127 - Como generar todos los Triples pitagoricos 2

733 = 7+3!+3!!

Bob Hein descubrió un método por sustitución de variables para la construcción de los infinitos triples pitagóricos

Se toma un triple pitagórico (A,B,C) , se lo ordena de las siguientes maneras:

a. (C, B, A)
b. (C, A, B)
c. (C, -A, B)

y se aplican las siguientes ecuaciones:

1. D = C – B
2. A1 = A0 + 2*D
3. B1 = A1 + A0 + B0
4. C1 = B1 + D

Por ejemplo con 3,4,5

a. Si (C0, B0, A0) = (5, 4, 3), entonces
D = 5 – 4 = 1
A1 = 3 + 2*1 = 5
B1 = 5 + 3 + 4 = 12
C1 = 12 + 1 = 13,
Por lo tanto, (C1, B1, A1) = (13, 12, 5)

b. Si (C0, A0, B0) = (5, 3, 4), entonces
D = 5 – 3 = 2
A1 = 4 + 2*2 = 8
B1 = 8 + 4 + 3 = 15
C1 = 15 + 2 = 17,
por lo tanto, (C1, B1, A1) = (17, 15, 8)

c. Si (C0, -A0, B0) = (5, -3, 4) entonces
D = 5 – (-3) = 8
A1 = 4 + 2*8 = 20
B1 = 20 + 4 + (-3) = 21
C1 = 21 + 8 = 29,
Por lo tanto (C1, B1, A1) = (29, 21, 20)


Supongamos que (C0, B0, A0) = (1 ,0, 1), entonces
D = 1 – 0 = 1
A1 = 1 + 2*1 = 3
B1 = 3 + 0 + 1 = 4
C1 = 4 + 1 = 5,
Por lo tanto, (C1, B1, A1) = (5, 4, 3)

Si (C0, B0, A0) = (5, 4, 3), entonces
D = 5 – 4 = 1
A1 = 3 + 2*1 = 5
B1 = 5 + 3 + 4 = 12
C1 = 12 + 1 = 13,
por lo tanto, (C1, B1, A1) = (13, 12, 5)

El próximo triple puede calcularse con las mismas fórmulas, pero ¿hay una forma más simple?
Si la hay:
Si A = es impar, entonces
B = (I*I)/2- 0.5, y C = B + 1
pero al ser I impar: I = 2*n + 1, entonces B = (2n+1)*(2n+1)/2 - 0.5
B = (4n² + 4n + 1)/2 - 0.5 = (2n² + 2n + 0.5) - 0.5 = 2*n*(n+1)
A = n + (n+1)
B = 2*n*(n+1)
C = B + 1

La regla es B primero, después C y por último A

Por Ejemplo: ¿Cuál es la solución para el impar N 500 :

B = 2*500*(500 + 1) = 501000,
C = 501001,
A = 500 + (500 + 1) = 1001
Así : (C, B, A) = (501001, 501000, 1001)
251002002001 = 251001000000 + 1002001
Este método puede usarse para cualquier número impar.

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