52 - Los taxicab numbers

Cuando se habla del número 1729 la mayoría de los matemáticos recuerdan la anécdota que vivieron dos grandes matemáticos de principios del siglo XX. Se cuenta que un día en que G.H. Hardy fue a visitar a Srinivasa Ramanujan, el cual estaba muy enfermo de tuberculosis, Hardy tomó un taxi y se fijo que su número que era el 1729. Parece que estaba pensandoo encontrar una particularidad en es número, ya que cuando llegó al lugar donde estaba Ramanujan, le comentó que tomo el taxi 1729 y que le parecía que era un número sonso, sin atractivo.
_ Sin embargo_ dijo Ramanujan a mi me parece un número muy interesante, ya que es el primer número que puede expresarse como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes :

1³ + 12³
9³ + 10³

En honor a este diálogo se llaman taxicab numbers o números taxi a los números que pueden expresarse como la suma de dos cubos en más de una forma.

Así tenemos :

Taxicab(2) = 1729
= 1³ + 12³
= 9³ + 10³

Publicado por primera vez por Bernard Frénicle de Bessy en 1657.

Taxicab(3) = 87539319
= 167³ + 436³
= 228³ + 423³
= 255³ + 414³

Encontrado por Leech en 1957.

Taxicab(4) = 6963472309248
= 2421³ + 19083³
= 5436³ + 18948³
= 10200³ + 18072³
= 13322³ + 16630³

Encontrado por E. Rosenstiel, J.A. Dardis, and C.R. Rosenstiel en 1991.

Taxicab(5) = 48988659276962496
= 38787³ + 365757³
= 107839³ + 362753³
= 205292³ + 342952³
= 221424³ + 336588³
= 231518³ + 331954³

Encontrado por David Wilson en 1997

Taxicab(6) = 24153319581254312065344
= 28906206³ + 582162³
= 28894803³ + 3064173³
= 28657487³ + 8519281³
= 27093208³ + 16218068³
= 26590452³ + 17492496³
= 26224366³ + 18289922³

Encontrado por Randall L. Rathbun en 2002
David Wilson descubrió 8230545258248091551205888 en 1997.

Taxicab(7) <= 24885189317885898975235988544
= 2648660966³ + 1847282122³
= 2685635652³ + 1766742096³
= 2736414008³ + 1638024868³
= 2894406187³ + 860447381³
= 2915734948³ + 459531128³
= 2918375103³ + 309481473³
= 2919526806³ + 58798362³

Encontrado por Christian Boyer en 2006

Taxicab(8) <= 50974398750539071400590819921724352

= 299512063576³ + 288873662876³
= 336379942682³ + 234604829494³
= 341075727804³ + 224376246192³
= 347524579016³ + 208029158236³
= 367589585749³ + 109276817387³
= 370298338396³ + 58360453256³
= 370633638081³ + 39304147071³
= 370779904362³ + 7467391974³

Encontrado por Christian Boyer en 2006

Taxicab(9) <= 136897813798023990395783317207361432493888

= 41632176837064³ + 40153439139764³
= 46756812032798³ + 32610071299666³
= 47409526164756³ + 31188298220688³
= 48305916483224³ + 28916052994804³
= 51094952419111³ + 15189477616793³
= 51471469037044³ + 8112103002584³
= 51518075693259³ + 5463276442869³
= 51530042142656³ + 4076877805588³
= 51538406706318³ + 1037967484386³

Encontrado por Christian Boyer en 2006

Taxicab(10) <= 7335345315241855602572782233444632535674275447104

= 15695330667573128³ + 15137846555691028³
= 17627318136364846³ + 12293996879974082³
= 17873391364113012³ + 11757988429199376³
= 18211330514175448³ + 10901351979041108³
= 19262797062004847³ + 5726433061530961³
= 19404743826965588³ + 3058262831974168³
= 19422314536358643³ + 2059655218961613³
= 19426825887781312³ + 1536982932706676³
= 19429379778270560³ + 904069333568884³
= 19429979328281886³ + 391313741613522³

Encontrado por Christian Boyer en 2006

Taxicab(11) <=2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632

= 11410505395325664056³ + 11005214445987377356³
= 12815060285137243042³ + 8937735731741157614³
= 12993955521710159724³ + 8548057588027946352³
= 13239637283805550696³ + 7925282888762885516³
= 13600192974314732786³ + 6716379921779399326³
= 14004053464077523769³ + 4163116835733008647³
= 14107248762203982476³ + 2223357078845220136³
= 14120022667932733461³ + 1497369344185092651³
= 14123302420417013824³ + 1117386592077753452³
= 14125159098802697120³ + 657258405504578668³
= 14125594971660931122³ + 284485090153030494³

Encontrado por Christian Boyer en 2006

Taxicab(12) <= 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152

= 33900611529512547910376³ + 32696492119028498124676³
= 38073544107142749077782³ + 26554012859002979271194³
= 38605041855000884540004³ + 25396279094031028611792³
= 39334962370186291117816³ + 23546015462514532868036³
= 40406173326689071107206³ + 19954364747606595397546³
= 41606042841774323117699³ + 12368620118962768690237³
= 41912636072508031936196³ + 6605593881249149024056³
= 41950587346428151112631³ + 4448684321573910266121³
= 41960331491058948071104³ + 3319755565063005505892³
= 41965847682542813143520³ + 1952714722754103222628³
= 41965889731136229476526³ + 1933097542618122241026³
= 41967142660804626363462³ + 845205202844653597674³

Obviamente que tambièn existes los cabtaxi numbers que son aquellos que pueden obtenerse tanto como suma como por resta de cubos.

Asi tenemos :

Cabtaxi(1) = 0
= 1³ - 1³

Cabtaxi(2) = 91
= 3³ + 4³
= 6³ - 5³

Cabtaxi(3) = 728
= 6³ + 8³
= 9³ - 1³
= 12³ - 10³

Cabtaxi(4) = 2741256
= 108³ + 114³
= 140³ - 14³
= 168³ - 126³
= 207³ - 183³

Cabtaxi(5) = 6017193
= 166³ + 113³
= 180³ + 57³
= 185³ - 68³
= 209³ - 146³
= 246³ - 207³

Encontrado por Randall Rathbun.

Cabtaxi(6) = 1412774811
= 963³ + 804³
= 1134³ - 357³
= 1155³ - 504³
= 1246³ - 805³
= 2115³ - 2004³
= 4746³ - 4725³

Encontrado por Randall Rathbun.

Cabtaxi(7) = 11302198488
= 1926³ + 1608³
= 1939³ + 1589³
= 2268³ - 714³
= 2310³ - 1008³
= 2492³ - 1610³
= 4230³ - 4008³
= 9492³ - 9450³

Encontrado por Randall Rathbun.

Cabtaxi(8) = 137513849003496
= 22944³ + 50058³
= 36547³ + 44597³
= 36984³ + 44298³
= 52164³ - 16422³
= 53130³ - 23184³
= 57316³ - 37030³
= 97290³ - 92184³
= 218316³ - 217350³

Encontrado por D.J. Bernstein.

>Cabtaxi(9) = 424910390480793000
= 645210³ + 538680³
= 649565³ + 532315³
= 752409³ - 101409³
= 759780³ - 239190³
= 773850³ - 337680³
= 834820³ - 539350³
= 1417050³ - 1342680³
= 3179820³ - 3165750³
= 5960010³ - 5956020³

Encontrado por Duncan Moore en 2005.

Cabtaxi(10) <= 933528127886302221000 = 8387730³ + 7002840³
= 8444345³ + 6920095³
= 9773330³ - 84560³
= 9781317³ - 1318317³
= 9877140³ - 3109470³
= 10060050³ - 4389840³
= 10852660³ - 7011550³
= 18421650³ - 17454840³
= 41337660³ - 41154750³
= 77480130³ - 77428260³

Se conocen cabtaxi hasta el 20


Mas información en
http://cboyer.club.fr/Taxicab.htm
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A011541

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