52 - Los taxicab numbers

Cuando se habla del número 1729 la mayoría de los matemáticos recuerdan la anécdota que vivieron dos grandes matemáticos de principios del siglo XX. Se cuenta que un día en que G.H. Hardy fue a visitar a Srinivasa Ramanujan, el cual estaba muy enfermo de tuberculosis, Hardy tomó un taxi y se fijo que su número que era el 1729. Parece que estaba pensandoo encontrar una particularidad en es número, ya que cuando llegó al lugar donde estaba Ramanujan, le comentó que tomo el taxi 1729 y que le parecía que era un número sonso, sin atractivo.
_ Sin embargo_ dijo Ramanujan a mi me parece un número muy interesante, ya que es el primer número que puede expresarse como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes :

1³ + 12³
9³ + 10³

En honor a este diálogo se llaman taxicab numbers o números taxi a los números que pueden expresarse como la suma de dos cubos en más de una forma.

Así tenemos :

Taxicab(2) = 1729
= 1³ + 12³
= 9³ + 10³

Publicado por primera vez por Bernard Frénicle de Bessy en 1657.

Taxicab(3) = 87539319
= 167³ + 436³
= 228³ + 423³
= 255³ + 414³

Encontrado por Leech en 1957.

Taxicab(4) = 6963472309248
= 2421³ + 19083³
= 5436³ + 18948³
= 10200³ + 18072³
= 13322³ + 16630³

Encontrado por E. Rosenstiel, J.A. Dardis, and C.R. Rosenstiel en 1991.

Taxicab(5) = 48988659276962496
= 38787³ + 365757³
= 107839³ + 362753³
= 205292³ + 342952³
= 221424³ + 336588³
= 231518³ + 331954³

Encontrado por David Wilson en 1997

Taxicab(6) = 24153319581254312065344
= 28906206³ + 582162³
= 28894803³ + 3064173³
= 28657487³ + 8519281³
= 27093208³ + 16218068³
= 26590452³ + 17492496³
= 26224366³ + 18289922³

Encontrado por Randall L. Rathbun en 2002
David Wilson descubrió 8230545258248091551205888 en 1997.

Taxicab(7) <= 24885189317885898975235988544
= 2648660966³ + 1847282122³
= 2685635652³ + 1766742096³
= 2736414008³ + 1638024868³
= 2894406187³ + 860447381³
= 2915734948³ + 459531128³
= 2918375103³ + 309481473³
= 2919526806³ + 58798362³

Encontrado por Christian Boyer en 2006

Taxicab(8) <= 50974398750539071400590819921724352

= 299512063576³ + 288873662876³
= 336379942682³ + 234604829494³
= 341075727804³ + 224376246192³
= 347524579016³ + 208029158236³
= 367589585749³ + 109276817387³
= 370298338396³ + 58360453256³
= 370633638081³ + 39304147071³
= 370779904362³ + 7467391974³

Encontrado por Christian Boyer en 2006

Taxicab(9) <= 136897813798023990395783317207361432493888

= 41632176837064³ + 40153439139764³
= 46756812032798³ + 32610071299666³
= 47409526164756³ + 31188298220688³
= 48305916483224³ + 28916052994804³
= 51094952419111³ + 15189477616793³
= 51471469037044³ + 8112103002584³
= 51518075693259³ + 5463276442869³
= 51530042142656³ + 4076877805588³
= 51538406706318³ + 1037967484386³

Encontrado por Christian Boyer en 2006

Taxicab(10) <= 7335345315241855602572782233444632535674275447104

= 15695330667573128³ + 15137846555691028³
= 17627318136364846³ + 12293996879974082³
= 17873391364113012³ + 11757988429199376³
= 18211330514175448³ + 10901351979041108³
= 19262797062004847³ + 5726433061530961³
= 19404743826965588³ + 3058262831974168³
= 19422314536358643³ + 2059655218961613³
= 19426825887781312³ + 1536982932706676³
= 19429379778270560³ + 904069333568884³
= 19429979328281886³ + 391313741613522³

Encontrado por Christian Boyer en 2006

Taxicab(11) <=2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632

= 11410505395325664056³ + 11005214445987377356³
= 12815060285137243042³ + 8937735731741157614³
= 12993955521710159724³ + 8548057588027946352³
= 13239637283805550696³ + 7925282888762885516³
= 13600192974314732786³ + 6716379921779399326³
= 14004053464077523769³ + 4163116835733008647³
= 14107248762203982476³ + 2223357078845220136³
= 14120022667932733461³ + 1497369344185092651³
= 14123302420417013824³ + 1117386592077753452³
= 14125159098802697120³ + 657258405504578668³
= 14125594971660931122³ + 284485090153030494³

Encontrado por Christian Boyer en 2006

Taxicab(12) <= 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152

= 33900611529512547910376³ + 32696492119028498124676³
= 38073544107142749077782³ + 26554012859002979271194³
= 38605041855000884540004³ + 25396279094031028611792³
= 39334962370186291117816³ + 23546015462514532868036³
= 40406173326689071107206³ + 19954364747606595397546³
= 41606042841774323117699³ + 12368620118962768690237³
= 41912636072508031936196³ + 6605593881249149024056³
= 41950587346428151112631³ + 4448684321573910266121³
= 41960331491058948071104³ + 3319755565063005505892³
= 41965847682542813143520³ + 1952714722754103222628³
= 41965889731136229476526³ + 1933097542618122241026³
= 41967142660804626363462³ + 845205202844653597674³

Obviamente que tambièn existes los cabtaxi numbers que son aquellos que pueden obtenerse tanto como suma como por resta de cubos.

Asi tenemos :

Cabtaxi(1) = 0
= 1³ - 1³

Cabtaxi(2) = 91
= 3³ + 4³
= 6³ - 5³

Cabtaxi(3) = 728
= 6³ + 8³
= 9³ - 1³
= 12³ - 10³

Cabtaxi(4) = 2741256
= 108³ + 114³
= 140³ - 14³
= 168³ - 126³
= 207³ - 183³

Cabtaxi(5) = 6017193
= 166³ + 113³
= 180³ + 57³
= 185³ - 68³
= 209³ - 146³
= 246³ - 207³

Encontrado por Randall Rathbun.

Cabtaxi(6) = 1412774811
= 963³ + 804³
= 1134³ - 357³
= 1155³ - 504³
= 1246³ - 805³
= 2115³ - 2004³
= 4746³ - 4725³

Encontrado por Randall Rathbun.

Cabtaxi(7) = 11302198488
= 1926³ + 1608³
= 1939³ + 1589³
= 2268³ - 714³
= 2310³ - 1008³
= 2492³ - 1610³
= 4230³ - 4008³
= 9492³ - 9450³

Encontrado por Randall Rathbun.

Cabtaxi(8) = 137513849003496
= 22944³ + 50058³
= 36547³ + 44597³
= 36984³ + 44298³
= 52164³ - 16422³
= 53130³ - 23184³
= 57316³ - 37030³
= 97290³ - 92184³
= 218316³ - 217350³

Encontrado por D.J. Bernstein.

>Cabtaxi(9) = 424910390480793000
= 645210³ + 538680³
= 649565³ + 532315³
= 752409³ - 101409³
= 759780³ - 239190³
= 773850³ - 337680³
= 834820³ - 539350³
= 1417050³ - 1342680³
= 3179820³ - 3165750³
= 5960010³ - 5956020³

Encontrado por Duncan Moore en 2005.

Cabtaxi(10) <= 933528127886302221000 = 8387730³ + 7002840³
= 8444345³ + 6920095³
= 9773330³ - 84560³
= 9781317³ - 1318317³
= 9877140³ - 3109470³
= 10060050³ - 4389840³
= 10852660³ - 7011550³
= 18421650³ - 17454840³
= 41337660³ - 41154750³
= 77480130³ - 77428260³

Se conocen cabtaxi hasta el 20


Mas información en
http://cboyer.club.fr/Taxicab.htm
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A011541

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52 - Los taxicab numbers

51 - Más de cien compuestos seguidos

14^{24 .} 15^{22 .} 10^{19 .} 8^{16 .} 3⁶ = 20^{23 .} 5^{18 .} 12^{17 .} 7^{13 .} 21^{11 .} 2^{9 .} 4¹

Los números 8, 9 y 10 son todos compuestos y es la primera secuencia de tres números seguidos compuestos.

24, 25 26, 27 y 28 son todos compuestos y es la primera secuencia de cinco números compuestos.

Ahora bien ,

¿Cuál es la primera secuencia de cien o más de cien números compuestos seguidos?

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51 - Más de cien compuestos seguidos

50 - El cuarto de Martin G

14^{22 .} 3^{16 .} 15^{13 .} 8^{11 .} 10⁶ = 20^{19 .} 7^{17 .}18^{12 .} 2^{9 .} 21^{5 .} 4¹

Un grupo de amigos a los que nos gustan los juegos de ingenio fuimos invitados hace un tiempo a pasar unas vacaciones pagas en Las Vegas (no podía ser en otra parte) en un hotel de 720 habitaciones. Cuando llegamos al hotel fuimos recibidos por nuestro anfitrión, un tal Martin G que conocía nuestro interés por los acertijos.
_ Sé que son aficionados a los juegos de ingenio, y por lo tanto les voy a proponer uno. _ nos dijo Martin y comenzó a contarnos la siguiente historia :
_ Hace un tiempo estuvieron en este mismo hotel, tres de los mas grandes lógico matemáticos de la historia . Como estas tres personas no se conocían entre sí, decidí hacer una reunión para que se conozcan y para que pudiéramos hablar un poco sobre los temas que nos apasionaban. En un momento de la charla, uno de los matemáticos vio la llave de mi habitación y me preguntó si yo me alojaba allí.
_ Si _ le contesté _ Siempre me alojo en esta habitación cuando vengo a este hotel y casualmente el número de mi habitación es igual a la suma o al producto de los números de las habitaciones que ocupan ustedes (ellos no conocían los números de las habitaciones de los otros).
_ Que interesante _ dijo uno de ellos
_ Si _ le dije y agregué : _ Ustedes están alojados todos en la planta baja que tiene las primeras diez habitaciones, así que creo con este dato y el de mi habitación pueden deducir facilmente la habitación que ocupan sus colegas.
_ Hagamoslo por turnos _ me dijeron
_ Perfecto _ les dije _ iremos desde el que tiene el menor número de habitación, seguirá el de la habitación intermedia y por último el de mayor número de habitación.
Una vez que les dije el orden se escuchó el siguiente diálogo :
Menor : No puedo deducirlo aún
Medio : No puedo deducirlo aún
Grande : No puedo deducirlo aún
Menor : No puedo deducirlo aún
Medio : No puedo deducirlo aún
Grande : No puedo deducirlo aún
Menor : Ahora si puedo decir cuales son las habitaciones de mis colegas.

_ Aquí termina mi historia, _ nos dijo Martin _ ¿ Pueden ustedes deducir en que habitación me hospedo?

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50 - El cuarto de Martin G

49 - Dos divisibles por 14

15^{19 .} 10^{11 .} 16^{7 .} 18⁶ = 5^{17 .} 20^{13 .} 9^{14 .} 8^{4 .} 12^{3 .} 2¹

La suma de los dígitos de un entero positivo es divisible por 14.

La suma de los dígitos del entero que le sigue también es divisible por 14.

¿Cuál es el menor número que cumple con estos requisitos?

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49 - Dos divisibles por 14

48 - Dos mil nueve

1^{14 .} 3^{11 .} 5^{13 .} 6^{12 .} 8^{19 .} 9^{2 .} 15⁷ = 10^{20 .} 18^{17 .} 4¹⁶

Dos problemas con el 2009 :

1) Encontrar el menor número que elevado al cubo termina en 2009

2) Encontré dos números de 2009 cifras, que tienen las siguientes particularidades :

- Los dos empiezan con el número 3
- Si tomo al azar dos dígitos consecutivos cualesquiera de este número, obtengo seguro un múltiplo de 17 o de 23 (Por ejemplo si tomo el dígito 485 y el 486 , el número de dos dígitos que ellos forman o es múltiplo de 17 o de 23)
Sabiendo estas dos particularidades,

¿Alguien sabría decirme los últimos dígitos de cada uno de estos números?

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48 - Dos mil nueve

47 - ¿Cuántos alumnos hay en la escuela?

(3 + 4)³ = 343

_ Susan, ¿Cuántos alumnos hay en tu escuela?
_ No se cuantos son exactamente, lo que sé, es que los digitos que lo forman son todos distintos y que si le sumamos 99 el orden de los dígitos se invierte.

_ Mirá _ Dijo el profesor de matemáticas _ lo que te dijo Susan es 100% exacto, pero lo que te voy a decir yo, no. Te voy a dar cuatro datos sobre el número:

1. Es divisible por la suma de sus dígitos
2. No es primo
3. Tiene solo un dígito en común con el producto de sus dígitos
4. La suma del primer y el último dígito es una unidad mayor que la del medio

Si yo te dijera cual de estas sentencias es/son falsa/s vos podrías descifrar cual es el número.

¿Cuántos alumnos hay en la escuela?

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47 - ¿Cuántos alumnos hay en la escuela?

46 - Tarea para el hogar

1¹+19¹+20¹+51¹+57¹+80¹+82¹ = 2¹+12¹+31¹+40¹+69¹+71¹+85¹
1²+19²+20²+51²+57²+80²+82² = 2²+12²+31²+40²+69²+71²+85²
1³+19³+20³+51³+57³+80³+82³ = 2³+12³+31³+40³+69³+71³+85³
1⁴+19⁴+20⁴+51⁴+57⁴+80⁴+82⁴ = 2⁴+12⁴+31⁴+40⁴+69⁴+71⁴+85⁴
1⁵+19⁵+20⁵+51⁵+57⁵+80⁵+82⁵ = 2⁵+12⁵+31⁵+40⁵+69⁵+71⁵+85⁵
1⁶+19⁶+20⁶+51⁶+57⁶+80⁶+82⁶ = 2⁶+12⁶+31⁶+40⁶+69⁶+71⁶+85⁶

Para que ejercitaran sumas, la maestra les dio a sus alumnos cinco números enteros diferentes y les dictó la tarea para el día siguiente :

Con los números a, b, c, d y e realizar la suma de cada par de números (a+b, a+c, a+d, a+e, b+c, b+d, b+e, c+d, c+e, y d+e)

Después de realizar la tarea, Andrés le mostró los resultados a su mamá para que los revise.
La mamá leyó 2,4,5,7,7,8,10,11,12,13 y le dijo a Andrés:
-Las primeras tres y las últimas tres sumas están bien hechas, pero algunas de las del medio están mal.

¿Cuáles eran los números que dictó la maestra?

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46 - Tarea para el hogar

45 - Código primo

175 = 1 + 7² + 5³

Todos conocemos el código que reemplaza cada letra del alfabeto por un número de forma tal que a=1, b=2, c=3, etc. El valor de cada palabra se puede calcular usando la suma, o el producto de cada una de las letras. Pero con este código hay muchas palabras distintas que tienen el mismo código. Para que ello no ocurra, se puede usar un código en que cada letra es reemplazada por un número primo y la palabra se reemplaza por el producto de las letras. Este código también tiene sus inconvenientes ya que los anagramas tienen todos los mismos valores, y además las palabras largas tienen valores muy altos.
En este código tenemos que a=2, b=3, c=5, d=7, e=11, etc.
Basado en esta idea se me ocurrió lo siguiente :
Si el valor de cada palabra es igual al producto de sus letras
¿Es posible lograr una palabra que de 1000, 10.000, 100.000 , 1.000.000 , 10.000.000 ó 100.000.000?
¿Quién encuentra la más cercana a estos valores?, ya sea por defecto o por exceso, obviamente se busca una palabra que exista, ya que por ejemplo cacacacaca da 100.000, pero lamentablemente no existe (en el DRAE = Diccionario de la real academia española, por lo menos)
Valen sin embargo verbos conjugados, nombres, palabras compuestas (Es decir cualquier palabra que se use normalmente)

a	2	g	17	m	41	r	67	x	97
b	3	h	19	n	43	s	71	y	101
c	5	i	23	ñ	47	t	73	z	103
d	7	j	29	o	53	u	79
e	11	k	31	p	59	v	83
f	13	l	37	q	61	w	89

Ej caca =100

Yo encontré palabras que están a 65 de10.000, a 4180 de 1.000.000, a 1090 de 10.000.000,
y a 2038 de 100.000.000

Les dejo un mensaje para que descifren:

53.009 781 1.422.068.785.214

249.419.590

386.261.221.687

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45 - Código primo

44 - La jubilación de Herman

4! + 0! + 5! + 8! + 5! = 40585

El número de beneficiario de Herman, es un número muy curioso.
Es un pandigital (tiene todos los dígitos del 0 al 9) que cumple con las siguientes condiciones :

1- Cada dígito aparece exactamente una sola vez.
2- La diferencia entre dos números adyacentes es siempre mayor a uno.
3- Para cada par de dígitos cuya suma es nueve, la cantidad de números que hay entre estas dos cifras es igual a la de menor valor. Por ejemplo entre el 5 y el 4 hay cuatro números.
4- La suma de cada par de dígitos que están ubicados a una misma distancia de los bordes es un número primo, así si el número fuera abcdefghij serían primos :
a+j, b+i, c+h, d+g y e+f

¿Cuál es el número de jubilación de Herman?

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44 - La jubilación de Herman

43 - Problemas de temperatura

4³ = 2^{6 .} 1⁵
8^{5 .} 1⁷ = 2^{3 .} 4⁶
2^{7 .} 4^{3 .} 9⁵ = 6^{10 .} 8¹
12^{7 .} 3¹⁰ = 6^7. 8^{1 .} 2^{4 .} 9⁵
1^{2 .} 8^{13 .} 9¹⁴ = 12^{11 .} 6^{7 .} 3^{10 .} 4⁵
15^{13 .} 3^{11 .} 4^{8 .} 16¹ = 2^{14 .} 9^{12 .} 5^{7 .} 10⁶
1^{8 .} 4^{13 .} 18^{7 .} 15¹⁷ = 5^{6 .} 10^{11 .} 9^{14 .} 12^{3 .} 2¹⁶
Todos las ecuaciones tienen cada uno de los
enteros hasta cierto valor una sola vez

_ El otro día me pasó algo extraño _ me dijo Sergio, el profesor de química.
_ ¿Qué te pasó? _ le pregunté.
_ Estaba haciendo un experimento que leí en una revista científica, en la cual se mencionaba insistentemente que debía mantenerse la temperatura a cierto valor porque sino seguro ocurriría una explosión. Así que tomé todos los recaudos para que la temperatura se mantuviera en dicho valor, cosa que logré. Cuando terminé la experiencia y obtuve el producto deseado, volví a leer la revista y noté que la temperatura que se mencionaba estaba en grados Fahrenheit, pero yo había utilizado un termómetro graduado en grados Celcius. Al principio me sorprendí de que el experimento hubiera salido bien y de que no había habido una explosión.
Pero después recapacité y me reí un buen rato.

Sabiendo que ºC= (ºF-32)/1.8, donde ºC es la temperatura en grados Celsius y ºF es la temperatura en grados Fahrenheit, ¿alguien sabría explicar lo que le pasó a Sergio?

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43 - Problemas de temperatura

42 - Los números de Drácula viajan en taxi

8³ = 512 . 5 + 1 + 2 = 8
27³ = 19683 . 1 + 9 + 6 + 8 + 3 = 27

No son números de Transilvania ni de Bram Stoker.
La idea original fue del gran Henry Dudeney que en su libro de 1917 "Amusements in Mathematics" en el problema N° 85 pone en el título "The cab numbers" (algo así como los números taxi).
El problema decía lo siguiente:
¿Qué dos números conteniendo entre ambos los nueve dígitos (del 1 al 9), cuando son multiplicados entre si, dan un producto, el más grande posible, que contiene también los nueve dígitos?

Rta:

8745231 x 96 = 839542176

Dudeney da en el libro otros ejemplos:

3 * 51 = 153

6 * 21 = 126

Con cuatro dígitos :

8 * 473 = 3784

9 * 351 = 3159

15 * 93 = 1395

21 * 87 = 1827

27 * 81 = 2187

35 * 41 = 1435

Con cinco dígitos

2 * 8741 = 17482 , 2 * 8714 = 17428

3 * 7251 = 21753 , 3 * 4281 = 12843

3 * 7125 = 21375 , 3 * 4128 = 12384

6 * 2541 = 15246 , 8 * 6521 = 52168

8 * 4973 = 39784 , 9 * 7461 = 67149

51 * 246 = 12546 , 42 * 678 = 28476

72 * 936 = 67932 , 14 * 926 = 12964

24 * 651 = 15624 , 65 * 281 = 18265

65 * 983 = 63895 , 75 * 231 = 17325

86 * 251 = 21586 , 57 * 834 = 47538

87 * 435 = 37845 , 78 * 624 = 48672

La idea de los números vampiros fue introducida por Clifford A. Pickover en 1994.
Los números vampiros verdaderos cumplen cuatro reglas:

1. Tienen un número par de dígitos
2. Se obtienen por el producto de dos números, llamados colmillos, los cuales tienen cada uno la mitad de dígitos que el número vampiro.
3. Tienen los mismos dígitos que los colmillos( y en la misma cantidad)
4. Los colmillos no pueden terminar los dos en cero

Ej : 15 x 93 = 1395

Existen 7 números vampiros verdaderos con 4 dígitos :

1260 = 21 · 60
1395 = 15 · 93
1435 = 35 · 41
1530 = 30 · 51
1827 = 21 · 87
2187 = 27 · 81
6880 = 80 · 86

Carlos Rivera introdujo el concepto de Número vampiro primo en el cual los colmillos son números primos:

117067 = 167 · 701
124483 = 281 · 443
146137 = 317 · 461
371893 = 383 · 971
536539 = 563 · 953

Existen también números vampiros que pueden tener más de un grupo de colmillos:

125460 = 204 · 615 = 246 · 510
11930170 = 1301 · 9170 = 1310 · 9107
12054060 = 2004 · 6015 = 2406 · 5010
12417993 = 1317 · 9429 = 1347 · 9219
13078260 = 1620 · 8073 = 1863 · 7020 = 2070 · 6318
107650322640 = 140532 · 766020 = 153204 · 702660 = 200760 · 536214
113024597400 = 125100 · 903474 = 152100 · 743094 = 257400 · 439101
119634515208 = 195351 · 612408 = 234156 · 510918 = 285513 · 419016
134549287600 = 138650 · 970424 = 145700 · 923468 = 182900 · 735644

Se conoce un vampiro de 70 dígitos que tiene 100.025 pares de colmillos, el número es :
1067781345046160692992979584215948335363056972783128881420721375504640

Se puede ver el post original de Clifford A. Pickover Acá

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42 - Los números de Drácula viajan en taxi

41 - Competencia interdeportiva

1¹ + 4¹ + 12¹ + 13¹ + 20¹ = 2¹ + 3¹ + 10¹ + 16¹ + 19¹
1² + 4² + 12² + 13² + 20² = 2² + 3² + 10² + 16² + 19²
1³ + 4³ + 12³ + 13³ + 20³ = 2³ + 3³ + 10³ + 16³ + 19³

Se organizó una competencia entre los cinco colegios más grandes del país.
Los estudiantes competirían en varias disciplinas deportivas.
El colegio que ganara en la mayoría de las competencias, ganaría el campeonato y el premio mayor.
Para juntar el dinero de los premios se le pidió a cada alumno que pusiera un peso. El total de lo recaudado iba para el colegio que ganara la competencia.
Los directores de cuatro de los colegios decidieron que en caso de ganar repartirían lo ganado entre cada uno de sus estudiantes ya que lo recaudado era un múltiplo exacto de la cantidad de alumnos que cada uno de estos colegios tenía.
El director del quinto colegio destinaría una parte del premio para hacer arreglos en la escuela y el resto lo repartiría entre sus alumnos.

Sabiendo que cada colegio tienía entre 1000 y 2000 alumnos,
¿ Cuántos alumnos tenía cada colegio?

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41 - Competencia interdeportiva

40 - La menor y la mayor diferencia

10² + 11² + 12² = 13² + 14²

Formar con las fichas de los números, dos números de cinco cifras cada uno de tal forma que la diferencia entre ellos sea
1) La menor posible
2) La mayor posible
(No usar 0 como primer dígito)

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40 - La menor y la mayor diferencia

39 - Factorial de que?

8589934592 × 116415321826934814453125 = 1000000000000000000000000000000000

Experimentando con la calculadora científica de su primo, Tatiana obtuvo el siguiente número :
1405006117752879898543142606244511569936384000000000. Cuando Gustavo le preguntó como lo obtuvo, Tati le dijo :
_ No me acuerdo bien, lo último que apreté fue la X, después el 3 y por último este botón (el signo de exclamación).
_Ah, sacaste el factorial de un múltiplo de 3.
_No sé, Gusti. Yo solo tengo cuatro años.

El factorial de que número obtuvo Tati ?

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39 - Factorial de que?

38 - Cuadrado Redondo

135 = 1 + 3² + 5³
153 = 1 + 3³ + 5³

Encontrar un cuadrado mágico de 3 x 3, en el cual hay nueve dígitos diferentes (del cero al nueve), de tal forma que las ocho sumas que se forman (las tres filas, las tres columnas y las dos diagonales) sean números consecutivos. Yo encontré dos resultados distintos pero uno es mas lindo que el otro ya que la suma de estos ocho números da un número "redondo"

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38 - Cuadrado Redondo

37 - Las 72 pizzas

2⁵ × 9² = 2592

Para un evento unos amigos decidieron comprar 72 pizzas . Nicolás se ofreció para ir a pagarlas. Cuando pagó le dieron un ticket, pero como la máquina registradora era muy vieja e imprimía mal, sólo aparecieron las cifras del medio de tal forma que se veía en el ticket lo siguiente _99.9_ en el que los guiones representan los números que nos se leían. Como Nicolás tuvo que comprar otras cosas, cuando presentó el ticket y le preguntaron cuanto había pagado cada pizza no se acordaba.
Muchos de sus amigos le desconfiaron, pero luego de pensarlo un poco dijo :
_ Muchachos es muy fácil saber cuales son las cifras que faltan, solo hay que pensarlo un poco y saber un poco de matemáticas...

¿Cuánto costó cada pizza?

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37 - Las 72 pizzas

36 - Derivaciones de la conjetura de Goldbach

(4 + 9 + 1 + 3)³ = 4913
(1 + 9 + 6 + 8 + 3)³ = 19683

En Junio de 1742 Christian Goldbach le escribió una carta a Leonard Euler en la cual le propone la siguiente conjetura :

Todo entero mayor que 2 puede ser escrito como la suma de tres primos

En esa época el 1 se consideraba como número primo, una convención que luego fue desechada, por lo tanto una versión moderna de la conjetura de Golbach podría ser la siguiente :

Todo entero mayor que 5 puede ser escrito como la suma de tres primos

Ahora bien asumiendo que la conjetura de Goldbach es cierta, (considerando que fue chequeada hasta n ≤ 10¹⁸)

,
¿Cuál es el mayor número menor que 100 que no puede expresarse como la suma de tres primos distintos ?
¿ y menor que 1000? ¿y menor que 10000000 ?

Por otra parte, ¿Cuál es el mayor número que puede expresarse como solo una suma de este tipo?

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36 - Derivaciones de la conjetura de Goldbach

35 - Primos descuartizados

1¹ + 2¹ + 6¹ = 4¹ + 5¹
1² + 2² + 6² = 4² + 5²

Se llama Primos que pueden ser truncados "truncatable primes" a aquellos números primos que al sacarsele sucesivamente un dígito siguen dando números primos, así existen primos truncables a derecha cuando se van sacando los últimos dígitos de la derecha, y primos truncables a izquierda cuando se van sacando los dígitos de la izquierda.
Ejemplos :
Primo a derecha : 599 59 5
Los primeros son:
2, 3, 5, 7, 23, 29, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 79, 233, 239....(Sloane's A024770)
El más largo encontrado es el 73939133 (Angell and Godwin 1977)

Primo a izquierda : 167 67 7
Los primeros son:
3, 5, 7, 13, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 67, 73, 83, 97, 113, 137 ... (Sloane's A024785)
El más largo encontrado es el
357686312646216567629137 (Angell and Godwin 1977)

A su vez existen los primos que pueden ser truncados tanto a derecha como a izquierda y se siguen manteniendo primos, como por ej : 373

El número

331767603936186381337518604730526923225433443498541534632165729
3347842184166316972712521507542402061477899339469603596634858212
099979878129094817736602146359724182316273512181213141511

que tiene 184 dígitos da 92 números primos cuando se le van sacando de a dos dígitos por la izquierda.
Descubierto por J. K. Andersen

El número
686957720511887558525174658414510840176432151923825981304948378237135960629558400414
747213755738286767792781351488750517264488672424143774793266286770364857174294438649
140883405465111650184405422520731603936126112798650690193956270492667782252202425468
175747633902739432648860601275832729600906840482517851207730351684240852483171368592
354596760617184207344771303768615441256104709615257106329207958857891370636668654226
668627598741990159293937377616627380523797310848321354613345824936640519215403201542
663630168337125631393644321198900751309897458118224375862155562138132204372567203408
924412447426191762625165468828155675928128109122396184327504132254486363462573142336
434187126453194249586173168628353985230306916320165307176186115255273138159294501491
217530102244194102187144270207207114774123518132546106144140201166182339319824304125
676185525801369789378639298750449400209313132470714271252396201303215168177114238260
253260193102638141177189196377117229113172542190366267119229110112420351285173283143
252142138105125265215598270147245157170100165362100128133129158132132181111721351041
11124168102122154101132100107102106105101102101

que tiene 1140 dígitos da una secuencia de 380 primos cuando se le van sacando de a 3 dígitos por la izquierda
Descubierto por J. K. Andersen

Se pueden ver los 4260 primos trucables por la izquierda Acá

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35 - Primos descuartizados

34 - Setenta y dos

80.472.264² + 80.472.265² = 12951570707515921

El número setenta y dos presenta las siguientes particularidades:

Es la suma de cuatro primos consecutivos :

72 = 13 + 17 + 19 + 23

y es a la vez

la suma de seis primos consecutivos :

72 = 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19

y es a la vez el menor número cuya quinta potencia es igual a la suma de cinco quintas potencias :

72^{5 =}19⁵ + 43⁵ + 46⁵ + 47⁵ + 67⁵

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34 - Setenta y dos

33 - M y S atacan de nuevo

1³⁹ + 1³⁹ + 5³⁹ + 1³⁹ + 3³⁹ + 2³⁹ + 2³⁹ + 1³⁹ + 9³⁹ + 0³⁹ + 1³⁹ + 8³⁹ + 7³⁹ + 6³⁹ + 3³⁹ + 9³⁹ + 9³⁹ + 2³⁹ + 5³⁹ + 6³⁹ + 5³⁹ + 0³⁹ + 9³⁹ + 5³⁹ + 5³⁹ + 9³⁹ + 7³⁹ + 9³⁹ + 7³⁹ + 3³⁹ + 9³⁹ + 7³⁹ + 1³⁹ + 5³⁹ + 2³⁹ + 2³⁹ + 4³⁹ + 0³⁹ + 1³⁹ = 115132219018763992565095597973971522401

Estaba yo tratando de enseñarle a Sofi, mi sobrinita que aún no tiene dos años, los números del 2 al 20. El uno ya lo conoce porque cada vez que alguien le pregunta ¿Cuántos años tenés?, muestra un dedo y dice uno. Para poder enseñarle puse en el bolillero del bingo todas las bolillas numeradas del 2 al 20, girábamos el bolillero y cuando salía una pelotita, gritábamos el número y yo se lo mostraba.
Estábamos en plena tarea, cuando veo acercarse a mis ya amigos M y S, los grandes lógicos-matemáticos.
_ Podemos repetir la experiencia del otro día _ me dijo S
_ Como no _ les dije _ pero ahora los números van del 2 al 20 y no hay repetidos.
Decidimos que esta vez Sofi sacaría dos bolillas, y al igual que el otro día, yo le diría la suma a S y la multiplicación a M, pero ahora contestaría primero M.
Sofi, sacó las dos bolillas, hice las cuentas y le dije a S la suma y a M el producto.
Cuando M iba a empezar a contestar, S se le adelantó y dijo riéndose :
_ Antes de que digas nada, te digo que yo no sé los números, pero además dejame decirte que sé también que vos hasta ahora tampoco sabes los números. Lo paradójico es, que ahora que dije esto, vos ya sabes cuales son los números, pero yo no .
_ Es verdad, ya sé cuales son los números_ dijo M_, pero tu no. Menos mal que hablaste sino jamás los hubiéramos podido sacar. Pero te voy a dar una ayuda, si sumamos el número que te dijeron a ti mas el que me dijeron a mi, obtenemos un número primo, también obtenemos un primo si sumamos tu número mas dos veces el mío y aún sigue dando un primo la suma de tu número más tres veces el mío.
_ Gracias M _ dijo S _ Ahora yo también sé que números sacó Sofi.

¿Qué números sacó Sofi?

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33 - M y S atacan de nuevo

32 - Más números en la fiesta

21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²

En una de las mesas de la fiesta de los números estaban sentados 10 números (no todos distintos), con la particularidad de que cada uno de ellos era una unidad mayor que el máximo común divisor de los dos números que estaban sentados a su lado.

¿Sabría alguien decir como estaban sentados, o lo que es lo mismo cuál es la suma de los diez números?

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32 - Más números en la fiesta

31 - Pueblos en la ruta

31² × 325 = 312325

Vanesa estuvo este verano en Salta. Me contó que en una ruta, que era recta, había cinco pueblos. Le pregunté si los pueblos estaban muy lejos entre sí, y me contestó lo siguiente:
- Si se miden las distancias entre cada dos pueblos y se ordenan de menor a mayor se obtienen los siguientes valores 2,4,5,7,8,X,13,15,17 y 19 Km.

¿ Cuál es el valor de X?

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31 - Pueblos en la ruta

30 - Fecha pandigital

5⁵ + 4⁵ + 7⁵ + 4⁵ + 8⁵ = 54748

Los relojes de los sistemas operativos UNIX (y sus muchas variantes) cuentan el tiempo basándose en la cantidad de segundos transcurridos desde el 1 de enero de 1970. A esto se lo llama la hora UNIX .El viernes 13 de febrero de 2009, ese número llegó al peculiar 1234567890 y esto fue motivo de grandes festejos entre los unixeros y linuxeros del mundo.

Basado en este hecho va este problemita
Cuando aparecieron los relojes digitales, algunos además de la hora, minutos y segundos proporcionaban el día y el mes. el reloj iba desde las 00:00:00 hasta 23:59:59 y la fecha se veía con dos cifras para el día (desde 01 al 31, según el mes) y dos cifras para el mes desde 01 a 12.

Basado en estos relojes,

¿Cuándo es la primera vez en el año en el que en dicho reloj se ven los diez digitos (todos distintos), y cuando la última?

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30 - Fecha pandigital

29 - Clave de la caja fuerte

42 × 138 = 5796
27 × 198 = 5346
39 × 186 = 7254
48 × 159 = 7632
28 × 157 = 4396
4 × 1738 = 6952
4 × 1963 = 7852

-¿ Te acordás la clave de la caja fuerte? _ le pregunté a Gustavo
- No, pero me acuerdo algunas características con las que creo que podemos sacar el número.
_¿ Y cuales son esas características?
_ Es un número de seis cifras que si lo dividimos en dos mitades de tres cifras (las primeras tres y las últimas tres) y las sumamos y luego elevamos al cuadrado esta suma obtenemos el número original.
_ ¿Pero no hay muchos números con estas características?
_Si , creo que hay cinco, pero en mi número no hay dos cifras seguidas iguales.
_ Ahora si que tenemos el número.

¿Cuál es la clave?

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29 - Clave de la caja fuerte

28 - Producto palíndromo

1¹ + 4¹ + 12¹ + 13¹ + 20¹ = 2¹ + 3¹ + 10¹ + 16¹ + 19¹
1² + 4² + 12² + 13² + 20² = 2² + 3² + 10² + 16² + 19²
1³ + 4³ + 12³ + 13³ + 20³ = 2³ + 3³ + 10³ + 16³ + 19³

Si multiplicamos 1 x 2 x 3 = 6 obtenemos un número palíndromo (todos los números de una sola cifra son palíndromos)

¿Conoce alguien otro producto palíndromo obtenido de la multiplicación de tres números seguidos?

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28 - Producto palíndromo

27 - Estampillas

1¹ + 2¹ + 6¹ = 4¹ + 5¹
1² + 2² + 6² = 4² + 5²

En un determinado país se imprimieron estampillas de cinco denominaciones diferentes de forma tal que con tan solo tres estampillas se puedan formar todos los valores del 1 al 36.

¿Sabría alguien decir los valores de las estampillas?

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27 - Estampillas

26 - X

88² + 33² = 8833

Buscar el valor de X

a) 11 , X , 1045 , 10445

b)
.............30
........26 .....34
...22.... ..X .....26
11 ...18.... .27..... 31

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26 - X

25 - Fiesta de los números

12² + 33² = 1233

Todos los años se celebra la reunión anual de los números . Los números se juntan y se agrupan como ellos quieres. La mesas que tienen las características más interesantes son premiadas.

Estaba yo recorriendo las mesas premiadas cuando me encontré con una mesa con cinco números. Como no supe cual era su característica especial, le pregunté a uno de ellos, el cual me dijo
- Somos todos números de cuatro cifras, y cada uno de nosotros tiene las primeras dos cifras iguales a las dos últimas del número de nuestra izquierda, y por lo tanto las dos últimas cifras son iguales a las dos primeras del número que tenemos a la derecha, de forma tal que formamos un ciclo del tipo: abcd cdef efgh ghij ijab. Pero no necesariamente a cada letra le corresponde un dígito distinto, es decir que el dígito a puede ser igual a otra de las letras.

- Pero hay muchisimos números que pueden formar un ciclo de este tipo _ le dije

_ Si, pero me olvidé de decirte que entre nosotros hay un cuadrado, un cubo, un número triangular, un número primo y un número de Fibonacci. Claro que no necesariamente en ese orden.
_ ¿Y hay algún otro ciclo como este?
_ No, somos el único grupo de cinco números, de cuatro cifras que puede formar un ciclo como este.

¿Cuáles eran los números ?

En la ayuda esta el orden en que estaban sentados.

Primo - Cubo - Triangular - Cuadrado - Fibonacci

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25 - Fiesta de los números

24 - Veinticuatro

3⁴ × 425 = 34425

Es muy conocido el problema que nos pide obtener todos los números del 1 al cien, utilizando solo cuatro cuatros . En este caso lo que se pide es formar el número 24, con los números y las condiciones indicadas :

1) Usando solo las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división), estando permitido el uso de paréntesis, pero no la concatenación de dos cifras (por ej. con dos seis no se puede formar el sesenta y seis) formar veinticuatro con :

a) 3,3,3,3
b)4,4,4,4
c)5,5,5,5
d)6,6,6,6
e)1,4,5,6 (de dos formas distintas)
f)3,3,8,8
g)3,3,7,7
h)1,5,5,5
i)1,3,4,6
j)1,2,143,156

2) En este caso están permitidos además de las operaciones básicas, la raíz cuadrada, el factorial, y el punto decimal (por ej. 1 se puede poner como .1) Formar 24 con :

j) 1,1,1,1
k) 2,2,2,2
l) 7,7,7,7
m) 8,8,8,8
n) 9,9,9,9

¿Se te ocurre alguna otra forma interesante de formar 24 con 4 cifras?

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24 - Veinticuatro

23 - Primos

Todos primos
7
97
397
9397
39397
739397
73939
7393
739
73
3

A todos los que nos gustan los números siempre nos fascinaron los números primos (Aquellos que solo son divisibles por si mismos o por uno). Existen miles de curiosidades sobre estos números y algunas son realmente extraordinarias. Trataré de poner algunas en esta entrada.

- 31415926535897932384626433832795028841 no solo es un número primo, son además las primeras 38 cifras del número pi.

- 5897230146 es un número pandigital (incluye todos los dígitos del 0 al 9 una sola vez) y es la suma de los primeros 32423 primos. Hay que notar que 32423 es un primo palíndromo (capicúa)

-Existen miles de números palíndromos que son primos

2
30203
133020331
1713302033171
12171330203317121
151217133020331712151
1815121713302033171215181
16181512171330203317121518161
331618151217133020331712151816133
9333161815121713302033171215181613339
11933316181512171330203317121518161333911

Este ejemplo fue descubierto por G. L. Honaker, Jr

- 1888081808881 es un primo que no solo es palíndromo sino que se mantiene primo si se lo da vuelta o se lo mira en un espejo.

¿Si nos dicen que el siguiente número es primo, que dígito representa a?

197000019a

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23 - Primos

22 - La carrera

144648 = 861 × 168 = 492 × 294
185472 = 672 × 276 = 384 × 483
9949716 = 2583 × 3852 = 1476 × 6741
16746912 = 2556 × 6552 = 4473 × 3744

Debido al colesterol alto, suelo correr tres o cuatro veces por semana. Pero en las vacaciones suelo correr todos los días. Yo siempre salgo desde el balneario uno y voy pasando por todos los balnearios hasta el último y luego regreso al balneario uno. Tengo un compañero que sale a la misma hora que yo pero el corre desde el último balneario hasta el uno y luego vuelve al último.
Como corremos a velocidad constante nos solemos encontrar siempre en los mismos balnearios, a la ida en el balneario 20 y después cuando estoy volviendo al uno nos encontramos en balneario 12.
Suponiendo que mantenemos una velocidad constante,
¿Cuántos balnearios tiene la playa a la que voy?

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22 - La carrera

21 - Dos billetes de lotería

588² + 2353² = 5882353

Diego me dijo que se compró dos billetes de lotería muy especiales.
_¿Qué tienen de especiales? _ le pregunté
_ Los dos tienen seis cifras, dos 1, dos 2 y dos 3.
_Pero hay muchos números con esas características _ le dije.
_Si, pero los míos tienen una sola cifra entre los dos unos, dos cifras entre los dos dos y tres cifras entre los dos tres.

¿Cuáles son los dos billetes que compró Diego?

312132 y 231213

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21 - Dos billetes de lotería

20 - El calor y la inflación

2 + 5 + 6 = 13; 13² = 169
1 + 6 + 9 = 16; 16² = 256

El otro día me encontré con mi amigo Tito el verdulero, y nos pusimos a charlar.
_ Mirá _ me dijo _ yo creo que el calor provoca inflación.
Al ver mi cara de sorpresa, me siguió diciendo :
_ El martes por ejemplo hizo 42° C, y yo a la mañana compré 200 Kg de pepinos, por los que pagué $1 el kilo. Cuando los pusé en la verdulería, les medí la humedad y tenían un 99% de agua.Yo siempre vendo la mercadería al doble de lo que la compré , así que puse el kilo a $2.
Como hizo tanto calor no vino nadie a comprar. A la noche volví a medirle la humedad y en vez de tener un 99% de agua, tenían solo un 98% de humedad. A la mañana siguiente tuve que cambiarle el precio a las pepinos para poder ganar lo que yo quería ($200).

¿A cuánto tuvo que poner Tito el kilo de pepinos para ganar $200, si vendía todos los pepinos?

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20 - El calor y la inflación

19 - Uno de probabilidad

9 × 9 + 7 = 88
98 × 9 + 6 = 888
987 × 9 + 5 = 8888
9876 × 9 + 4 = 88888
98765 × 9 + 3 = 888888
987654 × 9 + 2 = 8888888
9876543 × 9 + 1 = 88888888
98765432 × 9 + 0 = 888888888

¿Si elijo un número entre 10 y el 1000 al azar, cuál es la probabilidad de que dicho número sea divisible por ese mismo número sin su último dígito?

Por ejemplo: si elijo el número abc, que probabilidad hay de que sea divisible por ab

La probabilidad son los casos favorables sobre los casos posibles.
Los casos posibles son 1000-10+1 =991 (se suma uno porque el 10 y el 1000 están incluidos)
En tanto que los casos favorables son

Terminados en cero = 100 10,20,30,40 etc
10 - 19 = 9 11,12,13,14, etc
20 : 22 24 26 28 = 4
30 : 33 36 39 = 3
40 : 44 48 = 2
50 : 55 = 1
60 : 66 = 1
70 : 77 = 1
80 : 88 = 1
90 : 99 = 1
Total = 123

Entonces es 123/991 o lo que es lo mismo un 12.4% de probabilidad

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19 - Uno de probabilidad

18 - Ahora ya sé que números son

2187 = (2 + 1⁸)⁷

Esta es una variante de un conocido problema.
El otro día estaba yo en una reunión con los mejores y más sabios matemáticos (obviamente yo no sé porque estaba allí) cuando se acercaron el señor M y el señor S y le pidieron a mi sobrinita Tati de cuatro años que eligiera dos números del uno al nueve y que me los dijera a mi. Cuando me los dijo, el señor M me dijo:
- Muy bien, ahora decime a mi el resultado de la multiplicación de esos números y al señor S el resultado de su suma.
Como eran números muy pequeños no me costó mucho hacer esas cuentas mentalmente.
Una vez que les dije los resultados, se escuchó el siguiente diálogo:

M : Aún no sé con certeza que números son.
S: Aún no sé con certeza que números son.
M : Aún no sé con certeza que números son.
S: Aún no sé con certeza que números son.
M : Aún no sé con certeza que números son.
S: Aún no sé con certeza que números son.
M : Aún no sé con certeza que números son.
S: Aún no sé con certeza que números son.
M : Ahora ya sé que números son!!

¿Sabría alguien decir que números eran los que eligió Tati?

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18 - Ahora ya sé que números son

17 - Cuadrado menos uno

9³ + 1³ + 9³ = 1459
1³ + 4³ + 5³ + 9³ = 919

El siguiente problema consiste en encontrar los dos únicos números de seis cifras que son iguales a un cuadrado menos uno, y en los que la última mitad (los tres últimos dígitos tomados como un número de tres cifras) es el doble que la primera.

Es decir que se cumple:

abcdef = n²-1
y abc = 2 x def

Los dígitos abcdef no necesariamente deben ser todos diferentes.

Sabemos que un número de seis cifras (N) se puede representar como

(1)N= 100000 a + 10000 b + 1000 c + 100 d + 10 e + f

además nos dicen :

(2) 200 a + 20 b + 2 c = 100 d + 10 e + f



Reemplazando en (1)

N= 100000 a + 10000 b + 1000 c + 200 a + 20 b + 2 c

N= 100200 a + 10020 b + 1002 c =1002 (100a +10b +c) = x¨2 -1 = (x-1)(x+1)

1002 (100a +10b +c) =(x-1)(x+1)

Como el número N esta entre 10000 y 999999, x estará entre las raíces cuadradas de estos dos números

316 < 1002 =" 2" 167 =" 334" x =" 334k" x =" 334k" x =" 667" n =" 444888" x =" 335" n =" 112224">

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17 - Cuadrado menos uno

16 - Números narcisistas

4¹⁰ + 6¹⁰ + 7¹⁰ + 9¹⁰ + 3¹⁰ + 0¹⁰ + 7¹⁰ + 7¹⁰ + 7¹⁰ + 4¹⁰ = 4679307774

Se define como narcisista a un número de n dígitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus dígitos. Ejemplo: 153 = 1³ + 5³ + 3³, o el que ven arriba a la derecha en esta entrada y en algunas otras. Obviamente que todos los números de un solo dígito son narcisitas, pero sin embargo existen muchisimos otros ejemplos. No existe ningun número narcisista de dos cifras.
Se han encontrado narcisistas de hasta 39 cifras. En base diez la mayor cantidad de cifras(n) de este tipo de números es 60 ya que si n > 60 se da que n.9ⁿ <10^n-1.
Ahora bien hay otro tipo de números similares a estos pero que tienen una pequeña variante. Son aquellos que tienen la propiedad de ser iguales a la suma de sus dígitos cada uno elevado a la potencia igual al dígito. Es decir son números en los que se cumple :

abcd = a^a + b^b + c^c + d^d

Claro que no hay muchos de estos números. Sólo se conocen cuatro en base diez, ellos son :

0 , 1 y 438579088.

Como verán puse tres, falta uno ¿Cuál es?

Claro que con google es fácil encontrarlo

Es un número de cuatro cifras

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16 - Números narcisistas

15 - El ooooooooooooooooooooocho

2025 = (20 + 25)²

El otro día fue a la tienda del ocho. Es un negocio muy particular en el cual todos los productos tienen precios que solo incluyen al dígito ocho. Así hay productos de 8 centavos, de 88 centavos, de 8 pesos, de 8.88 pesos, de 88 pesos etc. Parece el negocio de Riverito o del chavo del ocho. La cuestión es que compré diez artículos y la cuenta dio exactamente mil pesos.

¿Qué valor tenía cada uno de los artículos que compré?

Los precios son los siguientes
888.88
88.88
8.88
8.88
.88
.88
.88
.88
.88
. 8
------
1000.00

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15 - El ooooooooooooooooooooocho

14 - Números pitagóricos

1⁷ + 7⁷ + 4⁷ + 1⁷ + 7⁷ + 2⁷ + 5⁷ = 1741725

Para saber mas sobre números pitagóricos ver http://simplementenumeros.blogspot.com/2010/09/486-numeros-o-tripletes-pitagoricos.html


Un triplete de números pitagóricos, es un triplete de números naturales (a, b, c), que verifican la relación a ² = b ² + c ² , por la que se expresa el teorema de Pitágoras.El triplete más simple es (5, 3, 4).
Se obtienen todos los tripletes posibles tomando: a= m ² + n ² , b= m ² - n ² , c=2mn siendo m y n dos números enteros cualquiera.











La pregunta es : ¿Cuál es único triplete pitagórico cuya suma da exactamente 1000?

El triplete es 200 , 375, 425

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14 - Números pitagóricos

13 - Ecuación Elegante

2⁴ + 1⁴ + 7⁴ + 8⁴ = 6514
6⁴ + 5⁴ + 1⁴ + 4⁴ = 2178

Hay un número n para el que se cumple lo siguiente :
Si uno pone un cuatro al final de n y multiplica el número obtenido por cuatro, el resultado es igual al número que uno obtendría poniendo el cuatro delante del número n. En otras palabras lo que se busca es un número que se pueda poner en vez de los puntos suspensivos en esta ecuación:

4 × ...4 = 4...

La pregunta entonces es :

a) ¿ Qué número hay que poner en los puntos suspensivos para que la ecuación se cumpla?

Ahora, si en vez de cuatro , el número de la ecuación fuera 6,

b) ¿Cuál sería el número a poner en los puntos suspensivos?
(6 × ...6 = 6... )
Este número es mucho más largo....

Hay dos formas de roslverlo:

1)Tenemos que :
4 × ...4 = 4...
por lo tanto
4 × ...4 = 4...6 y me llevo 1
4 × ..64 = 4..56 y me llevo 2
4 × .564 = 4..256 y me llevo 2
4 × 2564 = 4.0256 y me llevo 1
4 × 02564 = 410256
entonces
4 x 102564 = 410256

2) Lamamos m al número buscado, A = m4 y B = 4m

Sabemos que A * 4 = B
El número A = 10m+4
Si la cantidad de cifras de m son c

B= 4x10^c+m = 4A =40m + 16
(1) 4x10^c = 39m + 16

Si tomamos la ecuación modulo 13 nos queda
10^c ≡ 4 (mod 13)

Buscamos entonces que potencia de 10 es congruente con cuatro módulo 13:

10¹ ≡ 10 (mod 13)
10² ≡ 100 ≡ 9 (mod 13)
10³ ≡ 90 ≡ 12 (mod 13)
10⁴ ≡ 120 ≡ 3 (mod 13)
10⁵ ≡ 30 ≡ 4 (mod 13)

Sabemos entonces que los digitos de m son 5

Reemplazanado en (1)

4x10⁵ =39m + 16
m=(4x10⁵ -16 )/39 = 10256
A= 102564
B= 410256

102564 es el menor numero que al pasar la última cifra al primer lugar (el 4) da un múltiplo de si mismo.

Haciendo el mismo procedimeinto con
6 × ...6 = 6...
6 × ...6 = 6...6 me llevo 3
6 × ..66 = 6..96 me llevo 3
etc
nos da
101694915254237288135593220338983050847457627
1186440677966
x 6
6101694915254237288135593220338983050847457627
118644067796

Se puede comprobar usando la calculadora de
http://home.earthlink.net/~usondermann/bincalc.html
con internet explorer

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13 - Ecuación Elegante

12 - Número especial

DOS + TRECE = TRES + DOCE

Tengo un número que cumple con estas premisas :

1.Está entre 50 y 59 si es mútliplo de 3.
2.Está entre 60 y 69 si no es múltiplo de 4.
3.Está entre 70 y 79 si no es múltiplo de 6.

¿Cuál es el número?

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12 - Número especial

11 - Herencia

UNO + CATORCE = CUATRO + ONCE

Un padre generoso dejó en su herencia todo el dinero que tenía para sus hijos de la siguiente manera:

$1000 para el primogénito más el 1/10 de lo quedaba (después de sacar esos $1000)
$2000 para el segundo más el 1/10 de lo que quedaba
$3000 para el tercero más el 1/10 de lo quedaba y así con el resto de los hijos ($1000 más que el anterior mas un 1/10 de lo que quedaba después de restar ese monto.)

Al finalizar el reparto cada hijo recibió el mismo monto de dinero.

¿Cuántos hijos tenía y cuánto recibió cada uno?

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11 - Herencia

10 - Pandigitales

987654321
-123456789
-----------
864197532

Un número pandigital es un número que contiene todos los dígitos del 0 al 9. El menor de estos números es el 1023456789 mientras que el mayor es el 9876543210. Existen muchísimos problemas y curiosidades relacionadas con estos números, algunos de los cuales son realmente increíbles . Por ejemplo se buscaron todos las multiplicaciones entre dos factores de cinco dígitos, de tal forma que estos dos factores tomados en conjunto sea pandigital, cuyo producto da un número pandigital. Se encontraron 1289 (número primo) de estas multiplicaciones
El factor más chico encontrado es el 10482 en:

10482* 97653 = 1023598746

El factor más grande encontrado es el 98754 en:

63102 * 98754 = 6231574908

Una de los resultados más sorprendentes es el siguiente :

20481 * 69375 = 1420869375

Veamos el siguiente ejemplo:

54981 * 62037 = 3410856297

Ahora si se eleva al cuadrado el producto este se puede factorizar de la siguiente manera:

3410856297 * 3410856297 = 1¹63³940⁶78⁷⁸⁴5⁵2²⁰⁹

Un pandigital de orden dos en el que cada dígito aparece exactamente dos veces!!!

Les propongo ahora un ejercicio pandigital :
Con todos los números del cero al nueve usados una sola vez armar dos fracciones que sumadas den exactamente uno (hay 97 de estas combinaciones), con la condición de que ninguna de las fracciones sea igual a 1/2 y además que ninguno de los numeradores ni los denominadores sean múltiplo de tres.

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10 - Pandigitales