346 - Los primos mas primos II

Al enterarse que los primos Gontaretti se adjudicaban ser los primos mas primos, los tres primos Umansky se quejaron y se presentaron a un jurado de matemáticos para demostrar que ellos eran los primos mas primos.
- Acaso en su vida tuvieron los tres simultaneamente edades primas mas  veces que los Gontaretti? les preguntaron
- No, pero somos los que, habiendo tenido los tres simultaneamente edades primas, a su vez en esos años (salvo uno) la suma de nuestras edades también eran números primos.
- Y que edad tiene usted ?
- Yo soy el mayor y tengo 85, y obviamente que los tres tenemos edades distintas.

¿Que edad tenían estos tres primos la primera vez que tuvieron los tres una edad prima?

Actualización: Mmonchi encontró la respuesta y la escribió en los comentarios.

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346 - Los primos mas primos II

345 - Los primos mas primos I

Los tres primos gontaretti, que tenían edades distintas y habían nacido el mismo día del año, se jactaban de que eran los primos mas primos.
Uno de sus nietos le preguntó al primo mayor, que querían decir con que eran "los primos mas primos".
Mirá, David es muy simple, pensá en vos y en tu hermana a la que le llevas dos años.
Cuando vos tenías 5 años y ella 3. los dos tenían edades primas, después de de dos años vos tenías 7 y ella 5 y volvíeron a tener ambos edades primas, lo mismo pasó cuando tenías 13 y  ella 11, y asi durante varios años de vuestras vidas habrá fechas en las que ambos tendrán  edades prima.
Bueno lo mismo pasó con nosotros a lo largo de nuestra vida y ahora, que tengo ochenta años, puedo decir que de todos los grupos de tres familiares nacidos en la misma fecha del año, con edades distintas y no siendo ninguno  mayor de ochenta años. somos los primos que más veces durante una vida tuvimos los tres una edad prima.

¿Que edad tenian estos tres primos la primera vez que tuvieron los tres una edad prima?
y
¿Cuántas veces durante su vida tuvieron una edad prima los tres, considerandola después de que los tres hayan cumplido años?

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345 - Los primos mas primos I

344 - ¿Sabía usted...

...  que la suma de todos los números primos comprendidos entre el 7 y el 53 inclusive es igual al producto de esos dos números?

Así: 371 = 7×53 = 7+11+13+17+19+23+29+31+37+41+43+47+53

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344 - ¿Sabía usted...

343 - Curiosidad del 243

1/243 = 

0.004115226337448559670781893

(R. P. Feyman & R. Leighton, 1997).

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343 - Curiosidad del 243

342 - Una nueva estrella

El año pasado (2009) nació una estrella, y curiosamente en el año 2025 tanto el año como la edad de la estrella serán cuadrados perfectos (16 = 4² y 2025 = 45²)*

¿Cuales serán los proximos años en que tanto la edad de la estrella como el año en curso serán cuadrados perfectos?

Y si la esrella hubiera nacido el año que viene, ¿en que año se hubiera dado  la primera vez en que su edad y el año fueran cuadrados perfectos?

* Corregido, gracias a Arkie y Pablo Sanchez
Actualización : La respuesta está en los comentarios y fue dada por Arkie

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342 - Una nueva estrella

341 - Susan y los mentirosos

Al volver del recreo, Susan la teacher de inglés vió que los alumnos habían escrito algunas obscenidades en el pizarrón.
Al interrogar a los cinco alumnos que estaban presentes en el aula, Susan obtuvo estas respuestas:


Alan :  Fue Bernardo o Carlitos
Bernardo : Ni yo, ni Esteban lo hicimos
Carlitos : Ustedes dos mienten
Dario: No Carlitos, ó Alan ó Bernardo dice la verdad
Esteban: No Dario, eso no es verdad.


Como Susan  los conoce bien, sabe que hay tres de los chicos que nunca mienten, en tanto que los otros dos son mentirosos, por lo tanto supo enseguida quien era el culpable.
Ustedes que no los conocen , 

 ¿Sabrían decirme quien era el culpable?

Actualización: La respuesta está en los comentarios y la dio Pablo Sussi

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341 - Susan y los mentirosos

340 - Vela larga y vela corta

Hace unos días aquí en Buenos Aires hubo varias tormentas que dejaron a media ciudad inundada y por lo tanto sin luz.


Estando yo en mi casa, noté que tenía solo dos velas, una de las cuales era un centímetro más larga que la otra.
Prendí a las 16:30 Hs. la más larga, y a las 18Hs. la corta.  Como no tenía mucho para hacer me quedé mirando las velas y exactamente a las 20:30Hs. las dos tenían el mismo largo. 
Finalmente a las 22 Hs. se consumió la corta y a las 22:30 Hs. la larga.
Si asumimos que las velas se consumían a velocidad constante, 

¿Cuál era el largo de las velas antes de prenderlas?

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340 - Vela larga y vela corta

339 - Jugando a la lotería

El otro día jugando a la lotería con mis sobrinas, en una bolsa tenían las bolillas numeradas del uno al cien. 
Antes de empezar mi cuñado me dijo :

_ A vos que te gustan los números , decime cuántas bolillas hay que sacar para estar seguros de que el producto de las bolillas sacadas sea múltiplo de 10.

Y esa es la pregunta que yo les hago a ustedes.

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339 - Jugando a la lotería

338 - La máquina de pirulo

El mago pirulo tenía una máquina mágica en la que cuando uno la prendía, aleatoriamente, le sumaba uno al  total de billetes que  tenía o duplicaba dicha cantidad.


El otro día la prendió sin ningún billete y al poco tiempo apareció el primer billete y a los cinco minutos  había 2010 billetes.

¿Cuál es la menor cantidad de operaciones que necesita dicha máquina para llegar a 2010 desde 0?

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338 - La máquina de pirulo

337 - Maravillas de las matemáticas : Ida y vuelta

94 = 47×2 y dandolo vuelta:  49 = 47+2

994 = 497×2 y dandolo vuelta: 499 = 497+2

9994 = 4997×2 y dandolo vuelta:  4999 = 4997+2

99994 = 49997×2 y dandolo vuelta:  49999 = 49997+2

...

...

.....

999.999.999.994 = 499.999.999.997×2 y dandolo vuelta: 499.999.999.999 = 499.999.999.997+2

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337 - Maravillas de las matemáticas : Ida y vuelta

336 - El 336

336 = (3¹+3¹+6¹) + (3²+3²+6²) + (3³+3³+6³)

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336 - El 336

335 - Los hermanos Decadenti

Los cuatro hermanos decadenti se dieron cuenta que este año el producto de sus edades da exactamente 10!  (10x9x8x7x6x5x4x3x2x1= 3.628.800)

¿Cuáles son las edades de los hermanos sabiendo que la suma de las mismas es la menor posible?

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335 - Los hermanos Decadenti

334 - Una bonita particularidad de los García

La familia García presenta una bonita particularidad, el padre es mayor que la madre, pero se da la casualidad que este año, la edad del padre tiene los mismos dígitos (obviamente que invertidos) que la edad de la madre, en tanto que la edad del hijo es igual a la raíz cuadrada de la resta de los cuadrados de la  edad de sus padres.

¿Cuáles son las edades de los García?

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334 - Una bonita particularidad de los García

333 - Nuevos castigos matemáticos

Nuestra inquieta profesora sigue pensando diabólicos castigos para su alumno estrella.
Esta vez solo le pidió que sumara todos los múltiplos de 3, de 5 y de 7 que hay entre 1 y 1000000000 (mil millones)

¿Alguien se anima?

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333 - Nuevos castigos matemáticos

332 - Triángulos pitagóricos

¿Cuál  es el menor entero positivo que es la hipotenusa de dos triángulos pitagóricos diferentes?

o sea buscamos el menor Z, tal que Z² = X² + Y² para dos pares de X e Y diferentes.

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332 - Triángulos pitagóricos

331 - La casa de Roberto

La calle en la que vive  Roberto presenta una curiosidad. El vive en el lado impar de la calle, y hay casas con todos los números impares, asi hay una casa con el número 1, la siguiente tiene el número 3, la de al lado tiene el 5, etc. La última casa de esta calle tiene un número menor a 2999.


La casa en la que vive Roberto tiene cuatro dígitos y si sumamos los números de las casas desde el inicio de la calle hasta la de Roberto inclusive, la suma nos da exactamente igual a la suma de los números de las casas desde la de Roberto hasta la última inclusive.

¿Cuál es el número de la casa de Roberto?

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331 - La casa de Roberto

330 - El curioso 510510

¿Qué tiene de curioso el número 510510?

Es el producto de dos números consecutivos : 714  x  715

También es el producto de los primeros siete primos :

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 

Y también es el producto de cuatro números de Fibonacci consecutivos : 
13 x 21 x 34 x 55

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330 - El curioso 510510

329 - Diez mil y pico

10175 = 1¹+7²+5³+10⁴

10518 = 5¹+1²+8³+10⁴

10598 = 5¹+9²+8³+10⁴

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329 - Diez mil y pico

328 - Todos primos

En la siguiente multiplicación cada p representa un número primo de un solo dígito: 2, 3, 5 ó 7.

  ppp
    pp
------------
  pppp
pppp
--------
ppppp

¿Serás capaz de encontrar la solución a esta multiplicación?

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328 - Todos primos

327 - El abuelo generoso

Un abuelo repartió una determinada cantidad de monedas de oro entre sus 5 nietos.
A cada uno de los nietos le dio una cantidad distinta y cuanto mas grande era el nieto mas le dio, cosa que ellos sabían.
Sin embargo no le dijo a ninguno de los nietos cuanto le dio a los otros.
Los nietos sabían cuantas monedas eran las que el abuelo tenía en total para repartir, pero a pesar de ello ninguno pudo deducir con exactitud cuanto recibió cada uno de los otros nietos.

¿Cuál es la menor cantidad de monedas que pudo haber repartido el abuelo?

¿Cuantas recibió el mayor?

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327 - El abuelo generoso

326 - El problema de las 23 soluciones

Todas las personas a los que nos gusta los acertijos / puzzles nos hemos hallado en alguna ocasión con este problema:
Dados los números 1 2 3 4 5 6 7 8 9 intercalar entre ellos los signos + ó - convenientemente para que el resultado sea exactamente 1. 
También es válido poner el signo menos antes del uno.
Claro que este problema tiene muchas soluciones. 
Buscando y calculando he encontrado 23 soluciones posibles. Quizás haya mas.

¿Alguien se anima a encontrarlas? 

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326 - El problema de las 23 soluciones

325 - Las familias centenarias

Los López y los González son dos familias amigas, cada una de las cuales tiene cuatro integrantes, un padre, una madre y dos hijos. 
Curiosamente la suma de las edades de los integrantes de cada familia da exactamente cien.
Además en cada familia se da que la suma de los cuadrados de las edades de los niños más el cuadrado de la edad de la madre es exactamente igual al cuadrado de la edad del padre.
Si los hijos de los López se llevan un año y los de los González dos años, 

¿Cuáles son las edades de los integrantes de cada familia?

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325 - Las familias centenarias

324 - Susana y Roxana

El profesor elige un número de dos cifras y le da la suma de sus dígitos a Susana y la resta del  dígito mayor menos el menor a Roxana .
El profesor les pregunta si con ese solo dato pueden decir cual es el número que él pensó.
 
Ambas alumnas dicen que no pueden deducir cual es el número  que pensó el profesor, ya que hay muchos números que cumplen con el dato que cada una de ellas tienen .
El profesor les dice que casualmente no pueden deducir el número porque la cantidad (que es la mayor posible) de números de dos dígitos que tienen esa suma es igual a la cantidad de números de dos dígitos que tienen esa resta  y de los que cumplen no deben tomar ni el mayor, ni el menor de estos números y  que una vez  dicho esto ya deberían poder decir cual es el número.

¿Eso, cuál es el número?

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324 - Susana y Roxana

323 - Metiendo el 15

16  = 4²

1156 = 34² 

111556 = 334² 

11115556 = 3334²

^etc.

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323 - Metiendo el 15

322 - Usando todos los digitos una sola vez de ambos lados

Todos los siguientes números  son pandigitales (tienen todos los dígitos del 1 al 9 una sola vez) tanto ellos como sus factores:

129473856 = 4*6*8*93*7251

138729456 = 6*8*9*71*4523

162378594 = 6*7*9*51*8423

164597832 = 6*7*9*524*831

167495328 = 6*7*52*84*913

169857324 = 6*7*54*91*823

172349856 = 6*7*84*92*531

173429568 = 6*8*53*92*741

175349286 = 7*9*54*83*621

 Visto en la OEIS (Online Encyclopedia of Integer Sequences)

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322 - Usando todos los digitos una sola vez de ambos lados

321 - Fechas equidigitas

En un año bisiesto (366 días) es fácil ver que el día 1 de julio, o sea el día 183 del año, la cantidad de días del año transcurridos,183, tiene obviamente los mismos dígitos que los días que faltan para terminar el año, 183.

En un año no bisiesto como 2010,

¿en que fechas se dará el hecho de los días transcurridos tendrán los mismos dígitos que los días que falten para terminar el año?

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321 - Fechas equidigitas

320 - 1 , 27 y ...

Que particularidad tienen el 1 y el 27?


Que aparecen invertidos en el comienzo de sus propios cuadrados :
1² = 1
27² = 729


Curiosamente no  hay muchos otros números menores a 100000 que tengan esta propiedad, 

¿Cuáles son los  siguientes 2 números con esta propiedad?

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320 - 1 , 27 y ...

319 - Suma de tres cuartas potencias de dos maneras diferentes

6578 es el menor número que es igual a la suma de tres cuartas potencias de números diferentes de dos formas distintas 6578 = 1⁴+2⁴+9⁴ = 3⁴+7⁴+8⁴, pero 

¿Cuál es el menor número que es igual a la suma de tres cuartas potencias no necesariamente diferentes de dos maneras distintas?

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319 - Suma de tres cuartas potencias de dos maneras diferentes

318 - Valores romanos

En number gossip se nos dice que el número  67 presenta una propiedad  única al escribirse en números romanos, ya que  si tomamos los valores de las letras según la posición en el alfabeto inglés (A=1, B=2, etc) los valores de los caracteres usados en los numeros romanos son: (en inglés) C=3 D=4 I=9 L=12 M=13 V=22 X=24  y si sumamos los caracteres de 67 LXVII. obtenemos : 12 + 24 + 22 + 9 + 9 = 76.Vemos que en este caso  el resultado es justo el inverso del valor original del número.


Claro que para el español esto no funciona ya que en nuestro alfabeto aparece la Ñ y para los más puristas también la CH y los valores de las  letras cambian.


Asi tomando solo la Ñ los valores en español de los caracteres usados en los números romanos  son:
 C=3 - D=4 - I=9 -  L=12  - M=13 - V=23 - X=25


Y considerando la CH y la Ñ
C=3 - D=5 - I=10 - L=13 - M=14 - V=24 - X=26


Yo estuve buscando algún número que presentara esta particularidad pero no encontré ninguno salvo el 1,2 y el 3. que valen 10, 20 y 30  (con la CH y la Ñ) y podríamos tomar sus inversos como 01, 02 y 03.


En cambio encontré dos números (uno contando la CH y el otro no contándola.) que tienen su mismo valor al sumar los caracteres de su expresión en números romanos

¿Qué números son?

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318 - Valores romanos

317 - Buscando a k

Existen números (N) que tienen la particularidad de que ellos y uno de sus múltiplos  tomados en conjunto forman un número pandigital (tienen los diez digitos solo una vez),. como por ejemplo la solución de la entrada  312 El mayor sin repetidos

Es decir que N y k x N,  tienen entre los dos, los 10 dígitos (0-9) una y solo una vez
Claro que si k termina en 1 ó es 10 no permite generar un múltiplo que junto a su factor tengan los diez digitos una y solo una vez.
Lo curioso es que existe además otro de estos números k distinto a 1, 10 y 11 y menor a 30 que no puede generar ningun múltiplo que junto al numero N formen un número pandigital.

¿Cual es dicho k?

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317 - Buscando a k