¿Sabrían decirme cual es el dígito que falta?
Justificar (como en el colegio, jaja)
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miércoles, 7 de noviembre de 2012
1032 - Sin usar calculadora y/o computadora y/o...
229 tiene todas los dígitos menos uno, sin hacer la cuenta,
¿Sabrían decirme cual es el dígito que falta?
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Por el enunciado, 2^29 tiene nueve dígitos diferentes, todos menos N. Como los diez dígitos suman 45, N no puede ser 0, 3, 6 o 9 porque 45-N sería divisible entre 3 y 2^29 solo es divisible entre 2.
ResponderEliminarComo los dos últimos dígitos de las potencias de 2 se repiten en un ciclo de 20, los de 2^29 son los mismos que los de 2^9, que es 512. Por tanto N no puede ser 1 ni 2.
Como 2^10 es aproximadamente 1000, 2^29 es aproximadamente 2^9*1000000, y como 2^9 es 512, 2^29 también empieza por 5, luego N no puede ser 5.
Así que de momento N solo puede ser 4, 7 u 8.
El residuo de dividir una potencia de 2 entre 3 solo puede ser 1 o 2, 2 si es una potencia impar y 1 si es par. En nuestro caso el residuo es 1.
ResponderEliminarPara que 45-N dé residuo 1 al dividirlo entre 3, N debe ser 1, 4 o 7. Como ya hemos descartado el 1, N es 4 o 7.
Ya queda poco...
2^6 es 64, 9*7+1. El residuo de (2^k)/9 es el mismo de (2^(k+6))/9, pues (2^6) no altera el residuo ya que al multiplicar por 64 el residuo se multiplica por 1.
ResponderEliminarPor tanto, el residuo de 2^29/9 es el mismo de 2^5/9, ya que 29=6*4+5. Como el residuo de 32/9 es 5, también lo es el de 2^29/9.
La suma de los dígitos de 2^29 es 45-N. Como el residuo de (45-N)/9 es 5, 45-N=41, luego N es 4.
Eso es, 2^3 = -1 modulo 9, 2^3*9+2 = 2^3*9 x 2^2 = -4 = 5 modulo 9
Eliminar(la suma de todos los digitos da 45 = 0 mod 9), o sea falta
el 4
Así es mucho más fácil... ;-)
ResponderEliminarComo curiosidad, hasta 2^68 no se consigue una potencia de 2 con todos los dígitos.