repiten las sumas 7 (3+4 y 6+1), 8 (7+1 y 6+2) y 12 (3+9 y 5+7)

En tanto que son sumas únicas 6 (4+2), 9 (4+5), 11 (5+6), 14 (9+5), 15 (8+7) y 17 (9+8) 

Se puede extender este problema si en vez de números consecutivos, tomamos números primos consecutivos

Si la respuesta es afirmativa mostrar un ejemplo, sino demostrar que es imposible

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1518 - Números en un cuadrado

1517 - Siempre da 8

Hola, vuelvo a escribrir  después de mucho tiempo, porque leí sobre una curiosidad matemática que no conocía.
Ben Vitale publicó que salvo en el primer par de primos gemelos (3 y 5) en todos los demás se cumple que la raíz digital del producto de los primos es siempre igual a 8.

Acá les muestro los primeros ejemplos :

 
Pensandolo un poco es fácil comprobar que será siempre así
ya que las raíces posibles de dos primos gemelos son los pares 2y4, 5y7 y 8y1 
¿Alguien conocía está propiedad?

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1517 - Siempre da 8

1516 - Primos en un número

Usando las cifras de 37 podemos generar  cuatro números primos:
3, 7, 37 y 73
y es evidente que con cualquier otro número de 2 cifras no podemos generar mas de 4 primos.

Para números de tres cifras tenemos por ejemplo el 379 que permite formar 10 primos de los 15 posibles:

3, 7, 37, 73, 79, 97, 379, 397, 739, 937

¿Cuáles son los números de k cifras que mas primos generan? 

K= 2,    37,       4
K= 3,  379(?), 10
K= 4,  ?  
etc.

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1516 - Primos en un número

1515 - Festival del ingenio 2018

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1515 - Festival del ingenio 2018

1514 - Producto de primos consecutivos

Jugando con primos consecutivos se puede ver que :

7 x 11 x 13 x 17 x 19 = 323323, el cual es capicúa

Curiosamente la suma de los cuadrados de estos primos consecutivos también es capicúa:

7² + 11² + 13² + 17² + 19² = 989


1.  ¿Hay otros ejemplos para 5 primos consecutivos? 
2. ¿ Hay ejemplos para cualquier otra cantidad de primos consecutivos?

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1514 - Producto de primos consecutivos

1513 - Primos consecutivos que dan repdigits

109 y 113 son dos primos consecutivos cuya suma da un repdigit

109 + 113 = 222

Otros ejemplos :

111111109 + 111111113 = 222222222
4441  +  4447             = 8888


¿Que tres primos consecutivos dan como suma un repdigit?    

Yo encontré un solo ejemplo

Para mas de tres primos consecutivos no encontré ningún ejemplo, habrá alguno?

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1513 - Primos consecutivos que dan repdigits

1512 - Cuántos?

176 presenta la particularidad que uno de sus dígitos es igual a la suma de todos los otros dígitos.
 7 = 1 + 6
3283 y 10010 también


¿Cuántos números de 3 dígitos de este tipo existen?
¿Cuánto de 4? ¿y de 5?
Existe una fórmula para n dígitos?

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1512 - Cuántos?

1511- Jugando al ping pong

Lei este interesante problema en Internet:

Tres amigos juegan al ping pong.
 Juegan con el sistema de que quien gana un set queda en cancha, en tanto que el perdedor sale  y espera al resultado del siguiente set para entrar y jugar con el ganador.

Si Ana jugó 15 partidos, Beatriz jugó 11 y Diego jugó 8, ¿Quién perdió el cuarto partido?

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1511- Jugando al ping pong

1510 - Múltiplo del 1 al 100

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1510 - Múltiplo del 1 al 100

1509 - El mayor

¿Cuál es el mayor número par que NO puede formarse como suma de dos números impares compuestos?

Visto en internet

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1509 - El mayor

1508 - Suma digital de productos

Definición: llamo suma digital a la suma de todos los digitos de un número.
Ejemplo: la suma digital de 67179 es 6+7+1+7+9 = 30

Ahora tomo en consideración la suma digital de todos los productos de un determinado número multiplicado  por todos los primos existentes.
Tomo en consideración aquellos menores primos que generan una suma digital del producto que aún no ha aparecido entre los valores anteriores.

Por ejemplo si el número elegido es el 7:

Obviamente que si el número elegido no es múltiplo de 3, en las sumas digitales no aparecerán múltiplos de 3, salvo cuando el primo que multiplica es el mismo 3.


Analizando los resultados para los 9 primeros digitos no parece haber curiosidades para los No múltiplos de 3, es decir que aparecen después de un cierto número casi todas las sumas digitales esperables (aunque desordenados al comienzo).
Lo mismo ocurre aparentemente para el 9   :

Aparecen todos las sumas digitales esperables al menos hasta el 54, seguirá así?


No ocurre lo mismo para el 3 y el 6, la suma digital con valor 18 es la primera que no aparece entre los primeros resultados, 

Tampoco aparece ningun múltiplo de 9 (salvo el 9 mismo)
Para el 6 ocurre lo mismo

Quizás sea algo conocido, pero para mi es todo una novedad
Es así entonces que no hay productos de 3 o 6 por números primos que den sumas digitales múltiplos de 9? (salvo al multiplicarlos por 3)

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1508 - Suma digital de productos

1507- Suma da cuadrado

Visto en Futility Closet : La suma de cualquiera tres de estos cinco 
números da un cuadrado

 

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1507- Suma da cuadrado

1506 - Estos años

Leo en Twitter:

 
Basicamente lo que dice es que 2017 es un número primo, 2018 es dos veces un número primo (1009) y 2019 es tres veces un número primo (673) y que esto paso solo tres veces en los últimos 1129 años.

Leyendo esto se me ocurrió preguntar:

- ¿Cuando volverá a aparecer una secuencia como ésta?
- Secuencias mas largas, ocurren?, ¿Cuál es la mas larga que pueden encontrar? y si no se puede demostrarlo

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1506 - Estos años

1505 - Variante del problema anterior

Esta es una variante del problema anterior.
Lo que busco ahora es diferencias de potencias de unos mismos factores que empiecen con los mismos dígitos.
Estos son los ejemplos que encontré:

4³ - 2³ = 65   y   4⁷ - 2⁷ = 65261
4² - 3² = 7   y   4⁵ - 3⁵ = 781
4³ - 2³ = 65   y   4⁷ - 2⁷ = 65261
6² - 3² = 27   y   6⁷ - 3⁷ = 27749
13³ - 4³ = 3312   y   13⁷ - 4⁷ = 33123726
8² - 6² = 28   y   8⁴ - 6⁴ = 2800
9² - 6² = 45   y   9⁷ - 6⁷ = 4503033
8² - 7² = 15   y   8⁵ - 7⁵ = 15961
14² - 7² = 147   y   14⁸ - 7⁸ =1470024255
17² - 7² = 240   y   17⁶ - 7⁶ = 24019920
14² - 13² = 27   y   14⁶ - 13⁶ = 2702727
26² - 18² = 352   y   26⁴ - 18⁴ = 35200
23² - 22² = 45   y   23⁴ - 22⁴ = 45585
25² - 23² = 96   y   25⁶ - 23⁶ = 96104736



- Mas resultados?
- Alguno interesante/curioso como el marcado en rojo? (en el que el resultado de la primera resta es igual a la concatenación de los factores).
- O como los azules (en el que el resultado mayor es múltiplo del menor)

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1505 - Variante del problema anterior

1504 - Suma de potencias con comienzos particulares

En el problema de octubre de la página Math Magic, se pedía encontrar un par de numeros positivos x e y , tal que xⁿ + yⁿ empiece con los mismos digitos que  x^m + y^m donde n > m > 1

Como ejemplo daban 
692² + 1118² = 1728788 y 692³ + 1118³ = 1728788920, 
que como vemos ambos resultados empiezan con los mismos digitos.
Los lectores enviaron varios resultados mas.

Yo pensé una variante que la muestro con el  siguiente ejemplo: 

2² + 13² = 173  y  2⁵ + 13⁵ = 371325

Nótese que el segundo resultado empieza con los mismos dígitos que el primero pero invertidos.

Otros resultados que encontré:

2³ + 4³ = 72   y   2⁴ + 4⁴ = 272
2² + 7² = 53   y   2³ + 7³ = 351
4² + 9² = 97   y   4³ + 9³ = 793

Otros resultados?

Como en el problema original, también podemos buscar {x, y, ... , z, m, n} con la propiedad de que  xⁿ + yⁿ + ^{. . .} + zⁿ comiencen con los digitos invertidos de  x^m + y^m + ^{. . .} + z^m
 

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1504 - Suma de potencias con comienzos particulares

1503 - Sumas repetidas que den primos

Tomemos dos números, uno impar y otro par que sean primos entre si.
Ahora sumemos dichos números, si el resultado es un número primo paramos, sino continuamos sumando el resultado obtenido al último sumando.
Por ejemplo tomemos el 5 y el 22, empezamos sumando 5+22 = 27 como 27 no es primo, sumo 27 a 22, igual a 49 como este tampoco es primo sigo hasta encontrar un primo, así generamos la siguiente secuencia:

5, 22, 27, 49, 76, 125, 201, 326, 527, 853 (primo)
Tuve que hacer 8 sumas para llegar a un número primo.

¿Cuál es la secuencia mas larga que pueden encontrar?

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1503 - Sumas repetidas que den primos

1502 -Primos que dan primos

Busco cuatro primos consecutivos que tengan la siguiente propiedad:

El resultado de multiplicar el primer primo por cualquiera de los otros tres mas la suma de los otros dos es también un primo.

Ejemplo :

1039, 1049, 1051 y 1061 son cuatro primos consecutivos
y 1039 x 1049 + 1051 +1061 = 1092023
   1039 x 1051 + 1049 + 1061 = 1094099
   1039 x 1061 + 1049 +1051 = 1104479

Da siempre números primos.

Otros ejemplos?

En este caso solo multiplico el primer primo por los demás, si tenemos en cuenta todas las multiplicaciones posibles y luego sumamos los primos no involucrados en la multiplicación es posible obtener 6 primos?

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1502 -Primos que dan primos