viernes, 13 de marzo de 2009

52 - Los taxicab numbers

Cuando se habla del número 1729 la mayoría de los matemáticos recuerdan la anécdota que vivieron dos grandes matemáticos de principios del siglo XX. Se cuenta que un día en que G.H. Hardy fue a visitar a Srinivasa Ramanujan, el cual estaba muy enfermo de tuberculosis, Hardy tomó un taxi y se fijo que su número que era el 1729. Parece que estaba pensandoo encontrar una particularidad en es número, ya que cuando llegó al lugar donde estaba Ramanujan, le comentó que tomo el taxi 1729 y que le parecía que era un número sonso, sin atractivo.
_ Sin embargo_ dijo Ramanujan a mi me parece un número muy interesante, ya que es el primer número que puede expresarse como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes :
13 + 123
93 + 103

En honor a este diálogo se llaman taxicab numbers o números taxi a los números que pueden expresarse como la suma de dos cubos en más de una forma.

Así tenemos :

Taxicab(2) = 1729
= 13 + 123
= 93 + 103

Publicado por primera vez por Bernard Frénicle de Bessy en 1657.

Taxicab(3) = 87539319
= 1673 + 4363
= 2283 + 4233
= 2553 + 4143

Encontrado por Leech en 1957.

Taxicab(4) = 6963472309248
= 24213 + 190833
= 54363 + 189483
= 102003 + 180723
= 133223 + 166303

Encontrado por E. Rosenstiel, J.A. Dardis, and C.R. Rosenstiel en 1991.

Taxicab(5) = 48988659276962496
= 387873 + 3657573
= 1078393 + 3627533
= 2052923 + 3429523
= 2214243 + 3365883
= 2315183 + 3319543

Encontrado por David Wilson en 1997

Taxicab(6) = 24153319581254312065344
= 289062063 + 5821623
= 288948033 + 30641733
= 286574873 + 85192813
= 270932083 + 162180683
= 265904523 + 174924963
= 262243663 + 182899223

Encontrado por Randall L. Rathbun en 2002
David Wilson descubrió 8230545258248091551205888 en 1997.

Taxicab(7) <= 24885189317885898975235988544
= 26486609663 + 18472821223
= 26856356523 + 17667420963
= 27364140083 + 16380248683
= 28944061873 + 8604473813
= 29157349483 + 4595311283
= 29183751033 + 3094814733
= 29195268063 + 587983623

Encontrado por Christian Boyer en 2006

Taxicab(8) <= 50974398750539071400590819921724352

= 2995120635763 + 2888736628763
= 3363799426823 + 2346048294943
= 3410757278043 + 2243762461923
= 3475245790163 + 2080291582363
= 3675895857493 + 1092768173873
= 3702983383963 + 583604532563
= 3706336380813 + 393041470713
= 3707799043623 + 74673919743

Encontrado por Christian Boyer en 2006
Taxicab(9) <= 136897813798023990395783317207361432493888

= 416321768370643 + 401534391397643
= 467568120327983 + 326100712996663
= 474095261647563 + 311882982206883
= 483059164832243 + 289160529948043
= 510949524191113 + 151894776167933
= 514714690370443 + 81121030025843
= 515180756932593 + 54632764428693
= 515300421426563 + 40768778055883
= 515384067063183 + 10379674843863

Encontrado por Christian Boyer en 2006

Taxicab(10) <= 7335345315241855602572782233444632535674275447104

= 156953306675731283 + 151378465556910283
= 176273181363648463 + 122939968799740823
= 178733913641130123 + 117579884291993763
= 182113305141754483 + 109013519790411083
= 192627970620048473 + 57264330615309613
= 194047438269655883 + 30582628319741683
= 194223145363586433 + 20596552189616133
= 194268258877813123 + 15369829327066763
= 194293797782705603 + 9040693335688843
= 194299793282818863 + 3913137416135223

Encontrado por Christian Boyer en 2006

Taxicab(11) <=2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632

= 114105053953256640563 + 110052144459873773563
= 128150602851372430423 + 89377357317411576143
= 129939555217101597243 + 85480575880279463523
= 132396372838055506963 + 79252828887628855163
= 136001929743147327863 + 67163799217793993263
= 140040534640775237693 + 41631168357330086473
= 141072487622039824763 + 22233570788452201363
= 141200226679327334613 + 14973693441850926513
= 141233024204170138243 + 11173865920777534523
= 141251590988026971203 + 6572584055045786683
= 141255949716609311223 + 2844850901530304943
Encontrado por Christian Boyer en 2006

Taxicab(12) <= 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152

= 339006115295125479103763 + 326964921190284981246763
= 380735441071427490777823 + 265540128590029792711943
= 386050418550008845400043 + 253962790940310286117923
= 393349623701862911178163 + 235460154625145328680363
= 404061733266890711072063 + 199543647476065953975463
= 416060428417743231176993 + 123686201189627686902373
= 419126360725080319361963 + 66055938812491490240563
= 419505873464281511126313 + 44486843215739102661213
= 419603314910589480711043 + 33197555650630055058923
= 419658476825428131435203 + 19527147227541032226283
= 419658897311362294765263 + 19330975426181222410263
= 419671426608046263634623 + 8452052028446535976743

Obviamente que tambièn existes los cabtaxi numbers que son aquellos que pueden obtenerse tanto como suma como por resta de cubos.

Asi tenemos :

Cabtaxi(1) = 0
= 13 - 13

Cabtaxi(2) = 91
= 33 + 43
= 63 - 53

Cabtaxi(3) = 728
= 63 + 83
= 93 - 13
= 123 - 103

Cabtaxi(4) = 2741256
= 1083 + 1143
= 1403 - 143
= 1683 - 1263
= 2073 - 1833

Cabtaxi(5) = 6017193
= 1663 + 1133
= 1803 + 573
= 1853 - 683
= 2093 - 1463
= 2463 - 2073
Encontrado por Randall Rathbun.

Cabtaxi(6) = 1412774811
= 9633 + 8043
= 11343 - 3573
= 11553 - 5043
= 12463 - 8053
= 21153 - 20043
= 47463 - 47253

Encontrado por Randall Rathbun.

Cabtaxi(7) = 11302198488
= 19263 + 16083
= 19393 + 15893
= 22683 - 7143
= 23103 - 10083
= 24923 - 16103
= 42303 - 40083
= 94923 - 94503

Encontrado por Randall Rathbun.

Cabtaxi(8) = 137513849003496
= 229443 + 500583
= 365473 + 445973
= 369843 + 442983
= 521643 - 164223
= 531303 - 231843
= 573163 - 370303
= 972903 - 921843
= 2183163 - 2173503

Encontrado por D.J. Bernstein.

>Cabtaxi(9) = 424910390480793000
= 6452103 + 5386803
= 6495653 + 5323153
= 7524093 - 1014093
= 7597803 - 2391903
= 7738503 - 3376803
= 8348203 - 5393503
= 14170503 - 13426803
= 31798203 - 31657503
= 59600103 - 59560203

Encontrado por Duncan Moore en 2005.


Cabtaxi(10) <= 933528127886302221000 = 83877303 + 70028403
= 84443453 + 69200953
= 97733303 - 845603
= 97813173 - 13183173
= 98771403 - 31094703
= 100600503 - 43898403
= 108526603 - 70115503
= 184216503 - 174548403
= 413376603 - 411547503
= 774801303 - 774282603

Se conocen cabtaxi hasta el 20


Mas información en
http://cboyer.club.fr/Taxicab.htm
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A011541
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