viernes, 25 de abril de 2014

1305 - Para resolver sin usar calculadora y/o computadora

2^{333} es un número de 101 digitos cuyo primer dígito es un 1
¿Cuántos de los números 2^k, 1 \le k \le 332, tienen como primer dígito al 4?

Resolverlo sin el uso de calculadora y/o computadora
Si lo quieres compartir o guardar
Share/Bookmark

2 comentarios:

  1. 2^10= 1024, por lo tanto cada 10 potencias se debe repetir el primer digito, salvo cuando el resultado pasa de 49.... a 5...., como 2^2 =4, debieran de repetirse una vez cada diez potencias empezando por 2^12, 2^22 etc, cuando se produce el cambio delresultado de empezar con 4 a empezar con 5, debiera de coincidir con el cambio de los que empiezan con 3 cambiando a 4, los de 3 son 2^5, 2^15, etc entonces tenemos que hay una potencia de 2 que empieza en 4 por cada decena, hasta el 332 son 33 decenas (0 al 32), puede que en alguna no haya, pero hay el pico de 3 números mas que por ahi compensan, o sea para mi son 33 números que empiezan con 4..

    ResponderEliminar
  2. Las potencias de 2 van aumentado la cantidad de dígitos desde 1(2^1) hasta 101(2^233).
    Cada vez que una potencia de 2 tiene un dígito mas, empieza con 1 y sabemos que no puede aumentar mas de 1 digito por vez.
    Como 2^233 tiene 101 digitos tenemos 99 potencias de 2 menores a 2^233 que empiezan con 1.
    Si el número de dígitos no cambia los primeros digitos pasan por alguna de estas 5 secuencias: 1248, 1249, 125, 136 o 137. los 99 unos dividen a las potencias en 100 bloques cada uno de los cuales tiene 2 o 3 numeros, si llamamos x a los de 2 e y a los 3 tenemos las sig ecuaciones :
    2x+3y =232 y x+y=100.
    Despejando obtenemos x=67 e y=33. Ahora bien los bloques de dos números no tienen al 4 como primer digito en tanto que los de bloque de 3 siempre lo tienen, por lo tanto hay 33 potencias que empiezan con 4.

    Mr. Matrix

    ResponderEliminar

Si quieres deja un comentario, si la entrada tiene mas de 15 dias deberás esperar a que la autorice y por favor si no tienes gmail deja tu nombre si no quedas como anónimo. Gracias!