En esta ocasión saco un número del medio de la raíz y se mantiene la igualdad
Hay mas casos además de los triviales (agregando ceros al final?
Se podrá sacar otro número que no sea el tres?
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domingo, 4 de agosto de 2019
1533 - Variante de la entrada anterior
En esta ocasión saco un número del medio de la raíz y se mantiene la igualdad
Hay mas casos además de los triviales (agregando ceros al final?
Se podrá sacar otro número que no sea el tres?
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siguiendo la misma técnica del problema anterior:
ResponderEliminarTomando un ejemplo de Claudio:
3 Sqrt(2625) = Sqrt(23625)
y elevando al cuadrado los 2 lados tenemos:
3^2 2625 = 23625
podemos plantear una ecuación como:
a^2 (b 10^3 + c) = b 10^4 + a 10^3 + c
traduciendo a=3, b=2 y c=625.
Si despejamos "c" de la ecuación (despejando "a" o "b" es más complicado) sale:
c = (a 10^3 + b 10^4 - 10^3 a^2 b) / (a^2-1)
sacando factor común;
c = 10^3 ( a + 10 b - a^2 b) / (a^2 - 1)
como a^2-1 solo divide a 10^3, a tiene que ser 3.
Se puede generalizar como:
a^2 (b 10^k + c) = b 10^(k+1) + a 10^k + c
de donde c = (a 10^k + b 10^(k+1) - 10^k a^2 b) / (a^2-1)
y simplificando
c= 10^k (a + 10 b - a^2 b) / (a^2-1).
"a" no puede ser 9 (aunque 9^2-1 divide a 10^k para k>3) porque si sustituimos "a" por 9 en a + 10b - a^2 b, queda 9-71 b, que es negativo para "b" positivo, y "c" no puede ser negativo.
Por lo que "a" solo puede ser 3.
Vicente iq.