78 - Año - oña = ñoa

2 x (123456789+987654321) + 2 = 2222222222

¿En que año naciste Johana? _ le pregunté

_ Es un año especial _ me dijo _ ya que si tomas ese número e invertís los dígitos y se lo restas al

año, obtienes un anagrama de ese mismo año (los mismos dígitos en otro orden).

¿En que año nació Johana?

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78 - Año - oña = ñoa

77 - Cartas en vez de dados

3972 = 3 + (9 * 7)²

Recuerdo haber ido alguna vez de vacaciones con unos amigos a un pueblo en donde no conseguían dados. Una noche, Daniel quería jugar a los dados (craps), en el que se necesitan dos dados para jugar. Como no teníamos los dados, a Marcelo se le ocurrió una forma de jugar sin dados.
Para ello pidió nueve cartones en blanco, escribió un número en cada uno de ellos y nos dijo :
_ No tendremos el ruido típico de los dados, pero podremos jugar a los dados. Sólo tenemos que sacar al azar dos de las nueve cartas y sumar sus valores, la suma nos dará un número del 2 al 12 que saldrá con la misma frecuencia y probabilidad que si hubiéramos tirado dos dados. (Es decir que el dos saldrá una vez cada 36, el 3 dos cada 36, etc.)

¿Qué números había escrito Marcelo en cada uno de los 9 cartones?

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77 - Cartas en vez de dados

76 - Suma de cuadrados

3864 = 3 * (- 8 + 6⁴)

Tres hermanos que se llevaban dos años entre cada uno estaban en una reunión con amigos.
_ Este año va pasar algo curioso _ les dijo Gabriel _ además que los tres tendrán una cantidad de años impares (cosa que pasa cada dos años), cuando los tres hayan cumplido años, la suma de los cuadrados de vuestras edades dará un número formado por un único dígito repetido.

¿Cuáles serán las edades de estos hermanos a fin de año?

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76 - Suma de cuadrados

75 - Como multiplicar por un número sin conocer dicho número

3685 = (3⁶ + 8) * 5

Les voy a explicar como multiplicar un número de tres cifras conocido por nosotros por un número de cuatro cifras, el cual no se va a usar en el cálculo.

Elegimos un número de tres cifras: por ejemplo el 627.
Lo dividimos por 6 : 627 dividido 6, nos da 104 y un resto de 3. 104 va a ser las primera parte del resultado.
Multiplicamos el resto por 5 : 3*5=15
Colocamos el producto delante del número elegido : 15627
Dividimos dicho número por 3 : 15627/3 = 5209
y esas son las últimas cifras del resultado, que por lo tanto es 1045209.
627 * N = 1045209
Hemos multiplicado 627 por nuestro número fantasma sin usar dicho número!!

Otro ejemplo :
Elijamos el 432
Dividimos por 6 = 432/6 = 72 con resto cero, multiplicamos el resto por cinco, nos vuelve dar cero, lo colocamos delante del número elegido: 0432, y lo dividimos por 3 = 0144
Resultado 720144
432 * N = 720144


Pero, ¿Cuál es el número por el cual multiplicamos?
Elijamos el 100
Dividimos por 6 : 100/6 = 16, resto 4
Multiplicamos por 5 el resto : 5*4=20
Colocamos el resultado delante del número elegido 20100
Dividimos por 3 : 20100/3 = 6700
Resultado = 166700
100 * N = 166700
Esto nos dice que N= 1667

O sea que para multiplicar 1667 por cualquier número de tres cifras podemos usar este procedimiento en el cual no participa para nada el 1667.

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75 - Como multiplicar por un número sin conocer dicho número

74 - Semiprimos de tres dígitos

3125 = (3 + 1 * 2)⁵

Se llama semiprimo al producto de dos primos.
Usando tres dígitos diferentes se pueden formar seis números diferentes de tres dìgitos cada uno.
Por ejemplo con a, b y c se puede formar : abc, acb, bac, bca, cab y cba.
Ahora bien, elegir tres dìgitos diferentes que al formar estos seis números sean todos ellos semiprimos.

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74 - Semiprimos de tres dígitos

73 - Castigo matemático

(1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1) x 12345678987654321 = 999999999²

Cuenta la leyenda que en cierto reino, gobernó una vez un rey que amaba las matemáticas. Les impuso a todos sus súbditos el estudio y el amor por la aritmética y la geometría. Claro que siempre había gente que se resistía y para ellos el rey tenía un castigo ejemplar.

El decreto 1 decía :

"Todo aquél que se resista a estudiar las matemáticas, u ose hablar mal de ellas deberá escribir debajo de una hoja que tiene impreso los primeros 9 dígitos, los números subsiguientes sin saltearse ninguno hasta que haya en total tantos unos (sumado el impreso) como el último número que la persona haya escrito"

Si alguien reincidía se le aplicaba el decreto 2 que decía lo siguiente :

"Se repite el castigo del decreto 1 pero en donde dice unos debe leerse dos"

No había decreto 3 ya que raramente alguien reincidía más de dos veces....

¿Hasta que número había que escribir en cada caso?

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73 - Castigo matemático

72 - Primos ordenaditos

2737 = (2 * 7)³ - 7

Dos sobre primos ordenados :

a) Encontrar todos los primos cuyo dígitos son consecutivos y están ordenados de menor a mayor (yo encontré cinco), y de mayor a menor.

b) Encontrar primos de cinco dígitos ordenados de menor a mayor que al ser invertidos dan .... números primos (obviamente estos últimos tienen sus dígitos ordenados de mayor a menor) (de estos encontré seis)

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72 - Primos ordenaditos

71 - Los abuelos matemáticos

2187 = (2 + 1⁸)⁷

Tres grandes matemáticos estaban jugando con los números de su nieto. En una bolsa tenían los diez dígitos del 0 al 9.
_Vamos a hacer un juego _ propuso Aída _ les voy a poner a cada uno de ustedes, tres números en la frente de forma tal que formen un cuadrado de tres dígitos, cada uno podrá ver el número del otro pero no el suyo.
_ Está bien, _ dijo Alfredo _ ¿pero cuál es el juego?
_ El juego es que van a tener que deducir cuales son los 4 números que me quedaron en la bolsa.
Aída les colocó los tres dígitos a cada uno, de forma tal, que tanto Alfredo como Dulce tenían un número cuadrado de tres cifras sobre su frente.
_ Bueno, decime ahora Alfredo, ¿Qué números me quedaron en la bolsa? _preguntó Aída
_ Te puedo decir con seguridad solo tres de los cuatro números que te quedaron sin usar _ dijo Alfredo.
_Ah _ dijo Dulce _ con ese dato yo ya te puedo decir los cuatro números.

¿Alguien podría explicar cómo supo Dulce los cuatro números?

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71 - Los abuelos matemáticos

70 - Como obtener un número palíndromo (capicúa)

1285 = (1 + 2⁸) * 5

En Abril de 1984 apareció en la columna "Computer Recreations" de la revista Scientific American un artículo sobre patrones matemáticos, en él, aparecía un algoritmo que casi siempre genera números palíndromos o capicúas.

El algoritmo es el siguiente:

1. Elija cualquier número.
2. Invierta los dígitos de dicho número y súmelo al elegido.
3. Si el resultado no es capicúa repita el paso dos con el resultado obtenido.

Ejemplos :
13
1. 13+31=44

64
1. 64+46= 110
2. 110+011=121

El 80% de los números menores a 10000 da un capicúa en menos de 4 pasos, y el 90% en menos de 7. Hay algunos números como el 196 para el que aún no se ha llegado a encontrar el palíndromo a pesar de haber hecho miles de iteraciones, hasta llegar a números con 13.000.000 de dígitos.
Ahora bien existe un número menor a 100 para el que se necesitan 24 pasos para obtener el palíndromo,

¿Qué número es y cuál es capicúa que se obtiene?

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70 - Como obtener un número palíndromo (capicúa)

69 - Resultados de la primera fase de un mundial

736 = 7 + 3⁶

Este problema surgió de una charla con mis hijos, cuando Boca estuvo a punto de no clasificar para la segunda vuelta de la copa libertadores y especulábamos con los puntos que tenía que sacar para que clasificase ( Finalmente clasificó y después ganó la copa). Pero para hacerlo más simple tomemos un mundial, en el que no hay revanchas y son menos los resultados posibles

En los mundiales de fútbol la primera fase se juega en grupos de 4 equipos cada uno. En cada grupo se juegan seis partidos. Se otorgan tres puntos al ganador, cero al perdedor y un punto a cada equipo si hay empate.

Por ejemplo en el mundial de 2006 el grupo de Argentina terminó con esta tabla de posiciones:

Argentina 7
Países Bajos 7
Costa de Marfil 3
Serbia y Montenegro 0

Si tomamos los puntos obtenidos como un solo número diríamos que esta zona termino con 7730 puntos.Ahora bien,

¿Cuántos resultados diferentes son posibles en un grupo de mundial, donde cada equipo juega un solo partido contra cada rival?

Se considera el mismo resultado a 7 b 7 c 3 y d 0 = d 7 b 7 a 3 c 0
Yo encontré 35 resultados diferentes, pero no sé si están todos.

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69 - Resultados de la primera fase de un mundial

68 - Sofi y el reloj

36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²

_ Estoy furiosa _ nos dijo Luciana
_ ¿Qué te pasó?_ le preguntamos
_ El otro día Sofi agarró mi reloj y lo desarmó, le sacó algunos números y los cambio de lugar _ nos dijo, mostrándonos el reloj
_ Que curioso _ le dijo johana_ solo tocó 6 números y los otros 6 los dejó en su lugar.
_ Además los que dejó son todos consecutivos _ dijo Alex
_ Pero eso no es lo más curioso _ le dije yo _ Sino que si tomamos dos números adyacentes cualesquiera, la suma de los mismos da un número primo.
_ Si _ agregó Diego _ y lo más curioso es que yo conozco solo dos formas de hacer lo que hizo Sofi.

¿Sabría alguien cuáles son las dos formas de mover solo seis números de un reloj y dejar seis números consecutivos de tal forma que la suma de dos adyacentes sea un número primo?

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68 - Sofi y el reloj

67 - No se puede como suma como puede se no

183425228501 + 438841438125 = 622266666626
183425228501² + 438841438125² = 226226622266262266222626
Los mismos dos dígitos en el resultado.
Por Giovanni Resta

Es una pregunta simple :

¿Cuáles son los primeros diez números que no pueden obtenerse como suma de dos números capicúas (palíndromos) ?

Nota: los números de un solo dígito son todos capicúas

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67 - No se puede como suma como puede se no

66 - Cambiando los números

343 = (3 + 4)³

El intendente de un determinado pueblo ordenó cambiar la numeración de todas las casas de la calle principal, de forma tal que la numeración sea correlativa. Así por ejemplo la primer casa sería la uno, la segunda la dos, etcétera. Esto hizo que la gente de esa calle se quejara porque debían comprar los números para sus casas, pero el intendente les dijo que él se haría cargo de la compra de los números. Al ir a la ferretería del pueblo, se encontró con el inconveniente de que el ferretero solo tenía cien unidades de cada número.

¿Hasta que número de casa se pudo numerar con solo cien unidades de cada número?

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66 - Cambiando los números

65 - El pintor y la inflación

127 = - 1 + 2⁷

Un pintor famoso calculaba el precio de venta de sus pinturas de la siguiente manera, lo que le costaba $100 de costo, lo vendía a $10000 (100 x 100), si le salía de costo $101 lo vendía a $10201 (101 x 101), si le salía $102 lo vendía a $10404 (102 x 102) y así sucesivamente es decir que vendía los cuadros al cuadrado de su costo. Para poder venderlo mejor hacía un pequeño cuadrito para cada dígito del precio. En una época de inflación tenia solo dos cuadros en venta de distinto precio, cada uno con un costo de entre $100 y $998. Hizo los pequeños cuadritos para los precios, para el cuadro de la bailarina los hizo verdes y para el del barco los hizo rojos.
De un día para el otro los marcos le aumentaron $1. Lo curioso es que después de cambiar los precios de venta de las pinturas, según el esquema antes dicho, el pintor notó que solo tenia que reordenar los pequeños cuadritos de cada uno de los cuadros y pudo seguir usando los mismo cuadritos verdes para el cuadro de la bailarina y los mismos cuadritos rojos para el del barco, no teniendo que pintar ningún cuadrito nuevo.

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65 - El pintor y la inflación

64 - Suma de potencias de primos consecutivos

Todos aquellos a los que les gustan las curiosidades matemáticas deberían visitar la página http://www.worldofnumbers.com/ del belga Patrick De Geest. En ella se encuentran miles de curiosidades.
Aquí van algunas:
Basado en una idea de Hans Havermann,se buscaron números palíndromos obtenidos de la suma de potencias de números primos consecutivos y se encontraron cosas como estas :

1.019² + 1.021² = 2.080.802
1.051² + 1.061² = 2.230.322
751² + 757² + 761² = 1.716.171
3² + 5²+ 7 ²+ 11 ² = 373
7² + 11² + 13²+ 17² + 19² =989
2²+ 3² + 5² + 7² + 11² + 17² = 666

157.999² + 158.003² + 158.009²+ 158.017² + 158.029² + 158.047²+ 158.071² =
174.803.308.471

433³ + 473³ + 533³ + 593³ + 613³+ 673³ + 713³ = 1.423.241

Y la perlita la suma de 95 primos consecutivos elevados al cuadrado :

733267332² + 733267692² + 733267872² + ... + 733283172² + 733283292² + 733283412² =

510808567765808015

En próximas entradas publicaré más de estas curiosidades.

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64 - Suma de potencias de primos consecutivos

63 - Billete Farmacéutico

1^{11 .} 5^{24 .} 7^{44 .} 8^{12 .} 20^{31 .} 21^{38 .} 25^{26 .} 27^{22 .} 28^{39 .} 30^{34 .} 32¹⁷ = 2^{13 .} 3^{19 .} 4^{6 .} 9^{23 .} 10^{33 .41 .} 15^{36 .} 16^{18 .} 35^{43 .} 40^{29 .} 42³⁷


Cuatro compañeros de trabajo de una farmacia (Francisco, Facundo, Cristian y Miriam) compraron un billete de lotería con un número de seis cifras. Cuando Mario les preguntó que número era, le contestaron :

Miriam : La suma de sus dígitos da 43
Cristian : Es un cuadrado
Francisco : Es un cubo
Facundo: Es menor a 500.000
Sabiendo que Miriam no miente y que uno de los hombres si lo hace,

¿Sabrías decirme que número compraron?

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63 - Billete Farmacéutico

62 - Generar pares pitagoricos

Tomemos dos fracciones cuyo producto sea igual a 2 ( Por ejemplo 5/2 y 2/5)


Sumemosle a cada fracción el número 2. (9/2 y 12/5)


Igualemos los denominadores (45/10 y 24/10)


Tomemos los numeradores y tendremos un par pitagórico 45² + 24² = 51²

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62 - Generar pares pitagoricos

61 - El teléfono de la modelo

1^{7 .} 3^{21 .} 4^{11 .} 5^{29 .} 8^{17 .} 9^{22 .} 15^{28 .} 20²⁶ = 2^{14 .} 6^{12 .} 10^{23 .} 16^{13 .} 25^{18 .} 27^{19 .} 30²⁴

Nicolás, Marto y Raimon fueron a bailar. Allí conocieron a una modelo que los deslumbró . Cuando le pidieron el número de teléfono, ella les dijo:
_ Yo solo le doy mi número a personas inteligentes
_ Nosotros somos inteligentes!!!! _ le dijeron los tres a coro
_ Bueno entonces les digo mi teléfono, tiene 7 cifras y si restamos las tres primeras (tomadas como un número de tres dígitos) al cuadrado de las últimas cuatro (tomadas como un número) les da...mi número de teléfono.

¿Cuál es el número de teléfono de la modelo?

Aclaración : las primeras tres cifras no eran 000

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61 - El teléfono de la modelo

60 - cubo+cuadrado=multiplo de si mismo

1^{12 .} 3^{17 .} 16^{18 .} 20^{21 .} 25^{26 .} 27¹⁹ = 2^{14 .} 4^{7 .} 5^{22 .} 6^{24 .} 8^{13 .} 9^{11 .} 10^{23 .} 15²⁸

Observemos lo siguiente :

38463 : 38³ + 463² = 269241 = 38463 * 7

Existen otros 7 números de 5 dígitos con los que ocurre algo similar, es decir que la suma del cubo de los primeros dos dígitos (tomados como un número de dos dígitos) mas el cuadrado de los últimos tres (tomados como un número de tres dígitos) da un múltiplo del número original.

¿Alguien se anima a encontrarlos ?

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60 - cubo+cuadrado=multiplo de si mismo

59 - Tres dados primos

59⁴ + 158⁴ = 133⁴ + 134⁴.

¿Cuál es la probabilidad de que al tirar tres dados comunes la suma de los valores dé un número primo?

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59 - Tres dados primos

58 - Segundo barba

¿Qué es un segundo barba?

Así como existe el año luz (la distancia que recorre la luz en un año, 9,46·10¹⁵ metros o poco menos de diez billones de km ) existe el segundo barba que es la distancia que crece en promedio un pelo de la barba en un segundo, o sea aproximadamente 5 nanómetros.
Aunque parezca un chiste, existe y está en google como beard second (segundo-barba en inglés)

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58 - Segundo barba

57 - Trabajos matemáticos

1^{18 .} 2^{11 .} 3^{12 .} 9^{14 .} 16^{13 .} 20^{22 .} 25²⁴ = 4^{7 .} 5^{26 .} 6^{19 .} 8^{17 .} 10^{23 .} 15²¹

_ ¿Cuántos trabajos presentados tienes ? _ Le preguntó un matemático a otro.

_ Tengo un número de trabajos tal que si lo elevo al cuadrado y al cubo, entre las dos potencias tengo los diez dígitos una y solo una vez.

_ Que casualidad, si yo elevo mi número de trabajos al cubo y a la cuarta potencia, entre los dos potencias también tengo los diez dígitos una y solo una vez

¿Cuántos trabajos tenía presentados cada matemático?

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57 - Trabajos matemáticos

56 - A la luz del reloj digital

2^{1 .} 3^{11 .} 8^{17 .} 10^{23 .} 12^{8 .} 15²² = 4^{14 .} 5^{24 .} 6^{13 .} 9^{19 .} 16^{7 .} 20²¹

Si una habitación está iluminada solo por un reloj dígital, de los que marcan las 24 horas y cuando son menos de las doce no coloca un cero por delante, por ejemplo a las 3:15 marca exactamente eso y no 03:15,

¿ A que hora hay más luz en la habitación y a que hora hay menos?

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56 - A la luz del reloj digital

55 - Potencias engrilladas

1^{3 .} 6^{2 .} 9^{17 .} 15^{13 .} 16^{7 .} 20²² = 5^{14 .}8^{4 .} 10^{21 .} 12^{11 .} 18¹⁹

En la siguiente grilla de 2x2 :

84
16

Podemos encontrar 6 potencias diferentes 1, 4, 8, 16, 64 y 81

¿Cuántas potencias se podrán colocar en una grilla de 3x3 ?

a) Usando 9 dígitos diferentes y no usando las diagonales.
b) Usando 9 dígitos diferentes y tomando en cuenta las diagonales.
c) Pudiendo repetir dígitos y no usando las diagonales.
d) Pudiendo repetir dígitos y usando las diagonales.

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55 - Potencias engrilladas

54 - Fracciones ordenadas

1^{7 .} 2^{11 .} 12^{14 .} 16^{10 .} 18¹⁹ = 3^{5 .} 4^{20 .} 6^{13 .} 8^{15 .} 9¹

Si colocáramos todas las fracciones positivas irreducibles, menores que 1, con denominador hasta 99, en fila, ordenadas de menor a mayor,

¿Cuáles serían las fracciones vecinas de 11/21? ¿Y las de 34/87?


¿Se puede generalizar la respuesta para cualquier fracción del tipo x/y?

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54 - Fracciones ordenadas

53 - (ab x de) - c = mmm..

4^{16 .} 18^{5 .} 9^{3 .} 20^{19 .}15^{36 .} 35^{27 .} 14^{37 .} 22^{31 .} 33^{7 .}13⁴⁰ = 1^{6 .} 32^{4 .} 12^{8 .} 25^{29 .}10^{24 .} 28^{30 .34 .} 11^{38 .} 26^{23 .} 39¹⁷ 21

Todos loa nùmeros del 1 al 40 una sola vez

Con los 5 dígitos impares formar un número de 5 cifras de tal forma que que los dos primeros dígitos tomados como un número, multiplicados por los dos últimos dígitos menos el dígito del centro, dé un número compuesto por un solo dígito repetido.

Ej abcde
(ab x de) - c = mmm..

Obviamente que decab también cumple.

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53 - (ab x de) - c = mmm..

52 - Los taxicab numbers

Cuando se habla del número 1729 la mayoría de los matemáticos recuerdan la anécdota que vivieron dos grandes matemáticos de principios del siglo XX. Se cuenta que un día en que G.H. Hardy fue a visitar a Srinivasa Ramanujan, el cual estaba muy enfermo de tuberculosis, Hardy tomó un taxi y se fijo que su número que era el 1729. Parece que estaba pensandoo encontrar una particularidad en es número, ya que cuando llegó al lugar donde estaba Ramanujan, le comentó que tomo el taxi 1729 y que le parecía que era un número sonso, sin atractivo.
_ Sin embargo_ dijo Ramanujan a mi me parece un número muy interesante, ya que es el primer número que puede expresarse como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes :

1³ + 12³
9³ + 10³

En honor a este diálogo se llaman taxicab numbers o números taxi a los números que pueden expresarse como la suma de dos cubos en más de una forma.

Así tenemos :

Taxicab(2) = 1729
= 1³ + 12³
= 9³ + 10³

Publicado por primera vez por Bernard Frénicle de Bessy en 1657.

Taxicab(3) = 87539319
= 167³ + 436³
= 228³ + 423³
= 255³ + 414³

Encontrado por Leech en 1957.

Taxicab(4) = 6963472309248
= 2421³ + 19083³
= 5436³ + 18948³
= 10200³ + 18072³
= 13322³ + 16630³

Encontrado por E. Rosenstiel, J.A. Dardis, and C.R. Rosenstiel en 1991.

Taxicab(5) = 48988659276962496
= 38787³ + 365757³
= 107839³ + 362753³
= 205292³ + 342952³
= 221424³ + 336588³
= 231518³ + 331954³

Encontrado por David Wilson en 1997

Taxicab(6) = 24153319581254312065344
= 28906206³ + 582162³
= 28894803³ + 3064173³
= 28657487³ + 8519281³
= 27093208³ + 16218068³
= 26590452³ + 17492496³
= 26224366³ + 18289922³

Encontrado por Randall L. Rathbun en 2002
David Wilson descubrió 8230545258248091551205888 en 1997.

Taxicab(7) <= 24885189317885898975235988544
= 2648660966³ + 1847282122³
= 2685635652³ + 1766742096³
= 2736414008³ + 1638024868³
= 2894406187³ + 860447381³
= 2915734948³ + 459531128³
= 2918375103³ + 309481473³
= 2919526806³ + 58798362³

Encontrado por Christian Boyer en 2006

Taxicab(8) <= 50974398750539071400590819921724352

= 299512063576³ + 288873662876³
= 336379942682³ + 234604829494³
= 341075727804³ + 224376246192³
= 347524579016³ + 208029158236³
= 367589585749³ + 109276817387³
= 370298338396³ + 58360453256³
= 370633638081³ + 39304147071³
= 370779904362³ + 7467391974³

Encontrado por Christian Boyer en 2006

Taxicab(9) <= 136897813798023990395783317207361432493888

= 41632176837064³ + 40153439139764³
= 46756812032798³ + 32610071299666³
= 47409526164756³ + 31188298220688³
= 48305916483224³ + 28916052994804³
= 51094952419111³ + 15189477616793³
= 51471469037044³ + 8112103002584³
= 51518075693259³ + 5463276442869³
= 51530042142656³ + 4076877805588³
= 51538406706318³ + 1037967484386³

Encontrado por Christian Boyer en 2006

Taxicab(10) <= 7335345315241855602572782233444632535674275447104

= 15695330667573128³ + 15137846555691028³
= 17627318136364846³ + 12293996879974082³
= 17873391364113012³ + 11757988429199376³
= 18211330514175448³ + 10901351979041108³
= 19262797062004847³ + 5726433061530961³
= 19404743826965588³ + 3058262831974168³
= 19422314536358643³ + 2059655218961613³
= 19426825887781312³ + 1536982932706676³
= 19429379778270560³ + 904069333568884³
= 19429979328281886³ + 391313741613522³

Encontrado por Christian Boyer en 2006

Taxicab(11) <=2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632

= 11410505395325664056³ + 11005214445987377356³
= 12815060285137243042³ + 8937735731741157614³
= 12993955521710159724³ + 8548057588027946352³
= 13239637283805550696³ + 7925282888762885516³
= 13600192974314732786³ + 6716379921779399326³
= 14004053464077523769³ + 4163116835733008647³
= 14107248762203982476³ + 2223357078845220136³
= 14120022667932733461³ + 1497369344185092651³
= 14123302420417013824³ + 1117386592077753452³
= 14125159098802697120³ + 657258405504578668³
= 14125594971660931122³ + 284485090153030494³

Encontrado por Christian Boyer en 2006

Taxicab(12) <= 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152

= 33900611529512547910376³ + 32696492119028498124676³
= 38073544107142749077782³ + 26554012859002979271194³
= 38605041855000884540004³ + 25396279094031028611792³
= 39334962370186291117816³ + 23546015462514532868036³
= 40406173326689071107206³ + 19954364747606595397546³
= 41606042841774323117699³ + 12368620118962768690237³
= 41912636072508031936196³ + 6605593881249149024056³
= 41950587346428151112631³ + 4448684321573910266121³
= 41960331491058948071104³ + 3319755565063005505892³
= 41965847682542813143520³ + 1952714722754103222628³
= 41965889731136229476526³ + 1933097542618122241026³
= 41967142660804626363462³ + 845205202844653597674³

Obviamente que tambièn existes los cabtaxi numbers que son aquellos que pueden obtenerse tanto como suma como por resta de cubos.

Asi tenemos :

Cabtaxi(1) = 0
= 1³ - 1³

Cabtaxi(2) = 91
= 3³ + 4³
= 6³ - 5³

Cabtaxi(3) = 728
= 6³ + 8³
= 9³ - 1³
= 12³ - 10³

Cabtaxi(4) = 2741256
= 108³ + 114³
= 140³ - 14³
= 168³ - 126³
= 207³ - 183³

Cabtaxi(5) = 6017193
= 166³ + 113³
= 180³ + 57³
= 185³ - 68³
= 209³ - 146³
= 246³ - 207³

Encontrado por Randall Rathbun.

Cabtaxi(6) = 1412774811
= 963³ + 804³
= 1134³ - 357³
= 1155³ - 504³
= 1246³ - 805³
= 2115³ - 2004³
= 4746³ - 4725³

Encontrado por Randall Rathbun.

Cabtaxi(7) = 11302198488
= 1926³ + 1608³
= 1939³ + 1589³
= 2268³ - 714³
= 2310³ - 1008³
= 2492³ - 1610³
= 4230³ - 4008³
= 9492³ - 9450³

Encontrado por Randall Rathbun.

Cabtaxi(8) = 137513849003496
= 22944³ + 50058³
= 36547³ + 44597³
= 36984³ + 44298³
= 52164³ - 16422³
= 53130³ - 23184³
= 57316³ - 37030³
= 97290³ - 92184³
= 218316³ - 217350³

Encontrado por D.J. Bernstein.

>Cabtaxi(9) = 424910390480793000
= 645210³ + 538680³
= 649565³ + 532315³
= 752409³ - 101409³
= 759780³ - 239190³
= 773850³ - 337680³
= 834820³ - 539350³
= 1417050³ - 1342680³
= 3179820³ - 3165750³
= 5960010³ - 5956020³

Encontrado por Duncan Moore en 2005.

Cabtaxi(10) <= 933528127886302221000 = 8387730³ + 7002840³
= 8444345³ + 6920095³
= 9773330³ - 84560³
= 9781317³ - 1318317³
= 9877140³ - 3109470³
= 10060050³ - 4389840³
= 10852660³ - 7011550³
= 18421650³ - 17454840³
= 41337660³ - 41154750³
= 77480130³ - 77428260³

Se conocen cabtaxi hasta el 20


Mas información en
http://cboyer.club.fr/Taxicab.htm
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A011541

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52 - Los taxicab numbers

51 - Más de cien compuestos seguidos

14^{24 .} 15^{22 .} 10^{19 .} 8^{16 .} 3⁶ = 20^{23 .} 5^{18 .} 12^{17 .} 7^{13 .} 21^{11 .} 2^{9 .} 4¹

Los números 8, 9 y 10 son todos compuestos y es la primera secuencia de tres números seguidos compuestos.

24, 25 26, 27 y 28 son todos compuestos y es la primera secuencia de cinco números compuestos.

Ahora bien ,

¿Cuál es la primera secuencia de cien o más de cien números compuestos seguidos?

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51 - Más de cien compuestos seguidos

50 - El cuarto de Martin G

14^{22 .} 3^{16 .} 15^{13 .} 8^{11 .} 10⁶ = 20^{19 .} 7^{17 .}18^{12 .} 2^{9 .} 21^{5 .} 4¹

Un grupo de amigos a los que nos gustan los juegos de ingenio fuimos invitados hace un tiempo a pasar unas vacaciones pagas en Las Vegas (no podía ser en otra parte) en un hotel de 720 habitaciones. Cuando llegamos al hotel fuimos recibidos por nuestro anfitrión, un tal Martin G que conocía nuestro interés por los acertijos.
_ Sé que son aficionados a los juegos de ingenio, y por lo tanto les voy a proponer uno. _ nos dijo Martin y comenzó a contarnos la siguiente historia :
_ Hace un tiempo estuvieron en este mismo hotel, tres de los mas grandes lógico matemáticos de la historia . Como estas tres personas no se conocían entre sí, decidí hacer una reunión para que se conozcan y para que pudiéramos hablar un poco sobre los temas que nos apasionaban. En un momento de la charla, uno de los matemáticos vio la llave de mi habitación y me preguntó si yo me alojaba allí.
_ Si _ le contesté _ Siempre me alojo en esta habitación cuando vengo a este hotel y casualmente el número de mi habitación es igual a la suma o al producto de los números de las habitaciones que ocupan ustedes (ellos no conocían los números de las habitaciones de los otros).
_ Que interesante _ dijo uno de ellos
_ Si _ le dije y agregué : _ Ustedes están alojados todos en la planta baja que tiene las primeras diez habitaciones, así que creo con este dato y el de mi habitación pueden deducir facilmente la habitación que ocupan sus colegas.
_ Hagamoslo por turnos _ me dijeron
_ Perfecto _ les dije _ iremos desde el que tiene el menor número de habitación, seguirá el de la habitación intermedia y por último el de mayor número de habitación.
Una vez que les dije el orden se escuchó el siguiente diálogo :
Menor : No puedo deducirlo aún
Medio : No puedo deducirlo aún
Grande : No puedo deducirlo aún
Menor : No puedo deducirlo aún
Medio : No puedo deducirlo aún
Grande : No puedo deducirlo aún
Menor : Ahora si puedo decir cuales son las habitaciones de mis colegas.

_ Aquí termina mi historia, _ nos dijo Martin _ ¿ Pueden ustedes deducir en que habitación me hospedo?

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50 - El cuarto de Martin G

49 - Dos divisibles por 14

15^{19 .} 10^{11 .} 16^{7 .} 18⁶ = 5^{17 .} 20^{13 .} 9^{14 .} 8^{4 .} 12^{3 .} 2¹

La suma de los dígitos de un entero positivo es divisible por 14.

La suma de los dígitos del entero que le sigue también es divisible por 14.

¿Cuál es el menor número que cumple con estos requisitos?

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49 - Dos divisibles por 14

48 - Dos mil nueve

1^{14 .} 3^{11 .} 5^{13 .} 6^{12 .} 8^{19 .} 9^{2 .} 15⁷ = 10^{20 .} 18^{17 .} 4¹⁶

Dos problemas con el 2009 :

1) Encontrar el menor número que elevado al cubo termina en 2009

2) Encontré dos números de 2009 cifras, que tienen las siguientes particularidades :

- Los dos empiezan con el número 3
- Si tomo al azar dos dígitos consecutivos cualesquiera de este número, obtengo seguro un múltiplo de 17 o de 23 (Por ejemplo si tomo el dígito 485 y el 486 , el número de dos dígitos que ellos forman o es múltiplo de 17 o de 23)
Sabiendo estas dos particularidades,

¿Alguien sabría decirme los últimos dígitos de cada uno de estos números?

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48 - Dos mil nueve

47 - ¿Cuántos alumnos hay en la escuela?

(3 + 4)³ = 343

_ Susan, ¿Cuántos alumnos hay en tu escuela?
_ No se cuantos son exactamente, lo que sé, es que los digitos que lo forman son todos distintos y que si le sumamos 99 el orden de los dígitos se invierte.

_ Mirá _ Dijo el profesor de matemáticas _ lo que te dijo Susan es 100% exacto, pero lo que te voy a decir yo, no. Te voy a dar cuatro datos sobre el número:

1. Es divisible por la suma de sus dígitos
2. No es primo
3. Tiene solo un dígito en común con el producto de sus dígitos
4. La suma del primer y el último dígito es una unidad mayor que la del medio

Si yo te dijera cual de estas sentencias es/son falsa/s vos podrías descifrar cual es el número.

¿Cuántos alumnos hay en la escuela?

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47 - ¿Cuántos alumnos hay en la escuela?

46 - Tarea para el hogar

1¹+19¹+20¹+51¹+57¹+80¹+82¹ = 2¹+12¹+31¹+40¹+69¹+71¹+85¹
1²+19²+20²+51²+57²+80²+82² = 2²+12²+31²+40²+69²+71²+85²
1³+19³+20³+51³+57³+80³+82³ = 2³+12³+31³+40³+69³+71³+85³
1⁴+19⁴+20⁴+51⁴+57⁴+80⁴+82⁴ = 2⁴+12⁴+31⁴+40⁴+69⁴+71⁴+85⁴
1⁵+19⁵+20⁵+51⁵+57⁵+80⁵+82⁵ = 2⁵+12⁵+31⁵+40⁵+69⁵+71⁵+85⁵
1⁶+19⁶+20⁶+51⁶+57⁶+80⁶+82⁶ = 2⁶+12⁶+31⁶+40⁶+69⁶+71⁶+85⁶

Para que ejercitaran sumas, la maestra les dio a sus alumnos cinco números enteros diferentes y les dictó la tarea para el día siguiente :

Con los números a, b, c, d y e realizar la suma de cada par de números (a+b, a+c, a+d, a+e, b+c, b+d, b+e, c+d, c+e, y d+e)

Después de realizar la tarea, Andrés le mostró los resultados a su mamá para que los revise.
La mamá leyó 2,4,5,7,7,8,10,11,12,13 y le dijo a Andrés:
-Las primeras tres y las últimas tres sumas están bien hechas, pero algunas de las del medio están mal.

¿Cuáles eran los números que dictó la maestra?

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46 - Tarea para el hogar

45 - Código primo

175 = 1 + 7² + 5³

Todos conocemos el código que reemplaza cada letra del alfabeto por un número de forma tal que a=1, b=2, c=3, etc. El valor de cada palabra se puede calcular usando la suma, o el producto de cada una de las letras. Pero con este código hay muchas palabras distintas que tienen el mismo código. Para que ello no ocurra, se puede usar un código en que cada letra es reemplazada por un número primo y la palabra se reemplaza por el producto de las letras. Este código también tiene sus inconvenientes ya que los anagramas tienen todos los mismos valores, y además las palabras largas tienen valores muy altos.
En este código tenemos que a=2, b=3, c=5, d=7, e=11, etc.
Basado en esta idea se me ocurrió lo siguiente :
Si el valor de cada palabra es igual al producto de sus letras
¿Es posible lograr una palabra que de 1000, 10.000, 100.000 , 1.000.000 , 10.000.000 ó 100.000.000?
¿Quién encuentra la más cercana a estos valores?, ya sea por defecto o por exceso, obviamente se busca una palabra que exista, ya que por ejemplo cacacacaca da 100.000, pero lamentablemente no existe (en el DRAE = Diccionario de la real academia española, por lo menos)
Valen sin embargo verbos conjugados, nombres, palabras compuestas (Es decir cualquier palabra que se use normalmente)

a	2	g	17	m	41	r	67	x	97
b	3	h	19	n	43	s	71	y	101
c	5	i	23	ñ	47	t	73	z	103
d	7	j	29	o	53	u	79
e	11	k	31	p	59	v	83
f	13	l	37	q	61	w	89

Ej caca =100

Yo encontré palabras que están a 65 de10.000, a 4180 de 1.000.000, a 1090 de 10.000.000,
y a 2038 de 100.000.000

Les dejo un mensaje para que descifren:

53.009 781 1.422.068.785.214

249.419.590

386.261.221.687

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45 - Código primo

44 - La jubilación de Herman

4! + 0! + 5! + 8! + 5! = 40585

El número de beneficiario de Herman, es un número muy curioso.
Es un pandigital (tiene todos los dígitos del 0 al 9) que cumple con las siguientes condiciones :

1- Cada dígito aparece exactamente una sola vez.
2- La diferencia entre dos números adyacentes es siempre mayor a uno.
3- Para cada par de dígitos cuya suma es nueve, la cantidad de números que hay entre estas dos cifras es igual a la de menor valor. Por ejemplo entre el 5 y el 4 hay cuatro números.
4- La suma de cada par de dígitos que están ubicados a una misma distancia de los bordes es un número primo, así si el número fuera abcdefghij serían primos :
a+j, b+i, c+h, d+g y e+f

¿Cuál es el número de jubilación de Herman?

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44 - La jubilación de Herman

43 - Problemas de temperatura

4³ = 2^{6 .} 1⁵
8^{5 .} 1⁷ = 2^{3 .} 4⁶
2^{7 .} 4^{3 .} 9⁵ = 6^{10 .} 8¹
12^{7 .} 3¹⁰ = 6^7. 8^{1 .} 2^{4 .} 9⁵
1^{2 .} 8^{13 .} 9¹⁴ = 12^{11 .} 6^{7 .} 3^{10 .} 4⁵
15^{13 .} 3^{11 .} 4^{8 .} 16¹ = 2^{14 .} 9^{12 .} 5^{7 .} 10⁶
1^{8 .} 4^{13 .} 18^{7 .} 15¹⁷ = 5^{6 .} 10^{11 .} 9^{14 .} 12^{3 .} 2¹⁶
Todos las ecuaciones tienen cada uno de los
enteros hasta cierto valor una sola vez

_ El otro día me pasó algo extraño _ me dijo Sergio, el profesor de química.
_ ¿Qué te pasó? _ le pregunté.
_ Estaba haciendo un experimento que leí en una revista científica, en la cual se mencionaba insistentemente que debía mantenerse la temperatura a cierto valor porque sino seguro ocurriría una explosión. Así que tomé todos los recaudos para que la temperatura se mantuviera en dicho valor, cosa que logré. Cuando terminé la experiencia y obtuve el producto deseado, volví a leer la revista y noté que la temperatura que se mencionaba estaba en grados Fahrenheit, pero yo había utilizado un termómetro graduado en grados Celcius. Al principio me sorprendí de que el experimento hubiera salido bien y de que no había habido una explosión.
Pero después recapacité y me reí un buen rato.

Sabiendo que ºC= (ºF-32)/1.8, donde ºC es la temperatura en grados Celsius y ºF es la temperatura en grados Fahrenheit, ¿alguien sabría explicar lo que le pasó a Sergio?

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43 - Problemas de temperatura

42 - Los números de Drácula viajan en taxi

8³ = 512 . 5 + 1 + 2 = 8
27³ = 19683 . 1 + 9 + 6 + 8 + 3 = 27

No son números de Transilvania ni de Bram Stoker.
La idea original fue del gran Henry Dudeney que en su libro de 1917 "Amusements in Mathematics" en el problema N° 85 pone en el título "The cab numbers" (algo así como los números taxi).
El problema decía lo siguiente:
¿Qué dos números conteniendo entre ambos los nueve dígitos (del 1 al 9), cuando son multiplicados entre si, dan un producto, el más grande posible, que contiene también los nueve dígitos?

Rta:

8745231 x 96 = 839542176

Dudeney da en el libro otros ejemplos:

3 * 51 = 153

6 * 21 = 126

Con cuatro dígitos :

8 * 473 = 3784

9 * 351 = 3159

15 * 93 = 1395

21 * 87 = 1827

27 * 81 = 2187

35 * 41 = 1435

Con cinco dígitos

2 * 8741 = 17482 , 2 * 8714 = 17428

3 * 7251 = 21753 , 3 * 4281 = 12843

3 * 7125 = 21375 , 3 * 4128 = 12384

6 * 2541 = 15246 , 8 * 6521 = 52168

8 * 4973 = 39784 , 9 * 7461 = 67149

51 * 246 = 12546 , 42 * 678 = 28476

72 * 936 = 67932 , 14 * 926 = 12964

24 * 651 = 15624 , 65 * 281 = 18265

65 * 983 = 63895 , 75 * 231 = 17325

86 * 251 = 21586 , 57 * 834 = 47538

87 * 435 = 37845 , 78 * 624 = 48672

La idea de los números vampiros fue introducida por Clifford A. Pickover en 1994.
Los números vampiros verdaderos cumplen cuatro reglas:

1. Tienen un número par de dígitos
2. Se obtienen por el producto de dos números, llamados colmillos, los cuales tienen cada uno la mitad de dígitos que el número vampiro.
3. Tienen los mismos dígitos que los colmillos( y en la misma cantidad)
4. Los colmillos no pueden terminar los dos en cero

Ej : 15 x 93 = 1395

Existen 7 números vampiros verdaderos con 4 dígitos :

1260 = 21 · 60
1395 = 15 · 93
1435 = 35 · 41
1530 = 30 · 51
1827 = 21 · 87
2187 = 27 · 81
6880 = 80 · 86

Carlos Rivera introdujo el concepto de Número vampiro primo en el cual los colmillos son números primos:

117067 = 167 · 701
124483 = 281 · 443
146137 = 317 · 461
371893 = 383 · 971
536539 = 563 · 953

Existen también números vampiros que pueden tener más de un grupo de colmillos:

125460 = 204 · 615 = 246 · 510
11930170 = 1301 · 9170 = 1310 · 9107
12054060 = 2004 · 6015 = 2406 · 5010
12417993 = 1317 · 9429 = 1347 · 9219
13078260 = 1620 · 8073 = 1863 · 7020 = 2070 · 6318
107650322640 = 140532 · 766020 = 153204 · 702660 = 200760 · 536214
113024597400 = 125100 · 903474 = 152100 · 743094 = 257400 · 439101
119634515208 = 195351 · 612408 = 234156 · 510918 = 285513 · 419016
134549287600 = 138650 · 970424 = 145700 · 923468 = 182900 · 735644

Se conoce un vampiro de 70 dígitos que tiene 100.025 pares de colmillos, el número es :
1067781345046160692992979584215948335363056972783128881420721375504640

Se puede ver el post original de Clifford A. Pickover Acá

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42 - Los números de Drácula viajan en taxi

41 - Competencia interdeportiva

1¹ + 4¹ + 12¹ + 13¹ + 20¹ = 2¹ + 3¹ + 10¹ + 16¹ + 19¹
1² + 4² + 12² + 13² + 20² = 2² + 3² + 10² + 16² + 19²
1³ + 4³ + 12³ + 13³ + 20³ = 2³ + 3³ + 10³ + 16³ + 19³

Se organizó una competencia entre los cinco colegios más grandes del país.
Los estudiantes competirían en varias disciplinas deportivas.
El colegio que ganara en la mayoría de las competencias, ganaría el campeonato y el premio mayor.
Para juntar el dinero de los premios se le pidió a cada alumno que pusiera un peso. El total de lo recaudado iba para el colegio que ganara la competencia.
Los directores de cuatro de los colegios decidieron que en caso de ganar repartirían lo ganado entre cada uno de sus estudiantes ya que lo recaudado era un múltiplo exacto de la cantidad de alumnos que cada uno de estos colegios tenía.
El director del quinto colegio destinaría una parte del premio para hacer arreglos en la escuela y el resto lo repartiría entre sus alumnos.

Sabiendo que cada colegio tienía entre 1000 y 2000 alumnos,
¿ Cuántos alumnos tenía cada colegio?

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41 - Competencia interdeportiva

40 - La menor y la mayor diferencia

10² + 11² + 12² = 13² + 14²

Formar con las fichas de los números, dos números de cinco cifras cada uno de tal forma que la diferencia entre ellos sea
1) La menor posible
2) La mayor posible
(No usar 0 como primer dígito)

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40 - La menor y la mayor diferencia

39 - Factorial de que?

8589934592 × 116415321826934814453125 = 1000000000000000000000000000000000

Experimentando con la calculadora científica de su primo, Tatiana obtuvo el siguiente número :
1405006117752879898543142606244511569936384000000000. Cuando Gustavo le preguntó como lo obtuvo, Tati le dijo :
_ No me acuerdo bien, lo último que apreté fue la X, después el 3 y por último este botón (el signo de exclamación).
_Ah, sacaste el factorial de un múltiplo de 3.
_No sé, Gusti. Yo solo tengo cuatro años.

El factorial de que número obtuvo Tati ?

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39 - Factorial de que?

38 - Cuadrado Redondo

135 = 1 + 3² + 5³
153 = 1 + 3³ + 5³

Encontrar un cuadrado mágico de 3 x 3, en el cual hay nueve dígitos diferentes (del cero al nueve), de tal forma que las ocho sumas que se forman (las tres filas, las tres columnas y las dos diagonales) sean números consecutivos. Yo encontré dos resultados distintos pero uno es mas lindo que el otro ya que la suma de estos ocho números da un número "redondo"

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38 - Cuadrado Redondo

37 - Las 72 pizzas

2⁵ × 9² = 2592

Para un evento unos amigos decidieron comprar 72 pizzas . Nicolás se ofreció para ir a pagarlas. Cuando pagó le dieron un ticket, pero como la máquina registradora era muy vieja e imprimía mal, sólo aparecieron las cifras del medio de tal forma que se veía en el ticket lo siguiente _99.9_ en el que los guiones representan los números que nos se leían. Como Nicolás tuvo que comprar otras cosas, cuando presentó el ticket y le preguntaron cuanto había pagado cada pizza no se acordaba.
Muchos de sus amigos le desconfiaron, pero luego de pensarlo un poco dijo :
_ Muchachos es muy fácil saber cuales son las cifras que faltan, solo hay que pensarlo un poco y saber un poco de matemáticas...

¿Cuánto costó cada pizza?

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37 - Las 72 pizzas

36 - Derivaciones de la conjetura de Goldbach

(4 + 9 + 1 + 3)³ = 4913
(1 + 9 + 6 + 8 + 3)³ = 19683

En Junio de 1742 Christian Goldbach le escribió una carta a Leonard Euler en la cual le propone la siguiente conjetura :

Todo entero mayor que 2 puede ser escrito como la suma de tres primos

En esa época el 1 se consideraba como número primo, una convención que luego fue desechada, por lo tanto una versión moderna de la conjetura de Golbach podría ser la siguiente :

Todo entero mayor que 5 puede ser escrito como la suma de tres primos

Ahora bien asumiendo que la conjetura de Goldbach es cierta, (considerando que fue chequeada hasta n ≤ 10¹⁸)

,
¿Cuál es el mayor número menor que 100 que no puede expresarse como la suma de tres primos distintos ?
¿ y menor que 1000? ¿y menor que 10000000 ?

Por otra parte, ¿Cuál es el mayor número que puede expresarse como solo una suma de este tipo?

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36 - Derivaciones de la conjetura de Goldbach