¿Qué dos números del tipo abbbb al elevarlos al cuadrado dan un número que es uno mas que un pandigital?
Del libro de Brian Bolt A mathematical Jamboree
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jueves, 30 de septiembre de 2010
miércoles, 29 de septiembre de 2010
509 - La ferreteria de Victor I
En su ferretería, Victor aplica siempre el mismo porcentaje de ganancia sobre los costos de los productos, redondeando siempre a dos decimales.
Ocurrió un día que compró una herramienta cuyo costo era igual al porcentaje que aplicaba.
Luego de aplicarle dicho porcentaje, la puso a la venta.
Después de un año, dicha herramienta no se había vendido.
Marta, la esposa de Victor, decidió entonces ponerla en oferta, para ello aplicó sobre el precio de venta original un descuento igual al porcentaje que normalmente usaban para la ganancia.
Como quedo muy barata, Victor no estuvo conforme y le subió el precio aplicando el porcentaje de ganancia normal al precio que le había puesto Marta.
Cuando Marta vio dicho precio, sonrió y dijo:
- Qué curioso! La estamos vendiendo al mismo precio que la compramos!
Ocurrió un día que compró una herramienta cuyo costo era igual al porcentaje que aplicaba.
Luego de aplicarle dicho porcentaje, la puso a la venta.
Después de un año, dicha herramienta no se había vendido.
Marta, la esposa de Victor, decidió entonces ponerla en oferta, para ello aplicó sobre el precio de venta original un descuento igual al porcentaje que normalmente usaban para la ganancia.
Como quedo muy barata, Victor no estuvo conforme y le subió el precio aplicando el porcentaje de ganancia normal al precio que le había puesto Marta.
Cuando Marta vio dicho precio, sonrió y dijo:
- Qué curioso! La estamos vendiendo al mismo precio que la compramos!
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martes, 28 de septiembre de 2010
508 - El sorteo II
El escribano amigo vuelve a girar el bolillero en el que hay cuatro bolillas de cada número (del cero al nueve) y esta vez saca cuatro bolillas.
-¿Cómo las ordeno?- se pregunta.
Puedo hacerlo de varias maneras distintas- piensa - y lo mas curioso es que entre las distintas combinaciones puedo formar múltiplos de todos los números que están entre el 1 y el 22.
¿Qué cifras tenían las bolillas que sacó?
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lunes, 27 de septiembre de 2010
507 - Buscando la felicidad
Ya he hablado hace un tiempo de los números felices, también conocidos como números Harshad o números de Niven. Estos números presentan la particularidad de que son divisibles por la suma de sus dígitos, como por ejemplo el 133 que es divisible por 1+3+3 =7, ya que 133=7x19.
Así como hay números felices, al resto de los números los podemos llamar números infelices. Pero como son pocos los que quieren ser infelices, podemos inventar algún método para que estos números infelices pasen a ser felices.
Una forma de hacerlo sería tomar el número y si no es feliz sumarle a su valor la suma de sus propios dígitos para así obtener otro número y ver si este es feliz, si no lo es, repetimos el procedimiento hasta alcanzar la felicidad.
Por ejemplo el primer número infeliz es el 11, aplicando el procedimiento descripto después de 25 pasos el 11 obtiene la felicidad:
11-13-17-25-32-37-47-58-71-79-95-109-119-130-134-142-149-163-
173-184-197-214-221-226-236-247 (247/13=19)
Algunos números infelices alcanzan la felicidad rapidamente como el 15 que necesita un solo paso, 15+1+5=21 (21 es devisible por 3), o el 19 que necesita dos pasos 19-29-40, claro que hay algunos que tardan bastante como el 4177 que necesita 50 pasos.
Basado en una idea de Eric Angelini
Así como hay números felices, al resto de los números los podemos llamar números infelices. Pero como son pocos los que quieren ser infelices, podemos inventar algún método para que estos números infelices pasen a ser felices.
Una forma de hacerlo sería tomar el número y si no es feliz sumarle a su valor la suma de sus propios dígitos para así obtener otro número y ver si este es feliz, si no lo es, repetimos el procedimiento hasta alcanzar la felicidad.
Por ejemplo el primer número infeliz es el 11, aplicando el procedimiento descripto después de 25 pasos el 11 obtiene la felicidad:
11-13-17-25-32-37-47-58-71-79-95-109-119-130-134-142-149-163-
173-184-197-214-221-226-236-247 (247/13=19)
Algunos números infelices alcanzan la felicidad rapidamente como el 15 que necesita un solo paso, 15+1+5=21 (21 es devisible por 3), o el 19 que necesita dos pasos 19-29-40, claro que hay algunos que tardan bastante como el 4177 que necesita 50 pasos.
¿Cuál es el menor número que necesita 10 pasos para ser feliz?
Basado en una idea de Eric Angelini
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domingo, 26 de septiembre de 2010
506 - ¿Sabía usted...
sábado, 25 de septiembre de 2010
505 - Tripletes pitagóricos primitivos con hipotenusas menores a 1000
Aquí están los tripletes pitagóricos primitivos y sus generadores con hipotenusas menores a 1000
Para saber como se generan a partir de y y x ver
http://simplementenumeros.blogspot.com/2010/09/486-numeros-o-tripletes-pitagoricos.html
| y,x | C,B,A | y,x | C,B,A | y,x | C,B,A | y,x | C,B,A |
| 2,1 | 3,4,5 | 3,2 | 5,12,13 | 4,1 | 15,8,17 | 4,3 | 7,24,25 |
| 5,2 | 21,20,29 | 5,4 | 9,40,41 | 6,1 | 35,12,37 | 6,5 | 11,60,61 |
| 7,2 | 45,28,53 | 7,4 | 33,56,65 | 7,6 | 13,84,85 | 8,1 | 63,16,65 |
| 8,3 | 55,48,73 | 8,5 | 39,80,89 | 8,7 | 15,112,113 | 9,2 | 77,36,85 |
| 9,4 | 65,72,97 | 9,8 | 17,144,145 | 10,1 | 99,20,101 | 10,3 | 91,60,109 |
| 10,7 | 51,140,149 | 10,9 | 19,180,181 | 11,2 | 117,44,125 | 11,4 | 105,88,137 |
| 11,6 | 85,132,157 | 11,8 | 57,176,185 | 11,1 | 21,220,221 | 12,1 | 143,24,145 |
| 12,5 | 119,120,169 | 12,7 | 95,168,193 | 12,1 | 23,264,265 | 13,2 | 165,52,173 |
| 13,4 | 153,104,185 | 13,6 | 133,156,205 | 13,8 | 105,208,233 | 13,1 | 69,260,269 |
| 13,1 | 25,312,313 | 14,1 | 195,28,197 | 14,3 | 187,84,205 | 14,5 | 171,140,221 |
| 14,9 | 115,252,277 | 14,1 | 75,308,317 | 14,1 | 27,364,365 | 15,2 | 221,60,229 |
| 15,4 | 209,120,241 | 15,8 | 161,240,289 | 15,1 | 29,420,421 | 16,1 | 255,32,257 |
| 16,3 | 247,96,265 | 16,5 | 231,160,281 | 16,7 | 207,224,305 | 16,9 | 175,288,337 |
| 16,1 | 135,352,377 | 16,1 | 87,416,425 | 16,2 | 31,480,481 | 17,2 | 285,68,293 |
| 17,4 | 273,136,305 | 17,6 | 253,204,325 | 17,8 | 225,272,353 | 17,1 | 189,340,389 |
| 17,1 | 145,408,433 | 17,1 | 93,476,485 | 17,2 | 33,544,545 | 18,1 | 323,36,325 |
| 18,5 | 299,180,349 | 18,7 | 275,252,373 | 18,1 | 203,396,445 | 18,1 | 155,468,493 |
| 18,2 | 35,612,613 | 19,2 | 357,76,365 | 19,4 | 345,152,377 | 19,6 | 325,228,397 |
| 19,8 | 297,304,425 | 19,1 | 261,380,461 | 19,1 | 217,456,505 | 19,1 | 165,532,557 |
| 19,2 | 105,608,617 | 19,2 | 37,684,685 | 20,1 | 399,40,401 | 20,3 | 391,120,409 |
| 20,7 | 351,280,449 | 20,9 | 319,360,481 | 20,1 | 279,440,521 | 20,1 | 231,520,569 |
| 20,2 | 111,680,689 | 20,2 | 39,760,761 | 21,2 | 437,84,445 | 21,4 | 425,168,457 |
| 21,8 | 377,336,505 | 21,1 | 341,420,541 | 21,2 | 185,672,697 | 21,2 | 41,840,841 |
| 22,1 | 483,44,485 | 22,3 | 475,132,493 | 22,5 | 459,220,509 | 22,7 | 435,308,533 |
| 22,9 | 403,396,565 | 22,1 | 315,572,653 | 22,2 | 259,660,709 | 22,2 | 195,748,773 |
| 22,2 | 123,836,845 | 22,2 | 43,924,925 | 23,2 | 525,92,533 | 23,4 | 513,184,545 |
| 23,6 | 493,276,565 | 23,8 | 465,368,593 | 23,1 | 429,460,629 | 23,1 | 385,552,673 |
| 23,1 | 333,644,725 | 23,2 | 273,736,785 | 23,2 | 205,828,853 | 23,2 | 129,920,929 |
| 24,1 | 575,48,577 | 24,5 | 551,240,601 | 24,7 | 527,336,625 | 24,1 | 455,528,697 |
| 24,1 | 407,624,745 | 24,2 | 287,816,865 | 24,2 | 215,912,937 | 25,2 | 621,100,629 |
| 25,4 | 609,200,641 | 25,6 | 589,300,661 | 25,8 | 561,400,689 | 25,1 | 481,600,769 |
| 25,1 | 429,700,821 | 25,2 | 369,800,881 | 25,2 | 301,900,949 | 26,1 | 675,52,677 |
| 26,3 | 667,156,685 | 26,5 | 651,260,701 | 26,7 | 627,364,725 | 26,9 | 595,468,757 |
| 26,1 | 555,572,797 | 26,2 | 451,780,901 | 26,2 | 387,884,965 | 27,2 | 725,108,733 |
| 27,4 | 713,216,745 | 27,8 | 665,432,793 | 27,1 | 629,540,829 | 27,1 | 533,756,925 |
| 27,2 | 473,864,985 | 28,1 | 783,56,785 | 28,3 | 775,168,793 | 28,5 | 759,280,809 |
| 28,9 | 703,504,865 | 28,1 | 663,616,905 | 28,1 | 615,728,953 | 29,2 | 837,116,845 |
| 29,4 | 825,232,857 | 29,6 | 805,348,877 | 29,8 | 777,464,905 | 29,1 | 741,580,941 |
| 29,1 | 697,696,985 | 30,1 | 899,60,901 | 30,7 | 851,420,949 | 31,2 | 957,124,965 |
| 31,4 | 945,248,977 | 31,6 | 925,372,997 |
Para saber como se generan a partir de y y x ver
http://simplementenumeros.blogspot.com/2010/09/486-numeros-o-tripletes-pitagoricos.html
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viernes, 24 de septiembre de 2010
504 - ¿Qué es lo que mas pesa en tu casa?
En un foro de discusión en inglés , se hizo una pregunta similar a la siguiente, que yo he modificado un poco:
La respuesta que dan convierte a la pregunta en un problema de pensamiento lateral
Obviamente que estamos hablando de algo que esta presente en todas las viviendas y no de cosas que existen en solo algunas como un auto, un piano de cola, una estatua de mármol y bronce o cosas similares.
¿Qué es lo que mas pesa en una casa o departamento promedio como en la que tu vives?
La respuesta que dan convierte a la pregunta en un problema de pensamiento lateral
Obviamente que estamos hablando de algo que esta presente en todas las viviendas y no de cosas que existen en solo algunas como un auto, un piano de cola, una estatua de mármol y bronce o cosas similares.
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jueves, 23 de septiembre de 2010
503 - Una bonita caracteristica
El número 143 presenta la siguiente bonita caracteristica :
La tarea, para los que quieran hacerla, es buscar otros dos números (iguales o no) de tres cifras, que al concatenarlos obtengamos un número que sea múltiplo de su producto.
Es decir buscar dos número abc y def tal que abcdef sea múltiplo de abc x def
143143 es múltiplo de 143 x 143.
La tarea, para los que quieran hacerla, es buscar otros dos números (iguales o no) de tres cifras, que al concatenarlos obtengamos un número que sea múltiplo de su producto.
Es decir buscar dos número abc y def tal que abcdef sea múltiplo de abc x def
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miércoles, 22 de septiembre de 2010
502 - El sorteo I
En el libro "Diversiones con números y figuras" de Rodolfo Kurchan aparece el siguiente problema:
El sorteo
Las bolillas tienen las cifras del 1 al 9. El escribano hace girar el bolillero y saca tres, con cifras diferentes.
-¿Cómo las ordeno?- se pregunta.
Puedo hacerlo de exactamente seis maneras distintas. En cada caso queda un número de tres cifras que es divisible por un número diferenente, según se indica mas abajo:
a. Es divisible por 5
b. Es divisible por 6
c. Es divisible por 7
d. Es divisible por 9
e. Es divisible por 11
f. Es divisible por 17
El sorteo
Las bolillas tienen las cifras del 1 al 9. El escribano hace girar el bolillero y saca tres, con cifras diferentes.
-¿Cómo las ordeno?- se pregunta.
Puedo hacerlo de exactamente seis maneras distintas. En cada caso queda un número de tres cifras que es divisible por un número diferenente, según se indica mas abajo:
a. Es divisible por 5
b. Es divisible por 6
c. Es divisible por 7
d. Es divisible por 9
e. Es divisible por 11
f. Es divisible por 17
¿Qué cifras tenían las bolillas que sacó?
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martes, 21 de septiembre de 2010
501 - Números triangulares
Los números triangulares son aquellos que pueden recomponerse en un triángulo equilátero.
Los primeros son 1 (por convención), 3, 6, 10, 15 ,21, 28, 36.
Se puede ver que un número triangular es igual a la suma de números enteros consecutivos; así el quinto número triangular es 1+2+3+4+5 = 15.
La fórmula para calcular el enésimo número triangular T(n) : n*(n+1)/2, así para calcular el décimo número triangular :
(10 x 11)/2 = 55
Ahora bien, la suma de algunos números triangulares son iguales a algunos factoriales, como por ejemplo: T(2)+T(6) =4! ya que 3+21=24
Los primeros son 1 (por convención), 3, 6, 10, 15 ,21, 28, 36.
Se puede ver que un número triangular es igual a la suma de números enteros consecutivos; así el quinto número triangular es 1+2+3+4+5 = 15.
La fórmula para calcular el enésimo número triangular T(n) : n*(n+1)/2, así para calcular el décimo número triangular :
(10 x 11)/2 = 55
Ahora bien, la suma de algunos números triangulares son iguales a algunos factoriales, como por ejemplo: T(2)+T(6) =4! ya que 3+21=24
¿La suma de que dos números triangulares es igual al factorial de 5?
Un poco mas difícil :
¿La suma de que dos números triangulares es igual al factorial de 7?
y mas difícil aún :
¿La suma de que dos números triangulares es igual al factorial de 8? ¿y de 9?
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lunes, 20 de septiembre de 2010
500 - Cadena de amigos
Hoy he llegado a la entrada número 500.
La verdad es que a lo largo de estos casi dos años me he divertido bastante publicando diversas cosas sobre las matemáticas.
Por otra parte gracias al blog he conocido, y no solo a través de Internet, sino que también personalmente a muchas personas
Espero poder seguir publicando, mientras tenga tiempo, y como he conocido tantos nuevos amigos pongo algo sobre los números amigos y sobre los números sociables.
Dos números amigos son dos enteros positivos A y B tales que A es la suma de los divisores propios de B en tanto que B es la suma de los divisores propios de A. (Al uno se lo considera divisor propio, pero así al mismo número).
Ejemplos de pares de números amigos :(220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368) y se pueden ver aquí.
La suma de los primeros pares de números amigos es 504, 2394, 5544, 10584, 12600, 21600, 26880, 35712, 129948, 134087 y la secuencia se puede ver acá.
El concepto de número sociable es la generalización de los conceptos de números amigos y números perfectos. Un conjunto de números sociables es una sucesión de números en que cada término es igual a la suma de los factores propios del término anterior. En el caso de los números sociables, la sucesión es cíclica, es decir después de una serie de pasos los términos se repiten.
Los números sociables pueden ser de distintos ordenes dependiendo de la cantidad de números que participan en el ciclo.
Si participa un solo número tenemos los números perfectos como el 6, 28, etc.
Si participan dos números son los números amigos.
Si participan mas tenemos los sociables de 3,4, etc ciclos.
Los primeros números sociables conocidos son 12496, 14264, 14288, 14316, 14536, 15472, 17716, 19116, 19916, 22744
Un caso interesante es el que se en la ilustración de abajo en el que empezando en el 14316 después de 28 pasos se vuelve al 14316.
1- 14316 = 2 2 .3. 1193 la suma de los 11 divisores de 14316 da 19116
2 -19116 = 2 2.3 4 .59
3 -31704 = 2 3 .3. 1321
4 -47616 = 2 9 .3.31
5 -83328 = 2 7.3.7.31
6 -177792 = 27.3. 463
7 -295488 = 2 6 .3 5 .19
8 - 629072 = 2 4 .39317
9 - 589786 = 2.294893
10- 294896 = 2 4 .7. 2633
11 -358336 = 2 6 .11. 509
12 -418904 = 2 3 .52363
13 -366556 = 2 2 .91639
14 -274924 = 2 2 . 13 . 17 . 311
15 -275444 = 2 2 .13. 5297
16 -243760 = 2 4.5. 11 .277
17 -376736 = 2 5 .61.193
18 -381028 = 2 2 .95257
19 -285778 = 2. 43. 3323
20 -152990 = 2 .5. 15299
21 -122410 = 2.5.12241
22 -97946 = 2. 48973
23 - 48976 = 2 4 .3061
24 - 45946 = 2. 22973
25 - 22976 = 2 6 .359
26 - 22744 = 2 3 .2843
27 -19916 = 22.13.383
28 -17716 = 2 2 .43. 103
29 -14316 = 22 .3. 1193
La imagen es del libro Recreations in the theory of numbers: the queen of mathematics entertains escrito por Albert H. Beiler
La verdad es que a lo largo de estos casi dos años me he divertido bastante publicando diversas cosas sobre las matemáticas.
Por otra parte gracias al blog he conocido, y no solo a través de Internet, sino que también personalmente a muchas personas
Espero poder seguir publicando, mientras tenga tiempo, y como he conocido tantos nuevos amigos pongo algo sobre los números amigos y sobre los números sociables.
Dos números amigos son dos enteros positivos A y B tales que A es la suma de los divisores propios de B en tanto que B es la suma de los divisores propios de A. (Al uno se lo considera divisor propio, pero así al mismo número).
Ejemplos de pares de números amigos :(220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368) y se pueden ver aquí.
La suma de los primeros pares de números amigos es 504, 2394, 5544, 10584, 12600, 21600, 26880, 35712, 129948, 134087 y la secuencia se puede ver acá.
El concepto de número sociable es la generalización de los conceptos de números amigos y números perfectos. Un conjunto de números sociables es una sucesión de números en que cada término es igual a la suma de los factores propios del término anterior. En el caso de los números sociables, la sucesión es cíclica, es decir después de una serie de pasos los términos se repiten.
Los números sociables pueden ser de distintos ordenes dependiendo de la cantidad de números que participan en el ciclo.
Si participa un solo número tenemos los números perfectos como el 6, 28, etc.
Si participan dos números son los números amigos.
Si participan mas tenemos los sociables de 3,4, etc ciclos.
Los primeros números sociables conocidos son 12496, 14264, 14288, 14316, 14536, 15472, 17716, 19116, 19916, 22744
Un caso interesante es el que se en la ilustración de abajo en el que empezando en el 14316 después de 28 pasos se vuelve al 14316.
1- 14316 = 2 2 .3. 1193 la suma de los 11 divisores de 14316 da 19116
2 -19116 = 2 2.3 4 .59
3 -31704 = 2 3 .3. 1321
4 -47616 = 2 9 .3.31
5 -83328 = 2 7.3.7.31
6 -177792 = 27.3. 463
7 -295488 = 2 6 .3 5 .19
8 - 629072 = 2 4 .39317
9 - 589786 = 2.294893
10- 294896 = 2 4 .7. 2633
11 -358336 = 2 6 .11. 509
12 -418904 = 2 3 .52363
13 -366556 = 2 2 .91639
14 -274924 = 2 2 . 13 . 17 . 311
15 -275444 = 2 2 .13. 5297
16 -243760 = 2 4.5. 11 .277
17 -376736 = 2 5 .61.193
18 -381028 = 2 2 .95257
19 -285778 = 2. 43. 3323
20 -152990 = 2 .5. 15299
21 -122410 = 2.5.12241
22 -97946 = 2. 48973
23 - 48976 = 2 4 .3061
24 - 45946 = 2. 22973
25 - 22976 = 2 6 .359
26 - 22744 = 2 3 .2843
27 -19916 = 22.13.383
28 -17716 = 2 2 .43. 103
29 -14316 = 22 .3. 1193
La imagen es del libro Recreations in the theory of numbers: the queen of mathematics entertains escrito por Albert H. Beiler
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domingo, 19 de septiembre de 2010
viernes, 17 de septiembre de 2010
498 - Pandigitales divisibles por 11111
jueves, 16 de septiembre de 2010
497 - Hugo y sus afiliados
Hace dos semanas Hugo tenía en su sindicato un número cuadrado de sindicalistas.
Después de un apriete a una fábrica consigue 100 nuevos afiliados y ahora tiene uno mas que un cuadrado.
A la semana hace un nuevo apriete y consigue 100 afiliados mas, volviendo a tener un número cuadrado de afiliados
Cualquier parecido con la realidad Argentina es pura coincidencia.
Después de un apriete a una fábrica consigue 100 nuevos afiliados y ahora tiene uno mas que un cuadrado.
A la semana hace un nuevo apriete y consigue 100 afiliados mas, volviendo a tener un número cuadrado de afiliados
¿Cuántos afiliados tenía Hugo hace dos semanas?
Cualquier parecido con la realidad Argentina es pura coincidencia.
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miércoles, 15 de septiembre de 2010
496 - Capicúas consecutivos
Podemos llamar capicúas consecutivos a dos capicúas que no tienen ningún capicúa entre ellos.
Por ejemplo : 88, 99, 101, 111, son capicúas consecutivos .
El problema de hoy consiste en encontrar tres capicúas consecutivos de forma tal que la diferencia entre los dos últimos sea igual a 50 veces la diferencia entre los dos primeros.
Si les parece fácil encontrar entonces tres capicúas consecutivos en los que la resta del último por el anteúltimo sea igual a 500 veces la diferencia entre el del medio y el menor.
Y si les parece fácil el anterior encontrar entonces tres capicúas consecutivos en los que la resta del último por el anteúltimo sea igual a 5000000 (cinco millones) de veces la diferencia entre el del medio y el menor.
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martes, 14 de septiembre de 2010
495 - Un día muy especial
Hay un solo día de este año que reune nueve dígitos y no repite ninguno cuando consideramos :
Por ejemplo para el 15 de febrero :
Día del mes 15
Mes : 02
Día del año 46
Semana 8
Por lo tanto reune los siguientes números 1502468 y si bien no repite dígitos, solo junta siete dígitos y no nueve.
Para calcular la semana tomo en cuenta que la semana empieza el domingo y termina el sábado.
Este año empezó un viernes, así que la semana 1 fue : viernes 1 y sábado 2 de enero.
El 3 de enero ya pertenece a la semana 2.
- Día del mes ( considerado con dos dígitos )
- Mes (considerado con dos dígitos)
- Día del año
- Semana del año
Por ejemplo para el 15 de febrero :
Día del mes 15
Mes : 02
Día del año 46
Semana 8
Por lo tanto reune los siguientes números 1502468 y si bien no repite dígitos, solo junta siete dígitos y no nueve.
¿Cuál es el día especial de este año?
Para calcular la semana tomo en cuenta que la semana empieza el domingo y termina el sábado.
Este año empezó un viernes, así que la semana 1 fue : viernes 1 y sábado 2 de enero.
El 3 de enero ya pertenece a la semana 2.
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lunes, 13 de septiembre de 2010
494 - Números viajeros
sábado, 11 de septiembre de 2010
viernes, 10 de septiembre de 2010
492 - Año nuevo judío III - Igualando los años
Estamos en el año 2010 de la era cristiana, en el 5771 de la era judía y en el 1389 de la era islámica.
¿Cómo podemos igualar estos números?
Una forma sería multiplicando dos de estos números por un tercero para así obtener dos productos los cuales sean uno una permutación (o anagrama, tienen los mismos dígitos pero en otro orden) del otro.
Entonces:
a) ¿Cuál es el menor número por el que hay que multiplicar el 2010 y el 5771 para obtener dos números los cuales son uno un anagrama del otro?
Tiene 5 cifras
b) ¿y para el 2010 y el 1389 ?
Tiene 3 cifras
c) ¿y para el 1389 y el 5771?
Tiene 4 cifras
Tiene 4 cifras
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jueves, 9 de septiembre de 2010
491 - Año nuevo judío II
Compararemos hoy el año judío con el islámico.
Recordemos que según la religión judía ayer empezó el año 5771, en tanto que estamos cursando el año islámico 1389.
a) ¿En que año las dos religiones festejaron un año capicúa?
y
¿Cuándo será la próxima vez que esto ocurra?
b) ¿Cuál fue la última vez en que el año judío fue múltiplo del año islámico?
y
¿Cuándo será la próxima vez que esto ocurra?
Recordemos que según la religión judía ayer empezó el año 5771, en tanto que estamos cursando el año islámico 1389.
a) ¿En que año las dos religiones festejaron un año capicúa?
y
¿Cuándo será la próxima vez que esto ocurra?
b) ¿Cuál fue la última vez en que el año judío fue múltiplo del año islámico?
y
¿Cuándo será la próxima vez que esto ocurra?
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miércoles, 8 de septiembre de 2010
490 - Año nuevo judío I
Hoy la comunidad judía festeja el año 5771.
Así que les deseo un shana tova para todos.
Como los festejos duran dos días, hoy y mañana, publicaré dos acertijos con esta temática.
a) ¿En que años capicúas del calendario Juliano (ya que ocurrieron antes de 1582), el año judío también fue capicua?
b) En el año 1982 se festejó el año 5743 judío, en dicha fecha los dos años no tuvieron ningún dígito en común, ¿Cuál será el primer año en que ninguno de los años compartan dígitos y entre los dos usarán los diez dígitos?
(por ejemplo el último de los años en los que esto pase será en el 87503 o sea en el 91264 judío)
Así que les deseo un shana tova para todos.
Como los festejos duran dos días, hoy y mañana, publicaré dos acertijos con esta temática.
a) ¿En que años capicúas del calendario Juliano (ya que ocurrieron antes de 1582), el año judío también fue capicua?
b) En el año 1982 se festejó el año 5743 judío, en dicha fecha los dos años no tuvieron ningún dígito en común, ¿Cuál será el primer año en que ninguno de los años compartan dígitos y entre los dos usarán los diez dígitos?
(por ejemplo el último de los años en los que esto pase será en el 87503 o sea en el 91264 judío)
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martes, 7 de septiembre de 2010
489 - La mayor potencia n^ k que tiene k dígitos.
lunes, 6 de septiembre de 2010
488 - Castigo matemático 10
Nuestra conocida profesora esta vez nos pide que resolvamos la siguiente ecuación:
Obviamente que no pido todos los dígitos del resultado sino decir a que equivale esta ecuación
Adaptado de un problema del libro Mathematical Quickies: 270 Stimulating Problems with Solutions de Charles W. Trigg
1(1!)+2(2!)+3(3!)+4(4!)+.....+998(998!)+999(999!)
Obviamente que no pido todos los dígitos del resultado sino decir a que equivale esta ecuación
Adaptado de un problema del libro Mathematical Quickies: 270 Stimulating Problems with Solutions de Charles W. Trigg
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domingo, 5 de septiembre de 2010
487 - Algunas curiosidades sobre los números pitagóricos
Existen dos triángulos pitagóricos cuyas áreas contienen un solo dígito :
a) El de lados 5, 4 y 3 cuya área es (4x3)/2 = 6
y
b) El de lados 2045, 1924 y 693 cuya área es (1924x693)/2 = 666666
En 1643 Fermat desafió a Mersenne para que encontrara un triplete en el que tanto la hipotenusa como la suma de los lados adyacentes fueran un cuadrado perfecto.
Fermat encontró la menor solución :
Fermat encontró la menor solución :
4687298610289,4565486027761,1061652293520
Donde
4687298610289 = 21650172
y
4565486027761 + 1061652293520 = 23721592
Weisstein, Eric W. "Pythagorean Triple." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html
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sábado, 4 de septiembre de 2010
486 - Números o tripletes pitagóricos
Introducción :
- Un triplete pitagórico es un conjunto de tres números enteros positivos A,B y C (con B>C), distintos a cero, tal que A2=B2+C2
Geométricamente esto representa un triángulo rectángulo, siendo A la hipotenusa y B y C los lados adyacentes al ángulo recto. - Se llama triplete pitagórico primitivo o reducido cuando no existen factores comunes entre A,B y C.
- Si un triplete pitagórico no es primitivo, es porque tiene factores comunes y por lo tanto se podrá reducir dividiendo los tres números por su máximo común divisor, transformando así dicho triplete en un triplete pitagórico primitivo.
- En todo triplete pitagórico primitivo los números A y B tienen distinta paridad.
- De forma inversa un triplete pitagórico primitivo se puede transformar en otro triplete multiplicando A,B y C por un mismo factor.
- No cualquier número puede ser una hipotenusa pitagórica, en cambio todo número mayor a 2 puede ser uno de los lados adyacentes
¿Cómo generar los tripletes pitagóricos?
Elegimos dos números cualesquiera y y x, a los que llamaremos generadores, tal que y>x (para generar un triplete pitagórico primitivo y y x deben ser primos entre si y de paridad opuesta)
Calculamos:
U = y2 + x2
V = y2 - x2
W = 2.y.x
Entonces el triplete pitagórico generado por y y x es
A = U
B = el mayor valor entre V y W
C = el menor valor entre V y W
Usando este método el área del triángulo obtenido es xy(y2-x2)
Ejemplo tomamos y=4 y x=2 como no son primos entre si y además tienen la misma paridad no generaran un triplete pitagórico primitivo
Calculamos:
U = y2 + x2 = 16+4=20
V = y2 - x2 =16-4=12
W = 2.y.x = 2x4x2= 16
Entonces A=20, B=16 y C=12
Vemos que A2 = B2 + C2 = 400 = 256 + 144
En este caso generamos un triplete que no es primitivo, para transformarlo en primitivo debemos dividir cada número por el máximo común divisor, que en este caso es el 4, siendo el triplete pitagórico primitivo 5,4 y 3.
Podemos encontrar los números generadores del triplete A,B y C haciendo estos cálculos:
Calculamos W = A + B
- Si W es un cuadrado perfecto: y = Raíz((A + C)/2) y x = Raíz((A - C)/2)
- Si W no es un cuadrado perfecto: y = Raíz((A + B)/2) y x = Raíz((A - B)/2)
Si y-x =1 entonces A-B =1, y en general si y-x = z entonces A-B o A-C = z2
Algunas relaciones entre los números del triplete pitagórico reducido:
- Siempre una de las siguientes sumas, A+B o A+C, es un cuadrado perfecto y el otro es el doble de un número cuadrado perfecto.
- Lo mismo ocurre cuando restamos B y C de A
- Al menos uno de los números del triplete es divisible por tres, uno es divisible por 4 y uno es divisible por 5 .Es posible que solo uno de los tres números sea a su vez múltiplo de 3,4 y 5 en tanto que los otros no, como por ejemplo en el triplete 61, 60, 11
- El producto BxC siempre es múltiplo de 12
- El producto AxBxC siempre es múltiplo de 60
Como generar un triplete con un lado igual a un número determinado:
Ya dijimos que los lados adyacentes pueden tomar cualquier valor siempre que sea mayor a 2
Si nos dan un determinado valor L para un lado adyacente calculamos lo siguiente
Si L es impar :
Factoreamos L en dos factores v y w siendo v>w (si L es primo tomamos v=L y w=1)
Entonces los generadores son y = (v + w)/2 y z = (v-w)/2.
Si v y w son primos entre si, el triplete es primitivo
Si L es par:
L = 2.y.z donde y y z son los generadores del triplete
Si el número L es par pero no es divisible por 4 entonces el triplete generado no es primitivo, si en cambio es divisible por 4 elegimos y y x de distinta paridad y primos entre si para generar un triplete primitivo
Ejemplo
Generar un triplete pitagórico con uno de sus lados igual a 17:
Como 17 es primo tomamos v=17 y w=1
Calculamos
y = (v + w)/2 = (17+1)/2= 9
x = (v-w)/2 = (17-1)/2=8
Entonces
A=92+82 = 81+64= 145,
B=2x9x8= 144 y
C=92-82 = 81-64= 17
Así generamos el triplete 145, 144, 17 que tiene un lado igual a 17
En algunos casos L puede factorearse en mas de una forma, por lo tanto puede ser un lado en mas de un triplete.
Para saber en cuantos tripletes primitivos diferentes puede participar L hacemos lo siguiente:
Descomponemos L en sus factores primos:
L = p1m1.p2m2.p3m3..........prmr donde p1,p2,p3....pr son todos números primos, y m1,m2,m3....mr son sus respectivas potencias
El número de tripletes primitivos en los que participa L es entonces 2(r-1).
Es decir que la cantidad de tripletes primitivos en los que participa L es igual a 2 elevado a uno menos que la cantidad de divisores primos de L
Salvo si L es par pero no divisible por 4, en cuyo caso L no participa como lado en ningún triplete primitivo.(Pero si en no primitivos)
En tanto que el número total de tripletes (primitivos o no) en los que aparece L como lado adyacente viene dado por las siguientes formulas :
Si L es impar:
Todos los factores son impares, entonces el número de tripletes es {(2.m1+1)(2.m2+1)(2.m3+1)....(2mr+1) - 1}/2
Si L es par:
Todos los factores salvo uno son impares, si tomamos a P1= 2
entonces el número de tripletes es {(2.m1-1)(2.m2+1)(2.m3+1)....(2mr+1) - 1}/2
Ejemplo
¿En cuantos tripletes primitivos y no primitivos aparece el 105 como lado adyacente?
Factoreamos 105 = 31 51 71
i) tripletes primitivos con 105 como lado adyacente
Como en este caso r=3, el número total de tripletes primitivos en los que 105 aparece como lado adyacente es 2(3-1) = 4
Para calcularlos factoreamos 105 en factores primos entre si:
Usando el método descrito antes obtenemos los siguiente números generadores que dan los tripletes primitivos:
a) 1x105, y = (1+105)/2 = 53, x = (105-1)/2 = 52,
el triplete que se genera es el : 5513, 5512, 105
b) 3x35, y=19, x= 16, el triplete que se genera es el: 617, 608, 105
c) 5x21, y=13, x= 8, el triplete que se genera es el : 233, 208, 105
d) 7x15, y=11, x= 4, el triplete que se genera es el : 137, 105, 88
ii) Para calcular el total de tripletes (primitivos y no primitivos) en los que aparece el 105 como lado adyacente usamos la fórmula para números impares:
{(2.m1+1)(2.m2+1)(2.m3+1)....(2mr+1) - 1}/2 =
{(2x1+1)(2x1+1)(2x1+1)-1}/2 = (27-1)/2 = 13
En total son 13 de los cuales 4 son los tripletes primitivos calculados antes
Los otros nueve se calculan a partir de los tripletes primitivos en los que participan sus factores (3,5,7,15(2),21 (2),35 (2))
Por ejemplo el 3 participa como lado adyacente en el triplete primitivo : 5,4,3 entonces multiplicamos este triplete por 35 (105/3) y obtenemos 175 140 105 haciendo lo mismo con los otros ocho obtenemos:
111 105 36; 119 105 56; 145 105 100; 175 140 105; 273 252 105; 375 360 105; 791 784 105; 1105 1100 105;1839 1836 105
Algunas propiedades de la hipotenusa :
- La hipotenusa siempre puede expresarse como la suma de dos cuadrados o un múltiplo de la suma de dos cuadrados. Por lo tanto cualquier número que puede expresarse como la suma de dos cuadrados o un múltiplo de dicha suma puede ser la hipotenusa de un triplete pitagórico
- La hipotenusa de un triplete primitivo siempre es de la forma 4k+1, de ahí que todo número primo de la forma 4k+1 puede ser la hipotenusa de un triplete pitagórico
- Todas las hipotenusas tienen al menos un factor del tipo 4k+1
- Una hipotenusa que es un numero primo pertenece solo a un triplete y este siempre es primitivo.
- En cambio una hipotenusa que no sea un número primo puede pertenecer a varios tripletes y algunos pueden ser primitivos.
Como determinar el numero de tripletes a los que pertenece una determinada hipotenusa
Si la factorización en factores primos de la hipotenusa es
A = [p1a1.p2a2.p3a3....pmam][q1b1.q2b2.q3b3....qnan] donde p y q son los factores primos de A, en los cuales p(s) son de la forma 2k - 1.
Entonces la cantidad de tripletes que tienen a dicha hipotenusa viene dado por
{(2a1+1)(2a2+1)(2a3+1).........(2am+1) - 1}/2
Si todos los factores primos del número son del tipo 4k+1 (no hay del tipo q) entonces algunos de los tripletes son primitivos.
El numero total de tripletes primitivos que tienen dicha hipotenusa viene dado por
2^(m - 1)
La relación de aspecto (RA):
Podemos llamar a la relación entre el lado menor sobre el lado mayor la relación de aspecto.
Así la fórmula sería RA=C/B
Siempre es posible encontrar una RA mayor o menor que una RA de un triplete pitagórico primitivo dado. También siempre es posible encontrar un AR intermedio entre dos RA de dos tripletes pitagóricos primitivos dados.
a) Como encontrar un triplete con menor RA que uno dado
Sea X = C + 1 si C es par
ó X = C + 2 si C es impar
Entonces
A' = (X2 + 1)/2
B' = (X2 - 1)/2
C' = X
{A'B'C'} es el nuevo triplete con RA menor al triplete dado. Si no llegara a ser primitivo hay que reducirlo hasta llegar al primitivo
b) Como encontrar un triplete con un RA mayor que uno dado
A' = 3A + 2B + 2C
B' = 2A + 2B + C
C' = 2A + B + 2C
{A'B'C'} es el nuevo triplete con RA mayor al triplete dado. Si no llegara a ser primitivo hay que reducirlo hasta llegar al primitivo.
c) Como encontrar un triplete con un RA intermedio entre dos dados.
Si {A1B1C1} y {A2B2C2} son los tripletes reducidos y RA1 y RA2 sus respectivas relaciones de aspecto
Una forma de encontrarlo es
Si (A1 + B1) no es un cuadrado perfecto, multiplicar cada lado de {A1B1C1} por 2
Hacer lo mismo con (A2+B2)
Calcular W = Raíz (A1 + B1)
X = Raíz (A1 - B1)
Y = Raíz (A2 + B2)
Z = Raíz (A2 - B2)
Entonces
A' = A1 + A2 + WY + XZ
B' = B1 + B2 + WY - XZ
C' = C1 + C2 + XY + WZ
{A'B'C'} es el nuevo triplete, si no es primitivo reducirlo a un primitivo
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viernes, 3 de septiembre de 2010
485 - Número que no es capicúa, tiene un 26 dentro y un cuadrado capicúa
El menor número no capícua que tiene un cuadrado capicúa es el número 26.
26 2 = 676.
El siguiente es el 264, ya que
264 2 = 69696.
Curiosamente estos dos números tienen la cadena 26 que tanto le gusta a nuestro amigo.
El tercer número no capicúa con cuadrado capicúa es el 307, 307 2 = 94249, lamentablemente el 307 no tiene un "26" dentro.
26 2 = 676.
El siguiente es el 264, ya que
264 2 = 69696.
Curiosamente estos dos números tienen la cadena 26 que tanto le gusta a nuestro amigo.
El tercer número no capicúa con cuadrado capicúa es el 307, 307 2 = 94249, lamentablemente el 307 no tiene un "26" dentro.
¿Cuál es el siguiente número no capicúa que tiene un "26" dentro y que su cuadrado es capicúa?
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