736 = 7 + 36
Este problema surgió de una charla con mis hijos, cuando Boca estuvo a punto de no clasificar para la segunda vuelta de la copa libertadores y especulábamos con los puntos que tenía que sacar para que clasificase ( Finalmente clasificó y después ganó la copa). Pero para hacerlo más simple tomemos un mundial, en el que no hay revanchas y son menos los resultados posibles
En los mundiales de fútbol la primera fase se juega en grupos de 4 equipos cada uno. En cada grupo se juegan seis partidos. Se otorgan tres puntos al ganador, cero al perdedor y un punto a cada equipo si hay empate.
Por ejemplo en el mundial de 2006 el grupo de Argentina terminó con esta tabla de posiciones:
Argentina 7
Países Bajos 7
Costa de Marfil 3
Serbia y Montenegro 0
Si tomamos los puntos obtenidos como un solo número diríamos que esta zona termino con 7730 puntos.Ahora bien,
¿Cuántos resultados diferentes son posibles en un grupo de mundial, donde cada equipo juega un solo partido contra cada rival?
Se considera el mismo resultado a 7 b 7 c 3 y d 0 = d 7 b 7 a 3 c 0
Yo encontré 35 resultados diferentes, pero no sé si están todos.
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Pues yo encuentro 38 pero no se si estan
ResponderEliminar9630 9611 9440 9431 9333 9222 7730 7711 7613 7640
7621 7540 7531 7521 7441 7433 7432 7431 7432 7322 6660 6641 9933 9530 9511 9443 9432 5550 5532 5541 5531 5522 5442 5432 5332 4444 4442 3333
Evidentemente tipee mal, los que están despues del 6641 cada vez que aparece un 9 debe ser un 6
ResponderEliminarPablo hay varios resultados que no son posibles entre los que pusiste y otros que no sé como se pueden formar Por ej:
ResponderEliminar7441 7432 6530 6511 6432 5532 5442 y 4442
El 7432 lo pusiste dos veces
El 6511 por ej da un total de 13 ptos o sea que hubo cinco empates y evidentemente no se puede dar ese puntaje con cinco empates, lo mismo el 6530 (14 puntos :4 empates y no puede dar ese resultado)
El único que pusiste y yo no tenía es 6641 y que puede darse
A le gana a B y a D
C le gana a A
B le gana a C y a D
C y D empatan
Evidentemente lo hice muy rápido y a mano alzada, calculando si este le gana aeste y así..Tanteo..El 7432 está 2 veces porque uno me equivoque al tipear es 7422, pero el 7432 parece que no sepuede...En fin que hoy no es mi día...
ResponderEliminar7441 se puede formar.A le gana a B y C, A empata con D; B y C ambos le ganan a D y a su vez empatan entre si.
ResponderEliminar4442 no se puede, si se puede y no estaba es 4443, a empata los 3 partidos, b le gana a c, c a D y D a B.
ResponderEliminar7441 es válido, 4443 está bien.
ResponderEliminarCon los 2 que yo no tenía son 37 los resultados que tengo.
Te pongo los que vos tenés hasta ahora (32):
9630 9611 9440 9431 9333
9222 7730 7711 7613 7640
7621 7540 7531 7521 7441
7433 7431 7422 7322 6660
6641 6633 6443 5550 5541
5531 5522 5432 5332 4444
4443 3333
5532 tambien se podia..
ResponderEliminarA b y C empatan los 3 partidos entre ellos.A y B le ganan a D. D le gana a C
Supongo que vos 38 yo 33
5442 tambien vale. A empata con B y con D. D empata con C.A le gana a C.C le gana a B.B le gana a D.
ResponderEliminar6541. A le gana a C y D. Pierde con B. B empata con D y C. C le gana a D
ResponderEliminar6522. lo mismo que el anterior salvo que C y D empatan.
6442. A le gana a B y C. Pierde con D.B empata con C y con D.C le gana a D.
ResponderEliminarTengo en total 39 Resultados :
ResponderEliminar4 de 18 Pts (Sin empates)
9 de 17 Pts (1 Empate)
10 de 16 Pts (2 Empates)
10 de 15 Pts (3 Empates)
4 de 14 Pts (4 Empates)
1 de 13 Pts (5 Empates)
1 de 12 Pts (6 Empates)
Si no conté mal vos tenés 37
ResponderEliminar9421.A gana los 3.B empata con c y d. C le gana a D o viceversa.Me queda uno de 16 con respecto al tuyo si es que tenias este (supongo que si)
ResponderEliminar5443.OK A empata con B y C. Le gana a D. B le gana a C, C a D y D a B
ResponderEliminarSi, si
ResponderEliminar5443.A le gana a B, empata con C y D.los otros 3 se ganan mutuamente, por ej: B a C, C a D, D a B
ResponderEliminarResumiendo nos quedan :
ResponderEliminar18 Pts
9630 9333 6660 6633
17 Pts
9611 9440 9431 7730
7640 7433 7631 6443
6641
16 Pts
9421 7711 7621 7540
7531 6541 6442 5443
4444 7441
15 Pts
9222 7521 7431 7422
6522 5550 5541 4443
5532 5442
14 Pts
7322 5522 5531 5432
13 Pts
5332
12 Pts
3333
La generalización en función del número de equipos es la suseción A064626 de la OEIS.
ResponderEliminarPara 4 equipos el valor es 40.