1369 - Jugando a los dados

Jorgito estaba jugando a la generala, tiró los dados y le salieron : 1, 1, 2, 3 y 6
Como para la generala mucho no le servían empezó a jugar con ellos de otra manera

Primero los acomodó de la siguiente manera:

y tomó el valor que obtuvo  = 11326

Luego calculó el producto de las caras obtenidas: 1x1x2x3x6 = 36

y luego trató de  acomodar los dados de otra manera de forma tal que la diferencia con el primer número fuera igual al producto que había obtenido, luego de probar distintas permutaciones  lo logró:

= 11362

y 11362 - 11326 = 36

Siguió jugando con estos números y logró otros dos ordenamientos en los que la diferencia seguía siendo el producto de todas las caras, aquí vemos los tres ordenamientos:



Así con 1, 1, 2, 3 y 6 logró tres ordenamientos en los cuales las diferencias eran igual al producto de las caras.
Después de jugar con los dados se dio cuenta de que lo había logrado no era nada especial, por ejemplo con el 1, 2, 3, 3 y 5 pudo obtener 9 ordenamientos cuya diferencia era 90.

Lo que mas le costó fue encontrar cinco dados con los que pudiera lograr un ordenamiento único igual al producto de sus caras y que no se pudiera lograr otro ordenamiento con ese producto, aún cambiando las caras de los dados .

Después de buscar y buscar encontró algunos ejemplos.
¿Cuáles?
 

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1369 - Jugando a los dados

1368 - Buscando una secuencia

Encontrar la secuencia mas larga que cumpla las siguientes condiciones:
a) Ningún número de la secuencia tiene un digito repetido
b) Cada término se obtiene como la suma del término anterior mas uno de sus propios dígitos
c) Dos terminos de la secuncia no pueden ser iguales

Ejemplos 

- Empezando por el 23 podemos llegar a 8 términos : 23, 26 (23+3), 28 (26+2) , 36, 39, 42, 46, 50
El 50 términa la secuencia ya que el siguiente término que se puede obtener es 55 que tiene un dígito repetido

- Una secuencia mas larga se puede lograr empezando por el 3, por ejemplo esta de 30 términos::
3,6,12,13,14,15,16,17,18,19,28,36,39,42,46,52,54,58,63,69,75,82,84,92,94,98,106,107,108,109.


¿Cuál es la secuencia mas larga que pueden encontrar?
¿Cuál es la secuencia mas larga que se puede obtener empezando por el 1?
¿Cuál es la secuencia mas larga que se puede obtener empezando por el 3?


Propuesto por Eric Angelini 

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1368 - Buscando una secuencia

1367 - Restando

En esta ocasión se llena el tablero de nxn con números  de forma tal de lograr formar con las diferencias entre vecinos los números del 1 a 2n.(n-1) y siendo la suma de los números del tablero la mínima posible.
.
Veamos un ejemplo para el tablero de 2x2

Para el tablero de 3x3 obtuve un valor para la suma igual a  51 :

 

 y para obtener como diferencias números primos exclusivamente (sin repetir ninguno), una suma de 155

La idea es encontrar valores menores a los que encontré y tratar de encontrar las menores sumas para tableros mayores

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1367 - Restando

1366 - Promedios

En el siguiente tablero de dos por dos, los promedios de los números vecinos (horizontal y verticalmente) forman los  números del 1 al 4, y la suma de los números que están dentro del tablero es 10.

En este caso la suma es la mínima posible para obtener estos resultados.

En el siguiente tablero de 3x3 se obtienen como promedio los primeros doce números, en tanto que la suma de los números que están dentro del tablero es 53.

Por último en el siguiente tablero de 3x3 obtenemos todos 
promedios primos y la suma de los números dentro del tablero es 183.

    ¿Son estos cuadrados de 3x3 los que cumpliendo las condiciones establecidas, la suma de los números  participantes es la mínima posible? 
   
   ¿Se puede lograr un cuadrado en el que los promedios sean primos consecutivos?

  ¿Que resultados se puede obtener con cuadrados mas grandes (4x4, 5x5, etc)?

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1366 - Promedios

1365 - Números parejitos

Encontrar dos números distintos de n cifras que ambos dos empiezan y terminan por el mismo dígito y que si los multiplicamos obtenemos un producto tal que sus primeros n dígitos son iguales y sus últimos n dígitos también son iguales.

Por ejemplo: 
88 x 88 = 7744, pero lamentablemente 88 = 88

Yo encontré solo dos ejemplos.

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1365 - Números parejitos

1364 - Solo letras

Resolver sabiendo que cada letra es un dígito distinto 
Un problema de John Grant

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1364 - Solo letras

1363 - Cuadrados que se transforman

• Dibujamos un cuadrado A de 3x3, con nueve celdas interiores.
• En cada una de estas celdas escribimos un número cualquiera.
• Para cada celda calculamos la suma de su valor mas los valores de las celdas vecinas (horizontal, vertical y diagonalmente)
• En un cuadrado B de 3x3 escribimos en cada celda el resultado de la suma obtenida en la celda correspondiente del cuadrado A.
• Si todas los valores de las celdas de B son diferentes, el objetivo está cumplido

 Veamos un ejemplo :

 En este ejemplo la suma de todas las celdas de B da 245

a) Encontrar el cuadrado A que genere un cuadrado B, con todos los números diferentes,  cuya suma de celdas sea mínima
b) Encontrar el cuadrado A que genere un cuadrado B con la mayor cantidad de números primos y cuya suma de celdas sea mínima

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1363 - Cuadrados que se transforman

1362 - Del 1 al....

Tomemos un cuadrado de n x n y coloquemos en cada casilla un solo dígito.
La idea es formar la mayor cantidad de número consecutivos empezando desde el 1.
Los números de un dígito deben estar todos presentes, en tanto que los de mas de un dígito se forman si los dígitos que los componen son vecinos entre sí, por ejemplo para formar el 12 debe haber un 1 y un 2 vecinos (horizontal, vertical o en diagonal)

En el siguiente cuadrado de  4x4 con los dígitos que en él están se puede formar todos los números del 1 al 28, el 29 no se puede formar porque no hay un 2 al lado de un 9

Experimentando un poco, logré formar un cuadrado de 4x4 en el que se pueden formar los números del 1 al 38 inclusive.

¿Cuál es el mayor número al que se puede llegar en el cuadrado de 4x4?
¿Y para cuadrados mayores? (5x5, 6x6, etc)

Actualización: Mmonchi logró llegar al 43

 

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1362 - Del 1 al....

1361 - Explicación visual de la medición de ángulos en radianes

Visto en 9gag

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1361 - Explicación visual de la medición de ángulos en radianes

1360 - "Escaleras Retorcidas"

Aquí esta la charla que dí este año en el encuentro Gathering for Gardner en Argentina. Si bien no tiene que ver con las matemáticas, está relacionada con los juegos de palabras. Presento 5 o 6 desafios con resultados a mejorar. Cualquiera que encuentre mejoras a mis soluciones puede ponerla en los comentarios. Espero que les guste. 






Aloof en español:
Cinco Letras 

• Esnob Ñandú Reloj 

Seis Letras 

• Baobab Picnic Whisky 

 Palabras amantes:

•  Gonad -Monad (en inglés)

Palabra mas sociable de 4 letras:

 Caca:



 Variante circular:


  
Variante Jack Kinder:
Lograr pasar en menos pasos:

De Nacer a Morir formando vivir (16)

•De Flaco a Gordo formando engordar (34)

•De Gordo a Flaco formando adelgazar (27)

•De Martes a Jueves formando miércoles (30)

•De Abril a Junio formando Mayo (26)

•De Venus a Marte formando tierra (17)

•De Marte a Venus formando tierra (23)

 
 Variante Jack - Kinder pasando por todas las letras: (81 pasos)

 

Entoces los desafios son:

 

•   Disminuir los pasos en las escaleras Jack mostradas como ejemplos

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1360 - "Escaleras Retorcidas"

1359 - M.C.D

Aquí tenemos un grupo de 10 números (1, 18, 9, 6, 12, 8, 112, 35, 30 y 2) cuya suma es 233 y que dispuestos en ese orden, los máximo comun divisor de dos números vecinos recorren todos los números del 1 al 9.

- Encontrar (si los hay) otros números con estas características con una suma menor a 233.

- Si estuvieran en una disposición circular, es decir que el 2 y el 1 también fueran vecinos, se repetiria uno de los M.C.D ya que habría dos M.C.D iguales a 1.
¿Es posible encontrar diez números y disponerlos en forma circular para que los M.C.D de dos números vecinos recorran los números del 1 al 10? y/ó con otros 10 números consecutivos (distintos del 1 al 10)?

Actualización : aquí van los logros y sus autores:

Hacer click en la imágen para verla completa

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1359 - M.C.D

1358 - El menor que acepta a todos los dígitos

Encontrar el menor número en el cual la suma de cualquiera dos dígitos vecinos es un número primo, y al cual le podemos agregar cualquiera de los diez dígitos en alguna posición de forma tal que la condición de suma de vecinos siga siendo prima se siga cumpliendo.

Ejemplo: 4116743

Se cumple que la suma de dos dígitos vecinos es un primo : ya que 4+1, 1+1, 1+6, 6+7, 7+4 y 4+3 son primos
y
0 lo podemos agregar detrás del 3  :    41167430 ya que 3+0 primo
1 lo podemos agregar antes del 4 :      1411673 ya que 1+4 es primo
2 lo podemos agregar entre los 1 :      4121673 ya que 1+2  y 2+1 son primos
3  lo podemos  agregar antes del 4:    34116743 ya que 3+4 es primo
4 lo podemos agregar entre los 1 :      41416743 ya que 1+4 y 4+1 son primos
El 5 no lo podemos agregar en ninguna posición
6 lo podemos agregar entre los 1:     41616743  ya que 1+6 y 6+1 son primos
7 lo podemos agregar delante del 4   74116743  ya que 7+4 es primo
8 lo podemos agregar detras del 3     41167438 ya que 3+8 es primo
9 lo podemos agregar delante del 4   94116743  ya que   9+4 es primo

4116743  valdría como respuesta si se pudiera colocar el 5 y fuera el menor número en el que esto sucediera. 

Es una idea de Eric Angelini

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1358 - El menor que acepta a todos los dígitos

1357 - Borrando el primer dígito

Veamos el siguiente producto :

 457 x 125 = 57125

Notan algo curioso?
Si miran bien , verán que el producto es igual a la concatenación de los multiplicandos sin el primer dígito

457 x 125 = 57125

Además el cuatro no participa en la composición del producto.

La idea es esa, buscar otros productos como este, obviamente no son válidos los terminados en cero ya que sino encontraríamos 457 x 1250, 457 x 12500, etc
 

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1357 - Borrando el primer dígito

1356 - Gathering for Gardner 2014

Como ya es costumbre por esta fecha, esta semana se celebra en todo el mundo el ingenio conmemorando a Martin Gardner. En esta ocasión en la Argentina será este sábado a la noche  y se homenajea también a Jaime Poniachik

Aquí está el programa :

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1356 - Gathering for Gardner 2014

1355 - Con todos los dígitos

En la siguiente ecuación participan todos los dígitos una sola vez cada uno (salvo el cero), y de un lado de la igualdad tenemos una multiplicación y del otro una suma :

 

9 x 81 = 253 + 476

Lamentablemente ninguno de los números que forman la ecuación es un número primo

Encontrar ecuaciones como estas en la que por lo menos uno de los números que participan sea un número primo

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1355 - Con todos los dígitos

1354 - ¿Cuántos minutos dura un embarazo? ¿y un año?

¿Eres capaz de decir rapidamente  cuántos minutos dura un aproximadamente embarazo de 38 semanas?

¿Eres capaz de decir rapidamente cuántos minutos dura exactamente un embarazo de 38 semanas?

¿Eres capaz de decir rapidamente cuántos minutos hay exactamente en un año?

No?

Aquí va un método para sorprender a tus conocidos
Para responder estas preguntas primero debemos saber cuanto minutos dura una semana.
Si hacemos los cálculos vemos que :
    Una semana = siete días
    Un día = 24 horas
    Una hora = 60 minutos
Entonces en una semana hay 7 x 24 x 60 =  10.080 minutos
Ya podemos responder la primer pregunta como una semana es aproximadamente 10.000 minutos, 38 semanas son aproxidamente 38 x 10.000 = 380.000 minutos

Para responder la segunda pregunta debemos usar un truco para multiplicar por 10.080, para ello hacemos lo siguiente:
Escribimos 38 (por 38 semanas)
Multiplicamos mentalmente 38 x 8, para ello 
multiplicamos 38 x 2, el resultado lo volvemos a duplicar y al nuevo resultado lo duplicamos también.
Así 38 x 2 = 76, 76 x 2 = 152 y 152 x 2 = 304
Colocamos al lado de 38 el resultado obtenido 
    38304
Por último agregamos un cero al final
   383.040
Listo ya tenemos la respuesta
38 semanas son exactamente 383.040 minutos

Este método sirve para calcular mentalmente los minutos que duran 13 - 124 semanas 
Para menos semanas debemos primero agregar un cero al lado de la cantidad de semanas, luego el producto por 8 y por último otro cero.
Por ejemplo en 7 semanas tenemos
7
Agregamos un primer cero
70
Multiplicamos 7 por 8
7 x 8 = 56
Agregamos el producto
7056
y colocamos el segundo cero
70.560
 7 semanas tienen 70.560 minutos

Para calcular los minutos de un año no bisiesto tenemos que tener en cuenta queun año son 52 semanas mas un día
Por lo tanto para 52 semanas
52
52 x 8  = 52x2x2x2 = 104 x 2 x 2 = 208 x 2 = 416
52416
Agregamos el cero 
  524.160 minutos en 52 semanas
En un día hay 24x60 = 1.440 minutos
Entonces en el año hay 
  524.160 + 1.440 = 525.600 minutos
Si es bisiesto 525.600 + 1.440 = 527.040 minutos



Basado en un artículo del blog Grey Matters

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1354 - ¿Cuántos minutos dura un embarazo? ¿y un año?

1353 - Números con d dígitos d

Consideremos aquellos números en los cuales si un digito D está presente en él, dicho dígito debe estar D veces presente.
Ejempos de estos números son , 1 ( el único de un dígito), 22 (el único de dos dígitos), 32332, 2333124444, etc.

 - ¿Cuántos números como estos hay?
 (obviamente que el mayor es el 999999999888888887777777666666....221 con 45 dígitos)

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1353 - Números con d dígitos d

1352 - Recorrido de un caballo de ajedrez en un calendario

En el blog Grey Matters nos cuentan que hace unos años se planteó en un foro realizar el recorrido de un caballo de ajedrez sobre una hoja de calendario. El objetivo es realizar un recorrido completo (de 29, 30 o 31 pasos según el mes elegido), empezando en cualquier día del mes y lograr la mayor cantidad de coincidencias entre el día del mes y el número de paso.
La mayor cantidad de coincidencias posibles es de 9. Un ejemplo de 9 coincidencias se puede ver en la siguiente imagen y corresponde para el mes que viene:

Pregunta :  ¿Es posible hacer un recorrido completo y que ninguno de las días coincida con el número de paso?

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1352 - Recorrido de un caballo de ajedrez en un calendario

1351 - Máximos y mínimos

Usando los nueve dígitos (una sola vez cada uno) podemos  formar entre 1 y 9 números.
Con dichos números podemos obtener distintos productos, y dentro de estos productos tenemos mínimos y máximos.

Obviamente que con un solo número, el mínimo es 123456789 y el máximo 987654321.
Con nueve números se obtiene un solo producto que es igual a factorial de 9.
Con dos números podemos obtener por ejemplo :
12 x 3456789, 653 x 897421, etc, etc.

¿Cuáles son los productos mínimos y máximos si formamos 2, 3, 4, 5 , 6, 7 y 8 números, si en ellos estan presentes cada uno de los dígitos una sola vez cada uno?

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1351 - Máximos y mínimos

1350 - Tazas

Tazas

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1350 - Tazas

1349 - Números dóciles y Rebeldes

En una página en francés leí sobre lo que ellos llaman números dóciles y números rebeldes.
Número dócil es aquel que es igual a la suma de dos números A y B, donde A>B y la suma de los dígitos de A es igual a la suma de los dígitos de B.
Número rebelde : es todo aquel que no es dócil

Ejemplo de números dóciles :

117 = 72 + 45 y 7+2 = 4+5
418 = 362 + 56  y 3+6+2 = 5+6

Ejemplo de números rebeldes:
38 y 40

Claro que hay números que son dóciles en mas de una forma, un ejemplo de ellos es el 2014

Encontrar las sumas que hacen a 2014 y que cumplen lo siguiente:

1) El número B tiene una sola cifra
2) El número B tiene dos cifras
3) El número B tiene 3 cifras
4) Tanto  A como B son primos, ¿Cuántas soluciones de este tipo hay?
5) Las cifras de A y de  B son todas distintas, ¿Cuántas soluciones de este tipo hay?

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1349 - Números dóciles y Rebeldes