486 - Números o tripletes pitagóricos

Introducción :

• Un triplete pitagórico es un conjunto de tres números enteros positivos A,B y C (con B>C), distintos a cero, tal que A²=B²+C²
  Geométricamente esto representa un triángulo rectángulo, siendo A  la hipotenusa y B y C  los lados adyacentes al ángulo recto.
• Se llama triplete pitagórico primitivo o reducido cuando no existen factores comunes entre A,B y C.
• Si un triplete pitagórico no es primitivo, es porque tiene factores comunes y por lo tanto  se podrá reducir dividiendo los tres números por su máximo común divisor, transformando así dicho triplete en un triplete pitagórico primitivo.
• En todo triplete pitagórico primitivo los números A y B tienen distinta paridad.
• De forma inversa un triplete pitagórico primitivo se puede transformar en otro triplete multiplicando A,B y C por un mismo factor.
• No cualquier número puede ser una hipotenusa pitagórica, en cambio todo número mayor a 2 puede ser uno de los lados adyacentes

¿Cómo generar los tripletes pitagóricos?

Elegimos dos números cualesquiera y y x, a los que llamaremos generadores, tal que y>x (para generar un triplete pitagórico primitivo y y x deben ser primos entre si y de paridad opuesta)

Calculamos:

    U = y² + x²

    V = y² - x²

    W = 2.y.x

Entonces el triplete pitagórico generado por y y x es   

    A = U

    B = el mayor valor entre V y W

    C = el menor valor entre V y W

Usando este método el área del triángulo obtenido es xy(y²-x²)

Ejemplo tomamos y=4 y x=2 como no son primos entre si y además tienen la misma paridad no generaran un triplete pitagórico primitivo

Calculamos:

U = y² + x² = 16+4=20

V = y² - x² =16-4=12

W = 2.y.x =  2x4x2= 16

Entonces A=20, B=16 y C=12

Vemos que A² = B² + C² = 400 = 256 + 144

En este caso generamos un triplete que no es primitivo, para transformarlo en primitivo debemos dividir cada número por el máximo común divisor, que en este caso es el 4, siendo el triplete pitagórico primitivo 5,4 y 3.

Podemos encontrar los números generadores del triplete A,B y C haciendo estos cálculos:

Calculamos W = A + B

• Si W es un cuadrado perfecto:          y = Raíz((A + C)/2) y x = Raíz((A - C)/2)
• Si W no es un cuadrado perfecto:    y = Raíz((A + B)/2) y x = Raíz((A - B)/2)

Si y-x =1 entonces A-B =1, y en general si y-x = z entonces A-B o A-C = z²

Algunas relaciones entre los números del triplete pitagórico reducido:

• Siempre una de las siguientes sumas, A+B o A+C, es un cuadrado perfecto y el otro es el doble de un número cuadrado perfecto.
• Lo mismo ocurre cuando restamos B y C de A
• Al menos uno de los números del triplete es divisible por tres,  uno es divisible por 4 y uno es divisible por 5 .Es posible que solo uno de los tres números sea a su vez múltiplo de 3,4 y 5 en tanto que los otros no, como por ejemplo en el triplete 61, 60, 11
• El producto BxC siempre es múltiplo de 12
• El producto AxBxC siempre es múltiplo de 60

Como generar un triplete con un lado igual a un número determinado:

Ya dijimos que los lados adyacentes pueden tomar cualquier valor siempre que sea mayor a 2

Si nos dan un determinado valor L para un lado adyacente calculamos lo siguiente

      Si L es impar :

Factoreamos L en dos factores v y w siendo v>w (si L es primo tomamos v=L y w=1)

Entonces los generadores son y = (v + w)/2 y  z = (v-w)/2.

Si v y w son primos entre si, el triplete es primitivo       

     Si L es par:   

L = 2.y.z donde y y z son los generadores del triplete

Si el número L es par pero no es divisible por 4 entonces el triplete generado no es primitivo, si en cambio es divisible por 4 elegimos y y x de distinta paridad y primos entre si para generar un triplete primitivo

Ejemplo  

Generar  un triplete pitagórico con uno de sus lados igual a 17:

Como 17 es primo tomamos v=17 y w=1

Calculamos

y = (v + w)/2 = (17+1)/2= 9

x = (v-w)/2 = (17-1)/2=8

Entonces

A=9²+8² = 81+64= 145,

B=2x9x8= 144 y

C=9²-8² = 81-64= 17

Así generamos el triplete 145, 144, 17 que tiene un lado igual a 17

En algunos casos L puede factorearse en mas de una forma, por lo tanto puede ser un lado en mas de un triplete.

Para saber en cuantos tripletes primitivos diferentes puede participar L hacemos lo siguiente:

Descomponemos L en sus factores primos:

L = p1^m1.p2^m2.p3^m3..........pr^mr donde p1,p2,p3....pr son todos números primos, y m1,m2,m3....mr son sus respectivas potencias

El número de tripletes primitivos en los que participa L es entonces 2^(r-1).

Es decir que la cantidad de tripletes primitivos en los que participa L es igual a 2 elevado a uno menos que la cantidad de divisores primos de L

Salvo si L es par pero no divisible por 4, en cuyo caso L no participa como lado en ningún triplete primitivo.(Pero si en no primitivos)

En tanto que el número total de tripletes (primitivos o no) en los que aparece L como lado adyacente viene dado por las siguientes formulas :

      Si L es impar:

Todos los factores son impares, entonces el número de tripletes es {(2.m1+1)(2.m2+1)(2.m3+1)....(2mr+1) - 1}/2

     Si L es par:

Todos los factores salvo uno son impares, si tomamos a P1= 2

entonces el número de tripletes es {(2.m1-1)(2.m2+1)(2.m3+1)....(2mr+1) - 1}/2

Ejemplo 

¿En cuantos tripletes primitivos y no primitivos aparece el 105 como lado adyacente?

Factoreamos 105 = 3¹ 5¹ 7¹

i) tripletes primitivos con 105 como lado adyacente

Como en este caso r=3, el número total de tripletes primitivos en los que 105 aparece como lado adyacente es 2^(3-1) = 4

Para calcularlos factoreamos 105 en factores primos entre si:

Usando el método descrito antes obtenemos los siguiente números generadores que dan los tripletes primitivos:

a) 1x105, y = (1+105)/2 = 53, x = (105-1)/2 = 52,

el triplete que se genera es el : 5513, 5512, 105

b) 3x35,  y=19, x= 16,  el triplete que se genera es el:  617, 608, 105

c) 5x21,  y=13, x= 8,  el triplete que se genera es el :  233, 208, 105

d) 7x15,  y=11, x= 4, el triplete que se genera es el :   137, 105,  88  

ii) Para calcular el total de tripletes (primitivos y no primitivos) en los que aparece el 105 como lado adyacente usamos la fórmula para números impares:

{(2.m1+1)(2.m2+1)(2.m3+1)....(2mr+1) - 1}/2 =

{(2x1+1)(2x1+1)(2x1+1)-1}/2 =   (27-1)/2   =   13

En total son 13 de los cuales 4 son los tripletes primitivos calculados antes

Los otros nueve se calculan a partir de los tripletes primitivos en los que participan sus factores (3,5,7,15(2),21 (2),35 (2))

Por ejemplo el 3 participa como lado adyacente en el triplete primitivo : 5,4,3 entonces multiplicamos este triplete por 35 (105/3) y obtenemos 175 140 105 haciendo lo mismo con los otros ocho obtenemos:

111 105 36; 119 105 56; 145 105 100; 175 140 105; 273 252 105; 375 360 105; 791 784 105; 1105 1100 105;1839 1836 105

Algunas propiedades de la hipotenusa :

• La hipotenusa siempre puede expresarse como la suma de dos cuadrados o un múltiplo de la suma de dos cuadrados. Por lo tanto cualquier número que puede expresarse como la suma de dos cuadrados o un múltiplo de dicha suma puede ser la hipotenusa de un triplete pitagórico     
• La hipotenusa de un triplete primitivo siempre es de la forma 4k+1, de ahí que todo número primo de la forma 4k+1 puede ser la hipotenusa de un triplete pitagórico
• Todas las hipotenusas tienen al menos un factor del tipo 4k+1
• Una hipotenusa que es un numero primo pertenece solo a un triplete y este siempre es primitivo.
• En cambio una hipotenusa que no sea un número primo puede pertenecer a varios tripletes y algunos pueden ser primitivos.

Como determinar el numero de tripletes a los que pertenece una determinada hipotenusa

Si la factorización en factores primos de la hipotenusa es

A = [p₁^a1.p₂^a2.p₃^a3....p_m^am][q₁^b1.q₂^b2.q₃^b3....q_n^an] donde p y q son los factores primos de A, en los cuales p(s) son de la forma 2k - 1.

Entonces la cantidad de tripletes que tienen a dicha hipotenusa viene dado por

         {(2a1+1)(2a2+1)(2a3+1).........(2am+1) - 1}/2

Si todos los factores primos del número son del tipo 4k+1 (no hay del tipo q) entonces algunos de los tripletes son primitivos.

El numero total de tripletes primitivos que tienen dicha hipotenusa viene dado por

 2^(m - 1)

La relación de aspecto (RA):

Podemos llamar a la relación entre el lado menor sobre el lado mayor la relación de aspecto.

Así la fórmula sería RA=C/B

Siempre es posible encontrar una RA mayor o menor que una RA de un triplete pitagórico primitivo dado. También siempre es posible encontrar un AR intermedio entre dos RA de dos tripletes pitagóricos primitivos dados.

a) Como encontrar un triplete con menor RA que uno dado

Sea  X = C + 1 si C es par

   ó   X = C + 2 si C es impar

    Entonces

            A' = (X² + 1)/2

            B' = (X² - 1)/2

            C' = X

    {A'B'C'} es el nuevo triplete con RA menor al triplete dado. Si no llegara a ser primitivo hay que reducirlo hasta llegar al primitivo

b) Como encontrar un triplete con un RA mayor que uno dado

    A' = 3A + 2B + 2C

    B' = 2A + 2B + C

    C' = 2A + B + 2C

    {A'B'C'} es el nuevo triplete con RA mayor al triplete dado. Si no llegara a ser primitivo hay que reducirlo hasta llegar al primitivo.

c) Como encontrar un triplete con un RA intermedio entre dos dados.

Si {A1B1C1} y {A2B2C2} son los tripletes reducidos y RA1 y RA2 sus respectivas relaciones de aspecto

Una forma de encontrarlo es   

Si (A1 + B1) no es un cuadrado perfecto, multiplicar cada lado de {A1B1C1} por 2

Hacer lo mismo con (A2+B2)

Calcular  W = Raíz (A1 + B1)

        X = Raíz (A1 - B1)

        Y = Raíz (A2 + B2)

        Z = Raíz (A2 - B2)

Entonces  

        A' = A1 + A2 + WY + XZ

        B' = B1 + B2 + WY - XZ

        C' = C1 + C2 + XY + WZ

{A'B'C'} es el nuevo triplete, si no es primitivo reducirlo a un primitivo

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