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viernes, 20 de diciembre de 2013
miércoles, 18 de diciembre de 2013
1274 - Números con distintas iniciales
Analizando las iniciales de este año y de los años venideros vemos que:
2013 = DMT
2014 = DMC
2015 = DMQ
2016 = DMD
Y no podemos seguir la secuencia sin repetir uno de los términos anteriores ya que tanto 2012 como 2017 tienen como iniciales DMD y repiten la de 2016
Esta secuencia tiene solo cuatro términos.
¿Cuál es la secuencia mas larga que se puede lograr, sin que se repitan las iniciales de algún número?
2013 = DMT
2014 = DMC
2015 = DMQ
2016 = DMD
Y no podemos seguir la secuencia sin repetir uno de los términos anteriores ya que tanto 2012 como 2017 tienen como iniciales DMD y repiten la de 2016
Esta secuencia tiene solo cuatro términos.
¿Cuál es la secuencia mas larga que se puede lograr, sin que se repitan las iniciales de algún número?
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martes, 17 de diciembre de 2013
lunes, 16 de diciembre de 2013
1272 - Una forma complicada de pasar de año
viernes, 13 de diciembre de 2013
jueves, 12 de diciembre de 2013
1270 - Usando el producto digital II
Siguiendo con la idea de ayer, en esta ocasión busco cadenas de primos.
Hay que encontrar un número primo que al sumarle su producto digital genere otro primo que también da un primo al sumarle su producto digital.......
La primer cadena de dos se da con el 23
Así 23 + 6 = 29 el cual a su vez da primo al sumarle su pd: 29 + 18 = 47
Así 23 ,29
La siguiente es una cadena bastante mas larga ya que tiene 6 términos :
239, 293, 347, 431, 443, 491
¿Cuál es la cadena mas larga que se puede formar?
Hay que encontrar un número primo que al sumarle su producto digital genere otro primo que también da un primo al sumarle su producto digital.......
La primer cadena de dos se da con el 23
Así 23 + 6 = 29 el cual a su vez da primo al sumarle su pd: 29 + 18 = 47
Así 23 ,29
La siguiente es una cadena bastante mas larga ya que tiene 6 términos :
239, 293, 347, 431, 443, 491
¿Cuál es la cadena mas larga que se puede formar?
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miércoles, 11 de diciembre de 2013
1269 - Usando el producto digital I
Así como existe la suma digital, podemos definir (ignoro si existe) el producto digital (pd), como el producto de los dígitos de un número. En caso de que este tuviera uno o mas ceros simplemente los ignoramos para que el producto no sea cero.
Así por ejemplo el producto digital de 182 es 16, el de 67 es 42 y el de 17304 es 84
La idea es buscar números primos que al sumarle su producto digital originen nuevos primos.
Hay muchos ejemplos.
Así el 23 y el 29 dan números primos al sumarle su producto digital:
23 + 6 = 29
29 + 18 = 47
Curiosamente son dos primos consecutivos que dan primos al realizar esta suma.
El primer trío de primos consecutivos que dan primos al sumarles su pd son:
439 + 108 = 547
443 + 48 = 491
449 + 144 = 593
El primer cuarteto empieza en 2441
Así la secuencia sería:
23, 439, 2441....
Buscar los términos que siguen
Así por ejemplo el producto digital de 182 es 16, el de 67 es 42 y el de 17304 es 84
La idea es buscar números primos que al sumarle su producto digital originen nuevos primos.
Hay muchos ejemplos.
Así el 23 y el 29 dan números primos al sumarle su producto digital:
23 + 6 = 29
29 + 18 = 47
Curiosamente son dos primos consecutivos que dan primos al realizar esta suma.
El primer trío de primos consecutivos que dan primos al sumarles su pd son:
439 + 108 = 547
443 + 48 = 491
449 + 144 = 593
El primer cuarteto empieza en 2441
Así la secuencia sería:
23, 439, 2441....
Buscar los términos que siguen
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martes, 10 de diciembre de 2013
1268 - Probabilidades en el SET II
En uno de los comentarios de la entrada 1261 Probabilidades en el juego SET, Emilio preguntaba : ¿Cual es el la mayor cantidad de cartas que podemos poner en la mesa sin que se pueda formar un solo set?
Para los que no leyeron la entrada y no saben que es el juego del SET lean la entrada.
Para los que no leyeron la entrada y no saben que es el juego del SET lean la entrada.
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lunes, 9 de diciembre de 2013
1267 - 2014 Como suma de dos primos
Hay varias formas de escribir 2014 como suma de dos primos, pero no tantas de forma tal que entre los dígitos de estos primos estén los dígitos de los factores primos de 2014.
Por ejemplo en 983 +1031 solo están presentes el 1 el 3 y el 9 , pero no están el 2, y el 5
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viernes, 6 de diciembre de 2013
1266- 2014 Como suma de 9 cubos
2014 puede expresarse como suma de 9 primos de varias maneras diferentes.
Por ejemplo : 13+13+13+13+13+13+23+103+103
En este caso utilicé como bases solo tres números diferentes 1, 2 y 10.
¿Cuál es la forma de expresar 2014 como suma de nueve cubos de números no negativos que usa la mayor cantidad de bases diferentes?
Por ejemplo : 13+13+13+13+13+13+23+103+103
En este caso utilicé como bases solo tres números diferentes 1, 2 y 10.
¿Cuál es la forma de expresar 2014 como suma de nueve cubos de números no negativos que usa la mayor cantidad de bases diferentes?
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jueves, 5 de diciembre de 2013
1265 - 2014 Como suma de 4 cuadrados
miércoles, 4 de diciembre de 2013
1264 - 2014 en los factoriales 2
martes, 3 de diciembre de 2013
1263 - 2014 en los factoriales
253! = 51734609926400789218043308997295274695423561272066399607484636163134302903130041238314437828111213744932542876617296316904840977852744354743364096544589631199800576352102197345093407901685444661637384445171444589249826159309289810622514481898739824349965672944938199095203108731528570965561754517676626034976542767771987626709597099937322577683908278497279328468806763572731103332796695726049211496386749680456221513530752014396144012492800000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
Son muchos los factoriales como 253!, menores a 1000!, que incluyen a 2014 como cadena, pero no tantos en los que 2014 aparece dos veces, alguien se anima a encontrarlos?
Son muchos los factoriales como 253!, menores a 1000!, que incluyen a 2014 como cadena, pero no tantos en los que 2014 aparece dos veces, alguien se anima a encontrarlos?
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lunes, 2 de diciembre de 2013
1262 - Buscando al 2014
Llegó diciembre y el 2014 está por llegar.
Comienzo entonces una serie de entradas relacionadas con este número.
Buscando al 2014 en potencias de dos me encontré con esta curiosidad:
2274 =30354201441027016733116592294117482916287606860189680019559568902170379456331382784
Comienzo entonces una serie de entradas relacionadas con este número.
Buscando al 2014 en potencias de dos me encontré con esta curiosidad:
2274 =30354201441027016733116592294117482916287606860189680019559568902170379456331382784
¿En que otras potencias de 2 aparece el 2014 dentro?
¿Otras potencias de 2 o mas, en las que aparecen capicúas de 8 o mas cifras?
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jueves, 28 de noviembre de 2013
1261 -Probabilidades en el juego SET
SET es un juego de cartas muy divertido y adictivo.
Consta de un mazo de cartas, cada una de las cuales presenta una de cada una de las siguientes características:
Cada posible combinación de características aparece una sola vez en la baraja, por ejemplo hay una sola carta con tres rombos verdes a rayas.
El juego consiste en dar vuelta doce cartas y tratar de formar un conjunto (o set) de tres cartas con las siguientes condiciones: de cada característica o bien las tres cartas son todas iguales o bien son todas distintas. Es decir que las tres cartas:
Todos ellas tienen el mismo número, o todas tienen un número diferente.
Todos ellas tienen el mismo símbolo, o tienen tres símbolos diferentes.
Todos ellas tienen el mismo sombreado, o tienen tres matices diferentes.
Todos ellas tienen el mismo color, o tienen tres colores diferentes.
Veamos un ejemplo de conjuntos posibles :
Arriba se ven las 12 cartas, y abajo los seis posibles conjuntos que se pueden formar con ellas. El que primero ve un conjunto dice set y lo recoje, si nadie ve mas sets, se van agregando cartas, el que junta mas sets cuando se acaban las cartas, gana.
Existen sitios en los que se puede jugar online y una aplicación para android.
La pregunta es la siguiente, si tomo tres cartas al azar, ¿Qué probabilidad hay de que formen un set?
Consta de un mazo de cartas, cada una de las cuales presenta una de cada una de las siguientes características:
- Número : Uno, dos o tres
- Símbolo: Rombo, garabato o figura oval
- Color : Rojo, verde o violeta
- Sombreado : Sólido, rayado ó solo el borde
Cada posible combinación de características aparece una sola vez en la baraja, por ejemplo hay una sola carta con tres rombos verdes a rayas.
El juego consiste en dar vuelta doce cartas y tratar de formar un conjunto (o set) de tres cartas con las siguientes condiciones: de cada característica o bien las tres cartas son todas iguales o bien son todas distintas. Es decir que las tres cartas:
Todos ellas tienen el mismo número, o todas tienen un número diferente.
Todos ellas tienen el mismo símbolo, o tienen tres símbolos diferentes.
Todos ellas tienen el mismo sombreado, o tienen tres matices diferentes.
Todos ellas tienen el mismo color, o tienen tres colores diferentes.
Veamos un ejemplo de conjuntos posibles :
Arriba se ven las 12 cartas, y abajo los seis posibles conjuntos que se pueden formar con ellas. El que primero ve un conjunto dice set y lo recoje, si nadie ve mas sets, se van agregando cartas, el que junta mas sets cuando se acaban las cartas, gana.
Existen sitios en los que se puede jugar online y una aplicación para android.
La pregunta es la siguiente, si tomo tres cartas al azar, ¿Qué probabilidad hay de que formen un set?
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martes, 26 de noviembre de 2013
1260 - El idioma de las aves
El idioma de las aves tiene solo dos letras y unas reglas muy claras:
Ejemplo de palabras imposibles para las aves : ABB, ABABABA, BAABAABAABA (Se repite AAB tres veces seguidas)
¿Cuál es la palabra mas larga en el idioma de las aves?
- Se pueden usar solo dos letras A y B
- No se pueden escribir dos B juntas
- No puede haber secuencias que se repitan mas de DOS veces seguidas
Ejemplo de palabras imposibles para las aves : ABB, ABABABA, BAABAABAABA (Se repite AAB tres veces seguidas)
¿Cuál es la palabra mas larga en el idioma de las aves?
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viernes, 22 de noviembre de 2013
1259 - Contraseñas, contraseñas, contraseñas!
El martes quise hacer una transacción bancaria por Internet y luego de colocar mi documento y la contraseña, la página me indicaba que o bien el documento o bien la contraseña estaban equivocados, volví a colocar los mismos datos y me apareció un cartelito en el que se me indicaba que mi cuenta estaba bloqueada por haber introducido mal dos veces la contraseña. Al ver este cartel, me dí cuenta que un mes atrás el banco me había obligado a cambiar la contraseña ya que habían pasado dos meses desde la última vez que había cambiado la contraseña.
Haciendo un cálculo rápido me di cuenta que tengo que recordar mas de 50 contraseñas distintas (contando las telefónicas, bancarias, número de usuario, nombre de usuario, emails, facebook, twitter, etc)
En un comienzo tenía la misma para todas las cuentas, luego cuando empecé a leer sobre lo fácil que es descubrir una contraseña de 6 caracteres, decidí aumentar el número de los mismos a 11, usando mayúsculas y caracteres "extraños". El inconveniente que tuve es que en cada sitio el número de caracteres permitidos es distinto y en algunos lugares solo se permiten números. Además la frecuencia de cambio es distinta para cada lugar.
Así fui teniendo cada vez mas contraseñas, sobre una misma base de caracteres y números (siempre y cuando se pudiera), en un principio cuando me pedían un cambio de contraseña, cambiaba todas las demás, pero a medida que tenia mas y mas contraseñas el sistema me venció (como me pasó el otro día)
Pregunta ¿ Alguien tiene un buen método para usar una misma contraseña en varios lugares diferentes?
Hace un tiempo había pensado como hacer para crear y memorizar números gigantes no triviales, y que no tuvieran ciclos
Así uno de los números era :
1484938271594176655109912233412359247920247269360925950493856793681363457146914123592479290137025704....
Si eres de los que te gusta resolver problemas no sigas leyendo y trata de deducir que método usé.
.
.
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.
.
.
El método es simple, en primer lugar escribo cualquier número en este caso, lo mas fácil el uno.
Para la segunda cifra o sea la que va a estar en la posición "dos" sumo la cantidad de letras de "dos" o sea 3 a la cifra anterior o sea 1 , así 3+1=4.
Para la cifra que va a estar en la posición "tres" sumo su cantidad de letras o sea 4 a la cifra anterior, así 4+4 =8
Para la cifra que va a estar en la posición "cuatro" sumo la cantidad de letras de "cuatro" o sea 6 a la cifra anterior, 8, así 6+8 = 14, aquí obtengo un número de dos cifras , tengo dos alternativas o escribo el número entero o solo escribo la última cifra. En este ejemplo hago esto último. Si escribiera las dos, sigo con la cifra que va ir en la posición seis y no la que va en la cinco como en este caso.
El proceso sigue indefinidamente hasta la cantidad de cifras que quiero que tenga el número.
¿Qué pasa si queremos generar mas números como estos y recordarlos?
Es fácil, en vez de empezar con 1 empezamos con cualquier número que querramos, así si empezamos con 2 obtenemos:
2595049382605287766210023344523460358031358370471036061504967804792474568257025234603580301248136815.....
El primer número puede tener una o mas cifras por ejemplo puede ser tu número de documento o el de la dirección de tu casa.
Así si tomo 1259 (como el número de este post) empezaría así
Posición 1234 5678
Letras 5454
1259 4837... etc
¿Alguien conoce o se le ocurre algún otro método para generar números largos y recordarlos?
Esta entrada forma parte de esta edición del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza zfnews
Haciendo un cálculo rápido me di cuenta que tengo que recordar mas de 50 contraseñas distintas (contando las telefónicas, bancarias, número de usuario, nombre de usuario, emails, facebook, twitter, etc)
En un comienzo tenía la misma para todas las cuentas, luego cuando empecé a leer sobre lo fácil que es descubrir una contraseña de 6 caracteres, decidí aumentar el número de los mismos a 11, usando mayúsculas y caracteres "extraños". El inconveniente que tuve es que en cada sitio el número de caracteres permitidos es distinto y en algunos lugares solo se permiten números. Además la frecuencia de cambio es distinta para cada lugar.
Así fui teniendo cada vez mas contraseñas, sobre una misma base de caracteres y números (siempre y cuando se pudiera), en un principio cuando me pedían un cambio de contraseña, cambiaba todas las demás, pero a medida que tenia mas y mas contraseñas el sistema me venció (como me pasó el otro día)
Pregunta ¿ Alguien tiene un buen método para usar una misma contraseña en varios lugares diferentes?
Hace un tiempo había pensado como hacer para crear y memorizar números gigantes no triviales, y que no tuvieran ciclos
Así uno de los números era :
1484938271594176655109912233412359247920247269360925950493856793681363457146914123592479290137025704....
Si eres de los que te gusta resolver problemas no sigas leyendo y trata de deducir que método usé.
.
.
.
.
.
.
.
El método es simple, en primer lugar escribo cualquier número en este caso, lo mas fácil el uno.
Para la segunda cifra o sea la que va a estar en la posición "dos" sumo la cantidad de letras de "dos" o sea 3 a la cifra anterior o sea 1 , así 3+1=4.
Para la cifra que va a estar en la posición "tres" sumo su cantidad de letras o sea 4 a la cifra anterior, así 4+4 =8
Para la cifra que va a estar en la posición "cuatro" sumo la cantidad de letras de "cuatro" o sea 6 a la cifra anterior, 8, así 6+8 = 14, aquí obtengo un número de dos cifras , tengo dos alternativas o escribo el número entero o solo escribo la última cifra. En este ejemplo hago esto último. Si escribiera las dos, sigo con la cifra que va ir en la posición seis y no la que va en la cinco como en este caso.
El proceso sigue indefinidamente hasta la cantidad de cifras que quiero que tenga el número.
¿Qué pasa si queremos generar mas números como estos y recordarlos?
Es fácil, en vez de empezar con 1 empezamos con cualquier número que querramos, así si empezamos con 2 obtenemos:
2595049382605287766210023344523460358031358370471036061504967804792474568257025234603580301248136815.....
El primer número puede tener una o mas cifras por ejemplo puede ser tu número de documento o el de la dirección de tu casa.
Así si tomo 1259 (como el número de este post) empezaría así
Posición 1234 5678
Letras 5454
1259 4837... etc
¿Alguien conoce o se le ocurre algún otro método para generar números largos y recordarlos?
Esta entrada forma parte de esta edición del carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza zfnews
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miércoles, 20 de noviembre de 2013
1258 - Como averiguar un promedio
Este es un viejo problema que anda dando vueltas por internet
Cuatro trabajadores de una empresa están sentados tomando un café.
Ellos saben que no todos ganan lo mismo, pero no cuanto gana cada uno de sus compañeros.
Unos de los trabajadores quiere saber cuanto ganan en promedio ellos cuatro.
Sin embargo ninguno de ellos quiere revelar cuanto gana.
¿Como hacen para sacar el promedio, sin revelar sus sueldos?
Cuatro trabajadores de una empresa están sentados tomando un café.
Ellos saben que no todos ganan lo mismo, pero no cuanto gana cada uno de sus compañeros.
Unos de los trabajadores quiere saber cuanto ganan en promedio ellos cuatro.
Sin embargo ninguno de ellos quiere revelar cuanto gana.
¿Como hacen para sacar el promedio, sin revelar sus sueldos?
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martes, 19 de noviembre de 2013
1257 - Otros que se formen como el 2002
Usando estos tres números 36, 55 y 22 podemos formar 2002 de por lo menos dos maneras distintas:
- ¿Cuál es el próximo año que se puede formar así?
- ¿Qué otros capicúas se pueden formar así?
- ¿Qué números se pueden formar así de dos formas diferentes? Es decir :
N= a x b + c = (a+b) x c y N=d x e + f = (d+e) x f
2002 = 36 x 55 +22 = (36+55) x 22
- ¿Cuál es el próximo año que se puede formar así?
- ¿Qué otros capicúas se pueden formar así?
- ¿Qué números se pueden formar así de dos formas diferentes? Es decir :
N= a x b + c = (a+b) x c y N=d x e + f = (d+e) x f
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lunes, 18 de noviembre de 2013
1256 - Huevos en la canasta
Un viejo problema de pensamiento lateral dice así: distribuir 9 huevos en cuatro canastas de forma tal que en cada canasta haya un número impar de huevos.
Para aquellos que no conozcan el problema, les va a llevar un tiempo encontrar la solución, pero al darse cuenta de como se puede resolver, verán que el problema tiene muchas soluciones.
La preguntas son:
1. Si en cada canasta debe haber un número distinto de huevos, ¿Cuántas soluciones hay?
2. Si se permiten canastas con la misma cantidad de huevos, ¿Cuántas soluciones distintas hay?
Para aquellos que no conozcan el problema, les va a llevar un tiempo encontrar la solución, pero al darse cuenta de como se puede resolver, verán que el problema tiene muchas soluciones.
La preguntas son:
1. Si en cada canasta debe haber un número distinto de huevos, ¿Cuántas soluciones hay?
2. Si se permiten canastas con la misma cantidad de huevos, ¿Cuántas soluciones distintas hay?
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viernes, 15 de noviembre de 2013
1255 - Otro de carceleros
Al carcelero que aparece en todos los problemas de matemáticas, se le ocurrió hacer lo siguiente con cuatro presos.
A cada uno de ellos le dio tres números
Al primero le dio 2, 7 y el 8
Al segundo el 2, 5 y 26
Al tercero el 3, 11 y 15
y al último el 3, 49 y el 71
Les dijo que si los cuatro lograban obtener el mismo resultado (un número entero y positivo) salían en libertad.
Podían usar suma, resta, multiplicación, división, exponenciacion, paréntesis y factorial.
¿Qué número/s pueden formar los cuatro?
A cada uno de ellos le dio tres números
Al primero le dio 2, 7 y el 8
Al segundo el 2, 5 y 26
Al tercero el 3, 11 y 15
y al último el 3, 49 y el 71
Les dijo que si los cuatro lograban obtener el mismo resultado (un número entero y positivo) salían en libertad.
Podían usar suma, resta, multiplicación, división, exponenciacion, paréntesis y factorial.
¿Qué número/s pueden formar los cuatro?
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miércoles, 13 de noviembre de 2013
1254 -100 pasajeros en un avión
Este problema que ví en varios blogs de habla inglesa dice así:
El primer pasajero que sube al avión, decide sentarse en cualquier lugar al azar.
Los siguientes 99 pasajeros, a medida que van subiendo, van a su lugar, si este está vacío se sienta allí, sino elige cualquier asiento al azar.
Este procedimiento sigue hasta que sube el último pasajero.
La pregunta es ¿Que probabilidad hay de que el último pasajero se siente en su lugar?
El primer pasajero que sube al avión, decide sentarse en cualquier lugar al azar.
Los siguientes 99 pasajeros, a medida que van subiendo, van a su lugar, si este está vacío se sienta allí, sino elige cualquier asiento al azar.
Este procedimiento sigue hasta que sube el último pasajero.
La pregunta es ¿Que probabilidad hay de que el último pasajero se siente en su lugar?
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martes, 12 de noviembre de 2013
1253 - Bellas imágenes
fdecomite en su página de flickr nos presenta una serie de fotos sobre figuras matemáticas, una mas linda que la otra.
Aquí van algunas :
Aquí van algunas :
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lunes, 11 de noviembre de 2013
1252 - Sumando cubos
- Este fin de semana estuve sumando cubos
- Estás muy cubista
- Muy gracioso, estuve tratando de formar los números del 1 al 100 sumando cuatro cubos
- Fácil :
1 = 0+0+0+1
2 = 0+0+1+1
3 = 0+1+1+1
4 = 1+1+1+1
uhhh no se me ocurre como formar el cinco
- Pensá, acordate que hay cubos negativos
- ehhh, ah ya sé
6 = 0-1-1+8
7 = 0+0-1+8
8 = 0+0+0+8
etc
- Si, pero te salteaste el cinco
- Ese es fácil, hay otros mas complicados
- Es verdad.
- Estás muy cubista
- Muy gracioso, estuve tratando de formar los números del 1 al 100 sumando cuatro cubos
- Fácil :
1 = 0+0+0+1
2 = 0+0+1+1
3 = 0+1+1+1
4 = 1+1+1+1
uhhh no se me ocurre como formar el cinco
- Pensá, acordate que hay cubos negativos
- ehhh, ah ya sé
6 = 0-1-1+8
7 = 0+0-1+8
8 = 0+0+0+8
etc
- Si, pero te salteaste el cinco
- Ese es fácil, hay otros mas complicados
- Es verdad.
¿Se pueden formar todos los números del 1 al 100 como suma de cuatro cubos?
Si la respuesta es si, ¿cuál es el primer número que no se puede formar de esta manera, o se pueden formar todos?
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jueves, 7 de noviembre de 2013
1251 - Empezando (terminando) como el binario
El número 1 es igual a su expresión binaria
1 = 12
El menor número de dos cifras que empieza como su expresión binaria es el 10
10 = 10102
Para tres cifras tenemos al 110
110 = 11001002
Para cuatro cifras no encontré ninguno
Para cinco cifras tenemos al
10011 = 100111000110112
Entonces para
k=1, n=1
k=2, n=10
k=3, n=110
k=4, n
k=5, n= 10011
El problema iba a ser buscar valores para k mas alto, pero buscando en la oeis encontré la serie A181929 que muestra mas términos.
Entonces se me ocurrió buscar números que terminan como su representación binaria, pero por falta de tiempo no lo pude buscar. No sé si está en la oeis.
Lo dejo en vuestras manos
1 = 12
El menor número de dos cifras que empieza como su expresión binaria es el 10
10 = 10102
Para tres cifras tenemos al 110
110 = 11001002
Para cuatro cifras no encontré ninguno
Para cinco cifras tenemos al
10011 = 100111000110112
Entonces para
k=1, n=1
k=2, n=10
k=3, n=110
k=4, n
k=5, n= 10011
El problema iba a ser buscar valores para k mas alto, pero buscando en la oeis encontré la serie A181929 que muestra mas términos.
Entonces se me ocurrió buscar números que terminan como su representación binaria, pero por falta de tiempo no lo pude buscar. No sé si está en la oeis.
Lo dejo en vuestras manos
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miércoles, 6 de noviembre de 2013
1250 - Restando potencias de dos
Si a el número 45 le restamos potencias de 2 obtenemos números primos :
45 - 2 = 43
45 - 4 = 41
45 - 8 = 37
45 - 16 = 29
45 - 32 = 13
Lo mismo pasa para el 2145
2145 - 2 = 2143
2145 - 4 = 2141
2145 - 8 = 2137
2145 - 16 = 2129
2145 - 32 = 2113
2145 - 64 = 2081
2145 - 128 = 2017
2145 - 256 = 1889
Con el 45 logramos 5 primos, y con el 2145 logramos 8 primos consecutivos a partir del 2.
Mas ejemplos, con mas primos consecutivos?
Con otras potencias?
45 - 2 = 43
45 - 4 = 41
45 - 8 = 37
45 - 16 = 29
45 - 32 = 13
Lo mismo pasa para el 2145
2145 - 2 = 2143
2145 - 4 = 2141
2145 - 8 = 2137
2145 - 16 = 2129
2145 - 32 = 2113
2145 - 64 = 2081
2145 - 128 = 2017
2145 - 256 = 1889
Con el 45 logramos 5 primos, y con el 2145 logramos 8 primos consecutivos a partir del 2.
Mas ejemplos, con mas primos consecutivos?
Con otras potencias?
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martes, 5 de noviembre de 2013
1249 - Números compañeros
El 6205 es compañero del 3869 ya que :
6205 = 382 + 692
y
3869 = 622 + 052
Yo encontré otros compañeros de cuatro cifras, pero no busqué para mas cifras, si alguien tiene ganas quizás encuentre varios.
Otra variante podría ser que en vez de suma se use la resta, y en vez de cuadrados otras potencias.
Espero vuestros resultados
6205 = 382 + 692
y
3869 = 622 + 052
Yo encontré otros compañeros de cuatro cifras, pero no busqué para mas cifras, si alguien tiene ganas quizás encuentre varios.
Otra variante podría ser que en vez de suma se use la resta, y en vez de cuadrados otras potencias.
Espero vuestros resultados
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lunes, 4 de noviembre de 2013
1248 - Sumas triángulares
- Tengo una lista de cinco números en cierto orden, de los cuales cuatro tienen dos dígitos y el restante un dígito.
- Entre los cinco usan cada uno de los dígitos del 1 al 9
- Entre los números de dos dígitos no hay dos que tienen un factor común mayor a uno
- El primer número de mi lista es un número triangular
- La suma del primero mas el segundo también es un número triangular, como así también los son la suma de los tres primeros, de los cuatro primeros y de los cinco números
¿Cuales son los números que escribí en mi lista y en que orden están?
Un problema de R England
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viernes, 1 de noviembre de 2013
1247 - El menor primo que..
jueves, 31 de octubre de 2013
1246 - En el Restaurant
Roxana y Susana fueron a un restaurant en donde todos los platos valen lo mismo
Roxana pidió cinco platos y Susana solo tres.
Justo después de pagar y antes de empezar a comer se encontraron con Patricia.
Decidieron entonces compartir los platos entre las tres.
Al terminar la comida Patricia les dio $4
¿Como deben repartirse esos cuatro pesos entre Roxana y Susana?
Del libro 100 Numerical Games de Pierre Berloquin .
Roxana pidió cinco platos y Susana solo tres.
Justo después de pagar y antes de empezar a comer se encontraron con Patricia.
Decidieron entonces compartir los platos entre las tres.
Al terminar la comida Patricia les dio $4
¿Como deben repartirse esos cuatro pesos entre Roxana y Susana?
Del libro 100 Numerical Games de Pierre Berloquin .
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miércoles, 30 de octubre de 2013
1245 - Sumando divisores primos
- Para este problema hay tomar todos los números enteros que existen, que son muchos :).
- Luego hay que sumar para cada uno de ellos sus divisores primos.
- Ahora hay que hacer una tabla en la que colocamos los resultados y la cantidad de números que dan dicho resultado
Por ejemplo la tabla empezaría así :
1 - 0
2 - 1
3 - 1
4 - 1
5 - 2
6 - 2
7 - 3
8 - 3
etcétera
Los tres números que dan 7 son : 7(7), 10(2,5) y 12(2,2,3)
Los tres números que dan 8 son : 15(3,5), 16 (2,2,2,2) y 18 (2,3,3)
Por último hay que encontrar el único número que la cantidad de números que dan su valor es él mismo.
Es decir en la tabla aparecería X - X
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martes, 29 de octubre de 2013
1244 - Paradojas del infinito
El infinito crea algunas paradojas, la siguiente es un ejemplo.
- ¿Cuál es el promedio de todos los números enteros?
- El cero, por supuesto!
- ¿Porque cero?
- Simple, empecemos por el uno, tenemos como contrapartida el -1, 1-1 = 0, promedio cero.
Para el 2, tomamos el -2, 2-2 = 0, promedio cero, y así sucesivamente, para cada n positivo existe n negativo y el promedio da siempre cero
- Para mi da uno, empiezo por el dos, para el dos tomo el cero, 2+0 = 2 promedio uno
Para el tres tomo el -1, 3-1 = 2 promedio uno y así sucesivamente, para cada n tomo n-2 y n - (n-2) da siempre dos, por lo tanto el promedio me da siempre uno.
- Para mi da dos, empiezo por el tres, tomo entonces el uno, 3+1 = 4 promedio dos
Para el cuatro tomo el cero, 4-0 = 4, promedio dos y así sucesivamente, para cada n tomo n-4 y n - (n-4) da siempre cuatro, por lo tanto el promedio me da siempre dos.
Para mi da tres....
- ¿Cuál es el promedio de todos los números enteros?
- El cero, por supuesto!
- ¿Porque cero?
- Simple, empecemos por el uno, tenemos como contrapartida el -1, 1-1 = 0, promedio cero.
Para el 2, tomamos el -2, 2-2 = 0, promedio cero, y así sucesivamente, para cada n positivo existe n negativo y el promedio da siempre cero
- Para mi da uno, empiezo por el dos, para el dos tomo el cero, 2+0 = 2 promedio uno
Para el tres tomo el -1, 3-1 = 2 promedio uno y así sucesivamente, para cada n tomo n-2 y n - (n-2) da siempre dos, por lo tanto el promedio me da siempre uno.
- Para mi da dos, empiezo por el tres, tomo entonces el uno, 3+1 = 4 promedio dos
Para el cuatro tomo el cero, 4-0 = 4, promedio dos y así sucesivamente, para cada n tomo n-4 y n - (n-4) da siempre cuatro, por lo tanto el promedio me da siempre dos.
Para mi da tres....
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lunes, 28 de octubre de 2013
1243 - Jugando con los números...
- Tomamos un número cualquiera.
- Buscamos sus divisores, los escribimos (con repetición) de menor a mayor.
- Obtenemos así otro número con el cual repetimos el proceso.
- Seguimos hasta obtener un primo
Ejemplo :
2013 = 3 x 11 x 61
31161 = 3 x 13 x 17 x 47
3131747 el cual es primo
Es decir que 2013 se extingue en tres pasos
2013, 31161, 3131747
Claro que hay números que generan mas números.
Sin buscar mucho el 8 pasa por
8, 222, 2237, 31941, 33371313, 311123771, 7149317941.... hasta terminar en el primo 3331113965338635107
Algunas preguntas:
- ¿Cuáles son los menores números que se extinguen en n pasos?
Para n=1, 2
Para n=2, 6
Para n=3, 4
- ¿Terminaran todos los números en un primo?
- ¿Habrá algún número que termine en un número menor a él? (pasando por mas de un paso)
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miércoles, 23 de octubre de 2013
1242 - ¿Cuántos?
Usando los dígitos del 0 al 9 usted hará códigos de 10 dígitos de largo.
Cada 4 dígitos adyacentes presentes en un código, no puede ser usado en algún otro.
Por ejemplo si forma el 0792435861, entonces ningún otro número podrá tener estas cadenas dentro: 0792, 7924, 9243, 2435, 4358, 3586 o 5861.
¿Cual es la máxima cantidad de códigos que se pueden formar usando esta regla?
Este es otro problema de Puzzle up
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martes, 22 de octubre de 2013
1241 - Otros como el 503609521
El primo 503609521 presenta una particularidad cuando es elevado al cuadrado 5036095212 = 253622549641849441
Este cuadrado es la concatenación deseis siete números cuadrados
25 36 225 49 64 1849 441 (c7)
El desafío consiste en encontrar (si los hubiere) otros cuadrados que sean la concatenación de mas deseis siete cuadrados distintos y con mas de una cifra cada uno
PD: Esta entrada participa en la Edición 4.1231056 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Scientia.
Este cuadrado es la concatenación de
25 36 225 49 64 1849 441 (c7)
El desafío consiste en encontrar (si los hubiere) otros cuadrados que sean la concatenación de mas de
PD: Esta entrada participa en la Edición 4.1231056 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Scientia.
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lunes, 21 de octubre de 2013
1240 - Números parejos
Podemos llamar número parejo a aquel en que sus dígitos pueden ser divididos en dos grupos que tengan la misma suma.
Ejemplos :
12371 ya que 1+2+3+1 = 7
6545 ya que 6+4=5+5
22 ya que 2=2
¿Cuál es el primer par de números consecutivos parejos?
¿ y los siguientes?
¿Habrá tres o mas números consecutivos parejos?
Ejemplos :
12371 ya que 1+2+3+1 = 7
6545 ya que 6+4=5+5
22 ya que 2=2
¿Cuál es el primer par de números consecutivos parejos?
¿ y los siguientes?
¿Habrá tres o mas números consecutivos parejos?
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jueves, 17 de octubre de 2013
1239 - Otros como el 142857
Es muy conocida la propiedad del número 142857.
Este número genera permutaciones de si mismo al multiplicarlo por los números del 1 al 6
142857 x 1 = 142857
142857 x 2 = 285714
142857 x 3 = 428571
142857 x 4 = 571428
142857 x 5 = 714285
142857 x 6 = 857142
y además
142857 x 7 = 999999
Menos conocidos pero igualmente bellos son estos resultados:
076923 x 1 = 076923
076923 x 2 = 153846
076923 x 3 = 230769
076923 x 4 = 307692
076923 x 5 = 384615
076923 x 6 = 461538
076923 x 7 = 538461
076923 x 8 = 615384
076923 x 9 = 692307
076923 x 10 = 769230
076923 x 11 = 846153
076923 x 12 = 923076
y
076923 x 13 = 999999
Por lo tanto :
153846 x 1 = 153846
153846 x 2.5 = 384615
153846 x 3 = 461538
153846 x 3.5 = 538461
153846 x 4 = 615384
153846 x 5.5 = 846153
Este número genera permutaciones de si mismo al multiplicarlo por los números del 1 al 6
142857 x 1 = 142857
142857 x 2 = 285714
142857 x 3 = 428571
142857 x 4 = 571428
142857 x 5 = 714285
142857 x 6 = 857142
y además
142857 x 7 = 999999
Menos conocidos pero igualmente bellos son estos resultados:
076923 x 1 = 076923
076923 x 2 = 153846
076923 x 3 = 230769
076923 x 4 = 307692
076923 x 5 = 384615
076923 x 6 = 461538
076923 x 7 = 538461
076923 x 8 = 615384
076923 x 9 = 692307
076923 x 10 = 769230
076923 x 11 = 846153
076923 x 12 = 923076
y
076923 x 13 = 999999
Por lo tanto :
153846 x 1 = 153846
153846 x 2.5 = 384615
153846 x 3 = 461538
153846 x 3.5 = 538461
153846 x 4 = 615384
153846 x 5.5 = 846153
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miércoles, 16 de octubre de 2013
1238 - Ayudando a Robinson
Robinson estaba aburrido.
Decidió entonces escribir todas las permutaciones de 1234567 de menor a mayor.
Como seguía aburrido eliminó los múltiplos de 5
Sigue aburrido todavía.
Decide entonces ahora, buscar cual es el número que está en la posición 2000.
¿Quién lo puede ayudar a Robinson?
Decidió entonces escribir todas las permutaciones de 1234567 de menor a mayor.
Como seguía aburrido eliminó los múltiplos de 5
Sigue aburrido todavía.
Decide entonces ahora, buscar cual es el número que está en la posición 2000.
¿Quién lo puede ayudar a Robinson?
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martes, 15 de octubre de 2013
1237 - Uno, dos, tres
Julia que sabe mucha matemáticas, piensa en número que puede ser uno, dos o tres.
Augusto debe averiguar que número está pensando Julia haciendole solo una pregunta
A la que Julia solo puede contestar : Si, No o No sé
¿Qué debe preguntar Augusto?
Este acertijo apareció en un foro sobre matemáticas y hay varias respuestas válidas (todas ellas muy interesantes)
Augusto debe averiguar que número está pensando Julia haciendole solo una pregunta
A la que Julia solo puede contestar : Si, No o No sé
¿Qué debe preguntar Augusto?
Este acertijo apareció en un foro sobre matemáticas y hay varias respuestas válidas (todas ellas muy interesantes)
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sábado, 12 de octubre de 2013
1236 - Gardner
Como ya es costumbre en los últimos años, alrededor del 21 de octubre, fecha de nacimiento de Martin Gardner, se celebra en varias ciudades del planeta reuniones para celebrar el ingenio.
En Buenos Aires se celebra el próximo sábado 19 de octubre, siendo este el cuarto encuentro que se realiza y con récord de expositores.
Organizado por Rodolfo Kurchan, aquí se homenajea también a Jaime Poniachik, el gran creador de juegos de ingenio argentino, fallecido hace unos poco años
La cita es el auditorio Cendas, Bulnes 1350 de la Capital Federal, a partir de las 14 Hs.
El programa es el siguiente:
Se puede ver mas informaciones del evento en Buenos Aires en la página de Facebook
En tanto que par los que viven en otros lugares pueden ver en celebration of mind todos los lugares en los cuales se va a hacer un encuentro.
En Buenos Aires se celebra el próximo sábado 19 de octubre, siendo este el cuarto encuentro que se realiza y con récord de expositores.
Organizado por Rodolfo Kurchan, aquí se homenajea también a Jaime Poniachik, el gran creador de juegos de ingenio argentino, fallecido hace unos poco años
La cita es el auditorio Cendas, Bulnes 1350 de la Capital Federal, a partir de las 14 Hs.
El programa es el siguiente:
Se puede ver mas informaciones del evento en Buenos Aires en la página de Facebook
En tanto que par los que viven en otros lugares pueden ver en celebration of mind todos los lugares en los cuales se va a hacer un encuentro.
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jueves, 10 de octubre de 2013
1235 - Completando la secuencia
miércoles, 9 de octubre de 2013
1234 - Múltiplos curiosos de 41
- Encontrar un múltiplo (M2) de 41 tal que M2/41 = a la suma de los cuadrados de los dígitos de M2
- Encontrar un múltiplo (M3) de 41 tal que M3/41 = a la suma de los cubos de los dígitos de M3
- Encontrar un múltiplo (M4) de 41 tal que M4/41 = a la suma de los cuarta potencia de los dígitos de M4
Por ejemplo para 37, M2 = M3 = M4 = 111 ya que 111/ 37 = 3
y para 35, M2 = 2660, M3 = 30870 y M4 = 235865
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martes, 8 de octubre de 2013
1233 - Un problema de las olimpiadas del año 2000
En cada una de las 12 fotos que tiene Viviana hay tres mujeres, la mujer del medio es siempre la madre de la mujer que está a su izquierda y hermana de la que está a su derecha.
La mujer del medio en cada una de las fotos es siempre una mujer distinta.
¿Cuál es el menor número de mujeres que pueden estar presentes en estas doce fotos?
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lunes, 7 de octubre de 2013
1232 - Cuántos dígitos?
- Encontré el menor número compuesto solo por unos y ceros que es múltiplo de 2475 !
- Iuju! y eso para que te sirve?
- Es un ejercicio matemático-espiritual, para cuando estoy deprimido
- ahh, y no tendrás que ir al psicólogo?
- No creo, a vos te vendría bien buscar ese número y decirme cuantos dígitos tiene.
- Ok, enseguida te digo
- Iuju! y eso para que te sirve?
- Es un ejercicio matemático-espiritual, para cuando estoy deprimido
- ahh, y no tendrás que ir al psicólogo?
- No creo, a vos te vendría bien buscar ese número y decirme cuantos dígitos tiene.
- Ok, enseguida te digo
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jueves, 3 de octubre de 2013
1231 - Un poco de poesía
El puzzle
Frente a frente y el puzzle en medio. Sé
que pude acertar solo el acertijo
pero es más llevadero buscar juntos
las piezas que completen el diseño.
Nunca damos con todas: huecos hay
porque ignoramos los cartones-guía,
porque no damos con la pieza-clave,
la pieza-madre que clausure el juego.
Tú sabes que encontramos piezas falsas,
quizá piezas que fueran de un tablero
distinto, de otra caja. Parecían
nuestras, mas su perfil no era el exacto.
Apartarlas costó: nunca se juega
sin arrancar un poco de esperanza,
nunca se manipulan los proyectos
sin arañar la piel de la alegría.
Volvamos juntos al rompecabezas.
No tengas miedo de elegir en vano,
siempre vale la pena pretender
dar un poco de amor al jeroglífico.
Poco a poco el enigma se resuelve
aunque se quede un cabo por atar.
Hacer un puzzle es conseguir que todo
concuerde con los límites del sueño.
Porque soñar, jugar, vivir, son sólo
formas de despejar la misma incógnita,
fórmulas variadas de escoger
las piezas y limar sus bordes ásperos.
Tantos años y no hemos hecho nada
más que intentar un poco de armonía
entre las ciegas fichas que nos dieron
por si solucionamos lo insoluble.
Este poema es de Leopoldo de Luis y me lo envió Carlos Rivera
Frente a frente y el puzzle en medio. Sé
que pude acertar solo el acertijo
pero es más llevadero buscar juntos
las piezas que completen el diseño.
Nunca damos con todas: huecos hay
porque ignoramos los cartones-guía,
porque no damos con la pieza-clave,
la pieza-madre que clausure el juego.
Tú sabes que encontramos piezas falsas,
quizá piezas que fueran de un tablero
distinto, de otra caja. Parecían
nuestras, mas su perfil no era el exacto.
Apartarlas costó: nunca se juega
sin arrancar un poco de esperanza,
nunca se manipulan los proyectos
sin arañar la piel de la alegría.
Volvamos juntos al rompecabezas.
No tengas miedo de elegir en vano,
siempre vale la pena pretender
dar un poco de amor al jeroglífico.
Poco a poco el enigma se resuelve
aunque se quede un cabo por atar.
Hacer un puzzle es conseguir que todo
concuerde con los límites del sueño.
Porque soñar, jugar, vivir, son sólo
formas de despejar la misma incógnita,
fórmulas variadas de escoger
las piezas y limar sus bordes ásperos.
Tantos años y no hemos hecho nada
más que intentar un poco de armonía
entre las ciegas fichas que nos dieron
por si solucionamos lo insoluble.
Este poema es de Leopoldo de Luis y me lo envió Carlos Rivera
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miércoles, 2 de octubre de 2013
1230 - N cuadrados consecutivos
martes, 1 de octubre de 2013
1229 - Tres primos que...
lunes, 30 de septiembre de 2013
1228 - Bucles númericos
1254 Mil doscientos cincuenta y cuatro tiene 29 letras
29 Veintinueve tiene 11 letras
11 Once tiene 4 letras
4 Cuatro tiene 6 letras
y no podemos seguir porque seis tiene cuatro letras y ya apareció en la secuencia
El cinco tiene cinco letras y no forma secuencia
Entonces tenemos
- 5 un paso
- 4 dos pasos 4 - 6
- 14 tres pasos 14 - 7 - 5
- 1 cuatro pasos 1 - 3 - 4 - 6
- 1254 cinco pasos 1254 - 29 - 11 - 4 - 6
La idea ya está expuesta. ¿Qué números generan mas pasos?
29 Veintinueve tiene 11 letras
11 Once tiene 4 letras
4 Cuatro tiene 6 letras
y no podemos seguir porque seis tiene cuatro letras y ya apareció en la secuencia
El cinco tiene cinco letras y no forma secuencia
Entonces tenemos
- 5 un paso
- 4 dos pasos 4 - 6
- 14 tres pasos 14 - 7 - 5
- 1 cuatro pasos 1 - 3 - 4 - 6
- 1254 cinco pasos 1254 - 29 - 11 - 4 - 6
La idea ya está expuesta. ¿Qué números generan mas pasos?
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viernes, 27 de septiembre de 2013
1227 - Las edades de Abbott y Costello
Laurel tiene 4 años y Hardy 29 y la suma de los números comprendidos entre sus edades es la concatenación de las mismas 4+5+6+...+27+28+29 = 429
Lo mismo ocurre con las edades de Abbott y Costello pero con el agregado de que sus edades terminan en el mismo dígito.
¿Que edades tienen Abbott y Costello?
Lo mismo ocurre con las edades de Abbott y Costello pero con el agregado de que sus edades terminan en el mismo dígito.
¿Que edades tienen Abbott y Costello?
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jueves, 26 de septiembre de 2013
1226 - Logaritmo de 19
En la entrada de ayer explique como calcular los logaritmos de varios números ya sea por aproximación o por cálculo a partir de otros valores.
Claro que no todos los logaritmos se pueden deducir por este método ¿o si?
La verdad es que no lo sé.
Por ejemplo se puede deducir el logaritmo de 19 usando alguno de los trucos explicados ayer? y los de los demás primos?
Se pide que los valores no difieran mucho
Claro que no todos los logaritmos se pueden deducir por este método ¿o si?
La verdad es que no lo sé.
Por ejemplo se puede deducir el logaritmo de 19 usando alguno de los trucos explicados ayer? y los de los demás primos?
Se pide que los valores no difieran mucho
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miércoles, 25 de septiembre de 2013
1225 - Calculando logaritmos
Los logaritmos son muy útiles para realizar cálculos con números grandes
Hoy en día con las calculadoras modernas e internet se puede hacer todo tipo de cálculos rapidamente y sin tener ningún tipo de conocimiento matemático, pero cuando no se disponen de estas herramientas usar logaritmos para hacer cálculos aproximados es muy útil. Claro que para poder usarlos hay que tener una tabla de logaritmos o saber algunos logaritmos de memoria para poder hacer las cuentas.
Sin embargo es posible deducir muchos logaritmos decimales sin tener que memorizarlos.
Solo hay que saber unas cosas básicas que cualquier persona que haya terminado el colegio sabe.
En primer lugar un repaso sobre los logaritmos (log) y sus características principales:
- El logaritmo en base b de un número X es el número al cual hay que elevar a b para obtener X.
En esta entrada usaré solo logaritmos en base 10 o decimales por lo tanto se puede adaptar la definición anterior :
- El logaritmo decimal de un número X es el número al cual hay que elevar a 10 para obtener X.
Así por ejemplo el log de 10 es el número al que hay que elevar a 10 para que nos de 10 por lo tanto log 10 = 1 ya que 101 = 10.
- El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores (y el de una division es la resta):
así el logaritmo de 35 = log (7x5) = log 7 + log 5
- El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base
Ejemplo log 100 = log 102 = 2 log 10 = 2
Es muy fácil por lo tanto calcular los logaritmos de las potencias de diez, el valor del logaritmo es igual a la cantidad de ceros que tiene dicha potencia
Sabiendo estas cosas básicas y usando aproximaciones podemos deducir los valores de muchos logaritmos:
Logaritmo de 2
210 = 1024 ~ 1000 = 103
entonces 10 x log 2 = 3 x log 10
log 2 = 3/10 = 0.3
Valor real = 0.30103
Logaritmo de 3
Para calcular el log de 3 sabiendo el de 2, hay que notar que 216 = 65536 y 38 = 6561
por lo tanto 216 ~ 10 x 38 aplicando logaritmos
16 log 2 = 1 + 8 log 3
log 3 = 16/8 log 2 - 1/8 = 2 log 2 - 0.125 = 0.477
log 3 = 0.477
Mas fácil para recordar:
34 = 81 ~ 80 = 10 x 23
4 log 3 = 3 log 2 + 1
log 3 = 3/4 log 2 + 1/4 = 0.476 ~ 0.477
Logaritmo de 4
4 = 2x2
log 4 = log 2 + log 2 = 0.602
log 4 = 0.602
Logaritmo de 5
5 = 10/2
log 5 = log 10 - log 2 = 1 - 0.301 = 0.699
log 5 = 0.699
Logaritmo de 6
6 = 2 x 3
log 6 = log 2 + log 3 = 0.301 + 0.477 = 0.778
log 6 = 0.778
Logaritmo de 7
En este caso aprovechamos que 74 = 2401 ~ 2400 = 23 x 3 x 100 por lo tanto:
74 ~ 23 x 3 x 100
4 log 7 = 3 log 2 + log 3 + log 100
log 7 = (0.903 + 0.477 + 2) / 4
log 7 = 0.845
Más fácil para recordar
72 ~ 50 = 5 x 10
2 log 7 = log 5 + log 10
log 7 = log 5/2 + 1/2 = 0.699/2 + 0.5 = 0.849 ~ 0.845
Logaritmo 8
8 = 23
log 8 = 3 log 2
log 8 = 0.903
Logaritmo de 9
9 = 3x3
log 9 = log 3 + log 3
log 9 = 0.954
Habiendo obtenido estos valores es fácil calcular los logaritmos de 1.5, 2.5, 3.5, 4.5
El de 5.5 se puede calcular haciendo el promedio entre el de 5.4 (6x9/10) y el de 5.6 (7x8/10), con el valor del log de 5.5 podemos deducir el de 11 (5.5 x 2) y con el de 11 el de 6.6 (6x11/10) lo que nos permite calcular el de 6.5 por promedio, y así obtener el de 13, de la misma forma podemos obtener el de 8.5 y con este el de 17
Esta entrada participa de la edición 4.123105 del Carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza el blog Cifras y Teclas
Hoy en día con las calculadoras modernas e internet se puede hacer todo tipo de cálculos rapidamente y sin tener ningún tipo de conocimiento matemático, pero cuando no se disponen de estas herramientas usar logaritmos para hacer cálculos aproximados es muy útil. Claro que para poder usarlos hay que tener una tabla de logaritmos o saber algunos logaritmos de memoria para poder hacer las cuentas.
Sin embargo es posible deducir muchos logaritmos decimales sin tener que memorizarlos.
Solo hay que saber unas cosas básicas que cualquier persona que haya terminado el colegio sabe.
En primer lugar un repaso sobre los logaritmos (log) y sus características principales:
- El logaritmo en base b de un número X es el número al cual hay que elevar a b para obtener X.
En esta entrada usaré solo logaritmos en base 10 o decimales por lo tanto se puede adaptar la definición anterior :
- El logaritmo decimal de un número X es el número al cual hay que elevar a 10 para obtener X.
Así por ejemplo el log de 10 es el número al que hay que elevar a 10 para que nos de 10 por lo tanto log 10 = 1 ya que 101 = 10.
- El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores (y el de una division es la resta):
así el logaritmo de 35 = log (7x5) = log 7 + log 5
- El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base
Ejemplo log 100 = log 102 = 2 log 10 = 2
Es muy fácil por lo tanto calcular los logaritmos de las potencias de diez, el valor del logaritmo es igual a la cantidad de ceros que tiene dicha potencia
Sabiendo estas cosas básicas y usando aproximaciones podemos deducir los valores de muchos logaritmos:
Logaritmo de 2
210 = 1024 ~ 1000 = 103
entonces 10 x log 2 = 3 x log 10
log 2 = 3/10 = 0.3
Valor real = 0.30103
Logaritmo de 3
Para calcular el log de 3 sabiendo el de 2, hay que notar que 216 = 65536 y 38 = 6561
por lo tanto 216 ~ 10 x 38 aplicando logaritmos
16 log 2 = 1 + 8 log 3
log 3 = 16/8 log 2 - 1/8 = 2 log 2 - 0.125 = 0.477
log 3 = 0.477
Mas fácil para recordar:
34 = 81 ~ 80 = 10 x 23
4 log 3 = 3 log 2 + 1
log 3 = 3/4 log 2 + 1/4 = 0.476 ~ 0.477
Logaritmo de 4
4 = 2x2
log 4 = log 2 + log 2 = 0.602
log 4 = 0.602
Logaritmo de 5
5 = 10/2
log 5 = log 10 - log 2 = 1 - 0.301 = 0.699
log 5 = 0.699
Logaritmo de 6
6 = 2 x 3
log 6 = log 2 + log 3 = 0.301 + 0.477 = 0.778
log 6 = 0.778
Logaritmo de 7
En este caso aprovechamos que 74 = 2401 ~ 2400 = 23 x 3 x 100 por lo tanto:
74 ~ 23 x 3 x 100
4 log 7 = 3 log 2 + log 3 + log 100
log 7 = (0.903 + 0.477 + 2) / 4
log 7 = 0.845
Más fácil para recordar
72 ~ 50 = 5 x 10
2 log 7 = log 5 + log 10
log 7 = log 5/2 + 1/2 = 0.699/2 + 0.5 = 0.849 ~ 0.845
Logaritmo 8
8 = 23
log 8 = 3 log 2
log 8 = 0.903
Logaritmo de 9
9 = 3x3
log 9 = log 3 + log 3
log 9 = 0.954
Habiendo obtenido estos valores es fácil calcular los logaritmos de 1.5, 2.5, 3.5, 4.5
El de 5.5 se puede calcular haciendo el promedio entre el de 5.4 (6x9/10) y el de 5.6 (7x8/10), con el valor del log de 5.5 podemos deducir el de 11 (5.5 x 2) y con el de 11 el de 6.6 (6x11/10) lo que nos permite calcular el de 6.5 por promedio, y así obtener el de 13, de la misma forma podemos obtener el de 8.5 y con este el de 17
Esta entrada participa de la edición 4.123105 del Carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza el blog Cifras y Teclas
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martes, 24 de septiembre de 2013
1224 - Todos los Dígitos
Sebi y Julieta tienen unas edades tales que multiplicadas por 2013 dan dos números que entre los dos tienen los 10 dígitos.
Que edades tienen Sebi y Julieta?
Curiosamente este problema tiene una sola solución, en cambio si el año fuera 2014 hay tres soluciones (claro que en este caso Sebi y Julieta no serían seres humanos).
Cuales?
Para que año existen la mayor cantidad de soluciones?
y el primer año en el que no existen soluciones?
Que edades tienen Sebi y Julieta?
Curiosamente este problema tiene una sola solución, en cambio si el año fuera 2014 hay tres soluciones (claro que en este caso Sebi y Julieta no serían seres humanos).
Cuales?
Para que año existen la mayor cantidad de soluciones?
y el primer año en el que no existen soluciones?
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lunes, 23 de septiembre de 2013
1223 - Tercera variante del problema 1219
viernes, 20 de septiembre de 2013
1222 - El 21 de septiembre y otras fechas curiosas
Mañana es 21 septiembre, día de la primavera aquí en el hemisferio sur.
Esta fecha escrita en español presenta la curiosidad de tener exactamente veintiuna letras:
VEINTIUNO DE SEPTIEMBRE.
A lo largo del año son varias las fechas que dicen cuantas letras tienen:
En tanto que este año las siguientes fechas indican la cantidad de letras de la frase:
TREINTA Y UNO DE ENERO DE DOS MIL TRECE
TREINTA Y UNO DE MARZO DE DOS MIL TRECE
TREINTA Y UNO DE JULIO DE DOS MIL TRECE
Para el año que viene:
TREINTA DE AGOSTO DE DOS MIL CATORCE
Esta fecha escrita en español presenta la curiosidad de tener exactamente veintiuna letras:
VEINTIUNO DE SEPTIEMBRE.
A lo largo del año son varias las fechas que dicen cuantas letras tienen:
- 11 de enero
- 14 de enero
- 16 de enero
- 17 de enero
- 15 de febrero
- 18 de febrero
- 19 de febrero
- 11 de marzo
- 14 de marzo
- 16 de marzo
- 17 de marzo
- 11 de abril
- 14 de abril
- 16 de abril
- 17 de abril
- 10 de mayo
- 11 de junio
- 14 de junio
- 16 de junio
- 17 de junio
- 11 de julio
- 14 de julio
- 16 de julio
- 17 de julio
- 12 de agosto
- 13 de agosto
- 21 de septiembre
- 24 de septiembre
- 15 de octubre
- 18 de octubre
- 19 de octubre
En tanto que este año las siguientes fechas indican la cantidad de letras de la frase:
TREINTA Y UNO DE ENERO DE DOS MIL TRECE
TREINTA Y UNO DE MARZO DE DOS MIL TRECE
TREINTA Y UNO DE JULIO DE DOS MIL TRECE
Para el año que viene:
TREINTA DE AGOSTO DE DOS MIL CATORCE
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jueves, 19 de septiembre de 2013
1221- Segunda variante del problema 1219
En esta ocasión, en vez de tres unos y tres ceros, podemos usar los diez dígitos del 0 al 9.
Entre los resultados posibles,
¿Números de cuantas cifras se pueden obtener?
Ejemplos:
1 cifra : 1 = 1+2+3+4-5+6+7-8-9
2 cifras : 45 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9
3 cifras : 396 = (1+2+3+4+5+6+7+8) x 9
¿Cuál es el menor y el mayor número que se puede obtener para cada cantidad de cifras?
Por ejemplo para una cifra podemos obtener el uno y el nueve de la siguiente manera:
1 = 1+2+3+4-5+6+7-8-9
9 = 1+2-3+4+5+6-7-8+9
Entre los resultados posibles,
¿Números de cuantas cifras se pueden obtener?
Ejemplos:
1 cifra : 1 = 1+2+3+4-5+6+7-8-9
2 cifras : 45 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9
3 cifras : 396 = (1+2+3+4+5+6+7+8) x 9
¿Cuál es el menor y el mayor número que se puede obtener para cada cantidad de cifras?
Por ejemplo para una cifra podemos obtener el uno y el nueve de la siguiente manera:
1 = 1+2+3+4-5+6+7-8-9
9 = 1+2-3+4+5+6-7-8+9
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miércoles, 18 de septiembre de 2013
1220 - Primera variante del problema 1219
Una vez que resolví el problema anterior, seguí jugando con los tres unos y los tres ceros y obtuve entre otros estos resultados:
1 + (0x1) + (0x1) + (0x1) = 1
10 + (110 x 0) = 10
100 + (11 x 0) = 100
...etc
Es decir que entre los muchos resultados posibles hay números con 1, 2 y 3 cifras.
La pregunta parece obvia : ¿Usando tres unos, tres ceros y todas las operaciones que uno quiera, cuales son las cantidades de cifras que pueden tener los resultados? ¿Cuál es la menor cantidad de cifras que no se puede obtener?
1 + (0x1) + (0x1) + (0x1) = 1
10 + (110 x 0) = 10
100 + (11 x 0) = 100
...etc
Es decir que entre los muchos resultados posibles hay números con 1, 2 y 3 cifras.
La pregunta parece obvia : ¿Usando tres unos, tres ceros y todas las operaciones que uno quiera, cuales son las cantidades de cifras que pueden tener los resultados? ¿Cuál es la menor cantidad de cifras que no se puede obtener?
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martes, 17 de septiembre de 2013
1219 - Un problema que genera otro problema que genera otro...
Muchas veces me preguntaron como se me ocurren los problemas que publico en el blog.
La respuesta es la siguiente: la mayoría se me ocurre tratando de resolver otros problemas.
El siguiente problema es de Andre Jouette y está en el libro El secreto de los números.
El problema original dice así:
¿Cuál es el mayor número que se puede formar usando tres unos y tres ceros?
Este es un problema simple y que por prueba y error se resuelve, claro que si uno lo hace con lápiz y papel va obteniendo distintos resultados y es ahí cuando se me ocurre las variantes que iré publicando esta semana.
Les dejo este para el día de hoy.
Como en el enunciado el autor no aclara que es válido usar, uno puede usar lo que quiera ( suma, multiplicación, potenciación, paréntesis, etc)
La respuesta es la siguiente: la mayoría se me ocurre tratando de resolver otros problemas.
El siguiente problema es de Andre Jouette y está en el libro El secreto de los números.
El problema original dice así:
¿Cuál es el mayor número que se puede formar usando tres unos y tres ceros?
Este es un problema simple y que por prueba y error se resuelve, claro que si uno lo hace con lápiz y papel va obteniendo distintos resultados y es ahí cuando se me ocurre las variantes que iré publicando esta semana.
Les dejo este para el día de hoy.
Como en el enunciado el autor no aclara que es válido usar, uno puede usar lo que quiera ( suma, multiplicación, potenciación, paréntesis, etc)
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lunes, 16 de septiembre de 2013
1218 - Sin el siete
viernes, 13 de septiembre de 2013
1217 - La magia del 2013
jueves, 12 de septiembre de 2013
1216 - Vuelve todo vuelve (?)
Tomemos cualquier número mayor a 10 y que no tenga ceros
Obtengamos su raíz digital
Coloquemos este número adelante del original
Eliminemos el último dígito.
Repitamos el proceso hasta volver obtener el número original
Ejemplo para, 11 :
Raíz digital (o resto al dividir por 9) = 2
Colocamos el número al comienzo = 211
Eliminamos el último dígito = 21
Como no es 11 repetimos el proceso hasta obtener 11 :
Así obtenemos
11, 21, 32, 53, 85, 48, 34, 73, 17, 81, 98, 89, 88, 78, 67, 46, 14, 51, 65, 26, 82, 18, 91, 19, 11
Es decir que después de 24 repeticiones obtenemos el 11 de nuevo.
Preguntitas:
¿Hay algún número que no vuelve?
¿Hasta el 999999999 cual es el menor número al que hay que aplicarle mas repeticiones para que vuelva?
Obtengamos su raíz digital
Coloquemos este número adelante del original
Eliminemos el último dígito.
Repitamos el proceso hasta volver obtener el número original
Ejemplo para, 11 :
Raíz digital (o resto al dividir por 9) = 2
Colocamos el número al comienzo = 211
Eliminamos el último dígito = 21
Como no es 11 repetimos el proceso hasta obtener 11 :
Así obtenemos
11, 21, 32, 53, 85, 48, 34, 73, 17, 81, 98, 89, 88, 78, 67, 46, 14, 51, 65, 26, 82, 18, 91, 19, 11
Es decir que después de 24 repeticiones obtenemos el 11 de nuevo.
Preguntitas:
¿Hay algún número que no vuelve?
¿Hasta el 999999999 cual es el menor número al que hay que aplicarle mas repeticiones para que vuelva?
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miércoles, 11 de septiembre de 2013
1215 - Problema de edad
Aldo, Bernardo y Claudio están comparando sus edades.
Aldo y Claudio tienen edades impares y de dos dígitos
La edad Bernardo es un porcentaje (entero) mayor que Aldo y el mismo porcentaje menor a Claudio
¿Qué edad tiene cada uno?
¿Hay una sola solución?
Un problema de Robin Nayler
Aldo y Claudio tienen edades impares y de dos dígitos
La edad Bernardo es un porcentaje (entero) mayor que Aldo y el mismo porcentaje menor a Claudio
¿Qué edad tiene cada uno?
¿Hay una sola solución?
Un problema de Robin Nayler
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martes, 10 de septiembre de 2013
1214 - Super cuadrados
La siguiente curiosidad la vi en internet, no sé quien tiene el mérito de haberla encontrado:
¿Qué características tienen estos tres números de doce dígitos?
100307124369
111824028801
433800063225
Fácil son tres números cuadrados :
100307124369 = 3167132
111824028801 = 3344012
433800063225 = 6566352
¿Qué características tienen estos tres números de doce dígitos?
100307124369
111824028801
433800063225
Fácil son tres números cuadrados :
100307124369 = 3167132
111824028801 = 3344012
433800063225 = 6566352
pero además, la suma de sus dígitos también es un cuadrado:
1+0+0+3+0+7+1+2+4+3+6+9 = 36 = 62
1+1+1+8+2+4+0+2+8+8+0+1 = 36 = 62
4+3+3+8+0+0+0+6+3+2+2+5 = 36 = 62
y si los sumamos de a dos dígitos
10+03+07+12+43+69 = 144 = 122
11+18+24+02+88+01 = 144 = 122
43+38+00+06+32+25 = 144 = 122
o de a tres:
100+307+124+369 = 900 = 302
111+824+028+801 = 1764 = 422
433+800+063+225 = 1521 = 392
o de a cuatro:
1003+0712+4369 = 6084 = 782
1118+2402+8801 = 12321 = 1112
4338+0006+3225 = 7569 = 872
o de seis
100307+124369 = 224676 = 4742
111824+028801 = 140625 = 3752
433800+063225 = 497025 = 7052
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lunes, 9 de septiembre de 2013
1213 - Dividiendo las pesas
Teníamos un set de 101 pesas que va desde 1 gramo hasta 101 gramos.
Lamentablemente hemos perdido la pesa de 19 gramos.
La pregunta es la siguiente, ¿Es posible dividir las 100 pesas en dos grupos tal que cada grupo pese lo mismo y tenga el mismo número de piezas?
Un problema de Proizvolov
Lamentablemente hemos perdido la pesa de 19 gramos.
La pregunta es la siguiente, ¿Es posible dividir las 100 pesas en dos grupos tal que cada grupo pese lo mismo y tenga el mismo número de piezas?
Un problema de Proizvolov
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viernes, 6 de septiembre de 2013
1212 - El máximo múltiplo de seis que no se puede formar como suma de dos números medios de primos gemelos
Eso, el título es el problema de hoy
Aparentemente todo múltiplo de seis mayor a X puede expresarse como suma de dos números que están en el medio de un par de primos gemelos.
Ejemplos :
24 = 6 +18 y 6 está en el medio del par 5-7, y 18 entre 17-19
30 = 12 + 18 y 12 está en medio de los primos gemelos 11-13
36 = 6 +30 y 30 está entre 29-31
El primer múltiplo de seis que no puede expresarse de dicha forma es 96.
Encontrar ese número X
Aparentemente todo múltiplo de seis mayor a X puede expresarse como suma de dos números que están en el medio de un par de primos gemelos.
Ejemplos :
24 = 6 +18 y 6 está en el medio del par 5-7, y 18 entre 17-19
30 = 12 + 18 y 12 está en medio de los primos gemelos 11-13
36 = 6 +30 y 30 está entre 29-31
El primer múltiplo de seis que no puede expresarse de dicha forma es 96.
Encontrar ese número X
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jueves, 5 de septiembre de 2013
1211 - Año nuevo
Hoy la comunidad judía festeja el año nuevo, el 5774
Aprovecho para desearles a todos un shana tova.
Aquí va un problema relacionado con los años (similar al que publiqué en el 2010)
Estamos en el año 2013 de la era cristiana, en el 5774 de la era judía y en el 1392 de la era islámica.
¿Cómo podemos igualar estos números?
Una forma sería multiplicando dos de estos números por un tercero para así obtener dos productos los cuales sean uno un anagrama del otro
anagrama = tienen los mismos dígitos pero en otro orden
Entonces:
a) ¿Cuál es el menor número por el que hay que multiplicar el 2013 y el 5774 para obtener dos números los cuales son uno un anagrama del otro?
b) ¿y para el 1392 y el 2013?
c) ¿y para el 1392 y el 5774?
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miércoles, 4 de septiembre de 2013
1210 - El 373
El número 373 presenta la particularidad que puede expresarse como la suma de cinco primos consecutivos y como la suma de los cuadrados de cinco primos consecutivos
Este ejemplo fue encontrado por Hans Havermann
Buscamos otros casos de números iguales a la suma de cinco primos consecutivos y a la suma de los cuadrados de cinco primos consecutivos
373 = 67 + 71 + 73 + 79 + 83
373 = 32 + 52 + 72 + 112 + 132
373 = 32 + 52 + 72 + 112 + 132
Este ejemplo fue encontrado por Hans Havermann
Buscamos otros casos de números iguales a la suma de cinco primos consecutivos y a la suma de los cuadrados de cinco primos consecutivos
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martes, 3 de septiembre de 2013
1209 - Uno facilito
lunes, 2 de septiembre de 2013
1208 - El mas largo que
Aquí va otro problema de Puzzle up
Buscamos números :
- en el que cada dígito aparezca como mucho dos veces (es decir que un dígito pude aparecer, cero, una o dos veces en el número)
y
- la suma de cada cuatro números vecinos es un cuadrado
Ejemplo : 106210, ya que 1+0+6+2, 0+6+2+1 y 6+2+1+0 son números cuadrados y ningún dígito aparece mas de dos veces
Otros : 326532 y 28962806
Encontrar el mayor número con estas características
Buscamos números :
- en el que cada dígito aparezca como mucho dos veces (es decir que un dígito pude aparecer, cero, una o dos veces en el número)
y
- la suma de cada cuatro números vecinos es un cuadrado
Ejemplo : 106210, ya que 1+0+6+2, 0+6+2+1 y 6+2+1+0 son números cuadrados y ningún dígito aparece mas de dos veces
Otros : 326532 y 28962806
Encontrar el mayor número con estas características
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jueves, 29 de agosto de 2013
miércoles, 28 de agosto de 2013
1206 - Completar la multiplicación
martes, 27 de agosto de 2013
1205 - Curiosidad con primos
Usando la siguiente fórmula, forme los siguiente ocho números
189489010766982716904671360066987086536413865444291475408862860716126025520041510000 + n
Donde n = 0121, 0123, 0211, 0213, 1021, 1023, 1201, 1203
Obtendremos así ocho números primos consecutivos de 84 dígitos cada uno, los cuales pueden dividirse en cuatro pares de primos gemelos, de forma tal que los miembros menores de cada uno de los pares tienen los mismos dígitos y otro tanto ocurre con los cuatro primos mayores de cada par .
encontrado por Jens Kruse Andersen
189489010766982716904671360066987086536413865444291475408862860716126025520041510000 + n
Donde n = 0121, 0123, 0211, 0213, 1021, 1023, 1201, 1203
Obtendremos así ocho números primos consecutivos de 84 dígitos cada uno, los cuales pueden dividirse en cuatro pares de primos gemelos, de forma tal que los miembros menores de cada uno de los pares tienen los mismos dígitos y otro tanto ocurre con los cuatro primos mayores de cada par .
encontrado por Jens Kruse Andersen
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lunes, 26 de agosto de 2013
1204 - Dos triángulos especiales
viernes, 23 de agosto de 2013
1203 - ¿Qué número estoy pensando?
jueves, 22 de agosto de 2013
1202 - Reordenando los dígitos de pi
miércoles, 21 de agosto de 2013
1201 - Un conjunto sin cuadrados
Armar el conjunto mas grande posible con números del 1 al 15 tal que si tomamos tres números cualquiera de dicho conjunto, su producto no es número cuadrado.
Por ejemplo si dicho conjunto tuviera el 1 y el 2, no podría tener el 8, ya que 1x2x8 = 16 = 42
Por ejemplo si dicho conjunto tuviera el 1 y el 2, no podría tener el 8, ya que 1x2x8 = 16 = 42
¿Cuál es el conjunto mas grande con estas características que se puede formar?
Un problema de la Universidad de Regina
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martes, 20 de agosto de 2013
1200 - Repunits primos en otras bases
Los repunits son números formados solo por números unos.
Si los expresamos repunits con n unos en base n encontramos los siguientes primos
112 = 3
1113 = 13
lamentablemente 11114, 111115 no son primos
¿Cuales son los dos siguientes repunits de n unos que son primos en base n?
:
Si los expresamos repunits con n unos en base n encontramos los siguientes primos
112 = 3
1113 = 13
lamentablemente 11114, 111115 no son primos
¿Cuales son los dos siguientes repunits de n unos que son primos en base n?
:
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viernes, 16 de agosto de 2013
1199 - Abriendo una caja fuerte
Haz encontrado una caja fuerte, pero no conoces la combinación.
Buscando en internet encontras que estas cajas fuertes se abren de la siguiente manera:
Antes de marcar la combinación de tres números, se debe apretar el botón rojo.
Empezando con el dial en cero, hay que girar el dial en el sentido de las agujas del reloj hasta el primer número de la combinación, luego retornar el dial en sentido inverso hasta el cero, luego hay que llevar el dial nuevamente hasta el segundo número y volver a cero, y finalmente llevar el dial hasta el tercer número de forma tal que al marcar este número la puerta de la caja se abrirá inmediatamente.
Hay 40 números en el dial incluyendo el cero. Las combinaciones no pueden tener el cero como uno de sus números.
a) ¿Cuál es el máximo número de intentos requeridos para abrir la caja fuerte?
b) Si no hubiera que apretar el botón rojo antes de los tres números, ¿Cuál sería el máximo de número de intentos? Si alguien sabe como minimizar el números de intentos por favor expliquemelo, a ver si aprendo (No sé la respuesta)
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jueves, 15 de agosto de 2013
1198 - Números dados vuelta
En un display digital, ciertos números cuando se invierten dan origen a números válidos (diferentes o iguales al original)
Así por ejemplo el 1995 pasa a ser el 5661 y el 1881 es el mismo cuando se lo da vuelta.
Los primeros diez números que pueden invertirse son 1,2, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12 y 15
¿Cuál es el número 1000000 que puede invertise ?
Así por ejemplo el 1995 pasa a ser el 5661 y el 1881 es el mismo cuando se lo da vuelta.
Los primeros diez números que pueden invertirse son 1,2, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12 y 15
¿Cuál es el número 1000000 que puede invertise ?
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