279 - Numeros divisibles por su suma digital

Veamos estos números consecutivos de seis dígitos :
131052, 131053, 131054, 131055 y 131056

¿Qué particularidad presentan?
Que cada uno de ellos es divisible por la suma de sus dígitos:


131052 es divisible por 1+3+1+0+5+2= 12, y 131052 / 12 = 10921
131053 es divisible por 1+3+1+0+5+3= 13, y 131053 / 13 = 10081

131054 es divisible por 1+3+1+0+5+4= 14, y 131054 / 14 =  9361

131055 es divisible por 1+3+1+0+5+5= 15, y 131055 / 15 =  8737

131056 es divisible por 1+3+1+0+5+6= 16, y 131056 / 16 =  8191

Existe otro grupo de cinco números consecutivos de seis cifras que presentan además de esta particularidad, la propiedad que sus sumas digitales son iguales a las dos últimas cifras de cada uno de estos números.

¿Cuáles son esos cinco números?

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279 - Numeros divisibles por su suma digital

278 - Todo cuadrado

G, D  y N son tres hermanos que quieren comprar una play station 3. El problema es que entre los tres no juntan $500. Así que van a lo de su abuelo a pedirle el dinero que les falta.
- ¿Cuánta plata tienen? - Les preguntó el abuelo.
- Mirá, cada uno tiene una cantidad diferente de pesos, entre los tres tenemos un número cuadrado de pesos, y si sumamos los montos de dos cualquiera de nosotros, también sumamos un número cuadrado de pesos.
- Ah, entonces ya sé cuanto dinero tienen - dijo el abuelo.

¿Cuánta plata tienen cada uno de los hermanos?

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278 - Todo cuadrado

277 - Rebuscado I

Ya que varias personas me dedicaron un rebùs es hora de devolver favores.
Acá va el primero, sepan comprender que no soy un experto ni mucho menos.
Ah! y gracias Nico, por ayudarme a armarlo.

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277 - Rebuscado I

276 - Formar los números del 1 al 24

El boletin de  Luciana mostraba las siguientes notas:
3 7 9 5 2 6 10
Si realizamos todas las sumas posibles de las notas consecutivos, obtenemos:

"Sumando" de a una : 3, 7, 9, 5, 2, 6 y 10 
Sumando de a dos : 10, 16, 14, 7, 8 y 16
Sumando de a tres: 19, 21, 16, 13, y 18
Sumando de a cuatro: 24, 23, 22 y 23
Sumando de a cinco: 26, 29 y 32
Sumando de a seis : 32 y 39
Sumando los siete : 42

Ordenando las sumas : 2,3,5,6,7,8,9,10,13,14,16,18,19,21,22,23,24,26,29,32,39 y 42


Vemos que hay números que no se pudieron obtener (1,4,11,12, etc.)


El boletín de Alejandro en cambio, también tiene siete notas  pero si  realizamos todas las sumas posibles de las notas consecutivas de dicho boletin, obtenemos  cualquier número del 1 al 24.

¿Qué notas y en que orden tiene el boletín de Alejandro?

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276 - Formar los números del 1 al 24

275 - Comprando regalos para fin de año

Este año me ocurrió algo muy curioso comprando los regalos para fin de año de mis tres hijos. 
Ocurre que gasté exactamente $2009, y cada una de las cosas cosas que compré me costó más de $100, pero menos de $999. 
Entre los tres precios no se repite ningún digito.
Todas las cosas  costaron un monto entero de pesos.

El precio del regalo para mi hijo mayor era un cuadrado perfecto, en tanto que el precio de los otros dos regalos era un número primo.

¿Cuánto me costó cada regalo?

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275 - Comprando regalos para fin de año

274 - El inventor de la batalla naval

Cuenta la leyenda que el rey falsete era un apasionado de la batalla naval, es por ello que mandó llamar al inventor del juegopara recompensarlo.Luego de jugar algunas partidas el rey ofreció a dicho inventor concederle el premio que solicitara, el inventor que era un buen matemático (pero no tan vivo como el inventor del ajedrez), le pidió que pusiera un euro (ahora que vale más que el dolar), en la primera casilla, dos+tres euros en la segunda casilla, cuatro+cinco+seis euros en la tercera, siete+ocho+nueve+diez en la cuarta, y asi sucesivamente hasta la casilla número cien.
-Está bien - dijo el rey - pero solo te voy a dar los euros que ocupan la última casilla .
-No hay problema, con ese monto me conformo.

¿Cuánto cobró éste inventor?

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274 - El inventor de la batalla naval

273 - Cuatro consecutivos con cuatro factores diferentes

Los dos primeros números consecutivos que tienen dos factores primos diferentes son

14 = 2 × 7
15 = 3 × 5

Los tres primeros números consecutivos que tienen tres factores primos diferentes son:

644 = 2² × 7 × 23
645 = 3 × 5 × 43
646 = 2 × 17 × 19

Lo que se pide es encontrar los primeros cuatro números consecutivos que tienen cuatro factores primos diferentes

Este es un problema del project Euler (http://projecteuler.net/)

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273 - Cuatro consecutivos con cuatro factores diferentes

272 - Ordenando las cartas

Supongamos que de un mazo sacamos dos ases, dos 2, dos 3, dos 4, dos 5, dos 6 y dos 7.
Queremos ahora ordenarlos sobre la mesa de forma tal que los ases esten separados por una carta, los dos separados por dos cartas, los tres separados por tres cartas y asi sucesivamente hasta que los dos sietes esten separados por 7 cartas.
Claro que hay muchas formas de hacer esto (alrededor de 50, un ejemplo es 57236253471614), pero si leemos las cartas puestas sobre la mesa como si fueran un solo número,

¿Cuáles serían el menor y el mayor  número que podemos formar respetando esta regla de  separación? 

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272 - Ordenando las cartas

271 - El profesor, Pedro y Sergio

El profesor elige un número de dos cifras y le da la suma de sus dígitos a Sergio y el producto de los dígitos de dicho número a Pedro y les pide deducir cuál es el número elegido.
Como ninguno de los dos puede deducir el número, el profesor les dice:
- Es lógico que no lo puedan deducir, ya que las opciones que tiene  Sergio son exactamente el doble de las opciones que tiene Pedro.

-Ahora los dos podemos decir cual es el número.- Dijo uno de los alumnos.

¿Cuál es el número?

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271 - El profesor, Pedro y Sergio

270 - Cubo de diferencia o diferencia de cubos

En general (x - y)³ es distinto  a x³ - y³. Sin embargo para algunos valores de x e y tenemos que (x - y)³ = x³ - y³. 
Si tomamos 0 = x <= 2009, 0 = y< = 2009 y siendo ambos números enteros, 
¿Cuántos pares diferentes, de números (x, y) satisfacen (x - y)³ = x³ - y³ ?

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270 - Cubo de diferencia o diferencia de cubos

269 - Agujeros negros

Si escribimos todos los números del 1 al 1000000 y eliminamos aquellos que tengan algún dígito repetido (por ejemplo 11,22,3123,5441,etc) 
Nos quedaría una lista del tipo :1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,13, etc en la que habría algunos saltos en los números. 
Asi entre el 10 y el 12 hay un espacio de un número (11), claro que hasta el 1000000 habrá espacios más largos por ejemplo entre 98 y 102 hay un salto de 3 (99,100 y 101)

¿Cuál es el espacio más largo y entre que números está?

Pregunta adicional : ¿Cuántos números (hasta el 1000000) son los que tienen cifras repetidas?

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269 - Agujeros negros

268 - Dividiendo a 2009!

¿Cuál es la máxima potencia de 2009 que divide a 2009! (Factorial del 2009)?

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268 - Dividiendo a 2009!

267 - Increíble coincidencia

Diez chicos estaban en ronda, la profesora les pide que cada uno  diga a cada uno de sus vecinos un número. Así cada chico dice un número y escucha dos (uno de su vecino de la izquierda y otro del vecino de la derecha). Una vez que todos los chicos dijeron sus números, la profesora les pide que digan el promedio de los números que escucharon.
Increiblemente se escuchó : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

¿Qué número dijo cada chico?

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267 - Increíble coincidencia

266 - La fecha de hoy es una fecha bien cuadrada

¿Qué tiene de particular la fecha de hoy, 4 de diciembre de 2009?

Que si la expresamos tanto como dd/mm/aa (41209) o como mm/dd/aa (120409) obtenemos un número cuadrado, ya que 203² = 41209  y  347² = 120409.
Como bien me indicó 26 en los comentarios es una  fecha requetecuadrada ya que también es un cuadrado si lo expresamos aa/mm/dd 091204= 302²
 
Lo interesante es que a diferencia del  4 de abril de 2001 (40401 = 201²) , en el día de hoy, el número del día es diferente al número del mes.


La pregunta de hoy es : 

¿Cuál es la próxima fecha en la que el número del día es distinto al número del mes y que expresada  como dd/mm/aaaa  es una fecha cuadrada? 

Por ejemplo el 1 de enero de 2036 sería una fecha cuadrada porque 1012036 = 1006² , pero no vale como respuesta porque expresado como mm/dd/aaaa da el mismo cuadrado ya que el número del día es igual al número del mes.

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266 - La fecha de hoy es una fecha bien cuadrada

265 - ¿Qué hay más?

Qué hay más,

¿Números de tres dígitos con un número par de números pares o con un número impar de números pares?

Pd: el cero lo consideramos par.

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265 - ¿Qué hay más?

264 - Billetes curiosos

Muchos conocemos que :

987654321 - 123456789   =  864197532

Es decir que aqui tenemos un ejemplo de un número que tiene los dígitos ordenados de mayor a menor al que luego le restamos  el número formado con esos mismos dígitos pero ordenados de menor a mayor y obtenemos un tercer número que curiosamente es un anagrama de ellos (tiene los mismos dígitos que los dos anteriores pero en otro orden).


Yo tenía dos billetes, uno que tenía los nueve digitos ordenados de mayor a menor que tenía esa misma propiedad y  otro que tenía diez dígitos, también ordenados de mayor a menor, no tenía ceros y obviamente también tenía esa propiedad.

Nota: Estos billetes tenían dígitos repetidos.

¿Cuáles son los números de esos billetes?

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264 - Billetes curiosos

263 - Novios

Gustavo y Vanesa se pusieron de novios, como vivían cerca y no tenían como ir desde la casa de uno al otro, salvo en taxi o en auto, se solían encontrar a mitad de camino.
Si ambos salían a la misma hora, se encontraban exactamente 4 minutos después de salir, en cambio si Gustavo salía 3 minutos después que Vanesa se encontraban dos minutos después de que Gustavo había salido.
Si asumimos que cada uno de los novios caminaban siempre a la misma velocidad, 

¿Cuántos minutos tardaría  Gustavo

en llegar desde su casa a la casa de Vanesa?

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263 - Novios

262 - Restando cubos para obtener capicúas

Al restar los cubos de dos números consecutivos es posible que el resultado sea un número capicúa.
Así por ejemplo:

1³  -  0³  =  1

2³  -  1³  =  7

18³  -  17³ = 919

¿Cuáles son los próximos 3 capicúas que se obtienen restando cubos de números consecutivos?

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262 - Restando cubos para obtener capicúas

261 - Millas y kilómetros

Si tomamos como válido que 5 millas son 8 kilómetros,
  

¿Cuál es la menor cantidad entera de millas que es un anagrama  del número entero de kilómetros a los cuales es equivalente?

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261 - Millas y kilómetros

260 - Potencia de dos

Jorge me dijo que encontró una potencia de 2  tal, que las últimas  tres cifras son iguales

¿Cuál es esa cifra?

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260 - Potencia de dos

259 - Un problema para las olimpíadas

El profesor elegió un número entero N de dos dígitos. Le dio la suma de los dígitos de N a Sebastian y el número de divisores positivos de N a Damian.  Cada uno fue informado de la naturaleza del número . 
Luego el profesor les pidió que determinen N.

  Se escuchó el siguiente diálogo:

Sebastián: Yo no sé que número es.
Damian: Yo tampoco, no puedo encontrar N, pero puedo decir si N es par o impar.
Sebastián: En este caso, ahora ya soy capaz de encontrar N.
Damian: Entonces yo también.

¿Qué número es N?

Este problema fue propuesto en 1988 durante la sesión de entrenamiento del equipo chino para la Olimpiada Internacional de Matemáticas.

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259 - Un problema para las olimpíadas

258 - Transformandose en si mismo

Tomemos un número cualquiera, por ejemplo el 73. Ahora repitamos  cada digito de dicho número  para luego sumarlos

73 : 77+33 = 110 , 

lamentablemente 73 no es igual a 110,  hacemos lo mismo con otro número, por ej.  

652 : 66+55+22 = 143. 

Vemos que  en ninguno de estos ejemplos logramos que la suma sea igual al número original, sin embargo existe un número que al aplicarle esta transformación obtenemos el número original.

¿Cuál es ese número?

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258 - Transformandose en si mismo

257 - Mezclado perfecto

El otro día vi una película sobre el lejano oeste en la que uno de los vaqueros hacía lo que se llama un mezclado americano perfecto, es decir tomaba un mazo de poker de 52 cartas ordenadas por palo, dividía el mazo en dos mitades iguales (dos palos por mitad) y mezclaba dejando deslizar una carta por lado de forma tal que si antes de mezclar las cartas estaban en este orden :  1,2,3,4,5,....49,50,51,52  después del mezclado quedaban 1,27,2,28,3,29,etc. Viendo ésta escena me pregunté si era posible que después de varios mezclados de este tipo se volviera a obtener las cartas en el orden inicial..

La pregunta es:

¿Se puede volver a obtener las cartas en el orden inicial usando solo mezclados perfectos?  

y si la respuesta es si,

¿Cuántas veces hay que repetir el mezclado?

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257 - Mezclado perfecto

256 - Casados versus solteros

En Tranquilino,  un pueblo de Santa Fé  tres quintos del total de las mujeres del pueblo están casadas con dos tercios del total de  los hombres.
Sabiendo que que no hay poligamia (legal por lo menos) , 

¿Qué porcentaje de la población de Tranquilino está casada?

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256 - Casados versus solteros

255 - La edad de los hijos

Dos ex- compañeras de la secundaria se encontraron después de varios años.
Luego de conversar un rato, se escuchó la siguiente conversación:


- Asi que tenés tres hijos, ¿Y cuántos años tienen? - preguntó Patricia

- Mirá, Patricia - dijo Marcela - yo sé que a vos te gustaban los acertijos, así que te voy a decir la suma y el producto de sus edades, a ver si  podés deducir la edad de mis hijos.
Una vez que Marcela le dio esos datos, Patricia dijo:
-- Mirá, tengo una  duda, ¿el que no es mellizo tiene 9 o 25 años?

¿Alguien puede decir cuál es el producto de la edad de los hijos de Marcela?

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255 - La edad de los hijos

254 - Comiendo pizza después del fobal

En una época (no muy lejana) jugaba al fútbol (mal, pero eso no importa)  con los padres de los compañeros de colegio de mi hijo,
Después de jugar, la mayoría ibamos a comer pizza a una pizzería que ofrecía pizzas de 12 porciones. La cantidad de porciones que cada uno comía dependía del hambre que cada uno tenía, esa noche pero solíamos dividir a los comensales en "hambrientos" (los que podían comer 6 porciones como mínimo o a los sumo 7, si habia la suficiente pizza) y los "normales", que comían 2  o   3 porciones (si había más pizza).
Claro que según el día y lo que había comido durante el mismo. cualquiera podía ser hambriento o normal

Antes de hacer el pedido contabamos cuantos "hambrientos" y cuantos "normales" había, para poder hacerle el pedido al mozo. Recuerdo que una noche calculamos que cuatro pizzas no iban a alcanzar, y sin embargo si pedíamos cinco pizzas, iban a sobrar algunas porciones.

¿Cuántos "hambrientos" y cuantos "normales" había esa noche?

.

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254 - Comiendo pizza después del fobal

253 - La veterinaria de Lionel

Lionel tiene una veterinaria que tiene 100 animales entre perros, conejos y cobayos. Entre todos los animales comen 100 kilos de alimento balanceado por semana. Sabiendo que  un perro necesita 5 kg de alimento por semana, un conejo 3 kilos y un cobayo 1/3 de kilo.

¿Cuántos perros tiene la veterinaria, sabiendo que la cantidad de  cobayos tiene  dígitos en común tanto con la cantidad de conejos, como con la cantidad de perros?

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253 - La veterinaria de Lionel

253 - El cuadrado más cuadrado

242
¿Qué tiene de particular este número?
Que es el menor número que tiene las letras de CUADRADO
DOsCientos cUARentA y Dos 


4232
¿Qué tiene de particular este número?
Que es el menor número que tiene las letras de CUADRADO en orden :
CUAtro mil Doscientos tReintA y DOs


Claro que lamentablemente, ni 242 ni 4232 son cuadrados perfectos.

 ¿Cuál es el menor cuadrado perfecto que tiene en su nombre las letras de  cuadrado en orden?

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253 - El cuadrado más cuadrado

251 - Encuesta autor(r)eferente

El otro día leí una extraña encuesta, en la que solo se podía contestar a cada una de las cuatro preguntas con  0,1,2 ó 3. No necesariamente había que usar todos los números, es decir que se podía contestar todas las preguntas con 0, o usar dos 3 y dos 1 , etc, etc. Claro que había que responder correcta y logicamente.
Las preguntas eran las siguientes:


   1. En las preguntas 1 - 4, cuántas respuestas son 0?
   2. En las preguntas 1 - 4, cuántas respuestas son mayores a 1?
   3. En las preguntas 1 - 4, cuántas respuestas son menores que 2?
   4. En las preguntas 1 - 4, cuántas respuestas son 3?

¿Cómo responderías tú a esta encuesta?

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251 - Encuesta autor(r)eferente

250 - Fecha de nacimiento

-Que día naciste? le preguntaron a Eliana.
-Fácil, si lo escribis en el formato aa/dd/mm obtienes un número que es cuatro veces al que obtienes cuando lo escribes dd/mm/aa.

¿En que fecha nació Eliana?

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250 - Fecha de nacimiento

249 - Divisores terminados con todos los dígitos

¿Cuál es el menor número entero positivo que tiene la propiedad de tener por lo menos un divisor terminado en cada uno de los dígitos.?

(es decir que tiene  divisores terminados en 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9) 

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249 - Divisores terminados con todos los dígitos

248 - Números en escalera descendente

Llamemos números en escalera descendente a aquellos números positivos de dos o más dígitos, los cuales están escritos en estricto orden de mayor a menor cuando son leidos de izquierda a derecha, así por ejemplo 742 , 987, 951 y  6540 serían números de este tipo, en tanto que 8221 y 65434 no.


La pregunta es :

¿Cuántos números en escalera descendente existen?

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248 - Números en escalera descendente

247 - Usando todas las letras

Los números del 1 al 999.999.999.999 usan las siguientes 18 letras:

a c d e h i l m n o q r s t u v y z

a) ¿Cuál es el menor número que tiene en su nombre todas estas 18 letras?

b)¿Cuál es el menor número que tiene en su nombre todas estas letras, y además usa la menor cantidad de letras?

(el que yo encontré usa 40 letras)

c)¿Cuál es el conjunto de números que entre todos tienen estas 18 letras y además usan la menor cantidad de letras?

d)¿Cuál es el  conjunto de números que entre todos tienen estas letras y cuya suma es la menor posible?

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247 - Usando todas las letras

246 - El primer cuadrado

En nuestro diccionario de los números ya tenemos el primer número que aparece en el mismo, el catorce,  el primer impar catorce billones catorce mil ciento cinco , y el primer primo catorce billones catorce mil ciento noventa y nueve, (quizás haya otro anterior, si alguien lo conoce me avisa)
El otro día chateando con Rodolfo (para quien no lo conozca, un gran creador de acertijos y coleccionista de juegos de ingenio, como así también autor de varios libros y artículos de matematicas recreativas) me preguntó si conocía cuál es el primer cuadrado en el diccionario ya que quería incorporarlo a su colección de números. Como yo no lo conocía, empecé a buscarlo y encontré un posible primer cuadrado del diccionario, pero  realmente no estoy seguro de que sea la respuesta correcta.

¿Alguien nos podría ayudar a encontrar dicho cuadrado?

Pd: obviamente que empieza con catorce billones,,,,

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246 - El primer cuadrado

245 - Secuencia de cuadrados cuadrados

Los números del 9 al 15 presentan la particularidad de que la suma de los dígitos de sus cuadrados son números cuadrados.

9² = 81 y  8+1 = 9
10² = 100 y  1+0+0 = 1
11² = 121 y 1+2+1 = 4
12² = 144  y 1+4+4 = 9
13² = 169  y 1+6+9 = 16
14² = 196  y 1+9+6 = 16
15² = 225  y 2+2+5 = 9

¿Cuál es la próxima secuencia de siete números consecutivos cuyos cuadrados tienen una suma digital igual a un cuadrado?

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245 - Secuencia de cuadrados cuadrados

244 - Número complicado

El cuadrado de la suma de cuatro enteros positivos es igual al número formado al escribir estos mismos cuatro números uno al lado de otro. Teniendo en cuenta que ningun digito se repite en este último número,

¿Cuál es este número?

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244 - Número complicado

243 - 3399999966

¿Qué tiene de particular este número? 
Si sumamos todos los digitos (suma digital) de este número obtenemos el número 72 (3+9+9+9+9+9+9+6+6 = 72). Claro que esto no tiene nada de particular, pero lo que si es curioso es que si multiplicamos este número por 2 el resultado también tiene una suma digital igual a 72, probando con los números siguientes vemos que si lo multiplicamos por 3, 4, 5, etc. los productos obtenidos siempre dan una suma digital igual a 72. Claro que esto no ocurre con todos los números, por eso pregunto :

¿Cuál es el primer número que al multiplicarlo por 3399999966 da un producto cuya suma digital no es 72?

Fuente: (Mathematical Gazette 1896)

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243 - 3399999966

242 - Jugando a la generala

Aurelia, Bernarda y Carlota jugaron a la generala.
Después de cada partido, la que salía última debía triplicar el monto de lo que las otras dos tenían.
Sabiendo que jugaron tres partidos, que primero perdió Aurelia, después Bernarda y por último  perdió Carlota y que terminaron todas con $27,

¿Con cuánto empezó cada una?

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242 - Jugando a la generala

241 - Años simétricos

1991 fue hasta ahora el último de los llamados "Años simétricos" ya que no solo es capicúa, sino que también se puede expresar como el producto de factores primos capicúas:
1991 = 11 x 181

¿Cuales serán los 3 próximos años simétricos?

Lo de primos fue agregado después del primer comentario-

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241 - Años simétricos

240 - Que es más probable?

¿Qué es mas probable que un capicúa de 4 digitos sea múltiplo de 99 ó que un número de cuatro digitos múltiplo de 99 sea capicúa?

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240 - Que es más probable?

239 - Dividiendo por el producto

Si dividimos los números del 1 al 1000 por el producto de sus dígitos,

¿Cuál es el mayor resto que vamos a encontrar?
¿y si lo hacemos hasta el 10000?
¿y hasta el 100000?

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239 - Dividiendo por el producto

238 - Facilongo

El cuadrado de lado 4 presenta la particularidad de que tanto su perímetro como su área valen 16, (obviamente que en otras unidades).

¿Cuál es el rectángulo cuyo lados tienen valores enteros, que tiene el mismo valor de perímetro que de área?

Se entiende que el área por ejemplo esta medida en m² y el perímetro en m.

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238 - Facilongo

237 - Escuchando conversaciones ajenas

El otro día estando sentado en el subte, escuché el siguiente diálogo :
-Tenés que encontrar un número que tiene cinco de sus seis dígitos pares, en tanto que su raíz cuadrada tiene todos los dígitos pares.
-Pero hay muchos números de ese tipo .
-Si, pero me olvidé decirte que el dígito impar esta en la posición... - justo en ese momento pasó un vendedor ambulante gritando y no pude escuchar el final de esta oración. Una vez que pasó el vendedor escuché que la otra persona decía:
- Ah, ahora si puedo decirte que número es.

¿Cuál era ese número?

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237 - Escuchando conversaciones ajenas

236 - Preguntita

¿Existe una fracción cuyo numerador es menor que el denominador que sea igual a otra fracción cuyo numerador es mayor al denominador?

Si no existe demostrarlo, si existe poner un ejemplo.

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236 - Preguntita

235 - Número autoexplicativo

Existe un solo número de 8 cifras al que llamaremos N, tal que el primer dígito indica el resto que da dicho número al dividirlo por dos, el segundo dígito es el resto que da N al dividirlo por 3, el tercer número es el resto que da la división de N por 4 y así sucesivamente hasta el octavo dígito que es el resto de dividir N por 9.

¿Qué número es N?

Fuente : USA Mathematical Talent Search

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235 - Número autoexplicativo

234 - Dividiendo por la suma

Si dividimos cada uno de los números del 1 al 1000 por la suma de sus propios digitos,

¿Cuál es el número que da mayor resto ?

¿y si lo hacemos hasta el 10000?

¿y hasta el 100000?

Por ejemplo el 347 da un resto de 11 cuando se divide por 14  (3+4+7), ya que 347 = 14 x 24 +11

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234 - Dividiendo por la suma

233 - Mayor número

Simple : Encontrar el mayor número de nueve digitos, el cual si multiplicamos todos sus dígitos obtenemos el factorial de 9.

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233 - Mayor número

232 - Numerando a los alumnos

La maestra numeró a cada uno de sus 16 alumnos con un número entero diferente. Luego les pidió que se juntaran de a dos, pero de forma tal que la suma de los números de dos compañeros sea un cuadrado. Así primero se juntó el 1 con el 3 y formaron el 4, el 2 con el 14 (16), el 4 con el 5 (9), el 6 con el 10 (16), el 7 con el 9 (16), pero el 8 no pudo juntarse con ninguno de los quedaban para formar un cuadrado. La maestra les dijo que volvieran a intentar hasta que todos los alumnos tuvieran un compañero y entre los dos sumaran un cuadrado.

¿Como se pueden juntar los alumnos?

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232 - Numerando a los alumnos

231 - ¿Cómo calcular raíces cuadradas sin usar una calculadora?

Existen dos métodos que permiten calcular raíces cuadradas bastante rápidamente y con una muy buena aproximación.

En el primer método se usa recursivamente la siguiente fórmula:

(a+Nb)/(a+b)

Si N= 2 y a = b = 1

Entonces los valores que vamos obteniendo son :

3/2 ; 7/5 : 11/12 ; 41/29 ; 99/70 ; 239/169 ; 577/408 ; 1393/985 ; 3363/2378 ; etc

Vemos que 239/163 = 1.4142, que es una buena aproximación a raíz(2),
en tanto que 3363/2378 = 1.4142136 que da el mismo valor que obtenemos con una calculadora común

Nosotros tomamos a = b =1, pero se puede utilizar cualquier valor de a y b y siempre obtendremos una aproximación a raíz(2)
En este ejemplo N = 2, pero N puede tomar cualquier valor, y así obtendríamos la raíz(N)

¿Porqué funciona?

Como lo que nosotros hacemos es igualar a

a/b = ( A + Nb) / (a + b) = ( (a/b) + N ) / ( (a/b) + 1)

si llamamos a a/b = K y reemplazando nos queda

K = (K+N)/(K+1)

de donde K(K+1)=(K+N)
entonces K² + K = K + N
llegando a K² = N
Por lo tanto K = raíz(N)

El segundo método es atribuido a Heron y usa la siguiente fórmula :

a = 1/2 (a+N/a)

Donde a se elige como el valor aproximado de raíz(N) y obviamente no puede ser cero.
Por ejemplo si queremos calcular la raíz cuadrada de 5, podemos tomar a=2.

aplicando la fórmula repetidamente:
a= 2
a= 1/2(2+5/2) = 9/4
a= 1/2(9/4+5/(9/4)) = 1/2(9/4 + 20/9)= 1/2 (161/36) =161/72 = 2.236111
a= 1/2(161/72 + 5/ (161/72)) = 54841/23184 = 2.236068

Vemos que esta secuencia converge rápidamente,además si a es un menor que raíz(n) entonces N/a es mas grande raíz(n), por lo tanto el promedio debe estar entre ellos

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231 - ¿Cómo calcular raíces cuadradas sin usar una calculadora?

230 - Jugando con los cuadrados

Jugando con los números del 0 al 9 formé cuatro cuadrados, uno de una sola cifra, uno de dos cifras, uno de tres y el último de cuatro cifras.

¿Si el de una cifra no es el 9, cuáles son estos cuatro cuadrados?

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230 - Jugando con los cuadrados

229 - Sumando casillas

En un tablero de 20 x 20 se anotaron en cada casilla la cantidad de movimientos que puede hacer un rey (del ajedrez) a partir de esa casilla.
Por ejemplo en la casillas de las esquinas figuraba el 3, ya que a partir de esas casillas el rey solo puede hacer 3 movimientos.

¿Si se suman todos los números que se han escrito, que número se obtendría?

En otro tablero cuadrado la suma dio 9940

¿Qué dimensiones tenía ese tablero cuadrado?

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229 - Sumando casillas

228 - Recaudando impuestos

Las patentes de los autos en Argentina constan de tres letras y tres números.
Como hay algunas letras que no se usan, el total de letras usadas son 26, en cambio se usan los números del 0 al 9, pudiendo estar el 0 en cualquier posición.
Supongamos que un futuro se hayan emitido todas las patentes posibles desde el AAA000 hasta ZZZ999. El gobierno de turno, decide entonces, para recaudar un poco, como de costumbre, poner un nuevo impuesto a las patentes. Para ello decide arbitrariamente que cada patente pagará en base a su valor, tomando en cuenta que cada letra tendrá los siguientes valores: A=1, B=2, C=3 ... Z=26, en tanto que los números valdrán su valor. Así por ejemplo la patente AAA000 pagará A+A+A+0+0+0= $3, en tanto que ABC 765 pagará 1+2+3+7+6+5 =$24, etc El que más pagará será la ZZZ999=26+26+26+9+9+9= $105.

Si se implementara esta política,

¿Cuánto recaudaría el gobierno?

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228 - Recaudando impuestos

227 - Secuencias de cincos

Consideremos la secuencia 1, 5, 6, 25, 26, 30, 31, 125, 126, etc. la cual esta formada por enteros formados por la suma de distintas potencias de 5 (5⁰, 5¹, 5⁰+5¹, 5², 5⁰+5², 5¹+5² ,5⁰+5¹+5², etc.) ordenados de menor a mayor,

¿Cuál sería el termino n° 75 de la secuencia?

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227 - Secuencias de cincos

226 - Curiosidad

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214358976 = (3+6) ² + (4+7) ⁸+ (5+9) ¹

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Leido en The magic numbers of the professor, escrito por Owen O'Shea

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226 - Curiosidad

225 - Vendiendo rifas

En el colegio de matemáticos se organizó una rifa para fin de año. A cada alumno se le dio un talonario de un determinado color con 1000 rifas , numeradas del 1 al 1000. La orden que le dieron a cada alumno era que vendieran las rifas en orden, es decir primero la uno, después la dos, etc. Así era más fácil para contar las rifas que se habían vendido.
Los alumnos se quejaron porque decían que eran muchas rifas para vender, pero las autoridades les dijeron que el precio de cada una iba a ser de solo $0.50 por lo tanto iban a ser fáciles de vender.
Al terminar la venta de las rifas se escuchó el siguiente diálogo entre tres de los alumnos:

-Me pasó algo curioso - empezó a decir Carlos - vendí más de cien rifas y la mitad de ellas tenían por lo menos un uno.
- ¡Qué casualidad! - Dijo jesica - yo vendí más que vos y también la mitad de las rifas vendidas tenían por lo menos un uno.
-Eso no es nada - comentó Nati - a mi me pasó lo mismo y soy la que más vendí!

¿Cuántas rifas vendió cada uno de estos alumnos?

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225 - Vendiendo rifas

224 - Formar 19

¿Cómo se puede obtener como resultado el número 19 , usando una sola vez cada uno de los números 1 , 2 y 3 ?

Se pueden usar las siguientes operaciones suma, resta, multiplicación, división, potencias, factorial y raíz cuadrada. No se puede usar el punto decimal, ni concatenar números (no se puede usar 12, 23, etc.)

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224 - Formar 19

223 - Sumando Fracciones

¿Cuánto da la suma de todas las fracciones del tipo A/B, siendo A menor que B y B menor que 10 ?

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223 - Sumando Fracciones

222 - Concatenados

Veamos la siguiente cuenta:

78 x 79 = 6162

El producto de dos números consecutivos genera un número que es la concatenación de dos números consecutivos.

¿Cuál es el menor número que al elevarlo al cuadrado genera un número que es la concatenación de dos números consecutivos?

¿Y el siguiente?

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222 - Concatenados

221 - ¿Cuántos terminan ?

En el colegio de mi hijo hay 4000 alumnos.
De los que no terminan la secundaria a fin de año, el 56.5656...% se llevó por lo menos alguna materia en el secundario, en tanto que el 56.756756...% ya estuvo alguna vez de novio.

¿Cuántos son los que terminan a fin de año la secundaria?

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221 - ¿Cuántos terminan ?

220 - Curiosidad

+
+
+
+

11480² + 11481² + 11482² + 11483² + 11484²
--------------------------------------------------------------- = 2
8117² + 8118² + 8119² + 8120² + 8121²

Leido en The magic numbers of the professor, escrito por Owen O'Shea

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220 - Curiosidad

219 - Haciendo ejercicio en las vacaciones

Entre Mar del plata y Chapadmalal hay unos 24 km aproximadamente.
Martín está en Mar del Plata, en tanto que Joni y Sebi están en Chapadmalal.
La bicicleta la tienen Joni y Sebi.
Se sabe que cualquiera de los tres hace 6 Km. por hora caminando, en tanto que cada uno hace 18 Km. en una hora en bicicleta.
Joni y Sebi quieren ir a Mar Del Plata y Martín a Chapadmalal.
Si no puede ir mas de uno en la bicicleta y no la pueden dejar sola en el camino,

¿Cuál es el menor tiempo para que los tres lleguen a destino?

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219 - Haciendo ejercicio en las vacaciones

218 - Múltiplos consecutivos

Encontré cinco números consecutivos con la siguientes características : el primero es múltiplo de 5, el segundo es múltiplo de 7, el tercero es múltiplo de 9 , el cuarto es múltiplo de 11 y el quinto es múltiplo de 13.

¿Cuales son los menores números que cumplen estas condiciones?

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218 - Múltiplos consecutivos

217 - El promedio de su propia permutación

Tomemos un número de tres cifras. Por ejemplo el 370
Formemos todas las permutaciones posibles con estas tres cifras:

073
037
307
370
703
730

Sumemos estos números : 073+037+307+370+703+730 =2220
Saquemos el promedio : 2220/6= 370 obtenemos el número con el que empezamos

¿Con que otros números de tres cifras podemos hacer lo mismo ?

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217 - El promedio de su propia permutación

216 - Corriendo la media maraton

El año pasado corrí una media maraton de 22.5 Km.
Mientras me entrenaba, solía medir el tiempo en el cual corría el kilómetro y nunca pude bajar de los seis minutos . Si bien no era una gran velocidad me propuse bajar ese tiempo en el recorrido de la media maraton. Para eso les pedí a mis hijos y a mi señora que se pongan en cualquier parte del recorrido y registraran el tiempo en que hacía un kilómetro, ya que a medida que pasaba por la posta donde estaba alguno de ellos, iban en bicicleta un kilómetro y volvían a tomar el tiempo. Les pedí además que lo hicieran en varios puntos del recorrido y que se ocultaran para que yo no supiera cuando me estaban cronometrando.

Una vez terminada la carrera, me pasaron los datos y todos me dijeron que siempre recorrí el kilómetro en seis minutos exactamente.

Me sentí un poco decepcionado , pero contento de haber finalizado la media maraton.

Finalmente cuando salieron la planillas con los tiempos, me sorprendí gratamente al ver que en promedio había recorrido el kilómetro en menos de seis minutos.

¿Es eso posible? ¿Cómo?

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216 - Corriendo la media maraton

215 - Buena suerte, Mala suerte

Se dice que el 13 es el número de la mala suerte, en tanto que el 7 es el de la buena suerte.
Existen números como el 34117 que se puede expresar como la suma de dos cuadrados de por lo menos dos formas diferentes : 34117 = 166²+81² = 159² + 94² .
Ahora si tomamos el valor absoluto de la diferencia entre las distintos bases vemos que nos da 7 y 13 ( /166-159/=7 y /81-94/ = 13).
Entonces el 34117 sería un número neutro.

¿Cuál es el menor número neutro?

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215 - Buena suerte, Mala suerte

214 - Formar 100 con 1,7,7 y 7

¿Cómo formar 100 con un 1 y cuatro 7 ? - Le preguntaron a Camila
- Muy fácil, 177-77
-Si, si, pero la solución que busco no permite la concatenación de números y solo se puede usar la suma, la resta, la multiplicación, la división y los paréntesis.
-Ah, eso es mucho más difícil.

¿Quién ayuda a Camila?

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214 - Formar 100 con 1,7,7 y 7

213 - Euclides

Todos sabemos y sino se enteran ahora, que Euclides demostró que los números primos son infinitos. Su demostración es más o menos la siguiente :
Supongamos que el primo más grande conocido sea p, consideremos entonces el número Eu(p) = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × ... × p) + 1, el cual evidentemente no es divisible por ninguno de los primos menores a p, por lo tanto o bien es primo o bien es divisible por algún primo mayor a p.
En este último caso, pocas veces el primo mayor a p por el cual Eu(p) es divisible, es el primo siguiente a p.
Llamemos a los número Eu(p) como números Euclideanos.
En vez de los primos menores a p, Euclides podría haber usado todos los números menores a p y hubiera conseguido el mismo resultado , es decir p!+1 tampoco es divisible por ningún primo menor a p.

En base a estos números van estas preguntas :

a)¿Cuál es el menor primo p, para el cual Eu(p) no es primo?
b)¿Cuál es el menor primo p, para el cual Eu(p) es divisible por el primo siguiente a p?
c)¿Cuál es el menor primo p, para el cual p!+1 no es primo?

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213 - Euclides

212 - Primo ordenado

¿Cuántos primos de 6 cifras hay, tal que sus dígitos son todos distintos, estan ordenados de menor a mayor y la suma de los mismos es también un número primo?

Pd: ya que está diganme cuáles son.

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212 - Primo ordenado

211 - Años capicúas

Desde el año 1, ¿Cuál fue el período más largo sin que hubiera un año capicúa?

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211 - Años capicúas

210 - Aprendiendo a sumar

Cuando yo era chico mi papá inventó un juego para que practicara la suma.
Me daba un número por ejemplo el 6728, y me hacía sumar dos dígitos consecutivos y reemplazar la suma por los números originales, así el 6728 se transformaba en 13910 ya que 13(6+7)9(7+2)10(2+8), yo debía seguir haciendo estos reemplazos hasta que me quedara una sola cifra.

El 6728 pasaba por 13910, 412101, 53311, 8642, 14106, 5516, 1067, 1613, 774, 1411, 552, 107, 17 y 8. es decir que el 6728 "duraba" 14 vueltas. Con este juego mi papá me mantenía mucho tiempo entretenido y de paso me hacía practicar la suma.

Lo curioso es que hay algunos números menores que duran mucho más que otros mayores. Así por ejemplo hay números menores al 6728 que duran 15,16,17,18,19,20,21,22, 26 y 27 vueltas.

Lo que se pide es encontrar cuales son los menores números que duran esa cantidad de vueltas (o por lo menos algunos)

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210 - Aprendiendo a sumar

209 - ¿Cuántos?

¿Cuántos números hay entre 1 y 10000, que la suma de sus dígitos da exactamente 9 ?

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209 - ¿Cuántos?

208 - Yo soy tu cuadrado, tu eres mi cuadrado

El otro día Gustavo me dijo :
-Conozco dos números diferentes, cada uno de los cuales es el cuadrado del otro.
-Es eso posible ? - le pregunté - porque yo conozco el uno que es cuadrado de si mismo, pero ¿distintos?
-Si, si, claro, hay que ser imaginativo
-¿Imaginativo o imaginario ?
-Más bien imaginario - me dijo.

¿Qué dos números diferentes son uno cuadrado del otro?

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208 - Yo soy tu cuadrado, tu eres mi cuadrado

207 - ¿Qué hora era?

El otro día me detuve ante la vidriera de una relojería. Estaban expuestos cuatro hermosos relojes, el problema era que cada uno exhibía una hora diferente, así el cucú marcaba las 10:03, el de dama marcaba las 9:57, el de pared las 9:54 y el de hombre marcaba las 10:02. Cuando miré mi reloj, que marcaba la hora exacta, me dí cuenta que ninguno de los relojes de la vidriera marcaba la hora correcta, ya que el verde tenía un error de 2 minutos, el plateado un error de 3 minutos, el negro un error de 4 minutos y por el último el blanco tenía un error de 5 minutos.

Conociendo estos datos, ¿alguien me podría decir que hora era?

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207 - ¿Qué hora era?

206 - Jugando a la ruleta rusa

Suponga que usted es atrapado por una mafia vietnamita que lo hace jugar a la ruleta rusa contra otro "voluntario", mientras ellos se divierten haciendo apuestas. Para ello usan un revólver para seis balas con una recámara de esas que giran y se usaba en el Far-West.

En un primer momento ponen una sola bala, giran la recámara y se la ponen a uno de los participantes, luego de gatillar y antes ponérsela al segundo de los participantes, tienen un gesto de bondad y le preguntan a éste si prefiere que se vuelva a girar la recámara o que se gatille directamente.

a) Suponga que en esta rueda usted es el segundo, ya han gatillado sobre el primero y la bala no salió, usted que pediría, ¿que se giré la recámara o no?

b) Luego de varias vueltas en la que no pasó nada, la mafia quiere ver un poco de acción y decide usar dos balas, en un primer momento las ponen en la recámara una al lado de la otra.
En estas circunstancias, ¿ qué elegiría usted después de que hayan gatillado sobre el otro voluntario, que gatillen directamente o que giren primero la recámara?

c) Nuevamente no hubo acción y entonces los muchachos cambian una de las balas de lugar poniendo las dos balas separadas una de la otra.
¿Qué elegiría usted cuando sea segundo, ¿Qué giren la recámara o no?

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206 - Jugando a la ruleta rusa

205 - ¿Dónde va el catorce?

La cuestión es esa, ¿Dónde pondrían el catorce y por qué?


1-2
----3---6-8-10-11-12
-------5-7-9------------13
-----4

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205 - ¿Dónde va el catorce?

204 - Formar 2009

Sin cambiar de lugar ningun número y colocando solo paréntesis, simbolos de resta y de multiplicación formar 2009 . No se puede concatenar números, es decir no se puede usar 12, 123, 3456, 78 , etc. (No hay trampa)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 2009

Pd: se puede usar la nueva calculadora que aparece abajo de todo en esta página que va mostrando el resultado mientras se hace la cuenta. Además permite usar variables y hacer conversiones entre otras utilidades.

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204 - Formar 2009

203 - Carrera de caballos

Tu misión es encontrar los tres caballos más rápidos de un grupo de veinticinco.
No tienes un cronómetro.
Solo puedes realizar carreras de hasta cinco caballos al mismo tiempo.
No hay empates.
Todos los caballos tienen velocidades diferentes.
Un caballo más veloz siempre le gana a otro mas lento.

¿Cuál es el mínimo número de carreras que debes hacer para decirme con certeza cual es el caballo más rápido, cual es el segundo y cual es el tercero de esos 25?

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203 - Carrera de caballos

202 - Facilitos II

a)¿Qué número da el mismo resultado al sumarle 5/4 que al mutiplicarlo por 5/4?

b) Ordenar los digitos del 0 al 9 en tres operaciones matemáticas (usando tres de las cuatro operaciones básicas,+,-,x,/)

Por Ej:
3 + 4 = 7 . . 9 - 8 = 1 .. 5 X 6 = 30

Claro que en este ejemplo falta el 2 y se repite el 3

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202 - Facilitos II

201 - Una nueva fórmula para generar números primos.

Algunas expresiones simples sorprendentemente pueden generar una gran cantidad de números primos. Es bien conocida la fórmula x²+x+41 que genera números primos cuando x toma los valores desde el cero hasta el 40. Otra fórmula simple es x²+x+17 que genera primos si x va desde 0 a 15. Sin embargo encontrar algún polinomio que genere primos para cualquier valor de x nunca dio frutos, inclusive los matemáticos ya probaron que no existe una expresión polinómica con coeficientes enteros que genere solo valores primos.

Jeffrey Shallit un profesor de la universidad de Waterloo y editor de "the Journal of Integer Sequences" publicó en su blog la fórmula recursiva del estudiante Eric Rowland para generar números primos.

La fórmula es la siguiente:
Se define como a(1)=7
Para los n mayores o iguales a 2, a(n)=a(n – 1) + mcd(n, a(n – 1)) donde mcd = Máximo
común divisor.
Así por ejemplo : a(1) = 7, a(2) = a(1) + mcd(2, 7) = 7 + 1 = 8.
El generador de primos es entonces a(n) – a(n – 1).
Los números resultantes son los llamados primeras diferencias de la secuencia original.

Los primeros 23 valores de la secuencia son :
7, 8, 9, 10, 15, 18, 19, 20, 21, 22, 33, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 69
En tanto que sus diferencias son :
1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 23

Si se ignoran los unos, se ve que la fórmula de Rowland genera los primos 5, 3, 11, 3(otra vez) y 23. Continuando el proceso y eliminado los duplicados, la fórmula genera la siguiente secuencia : 5, 3, 11, 23, 47, 101, 7, 13, 233, 467, 941, 1889, 3779, 7559,15131, 53, 30323, . . .
Rowland describió su fórmula en el blog "A New Kind of Science", él explica que genero su fórmula en el colegio donde los participantes estaban desarrollando sistemas
computacionales que exhiban un comportamiento interesante.
Esta fórmula produce el primo p después de generar (p – 3)/2 1s. Por lo tanto le lleva mucho tiempo a esta fórmula generar primos grandes.
Recientemente un matemático francés Benoit Cloitre probó que poniendo b(1) = 1 y b(n) = b(n – 1) + mcm(n, b(n – 1)) para n mayor o igual a 2, b(n)/b(n – 1) – 1 es 1 o primo.


Sacado del blog "The mathematical Tourist"

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201 - Una nueva fórmula para generar números primos.

200 - Combinando primos

Una maestra decidió utilizar para enseñar en la escuela, unas tarjetas en las que escribió todos los números primos hasta el 97, poniendo un cero delante de los de una cifra

(02 03 05 07 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97).

Para que los chicos pudieran estudiarlos y memorizarlos les pidió que juntaran cinco de esas tarjetas de forma tal que no hubiera dígitos repetidos entre las cinco tarjetas.

¿Cuántas combinaciones posibles son las que se pueden hacer con esos requisitos?

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200 - Combinando primos

199 - Diseccionando Primos

¿Cuál es el menor primo de 6 dígitos que si lo subdividimos en cadenas de 2 o 3 cifras da todos números primos diferentes?

Por ejemplo en 113131 son primos 11, 13, 31,113, 131 y 313 pero repiten el 13, el 31 y el 131
Los primos se pueden ver en prime numbers

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199 - Diseccionando Primos

198 - Trabalenguas

Encontrar dos números (de mas de una cifra cada uno) cuyo producto es el reverso del producto de los reversos de esos dos números.

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198 - Trabalenguas

197 - Dos Facilitos

a) ?? x ? = ???
Reemplazar cada ? con un dígito distinto del 1 al 6 para que la operación sea la correcta

b)En un exámen se otorgan 10 puntos por cada respuesta correcta y se restan 5 por cada incorrecta, si Nico contestó 20 preguntas y sacó 125 puntos,

¿Cuántas preguntas contestó bien Nico?

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197 - Dos Facilitos

196 - Cuadrados dislexicos

Los números trece y catorce presentan una curiosa particularidad, si elevamos 13 al cuadrado nos da 169, ahora si tomamos el último dígito (9) de este cuadrado y lo colocamos en el centro, nos da 196 que es el cuadrado de 14.

¿Cuáles son los próximos números consecutivos que presentan esta misma propiedad?

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196 - Cuadrados dislexicos

195 - Sandwiches para toda la vida

Un amigo mío tenía un barcito que no funcionaba muy bien, decidió entonces hacer una publicidad atractiva para atraer clientes, para ello llamó a un amigo que sabía de matemáticas y le dijo que tenía muchos ingredientes para hacer sandwiches, pero no sabía cuántas combinaciones posibles podía hacer con ellos. El matemático hizo una serie de cuentas y después de un momento dijo :
- Mirá, con los ingredientes que vos tenés podés hacer 32767 combinaciones diferentes de sandwiches.
- Tantos?- le preguntó mi amigo
-Así es, 32767 sandwiches distintos.

Mi amigo se puso recontento y puso un cartel que decía:

"Gran variedad de sandwiches, aquí se puede comer 32767 sandwiches distintos"

¿Con cuántos ingredientes se pueden hacer 32767 sandwiches distintos?

Por ejemplo con tres ingredientes (jamón, tomate y queso) podemos hacer siete sandwiches distintos: 1.Jamón 2.tomate 3. queso 4.jamón y tomate 5.jamón y queso 6.queso y tomate y 7. jamón, queso y tomate

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195 - Sandwiches para toda la vida

194 - Sumando los propios dígitos

¿Cuál es el número que si le sumamos la suma de sus propios dígitos nos da 1000000000?

¿Existe algún número que al sumarle la suma de sus dígitos nos da 1000000?

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194 - Sumando los propios dígitos

193 - Maraton por equipos

El otro día se corrió una maraton por equipos. Participaron 10 equipos de cinco corredores cada uno. A cada corredor se le otorgaba un puntaje igual al puesto en que llegaba a la meta. Así el primero recibía un punto, el segundo dos, etc. El equipo con menor puntaje era el ganador de la carrera.
Sabiendo que que no hubo empate en el primer puesto,

¿Qué cantidad de puntajes diferentes pudo haber tenido el equipo ganador?

Ejemplos de puntajes ganadores 1+2+3+4+5 =15, 1+3+4+5+6=19 ,etc

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193 - Maraton por equipos

192 - La fiesta de los números II

Estaban en la fiesta de los números, seis números sentados en una mesa redonda. Cuando yo la vi no noté que tuviera ninguna condición en especial.
- ¿Cuál es la particularidad que tienen ustedes ?- les pregunté
- Es muy fácil - me dijeron - somos el grupo del 21
-¿ Y eso que quiere decir?
-Mirá, si nos consideras de uno, o si nos sumas de a pares, de a tres, de a cuatro o a los cinco juntos, sumamos todos los números desde el 1 al 21. Claro que los pares, tríos y cuartetos sumados deben ser de números sentados uno al lado del otro.

¿Qué números eran y como estaban sentados?

Los números no deben ser todos distintos, pero pueden serlo.

Hay una solución también para Cinco números.

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192 - La fiesta de los números II

191 - Múltiplos de 12

Usando los números de l al 5 una sola vez cada uno, pueden formarse muchos números distintos de 5 cifras.

¿Cuántos de dichos números son multiplos de 12?

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191 - Múltiplos de 12

190 - Repunit

Un número formado solo por unos es llamado repunit.( Por ej: 11,111,1111 ,11111, etc)

¿Cuál es el menor repunit múltiplo de 63?

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190 - Repunit

189 - Números compañeros

Como los números amigos ya existen, inventemos los amigos compañeros.
Los definimos como aquellos pares de enteros positivos diferentes tales que cada uno de ello es igual al cuadrado de la suma de los dígitos del otro y viceversa,

¿Alguien conoce algún par de números compañeros?

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189 - Números compañeros

188 - Máquina tragamonedas

El otro día me encontré con Sebastián que es un programador de máquinas tragamonedas. Me contó que estaban por sacar una máquina especial.

- ¿Cómo funciona?
- Primero el apostador elige un número que esté entre dos y ocho, llamado multiplicador, para saber por cuanto se va a multiplicar la apuesta.
- Luego, al girar la palanca, la máquina genera un número de cuatro cifras al azar, se evalúan los números y si la combinación es ganadora, el apostador gana.
- ¿Y cuál es el truco?- le pregunté
_ Es fácil _ me dijo - primero hay que saber que la máquina no usa el cero para generar los números y si se genera algún cero como consecuencia de la multiplicación, no paga nada.

La máquina solo paga cuando se da una de estas tres combinaciones:
1) Para que pague lo que uno apostó, el número de cuatro cifras debe tener todos los dígitos distintos.

2) Para que la multiplique por el multiplicador no solo debe tener las cuatro cifras distintas, sino que el producto debe tener 5 cifras y todas ellas deben ser distintas y además deben ser distintas a las del número de cuatro cifras.Es decir que entre el primer número de 4 cifras más las del segundo deben estar todos los dígitos del 1 al 9 una sola vez.

3)Para obtener el premio mayor deben darse las mismas condiciones que en 2 pero el número de cuatro cifras debe ser primo

O sea que para ganar el premio mayor deben darse las siguientes condiciones:
a. El número de cuatro cifras debe tener todas las cifras distintas (sin cero)
b. Este número debe ser primo
c. y al ser mutiplicado por el multiplicador debe dar un número de 5 cifras con todos los dígitos diferentes entre si y además deben ser diferentes a los dígitos del de 4 cifras.

- Pero, hay posibilidad de que eso ocurra?
- Más de las que vos crees

Me quedé pensando en las posibilidades de ganar el premio mayor y por eso les pregunto :

¿Cuántas y cuáles combinaciones permiten ganar el premio mayor?
¿Qué curiosidad presentan estas combinaciones? (con respecto al multiplicador)

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188 - Máquina tragamonedas

187 - La radio del volksvy

6833² = 46689889, y
4 * 6 + 6898 - 89 = 6833.

Los que hemos nacido hace ya algún tiempo tuvimos en su momento en el auto las radios que tenían tanto AM como FM en un mismo visor.
La que yo tenía en un viejo VW 1500, iba desde el 88 al 108 MegaHertz en la FM y de 55 a 160 KiloHertz en AM, es decir que el 88 de la FM coincidía con los 55 de la AM, y el 108 de la FM coincidía con el 160 de la AM.
Ahora bien, resulta que un día se me rompió el dial en un determinado punto de la FM en la que había una estación, como no podía cambiar el dial estaba condenado a escuchar dicha emisora constantemente. Pero un día uno de mis hijos me preguntó ¿porqué no la pasas a la AM y así tenés otra emisora para escuchar? Le hice caso y casualmente había una radio justo en ese punto del dial de la AM. Lo realmente curioso era que los valores de los KiloHertz de la AM eran exactamente los mismos que los MegaHertz de la emisora de la FM que yo escuchaba.

¿En que valor de la sintonía se me rompió la radio?

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187 - La radio del volksvy

186 - Primer Primo

Aquí va una pregunta para que tratemos de responderla entre todos, ya que yo no estoy seguro de si tengo la respuesta correcta :

Ya tenemos el primer número en nuestro diccionario : Catorce,
Ya tenemos el primer número impar del diccionario : Catorce billones catorce mil ciento cinco, pero

¿Cuál será el primer primo en el diccionario? Catorce billones .... cuánto?

Pd: El que yo tengo, lo probé con el gadget que dice "averigua si un número es primo", que está acá la izquierda, debajo de la calculadora.

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186 - Primer Primo

185 - Semana Fahrenheit V

19683 = 1 * (9 - 6)⁸ * 3

Nuestro amigo el Rey Yer, amante de los capicúas, también esta interesado en los grados Fahrenheit y por eso pregunta :

¿Qué temperaturas menores a 1000°C son capicúas cuando se expresan tanto en grados Celsius como en grados Fahrenheit ?

Solo valores hasta 1000° C

Fórmula para pasar de Celsius a Fahrenheit : F = 1.8 x C + 32
Fórmula para pasar de Fahrenheit a Celsius : C = (F-32)/1.8

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185 - Semana Fahrenheit V

184 - Semana Fahrenheit IV

19453 = 19 * 4⁵ - 3

Gustavo, mi primo que vive en Miami, tiene en frente de su casa un cartel que marca tanto la temperatura en grados Fahrenheit como en grados Celsius (Sin decimales en ambos casos).
Ocurre que un día templado de primavera cuando salió por la mañana temprano se dio la casualidad que la temperatura en grados Fahrenheit que marcaba el cartel era el inverso del que marcaba en grados Celsius. Cuando volvió por la tarde, que ya hacia un poco más de calor, volvió a mirar el cartel y nuevamente el valor en grados Fahrenheit era el inverso del que marcaba en grados Celsius.

¿Que temperatura había por la mañana y cuál era la que había por la tarde?

Fórmula para pasar de Celsius a Fahrenheit : F = 1.8 x C + 32
Fórmula para pasar de Fahrenheit a Celsius : C = (F-32)/1.8

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184 - Semana Fahrenheit IV

183 - Semana Fahrenheit III

18432 = 18 * 4³⁺²

En frente de la casa de mi primo Gustavo que vive en Miami, hay un termómetro que marca la temperatura tanto en grados Fahrenheit como en grados Celsius. Hay pocas veces en que la temperatura en Fahreinheit es un múltiplo de la expresada en Celsius.

¿Qué temperaturas son las que cumplen con estas premisas?

Fórmula para pasar de Celsius a Fahrenheit : F = 1.8 x C + 32
Fórmula para pasar de Fahrenheit a Celsius : C = (F-32)/1.8

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183 - Semana Fahrenheit III

182 - Semana Fahrenheit II

17536 = 1 + 7⁵ + 3⁶

Este problema es el inverso del que que planteé el día de ayer :

¿Qué temperatura en grados Celsius se transforma en grados Fahrenheit con solo pasar el primer dígito al último lugar?

Fórmula para pasar de Celsius a Fahrenheit :° F = 1.8 x °C + 32
Fórmula para pasar de Fahrenheit a Celsius :° C = (°F-32)/1.8

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182 - Semana Fahrenheit II

181 - Semana Fahrenheit I

16875 = 1 * 68 + 7⁵

Además de los grados Celsius que se usa en la mayoría de los países existen otras escalas para medir la temperatura. Una de ellas es la de los grados Fahrenheit.
Esta semana les propongo una serie de acertijos que utiliza esta escala y las transformaciones a grados Celsius.

La pregunta de hoy es :

¿Qué temperatura en grados Celsius se transforma en grados Fahrenheit con solo pasar el último dígito al primer lugar?

Por ejemplo si la temperatura fuera abcd en °C = dabc en °F
Fórmula para pasar de Celsius a Fahrenheit : F = 1.8 x C + 32
Fórmula para pasar de Fahrenheit a Celsius : C = (F-32)/1.8

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181 - Semana Fahrenheit I

180 - ¿Qué relación hay entre Phi y Pi ?

Si tomamos el número áureo phi (1.618033989... =( raíz de cinco + uno )/2) y lo elevamos a la 25 obtenemos aproximadamente 167761 que es un número capicúa, este número se puede factorear como 11 x 101 x 151 (todos factores capicúas) y los productos de estos factores tomados de a dos da 1111, 1661 y 15251 (todos capicúas también). Ahora si dividimos 167761 por 53400 obtenemos una aproximación bastante cercana de Pi.

Entonces Phi elevado a la 25 dividido por 53400 nos da aproximadamente pi.

Sacado del libro "The geometry of God" de John Prophet

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180 - ¿Qué relación hay entre Phi y Pi ?

179 - La población de Blotnia

16447 = - 1 + 64 + 4⁷

=¿Cuál era la población de Blotnia cuando naciste?, le preguntaron a Herman
= Es un número muy especial, ya que los primeros digitos forman un número que es el doble del que forman los últimos dígitos.
=Pero hay millones de esos números, el 21, el 189, el 3618, el 14874, etc, etc.
= Si, pero éste número tiene la particularidad de tener cinco digitos.
= Bueno, pero igual hay muchisimos números que cumplen con esas dos condiciónes.
=Si, pero te doy otro dato, actualmente, 86 años después, la población de Blotnia se triplicó y tiene un número cuadrado de habitantes. =dijo Herman.

¿Cuál era la población de Blotnia?

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179 - La población de Blotnia

178 - El Rey Yer II

16384 = 16³ * (8 - 4)

El Rey Yer, amante de los capicúas, decidió construir sobre un terreno con forma de triángulo rectángulo un parque de diversiones. Los lados no deberían tener menos de 100 ni más de 999 metros y debían tener una cantidad entera de metros. Obviamente que el Rey puso como condición que el área fuera un número capicúa.

¿Qué dimensiones tenía ese terreno?

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178 - El Rey Yer II

177 - El rey Yer I

16377 = (1 + 6 - 3)⁷ - 7

El rey Yer, como su nombre lo indica, era un amante de los números palíndromos (capicúas).
Es por eso que organizó un concurso para hacer su castillo y propuso que le daría una suculenta suma a aquél que diseñara su castillo en un lote rectangular, con lados de hasta 999 metros, de forma tal que el área sea la mayor posible y por supuesto capicúa.

¿De que tamaño harías el lote del Rey?

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177 - El rey Yer I

176 - La edad del nieto

555555577777 es primo
Son 7 cincos seguidos de 5 sietes

-¿Cuántos años tiene tu nieto, Alfredo?
-Es fácil, los dos tenemos dos dígitos y el producto de mi edad por la de él, da un número con todos los dígitos iguales.

¿Cuántos años tiene Alfredo? ¿Y el nieto?

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176 - La edad del nieto

175 - Ordenando los romanos II

Supongamos que esta vez ordenamos alfabéticamente los números romanos desde el 1 hasta el 3999 (que es el último que usa solo letras)

, ¿Cuál sería el primero que aparecería en la misma posición que su valor?
¿Y el primer primo que aparecería en la misma posición que su valor?

Hay catorce números que aparecen exactamente en la posición correspondiente a su valor.

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175 - Ordenando los romanos II

174 - Cada cuanto

8202⁴ = 4525630158022416, y
4² + 5² + 2² + 56² + 30² + 1² + 58² + 0² + 22² + 4² + 16² = 8202.

Según una estadística en E.E.U.U. nace un niño cada 8 segundos, muere una persona cada 13 segundos y entra un inmigrante cada 25 segundos.
Basado en estos datos hay que determinar cada cuanto tiempo (redondeando a centésima de segundo) la población de E.E.U.U. aumenta en una persona.

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174 - Cada cuanto

173 - Mayor y menor producto

8209³ = 553185473329, y
5² + 5² + 3² + 1² + 85² +4² + 7² + 3² + 3² + 29² = 8209

Usando los digitos del 1 al 9 una sola vez cada uno, formar tres números de tres dígitos de forma tal que :

a) El producto sea el menor posible.
b) El producto sea el mayor posible.

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173 - Mayor y menor producto

172 - Probabilidad Pandigital

6×7 = 42
66×67 = 4422
666×667 = 444222
6666×6667 = 44442222

¿Cuál es la probabilidad de que un número pandigital sea múltiplo de 11?

Número Pandigital es aquél que tiene cada uno de los diez digitos una sola vez, por ejemplo 2.013.465.789

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172 - Probabilidad Pandigital

171 - Problemas similares Parte II

8 – 3 = 5 8² – 3² = 55
78 – 23 = 55 78²– 23² = 555
778 – 223 = 555 778² – 223²2 = 5555

Usando dos veces cada uno de los dígitos del 0 al 9 formar números primos de forma tal que la suma de estos primos sea la menor posible.

Por ejemplo 2 + 23 + 89 + 109 + 463 + 487+ 557+ 601 = 2331

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171 - Problemas similares Parte II

170 - Problemas similares Parte I

65² – 56² = 33²
6565² – 5656² = 3333²
656565² – 565656² = 333333²

Usando los digitos del 0 al 9 (una sola vez cada uno) formar números primos de forma tal que la suma de estos primos sea la menor posible.

Un ejemplo sería : 7 + 281 + 409 + 563= 1260, claro que el valor no es el menor que se puede lograr.

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170 - Problemas similares Parte I

169 - Máxima divisibilidad

67² = 4489
667² = 444889

¿Cuál es el mayor número, que teniendo todos sus dígitos diferentes (no siendo ninguno el cero), es divisible por cada uno de estos dígitos ?

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169 - Máxima divisibilidad

168 - Nuevo castigo matemático 7

x² - 81x + 1681
Con x = 1 al 81 siempre nos da un primo

Inspirado en aquellos reyes amantes de los castigos para aquellos que no saben matemáticas, un rey propuso el siguiente castigo:

Decir con cuantos ceros termina :

1!x2!x3!x4!x5!.....x98!x99!x100!

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168 - Nuevo castigo matemático 7

167 - Números encuadrados

x² - 79x + 1601
Con x =1 al 79 obtenemos un primo

Encontrar dos números distintos cuya suma es un cuadrado, la suma de sus cuadrados es un cuadrado y la suma de sus cubos es un cuadrado.


Se pide los menores valores posibles.

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167 - Números encuadrados

166 - Pocos festejos

15698 = 1 + 5⁶ + 9 * 8

Marta cumplía años y decidió hacerlo en un salón. Para ello fue con Carlos, su marido, al salón de Daniel. Una vez que hubieron hablado sobre los costos, Carlos le preguntó a Daniel como le había ido este mes con el salón.
Como Daniel sabía que Carlos era aficionado a los acertijos le respondió lo siguiente:
- Mirá, con esto de la gripe porcina, solo hicimos tres fiestas de cumpleaños.
Y el producto de los años de los tres cumpleañeros es 2450, y la suma es el doble de los años que cumple Marta.
_Hmm, _ contestó Carlos _ con esos datos, no puedo sacar la edad de los cumpleañeros.
_ Ah, pero me olvidé de decirte que yo era más joven que al menos uno de los cumpleañeros.
_Pero no conocemos tu edad_ dijo Marta
_ No importa... _ dijo Daniel

¿Cuál es las edad de cada uno de los cumpleañeros, la edad de Marta y la edad de Daniel?

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166 - Pocos festejos

165 - Multiplos engrillados

15688 = -1 + 5⁶ + 8 * 8

Colocar los números del 1 al 9 en una grilla de 3x3, de forma tal que cada número esté rodeado por números cuya suma sea múltiplo del número rodeado.

Por ejemplo en la siguiente grilla:

152
863
749

El cinco está rodeado por el 1, 8, 6, 3 y el 2 cuya suma es múltiplo de cinco : 1+8+6+3+2 = 20 .
El dos está rodeado por el 5, 6 y el 3 cuya suma es múltiplo de dos : 5+6+3 = 14.
Pero en este caso hay varios números que no están rodeados por números cuya suma es un múltiplo de ellos, por ejemplo para el: 9, 4+6+3= 13, que no es múltiplo de 9. Lo mismo para el 6,3,4,etc

Yo encontré una sola solución y sus rotaciones, por eso les pido la que tenga en el extremo superior izquierdo el número de menor valor.

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165 - Multiplos engrillados

164 - Números honestos

15667 = 1 * 5⁶ + 6 * 7

En la página de Erich Friedman se describe lo que él llama, números honestos.
Los define como aquellos números N que se pueden describir usando exactamente N letras
Se define H(n) como el número de honestidad de N, el número de maneras diferentes en que N puede ser descrito con N letras.Aparentemente en Inglés todo número mayor que 13 es honesto.
Un número es altamente honesto si H(N)=N
También define L(n) como el número letra de n, o sea el mínimo número de letras necesarias para describir a n. Si L(n) es menor que el número de letras en el nombre de n, se dice que n es un derrochador.
Por ejemplo 24 = "veinticuatro" tiene 12 letras, en tanto que "dos docenas" tiene 10, por lo tanto 24 es un derrochador, en tanto si L(n) es mayor que el número de letras de n se dice que el número es ahorrador (por ejemplo en castellano, cien, mil, un millón)

Como la página está en inglés, los ejemplos que allí se ponen no sirven para los que hablamos español. Aquí les pongo algunos ejemplos de números honestos que yo encontré :

1 I
2 II
3 III
4 Un IV (coki)
5 Cinco
6 Un seis
7 Un siete
8 Es un ocho
9 Es un nueve
10 Dos mas ocho
11 Nueve mas dos
12 Nueve mas tres
13 Un diez mas tres
14 Un uno y un cuatro
15 Catorce mas un uno
16 Cuatro al cuadrado
17 Veinte menos un tres
.....Una docena mas cinco
18 Sumar nueve mas nueve
19 Veintiuno menos el dos
20 Es dos por siete más seis.

¿A alguien se le ocurre otros ejemplos de estos o de otros números?
¿Y ejemplos de números derrochadores?

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164 - Números honestos

163 - Boletos capicúas

15662 = 1 + 5⁶ + 6²

El otro día uno de mis hijos fue al cine con tres amigos.
Como sabe que yo estoy haciendo un blog sobre matemáticas, cuando volvió me dijo lo siguiente:
_ Sacamos cuatro entradas, todas tenían un número de seis cifras.
_ Los cuatro números eran consecutivos
_ Los últimos cuatro dígitos del primer número formaban un número capicúa.
_ Los últimos cinco dígitos del segundo ticket formaban un número capicúa.
_ Los dígitos que van desde el segundo dígito hasta el quinto (inclusive) de la tercera entrada formaban un número capicúa.
_ La ultima entrada era un número capicúa

¿Cuáles eran los números de las entradas?

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163 - Boletos capicúas

162 - Sumar mil

15656 = 1 + 5⁶ + 5 * 6

Hay siete formas distintas de sumar 12 usando tres números enteros positivos y distintos:

1+2+9
1+3+8
1+4+7
1+5+6
2+3+7
2+4+6
3+4+5

No está permitido : 2+5+5 ó 1+2+3+6, deben ser tres números y todos distintos.

¿Cuántas formas distintas hay de sumar tres números enteros positivos distintos que sumen 1000?

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162 - Sumar mil

161- Primo palíndromo binario

15655 = 1 * 5 * (6 + 5⁵)

Existen pocos números que son capicúas tanto cuando se escriben en sistema decimal como cuando se escriben en sistema binario. Pero aún son menos los que además son primos y la representación binaria tomada como número decimal también es un número primo.

¿Cuáles son los números primos capicúas, cuya representación binaria también es capicúa y estos números tomados en el sistema decimal también son primos?

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161- Primo palíndromo binario

160 - Un problema familiar

15645 = 1* 5⁶ + 4 * 5

Si Diego tiene tantos meses como su abuelo años, y tantos días como su padre semanas y sabiendo que entre los tres suman 140 años, ¿Cuántos años tiene cada uno?

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160 - Un problema familiar

159 - Un ejercito de cuadrados

15642 = 1 + 5⁶ + 4²

Según las leyes de cuadradolandia, el ejército debía tener una cantidad de soldados tal, que pudiera ser dividido en dos grupos, cada uno de los cuales fuera un cuadrado perfecto. Así en un principio el ejercito tenía dos soldados ya que 2=1+1, luego pasó a tener cinco soldados de forma tal que podía dividirse en un grupo de 1 y en otro de 4. Es decir que había pasado de dos soldados a cinco, o sea que hubo una incorporación de tres soldados. A medida que el país crecía, aumentaba el ejército.
En un momento, cuando el ejército ya havbía pasado los cien soldados, se dio la circunstancia de que tuvo dos aumentos consecutivos de un solo soldado y siguió respetando la ley. Claro que después ocurrió esto varias veces, pero lo extraño fue una vez en la que incorporó primero un soldado, luego uno más, al poco tiempo incorporó seis soldados y luego otra vez uno, y por último uno más. Sabiendo que el ejército nunca tuvo más de 1000 soldados y siempre respetó la ley,
¿Cuál fue la primera vez que tuvo dos incorporaciones seguidas de un solo soldado (teniendo más de 100), y cuando ocurrió el hecho extraño de dos seguidas de un soldado, una de seis y después dos consecutivas de uno?

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159 - Un ejercito de cuadrados

158 - Una forma extraña de multiplicar

15632 = 1 + 5⁶ + 3 * 2

La maestra le pidió a Javier que multiplicara dos números de tres cifras.
Javier escribió los números de la siguiente manera :

abc
x def
------

y multiplicó ad x be x cf, la maestra le iba a poner una mala nota, cuando de repente se dio cuenta que el resultado era el correcto. La maestra le explicó que lo que estaba haciendo estaba mal aunque el resultado fuera el correcto y para demostrárselo le dio otro dos números de tres cifras y Javier utilizó el mismo método, volviendo a obtener el resultado correcto, la maestra no sabiendo que decir le dio una última oportunidad diciéndole que hiciera la cuenta como corresponde yporque si le daba mal la respuesta le iba a poner un uno. Le dio pues otros dos números de tres cifras y Javier como era muy obstinado volvió a hacer las cuentas como el sabía. Obviamente que por tercera vez obtuvo el resultado correcto, la maestra como no sabía que decirle lo mandó a sentar.

¿Cuáles son los tres pares de números de tres cifras que pueden multiplicarse con el sistema de Javier ?

Pd : abcdefg no tienen que ser obligatoriamente distintos

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158 - Una forma extraña de multiplicar

157 - Sumando digitos

15626 = 1 + 5^6*2-6

Tomemos los números desde el 0 al 999 y sumemos sus dígitos.
Los primeros resultados serían :0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1(para el 10 = 1+0), 2 (para el 11 = 1+1) ,3 (para el 12 = 1+2), etc.
Es fácil de ver que de todos los resultados se obtendrá un solo cero y tres unos (del 1,10 y 100).
Lo que no es tan fácil de ver es cuál el resultado que aparecerá más veces, y que números aparecerán un número primo de veces , por eso pregunto:

a) ¿Cuáles son los dos números que aparecen más veces y cuántas veces aparece cada uno?
b) Aparte del uno (que aparece tres veces), ¿qué otros números aparecen un número primo de veces?

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157 - Sumando digitos

156 - cinco con solo dos dos

Una pregunta simple :
¿Es posible obtener 5 como resultado, usando una calculadora y solo dos 2?
Se puede usar todas las otras funciones de la calculadora menos la de los números

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156 - cinco con solo dos dos

155 - Primos digitales

15624 = 1 + 5⁶ + 2 - 4

El otro día estuve en una reunión de amigos. Después de comer y divertirnos un rato, Iñaqui se paró y dijo que se tenía que ir.
-¿Ya te vas ? -le preguntamos
-Si, mañana tengo muchas cosas que hacer
_ ¿Pero qué hora es?
_ Es una hora muy interesante_ nos dijo_ , si la miramos en un reloj digital de esos que marcan desde las 00:00 hasta las 23:59, veremos un número primo, que casualmente es la cantidad total de números primos que se pueden ver en esos relojes.

¿A qué hora se fue Iñaqui?

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155 - Primos digitales

154 - La fábrica de pesas

15623 = -1 + 5⁶ + 2 - 3

Alfredo tiene una fábrica de pesas. En un principio fabricaba solo pesas de un gramo, luego las mandaba etiquetar a otra planta, y cuando las pesas volvían las empaquetaba y las vendía. Como todas las pesas eran de un gramo no necesitaba volver a pesarlas para ver si estaban bien etiquetadas. Con el tiempo también empezó a fabricar pesas de dos gramos que en apariencia eran iguales a las de un gramo. Si bien mandaba a etiquetar las pesas en cajas separadas. cuando éstas volvían, para hacer el control de calidad, con una sola pesada en una balanza de dos platillos le alcanzaba para diferenciar las pesas de un gramo de las de dos y ver si estaban bien etiquetadas.
Ponía una pesa etiquetada con un uno en el platillo izquierdo, y en el platillo derecho ponía una etiquetada con el dos, si estaban bien etiquetadas la balanza se inclinaba hacia la derecha. De esa forma con una sola pesada sabía si las pesas fueron bien etiquetadas.
1 < 2

Cuando empezó a fabricar la de tres gramos necesitó dos pesadas:

a. 1+2 =3 En ésta pesada verificaba la de tres gramos
b. 1 < 2 En ésta pesada verificaba la de uno y la de dos gramos

Si algunas de las pesadas no le daba como esperaba, sabía que las pesas estaban mal etiquetadas.
La cosa se le complicó cuando empezó a fabricar la de 4 gramos, pero después de pensarlo un poco logró resolver el problema haciendo solo dos pesadas.
Como la empresa siguió expandiéndose, pasó a fabricar respectivamente seis y luego diez pesas, todas del mismo tamaño y aspecto. Para el control de calidad del etiquetado solo necesitaba tres pesadas tanto para seis, como para diez pesas.
¿Cuáles eran las dos pesadas que tenía que hacer cuando fabricaba las pesas de 1, 2 ,3 y4 gramos?
¿Y cuáles las tres para cuando fabricaba las de 1, 2, 3, 4 ,5 y 6 gramos ?
¿Y las tres para las de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y 10?

Para que sea más claro: solo le interesaba saber si estaban bien etiquetadas, si alguna estaba mal etiquetada no le interesaba saber cuál era.

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154 - La fábrica de pesas

153 - Exámen sorpresa

15622 = 1 + 5⁶ - 2 - 2

Cansado del descontrol que era la clase, el profesor de matemáticas decidió tomar un exámen sorpresa. A pesar de las quejas de los 27 alumnos, la prueba fue tomada igual.
Luego de corregir las pruebas, el profesor notó que solo dos alumnos habían sacado la misma nota que otros dos.
Las calificaciones eran números enteros, siendo 99 la nota más alta que un alumno podía sacar (cosa que nadie logró), en tanto que la nota más baja fue un 10. Una vez entregados los exámenes, el profesor les dijo que les iba a subir las notas si podían dividirse en grupos de tres de forma tal que la suma de las notas de cualesquiera dos de estos tres alumnos diera un número cuadrado y no hubiera dos con la misma nota en un mismo grupo.
- ¿Pero eso es posible? - le preguntaron.
- Eso me lo tendrán que decir ustedes - les contestó el profesor

Luego de un buen rato, los alumnos lograron formar nueve grupos de tres chicos de forma tal que la suma de las notas de dos cualesquiera de ellos diera un numero cuadrado.

¿Alguien sabría decirme cuales eran esos nueve grupos?

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153 - Exámen sorpresa