120 - Series con Cuadrados

144 x 441 = 252 x 252
156 x 651 = 273 x 372

Tomemos un número natural cualquiera, multipliquemoslo por dos y sumemosle 1, repitamos esta operación con el número obtenido, así formaremos una serie en la que cada número es igual al doble del anterior más uno.
Por ejemplo si empezamos con el cero, tenemos: 0, 1, 3, 7, 15 , etc. (1)
El uno forma la misma serie, salvo por el primer término.
Empezando con el dos : 2, 5 , 11, 23, etc. (2)
Empezando con el cuatro: 4, 9, 19, 39, etc. (3)
Es fácil de demostrar que si hay algún cuadrado en la serie, sólo lo pueden ser el primer término y como mucho el segundo, (ya que a partir del tercer término serán todos del tipo 4k+3) así por ejemplo en la serie 1 tenemos dos cuadrados, el cero y el uno, en la serie dos no hay cuadrados, y en la serie tres también hay dos cuadrados, el cuatro y el nueve.

La tercer serie que contiene dos cuadrados es : 144, 289, 579,...,etc.

El problema es el siguiente, encontrar otras series como éstas que incluyan dos cuadrados
(hay infinitas, pero no son tan fáciles de encontrar, salvo que se conozca/deduzca la fórmula)

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