1453 - Números Tau

Los llamados números Tau son aquellos que al dividirse por su número de divisores dan un número entero.
Puede verse la definición aquí A033950 y el listado de los primeros 10000 de estos números aquí.

El año en curso, 2016, es uno de estos números ya que la cantidad de divisores de 2016 es 36, y 2016/36 = 56.

Si le restamos a 2016 su número de divisores, 36, obtenemos 1980, el cual también es un número Tau.
Procedemos de igual manera con los números obtenidos mientras obtengamos un número Tau.
2016 (36) --> 1980 (36) ---> 1944 (24) ---> 1920 (32) y ahí termina la cadena ya que 1888 no es un número Tau.

Podemos decir que 2016 genera (contandose a si mismo)  cuatro números Tau.

¿Cuál es la cadena mas larga de números Tau que aplicando esta metodología se puede encontrar?

English version :  Tau numbers

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1453 - Números Tau

1452 - Reemplazando

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1452 - Reemplazando

1451 - ¿Cuántas soluciones?

Del libro de Clement Wood, "Book of Mathematical Oddities"

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1451 - ¿Cuántas soluciones?

1450 - Multiplos con todos los dígitos

Encontrar para cada primo la secuencia de múltiplos de dicho primo, cuya suma sea menor y que contenga cada uno de los dígitos del 0 al 9 una y solo una vez

Ejemplos de dichas secuencias (no sé si son los de menor suma) :

Para 2 :  14, 36, 58, 70, 92. Suma = 270
Para 3 :  12, 39, 48, 57, 60. Suma = 216
Para 5 :  12345, 67890      . Suma = 80235
Para 7 :  63, 70, 189, 245  . Suma = 567
Para 11: 165, 704, 2398    . Suma = 3267

Son estas las menores sumas? 
Buscar las secuencias para los siguientes números primos

Actualización : Mmonchi y Vicente encontraron los siguientes valores :

Para 3: 6, 9, 18, 27, 30, 45 (135)
Para 5: 13685, 24790 (38475) Mmonchi
Para 7: 7, 28, 49, 63, 105 (252) Mmonchi
Para 11: 264,539,1078 (1881)  Vicente
Para 13: 26, 78, 195, 403 (702) Mmonchi
Para 17: 34, 85, 102, 697 (918) Mmonchi
Para 19: 19, 76, 285, 304 (684) Mmonchi
Para 23: 46,92,713,805 (1656) Vicente
Para 29: 493,580,1276 (2349) Vicente.
Para 31: 372,496,1085 (1953) Vicente.

English Version :Multiples with all the digits

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1450 - Multiplos con todos los dígitos

1449 - Tenis

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1449 - Tenis

1448 - Cadenas de primos complementarios

Llamemos complemento de un número positivo al siguiente procedimiento: se toma cada dígito por su valor posicional y se resta del mayor los otro dígitos.
Ejemplo para 
1448 = 1000 + 400 + 40 + 8
Complemento (1448) = 1000 - 400 - 40 - 8 = 552

639 = 600 +30 + 9 
Complemento (639) = 600 - 30 - 9 = 561

Ahora bien para primos mayores a 11 hay muchos primos cuyo complemento también es primo.
Estos complementos primos a su vez pueden llegar a generar nuevos primos al calcular su complemento.
Ejemplo  643 --> 557 ---> 443 y aquí termina ya que 443 genera el 357 que no es primo

La idea es entonces formar la cadena mas larga posible de primos empezando por un primo:

7 primos :   18127 - 1873 - 127 - 73 - 67 - 53 - 47  
8 primos :   18181213 - 1818787 - 181213 - 18787 - 1213 -787 - 613 - 587

Obviamente cuento como uno los primos que se generan a si mismos (los menores de 10) 

La idea es entonces encontrar la cadena mas larga posible

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1448 - Cadenas de primos complementarios

1447 - Suma de Residuos

Tomemos cualquier número, por ejemplo el número de esta entrada, 1447.
Calculemos los residuos (restos) al dividirlo por los números del 1 al 9 : 0,1,1,3,2,1,5,7,7
Sumemos dichos restos = 0+1+1+3+2+1+5+7+7 = 27
Llamemos a dicha suma SdR, o sea SdR(1447) = 27

Apliquemos ahora SdR a los números primos:
Asi tenemos que 
SdR (2) =14
SdR (3) =19
SdR (5) = 24
etcétera

Ahora bien ocurre que  SdR(29) = SdR(31) = 21 , es decir que 29 y 31 son los dos menores  números primos consecutivos que poseen el mismo SdR.
Investigando un poco encuentro que los tres menores primos consecutivos con igual SdR son 6449, 6451 y 6469, ya que SdR(6449) = SdR(6451) = SdR(6469) = 21

Así los primos menores de un grupo de n primos consecutivos con el mismo SdR son

n = 2 :  29
n = 3 :  6449


Encontrar los  primos para n>3 (que los hay)

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1447 - Suma de Residuos

1446 - Domino Domino Logic

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1446 - Domino Domino Logic

1445 - Particionando un número

¿Cuál es el menor número que puede particionarse  de cuatro formas diferentes en tres términos todos con el mismo producto? 

Ejemplo : 

N = A+B+C

N = D+E+F

N = G+H+I

N = J+K+L

y AxBxC = DxExF = GxHxI = JxKxL 

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1445 - Particionando un número

1444 - Completando las ecuaciones

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1444 - Completando las ecuaciones

1443 - Extensión del problema anterior

La idea es buscar la secuencia formada por las menores sumas de las secuencias que contengan exactamente P múltiplos del primo P, empezando por la que tiene dos y solo dos múltiplos de dos, seguida por la que tiene dos y solo dos múltiplos de dos y tres y solo tres múltiplos  de tres, etc .

Esta secuencia comienza así : 6, 32, 20 ya que

- La menor suma de una secuencia que contenga dos y solo dos múltiplos de dos es 6  (2,4)

- La menor suma de una secuencia que contenga dos y solo dos múltiplos de dos y tres y solo tres múltiplos de tres es 32 y la secuencia es 2,6,9,15

¿Cómo continuaría este secuencia? 

Correción:  La menor suma de una secuencia que contenga dos y solo dos múltiplos de dos y tres y solo tres múltiplos de tres es 20 (2,3,6,9) y no 32 

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1443 - Extensión del problema anterior

1442 - Championnat International FFJM 2015

Encontrar un conjunto de números enteros positivos todos distintos con suma ≤ 2015, tal que:
- 2  y sólo 2 de ellos son divisibles por 2,
- 3  y sólo 3 de ellos son divisibles por 3,
- 5  y sólo 5 de ellos son divisibles por 5,
- 7  y sólo 7 de ellos son divisibles por 7,
- 11  y sólo 11 de ellos son divisibles por 11,
Entre todos los conjuntos de enteros  que cumplen estas condiciones, encontrar aquél en que la suma de los términos es mínimo.

Un problema del Championnat International FFJM 2015

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1442 - Championnat International FFJM 2015

1441 - Casi pi

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1441 - Casi pi

1440 - Generando primos

Tomemos cualquier número mayor a 3, multipliquémoslo por 2 y al resultado restémosle 3. 
Si el número obtenido es primo, repitamos esta operación.

Por ejemplo si empezamos con el 5 : 
5 x 2 - 3 = 7
7 x 2 - 3 = 11
11 x 2 - 3 = 19
y no podemos seguir ya que el próximo es 19 x 2 - 3 = 35 que no es primo.

Buscando hasta mil obtenemos esta secuencia en la que a(n) es el menor número que genera n primos al realizar estas operaciones : 11, 7, 5, 4, 8, 283, 143, 913

Si restringimos la condición de que los números originales sean también primos obtenemos esta otra secuencia:
11, 7, 5, 13, 563, 283, 1823

Su misión, si quiere aceptarla, es continuar cualquiera de estas dos series

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1440 - Generando primos

1439 - Aumentar 2016 veces el producto

Tengo 13 factores  que me dan un producto P.
Si a cada uno de los 13 factores los aumento en una unidad, el nuevo producto es P x 2016
¿Cuáles son esos factores?


Para que se entienda mejor va un ejemplo en el que el producto aumenta 2015 veces y los factores son 14:

 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x  2 x 4 x 30 x 64  = 15360
 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x  3 x 5 x 31 x 65 = 30950400                                                                                    = 15360 x 2015

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1439 - Aumentar 2016 veces el producto

1438 -Columnas sobre filas que se acercan a Pi

En esta ocasión debemos colocar 9 de los 10 números que van del 0 al 9 en un tablero de 3x3, de forma tal que la división entre las suma de las columnas sobre la suma de las filas se acerque lo mas posible a PI 

Con los números del 1 al 9 solo se puede llegar a 2.7159, así que el cero debe participar para poder acercarnos a pi.

¿Cuál es la configuración que logra acercarse mas a PI?

Como ejemplo les pongo un tablero que da exactamente 3 :

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1438 -Columnas sobre filas que se acercan a Pi

1437 - Columnas sobre filas

Instrucciones :
Colocar los números del 1 al 9 en un tablero de tres por tres.
Sumar los tres números de tres cifras que se forman en las columnas.
Sumar los tres números de tres cifras que se forman en las filas.
Dividir el número obtenido en la suma de las columnas por el obtenido en la suma de las filas
El número obtenido es lo que llamamos resultado.

Ejemplo : 
Encontrar los tableros con las siguientes soluciones :

a) Un tablero en el que el resultado sea exactamente 1 y cuya Suma de Columnas sea máximo
b) Lo mismo que a pero con Suma de Columnas mínimo
c) Un tablero en el que el resultado sea exactamente 2 con Suma de Columnas máximo
d) Lo mismo que c pero con Suma de Columnas mínimo
e) El tablero con el mayor resultado posible.

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1437 - Columnas sobre filas

1436 - Apellidos en el nombre o viceversa

Hace algunos años, Rodolfo Kurchan planteó en Snark el encontrar personajes que tuvieran sus nombres incluidos en sus apellidos o viceversa.
Como ejemplos se daban los nombres de dos futbolistas : Andrés D'alessandro y Carlos Roa.
Uno de los participantes de la lista aportó el nombre del escritor Ray Bradbury
Uno de los que yo encontré es el actual presidente de Argentina :

¿Algunos otros ejemplos?


 

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1436 - Apellidos en el nombre o viceversa

1435 - 29 de Febrero

El 29 de febrero de 2008 Michelle Birnbaum de Saddle River, Nueva Jersey, dio a luz a su hija, Rose.  
Eso no sería muy inusual, lo que hizo que esta noticia fuera inusual es que la madre también había nacido un 29 de febrero (de 1980.)

Las probabilidades de que un niño nazca un 29 de febrero son de 1 en 1641 en tanto que las probabilidades de que dos personas compartan ese cumpleaños están en algún lugar en el rango de 2 millones a uno.

Otra de las coincidencias de este nacimiento es que si escribimos las fecha como dd/mm/aa tenemos 29/02/80 y 29/02/08.

Fuente : North jersey.com
 

Por otro lado, que día sería hoy si no hubiesen existido los años bisiestos?
Pues hoy sería el 16 de Julio de 2017

Fuente : Los Angeles Times

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1435 - 29 de Febrero

1434 - Poniendo 57's en 1709

En el sitio Mathemagical site nos dicen que 1709 además de ser un número primo, permite ir poniendo en el centro varios números 57 de forma tal que siempre se va formando un nuevo número primo:

1709
175709
17575709
1757575709
175757575709
17575757575709
1757575757575709
175757575757575709
17575757575757575709

Todos primos.
En total se pueden poner ocho 57's en medio del 1709, habrá otros ejemplos parecidos?

Pd : Carlos Rivera me hace notar que el número con ocho 57's no es primo. 

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1434 - Poniendo 57's en 1709