1523 - Usando solo unos

Representemos los números usando solo unos y siendo válidas las siguientes operaciones, suma, resta, multiplicación, división, potenciación y concatenación. (Se pueden usar la cantidad de paréntesis que sean necesarios.

Tratemos de representar cada número usando la menor cantidad de unos posibles, así tenemos :

1 = 1
2 = 1+1
3 = 1+1+1
4 = 1+1+1+1
5 = 1+1+1+1+1
Para seis ya podemos empezar a usar alguna operación para disminuir la cantidad de unos
6 = (1+1) x (1+1+1)
7 = (1+1) x (1+1+1) +1
8 = (1+1) ^(1+1+1) 
9 = 11-1-1 
10 = 11-1 

y así sucesivamente.

1) ¿Cuál es el primer número que necesita nueve unos para poder representarse?
2) ¿y el primero que necesita 10?

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1523 - Usando solo unos

1522 - Otro problemita

Me llegó este otro lindo problemita:

Encontrar diez números positivos enteros diferentes (a,b,c,d,e,f,g,h,i,j), cuya suma sea la menor posible tal que cada uno de estos números divida a la suma a+b+c+d+e+f+g+h+i+j.

Por ejemplo si fueran cinco los números a buscar la respuesta sería : 1, 2, 3, 6 y 12  ya que cada uno de ellos divide a 24 (1+2+3+6+12)

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1522 - Otro problemita

1521 - Un lindo problema

Un interesante problema leído en Internet
Estás en una fiesta y escuchas una conversación entre Marta y su amiga.
En la conversación, Marta menciona que tiene un número secreto que es menor a 100.También da la siguiente información:

"El número se puede describir exactamente conociendo únicamente  las respuestas a las siguientes cuatro preguntas:"

   1) ¿Es el número divisible por dos?
   2) ¿Es el número divisible por tres?
   3) ¿Es el número divisible por cinco?
   4) ¿Es el número divisible por siete?

Luego procede a susurrar las respuestas a estas preguntas a su amiga.
Desafortunadamente, debido al ruido ambiental en la fiesta, solo escuchas la respuesta a una de las preguntas. 
Sin embargo, saber solo esta respuesta te permite determinar el número secreto de Marta.

A) ¿Qué pregunta y respuesta escuchaste?
B) Si la respuesta a esta pregunta es "Sí", ¿Cuál es el número secreto de Marta?

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1521 - Un lindo problema