971 - Cincuenta

Es el producto de números primos: 50 = 2 · 5²
El número 50 tiene seis divisores: 1, 2, 5, 10, 25, 50.
El número 50 es un número deficiente  s (50) = 1 + 2 + 5 + 10 + 25 = 43 < 50.
Como una suma de cuatro o menos cuadrados: 50 = 1² + 7² = 5² + 5²  =  1² + 2² + 3² + 6²
Es el número más pequeño que puede ser escrito como la suma de dos cuadrados distintos de cero de dos maneras diferentes.


Es la suma de nueve o menos cubos: 50 = 1³ + 1³ + 2³ + 2³ + 2³ + 2³ + 2³ + 2³
El número 50 es el tercero de los 15 números que pueden escribirse como la suma de ocho cubos, pero no menos.


El número 50 aparece en cuatro ternas pitagóricas: [14, 48, 50], [30, 40, 50], [50, 120, 130], [50, 624, 626].
Ninguna de ellas es primitiva porque el 50 es el doble de un número impar.
Como una suma de dos primos impares: 
3 + 47, 7 + 43, 13 + 37 y 19 + 31.


El número 50 es uno de los tres números n para el cual  el número de números primos hasta 2n
es igual que n / 2. (Primer Curios) 
Los otros dos son el 48 y  el 60.


Podemos dividir los números primos menores  de 50/2 en dos grupos, de modo que la suma de cada grupo sea igual a 50.

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971 - Cincuenta

970 - Metiendo el 12

1225 = 35² 

112225 = 335² 

11122225 = 3335² 

1111222225 = 33335²

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970 - Metiendo el 12

969 - Primos con promedios primos

El 3 y el 11 son dos números primos, cuyo promedio también es primo, 
(3+11)/2  = 7


Si agregamos a este grupo el primo 23, los promedios siguen siendo primos :
(3+23)/2 = 13 y (11+23)/2 = 17


Podemos seguir agregando primos de forma tal que los promedios sean siempre primos, así para 3, 11, 23, 71 los seis promedios son primos diferentes.

¿Qué otros dos primos podemos agregar a este grupo para que los quince promedios sean números primos diferentes?

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969 - Primos con promedios primos

968 - Primos con los mismos dígitos

Con dos dígitos es posible formar dos números distintos y hay varios ejemplos en los cuales estos números son los dos primos, por ejemplo con  1 y 7:  17 y 71, con 1 y 3 = 13 y 31


Con cinco dígitos es posible formar 120 números diferentes. Con los siguientes cinco dígitos 1,3,7,8 y 9 es posible formar 39 números primos diferentes:



13789, 13879, 17389, 17839, 18379, 18397, 18793, 18973, 19387, 37189,
38197, 38791, 38917, 38971, 71389, 71983, 73189, 73819, 78139, 78193,
79813, 81937, 81973, 83719, 83791, 87931, 89137, 89317, 89371, 91387,
91837, 91873, 93187, 93871, 97381, 97813, 98317, 98713, 98731

¿Cuáles son las mayores cantidad de primos que se pueden formar con los mismos n dígitos, para n =3 ,4 , 6, etc?

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968 - Primos con los mismos dígitos

967 - Otro como el 133

El número 133 es uno de los números que es igual al producto de la suma de sus dígitos por la suma de los cuadrados de sus dígitos:


133 : (1+3+3) x (1²+3²+3²) = 133




¿Qué otros números presentan esta característica?

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967 - Otro como el 133

966 - Empezando con una letra diferente

Si multiplicamos al número uno por las primeras potencias de dos (2⁰, 2¹, 2², etc) obtenemos :


1 Uno 
2 Dos 
4 Cuatro
8 Ocho


El siguiente número en esta serie es el Dieciséis, el cual empieza con D al igual que el dos.  


Multiplicando en cambio, el uno, repetidamente por las primeras siete potencias de tres obtenemos, siete números que empiezan cada uno con una letra diferente.


   1  Uno
   3  Tres
   9  Nueve
  27 Veintisiete
  81 Ochenta y uno
243 Doscientos cuarenta y tres
729 Setecientos veintinueve

¿Cuál es el número que al multiplicar sus primeras nueve potencias (del cero al ocho) por uno, genera nueve números que empiezan con letras diferentes?

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966 - Empezando con una letra diferente

965 - Metiendo el 42

4225 = 65² 

442225 = 665²

44422225 = 6665²

4444222225 = 66665²

444442222225 = 666665²

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965 - Metiendo el 42

964 -Sacando un dígito obtengo un divisor

El número 781 es uno de los números a los cuales le podemos sacar alguno de sus dígitos, a excepción del primero y del último, y  así obtener un divisor de si mismo.

781 = 71 x 11

Otros ejemplos son 

891 = 81 x 11   

2925 =  225 x 13

¿Cuál es el mayor número con esta característica?

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964 -Sacando un dígito obtengo un divisor

963 - Siguiendo la serie

1  (Uno) es obviamente el menor número entero compuesto de una sola palabra.


104 (Ciento Cuatro) es el menor número entero compuesto por dos palabras las cuales comienzan ambas con la misma letra. 


¿Cuáles son los siguientes números de esta serie?

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963 - Siguiendo la serie

962 - Divisores que no se dividen

Dentro de los divisores de un número podemos formar subgrupos (ND) de divisores en los cuales ninguno de los integrantes de dicho subgrupo divide a otro de los integrantes del subgrupo.
Por ejemplo para 36 los divisores son = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Ejemplos de algunos subgrupos ND para el 36 serían = {2, 3} ;  {4, 6, 9} y {12, 18} 
En este caso el subgrupo con mas divisores que se puede formar tiene 3 elementos


El número 5400 tiene 48 divisores : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 36, 40, 45, 50, 54, 60, 72, 75, 90, 100, 108, 120, 135, 150, 180, 200, 216, 225, 270, 300, 360, 450, 540, 600, 675, 900, 1080, 1350, 1800, 2700, 5400}


¿Cuál es el subgrupo ND con mas elementos que se puede formar con los divisores del 5400?

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962 - Divisores que no se dividen

961 - Caminando

Para recorrer completamente la muralla china hay que hacer aproximadamente diez millones de pasos.

La muralla tiene 8852 Km y un paso entre 69.96 y 97.44 cm. 

Fuente Wolfram alpha

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961 - Caminando

960 - Números consecutivos con un número par de divisores primos

El otro día encontré esto :
Grupo de 15 números consecutivos con exactamente cuatro divisores primos cada uno descubiertos por Tony Forbes


N = 488995430567765317569


N =         3 x 3 x 3 x 18110941872880196947
N+1  =    2 x 5 x 11 x 4445413005161502887
N+2  =    6917 x 19973 x 130843 x27051617
N+3  =    2 x 2 x 3 x 40749619213980443131
N+4  =    13 x 17 x 283 x 7818547728247211
N+5  =    2 x 7 x 7 x 4989749291507809363
N+6  =    3 x 5 x 5 x 6519939074236870901
N+7  =    2 x 2 x 2 x 61124428820970664697
N+8  =    149 x 28229 x 4622647 x 25149671
N+9  =    2 x 3 x 3 x 27166412809320295421
N+10  =  31 x 2963 x 34871 x 152667661633
N+11  =  2 x 2 x 5 x 24449771528388265879
N+12  =  3 x 7 x 11 x 2116863335791191851
N+13  =  2 x 37 x 922213309 x 7165420727
N+14  =  19 x 29 x 60607 x 14643011879719

La tarea, mucho mas fácil, es encontrar siete números consecutivos con un número par de divisores primos cada uno (contando repeticiones)

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960 - Números consecutivos con un número par de divisores primos

959 - Nueve números consecutivos con 48 divisores cada uno

Grupo de nueve números consecutivos que tienen 48 divisores cada uno, encontrados en 1990 por Ivo Duntschand Roger Eggleton.


17796126877482329126044 = 2² * 7 * 4327 * 456293 * 321911699243
17796126877482329126045 = 5 * 17² * 47 * 53 * 4944062119125691
17796126877482329126046 = 2 * 3² * 179 * 5171 * 1068133213285183
17796126877482329126047 = 11⁵ * 23 * 107 * 44900425217777
17796126877482329126048 = 2⁵ * 19 * 6376424429 * 4590338339
17796126877482329126049 = 3 * 13² * 241 * 557 * 261484106225711
17796126877482329126050 = 2 * 5² * 11831 * 189043 * 159137830837
17796126877482329126051 = 7⁵ * 29 * 351121 * 103987345177
17796126877482329126052 = 2² * 3 * 149 * 991723 * 10036160394373

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959 - Nueve números consecutivos con 48 divisores cada uno

958 - Suma de los dígitos de las potencias

Si calculamos todas las potencias desde 1¹ hasta 99⁹⁹ ,


¿Cuál es el resultado cuya suma de sus dígitos es mayor?


Por ejemplo 5⁴ = 625 = suma de dígitos = 13

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958 - Suma de los dígitos de las potencias

957 - Capicúa por capicúa = ...Capicúa II

Hace un tiempo había publicado productos capicúas de factores capicúas, aquí va otro listado de este tipo

10201 x 10301 = 105080501
10201 x 11011 = 112323211
10201 x 11111 = 113343311
10201 x 11211 = 114363411
10201 x 11311 = 115383511
10201 x 12021 = 122626221
10201 x 12121 = 123646321
10201 x 12221 = 124666421
10201 x 12321 = 125686521
10201 x 13031 = 132929231
10201 x 13131 = 133949331
10201 x 13231 = 134969431
10201 x 13331 = 135989531
10201 x 20002 = 204040402
10201 x 20102 = 205060502
10201 x 20202 = 206080602
10201 x 21012 = 214343412
10201 x 21112 = 215363512
10201 x 21212 = 216383612
10201 x 22022 = 224646422
10201 x 22122 = 225666522
10201 x 22222 = 226686622
10201 x 23032 = 234949432
10201 x 23132 = 235969532
10201 x 23232 = 236989632
10201 x 30003 = 306060603
10201 x 30103 = 307080703
10201 x 31013 = 316363613
10201 x 31113 = 317383713
10201 x 32023 = 326666623
10201 x 32123 = 327686723
10201 x 33033 = 336969633
10201 x 33133 = 337989733
10201 x 40004 = 408080804
10201 x 41014 = 418383814
10201 x 42024 = 428686824
10201 x 43034 = 438989834
10301 x 11011 = 113424311
10301 x 11111 = 114454411
10301 x 11211 = 115484511
10301 x 12021 = 123828321
10301 x 12121 = 124858421
10301 x 12221 = 125888521
10301 x 20002 = 206040602
10301 x 20102 = 207070702
10301 x 21012 = 216444612
10301 x 21112 = 217474712
10301 x 22022 = 226848622
10301 x 22122 = 227878722
10301 x 30003 = 309060903
10301 x 31013 = 319464913
10301 x 32023 = 329868923
10401 x 11011 = 114525411
10401 x 11111 = 115565511
10401 x 20002 = 208040802
10401 x 20102 = 209080902
10401 x 21012 = 218545812
10401 x 21112 = 219585912
10501 x 11011 = 115626511
10501 x 11111 = 116676611
10601 x 11011 = 116727611
10601 x 11111 = 117787711
10701 x 11011 = 117828711
10701 x 11111 = 118898811
10801 x 11011 = 118929811
11011 x 11111 = 122343221
11011 x 11211 = 123444321
11011 x 11311 = 124545421
11011 x 11411 = 125646521
11011 x 11511 = 126747621
11011 x 11611 = 127848721
11011 x 11711 = 128949821
11011 x 12021 = 132363231
11011 x 12121 = 133464331
11011 x 12221 = 134565431
11011 x 12321 = 135666531
11011 x 12421 = 136767631
11011 x 12521 = 137868731
11011 x 12621 = 138969831
11011 x 13031 = 143484341
11011 x 13131 = 144585441
11011 x 13231 = 145686541
11011 x 13331 = 146787641
11011 x 13431 = 147888741
11011 x 13531 = 148989841
11011 x 20002 = 220242022
11011 x 20102 = 221343122
11011 x 20202 = 222444222
11011 x 20302 = 223545322
11011 x 20402 = 224646422
11011 x 20502 = 225747522
11011 x 20602 = 226848622
11011 x 20702 = 227949722
11011 x 21012 = 231363132
11011 x 21112 = 232464232
11011 x 21212 = 233565332
11011 x 21312 = 234666432
11011 x 21412 = 235767532
11011 x 21512 = 236868632
11011 x 21612 = 237969732
11011 x 22022 = 242484242
11011 x 22122 = 243585342
11011 x 22222 = 244686442
11011 x 22322 = 245787542
11011 x 22422 = 246888642
11011 x 22522 = 247989742
11011 x 30003 = 330363033
11011 x 30103 = 331464133
11011 x 30203 = 332565233
11011 x 30303 = 333666333
11011 x 30403 = 334767433
11011 x 30503 = 335868533
11011 x 30603 = 336969633
11011 x 31013 = 341484143
11011 x 31113 = 342585243
11011 x 31213 = 343686343
11011 x 31313 = 344787443
11011 x 31413 = 345888543
11011 x 31513 = 346989643
11011 x 40004 = 440484044
11011 x 40104 = 441585144
11011 x 40204 = 442686244
11011 x 40304 = 443787344
11011 x 40404 = 444888444
11011 x 40504 = 445989544
11111 x 11211 = 124565421
11111 x 11311 = 125676521
11111 x 11411 = 126787621
11111 x 11511 = 127898721
11111 x 12021 = 133565331
11111 x 12121 = 134676431
11111 x 12221 = 135787531
11111 x 12321 = 136898631
11111 x 13031 = 144787441
11111 x 13131 = 145898541
11111 x 20002 = 222242222
11111 x 20102 = 223353322
11111 x 20202 = 224464422
11111 x 20302 = 225575522
11111 x 20402 = 226686622
11111 x 20502 = 227797722
11111 x 21012 = 233464332
11111 x 21112 = 234575432
11111 x 21212 = 235686532
11111 x 21312 = 236797632
11111 x 22022 = 244686442
11111 x 22122 = 245797542
11111 x 30003 = 333363333
11111 x 30103 = 334474433
11111 x 30203 = 335585533
11111 x 30303 = 336696633
11111 x 31013 = 344585443
11111 x 31113 = 345696543
11111 x 40004 = 444484444
11111 x 40104 = 445595544
11211 x 12021 = 134767431
11211 x 12121 = 135888531
11211 x 20002 = 224242422
11211 x 20102 = 225363522
11211 x 20202 = 226484622
11211 x 21012 = 235565532
11211 x 21112 = 236686632
11211 x 22022 = 246888642
11211 x 30003 = 336363633
11211 x 30103 = 337484733
11211 x 31013 = 347686743
11211 x 40004 = 448484844
11311 x 12021 = 135969531
11311 x 20002 = 226242622
11311 x 20102 = 227373722
11311 x 21012 = 237666732
11311 x 21112 = 238797832
11311 x 30003 = 339363933
11411 x 20002 = 228242822
11411 x 20102 = 229383922
11411 x 21012 = 239767932
12021 x 20002 = 240444042
12021 x 20102 = 241646142
12021 x 20202 = 242848242
12021 x 21012 = 252585252
12021 x 21112 = 253787352
12021 x 21212 = 254989452
12021 x 30003 = 360666063
12021 x 30103 = 361868163
12021 x 40004 = 480888084
12121 x 20002 = 242444242
12121 x 20102 = 243656342
12121 x 20202 = 244868442
12121 x 21012 = 254686452
12121 x 21112 = 255898552
12121 x 30003 = 363666363
12121 x 30103 = 364878463
12121 x 40004 = 484888484
12221 x 20002 = 244444442
12221 x 20102 = 245666542
12221 x 20202 = 246888642
12221 x 21012 = 256787652
12221 x 30003 = 366666663
12221 x 30103 = 367888763
12221 x 40004 = 488888884
12321 x 20002 = 246444642
12321 x 20102 = 247676742
12321 x 21012 = 258888852
12321 x 30003 = 369666963
12421 x 20002 = 248444842
12421 x 20102 = 249686942
13031 x 20002 = 260646062
13031 x 20102 = 261949162
13031 x 30003 = 390969093
13131 x 20002 = 262646262
13131 x 20102 = 263959362
13131 x 30003 = 393969393
13231 x 20002 = 264646462
13231 x 20102 = 265969562
13231 x 30003 = 396969693
13331 x 20002 = 266646662
13331 x 20102 = 267979762
13331 x 30003 = 399969993
13431 x 20002 = 268646862
13431 x 20102 = 269989962
14041 x 20002 = 280848082
14141 x 20002 = 282848282
14241 x 20002 = 284848482
14341 x 20002 = 286848682
14441 x 20002 = 288848882
20002 x 20102 = 402080204
20002 x 20202 = 404080404
20002 x 20302 = 406080604
20002 x 20402 = 408080804
20002 x 21012 = 420282024
20002 x 21112 = 422282224
20002 x 21212 = 424282424
20002 x 21312 = 426282624
20002 x 21412 = 428282824
20002 x 22022 = 440484044
20002 x 22122 = 442484244
20002 x 22222 = 444484444
20002 x 22322 = 446484644
20002 x 22422 = 448484844
20002 x 23032 = 460686064
20002 x 23132 = 462686264
20002 x 23232 = 464686464
20002 x 23332 = 466686664
20002 x 23432 = 468686864
20002 x 24042 = 480888084
20002 x 24142 = 482888284
20002 x 24242 = 484888484
20002 x 24342 = 486888684
20002 x 24442 = 488888884
20102 x 21012 = 422383224
20102 x 21112 = 424393424
20102 x 22022 = 442686244
20102 x 22122 = 444696444
20102 x 23032 = 462989264
20102 x 23132 = 464999464
20202 x 21012 = 424484424
20202 x 22022 = 444888444
20302 x 21012 = 426585624
20402 x 21012 = 428686824
54145 x 92829 = 5026226205
54945 x 92729 = 5094994905
55555 x 97779 = 5432112345
58685 x 96769 = 5678888765
70007 x 88088 = 6166776616
72627 x 89298 = 6485445846
74547 x 82628 = 6159669516
75257 x 84348 = 6347777436
76967 x 83538 = 6429669246
77077 x 80008 = 6166776616
77777 x 85558 = 6654444566

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957 - Capicúa por capicúa = ...Capicúa II

956 - Semiprimos consecutivos con igual suma de sus dígitos

- Yo tengo mas figuritas que vos - le dijo Tomás a Matías
- Es verdad, pero la suma de las cifras de la cantidad de figuritas que tengo yo, es igual a la suma de las cifras de la cantidad de figuritas que tenés vos.
- Eso no es todo - dijo la maestra mientras escuchaba la conversación - cada uno de ustedes dos tiene una cantidad de figuritas igual a un número semiprimo, y la cantidad que tiene Tomás es curiosamente el semiprimo que le sigue al de Matías


Sabiendo que estos números son los menores semiprimos con estas características,  


¿Cuántas figuritas tenía cada uno de los chicos?

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956 - Semiprimos consecutivos con igual suma de sus dígitos

955 - El 364

364² = 132 496                          y   496 − 132 = 364
364³ = 48 228 544                      y   544 − 228 + 48 = 364
364⁴ = 17 555 190 016                y   016 − 190 + 555 − 17 = 364
364⁵ = 6 390 089 165 824            y   824 − 165 + 089 − 390 + 6 = 364
364⁶ = 2 325 992 456 359 936      y   936 − 359 + 456 − 992 + 325 − 2 = 364
364⁷ = 846 661 254 115 016 704   y  704 − 016 + 115 − 254 + 661 − 846 = 364

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955 - El 364

954 - Productos escalerita

Flora e Isidoro viven en la misma calle, pero a unas cuadras de diferencia.
Ambos viven entre el 100 y el 999 de la calle Escalerita. Lo curioso es que  los seis dígitos de los números  de sus respectivas casas son diferentes y el producto están en escalerita, o sea que están ordenados de menor a mayor.
¿Cuáles son los números de las casas de Flora e Isidoro?


Un ejemplo del producto escalerita sería  138 x 331 = 45678, claro que en este caso 138 y331 tienen varios dígitos repetidos

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954 - Productos escalerita

953 - Un primo, un cuadrado de un primo y un cubo de un primo en progresión aritmética II

El número 23, el número 25 y el número 27 son respectivamente un número primo, un cuadrado de un número primo y un cubo de un número primo. Estos tres números además están en progresión aritmética con una diferencia común igual a dos.

Yo he encontrado muchos tríos de este tipo, y una gran variedad de diferencias comunes, 

¿Cuál será la menor diferencia común, mayor que dos, que existe en un trío de este tipo ?

Pd : yo tengo un valor, pero no sé si es el menor

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953 - Un primo, un cuadrado de un primo y un cubo de un primo en progresión aritmética II

952 - Un primo, un cuadrado de un primo y un cubo de un primo en progresión aritmética I

El número 23, el número 25 y el número 27 son respectivamente un número primo, un cuadrado de un número primo y un cubo de un número primo. Estos tres números además están en progresión aritmética con una diferencia común igual a dos.

Yo he encontrado muchos tríos de este tipo, y una gran variedad de diferencias comunes, 

¿Cuál será el siguiente trío en el que el primo sea el menor posible?

Pd : yo tengo un valor, pero no sé si es el menor

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952 - Un primo, un cuadrado de un primo y un cubo de un primo en progresión aritmética I