279 - Numeros divisibles por su suma digital

Veamos estos números consecutivos de seis dígitos :
131052, 131053, 131054, 131055 y 131056

¿Qué particularidad presentan?
Que cada uno de ellos es divisible por la suma de sus dígitos:


131052 es divisible por 1+3+1+0+5+2= 12, y 131052 / 12 = 10921
131053 es divisible por 1+3+1+0+5+3= 13, y 131053 / 13 = 10081

131054 es divisible por 1+3+1+0+5+4= 14, y 131054 / 14 =  9361

131055 es divisible por 1+3+1+0+5+5= 15, y 131055 / 15 =  8737

131056 es divisible por 1+3+1+0+5+6= 16, y 131056 / 16 =  8191

Existe otro grupo de cinco números consecutivos de seis cifras que presentan además de esta particularidad, la propiedad que sus sumas digitales son iguales a las dos últimas cifras de cada uno de estos números.

¿Cuáles son esos cinco números?

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279 - Numeros divisibles por su suma digital

278 - Todo cuadrado

G, D  y N son tres hermanos que quieren comprar una play station 3. El problema es que entre los tres no juntan $500. Así que van a lo de su abuelo a pedirle el dinero que les falta.
- ¿Cuánta plata tienen? - Les preguntó el abuelo.
- Mirá, cada uno tiene una cantidad diferente de pesos, entre los tres tenemos un número cuadrado de pesos, y si sumamos los montos de dos cualquiera de nosotros, también sumamos un número cuadrado de pesos.
- Ah, entonces ya sé cuanto dinero tienen - dijo el abuelo.

¿Cuánta plata tienen cada uno de los hermanos?

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278 - Todo cuadrado

277 - Rebuscado I

Ya que varias personas me dedicaron un rebùs es hora de devolver favores.
Acá va el primero, sepan comprender que no soy un experto ni mucho menos.
Ah! y gracias Nico, por ayudarme a armarlo.

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277 - Rebuscado I

276 - Formar los números del 1 al 24

El boletin de  Luciana mostraba las siguientes notas:
3 7 9 5 2 6 10
Si realizamos todas las sumas posibles de las notas consecutivos, obtenemos:

"Sumando" de a una : 3, 7, 9, 5, 2, 6 y 10 
Sumando de a dos : 10, 16, 14, 7, 8 y 16
Sumando de a tres: 19, 21, 16, 13, y 18
Sumando de a cuatro: 24, 23, 22 y 23
Sumando de a cinco: 26, 29 y 32
Sumando de a seis : 32 y 39
Sumando los siete : 42

Ordenando las sumas : 2,3,5,6,7,8,9,10,13,14,16,18,19,21,22,23,24,26,29,32,39 y 42


Vemos que hay números que no se pudieron obtener (1,4,11,12, etc.)


El boletín de Alejandro en cambio, también tiene siete notas  pero si  realizamos todas las sumas posibles de las notas consecutivas de dicho boletin, obtenemos  cualquier número del 1 al 24.

¿Qué notas y en que orden tiene el boletín de Alejandro?

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276 - Formar los números del 1 al 24

275 - Comprando regalos para fin de año

Este año me ocurrió algo muy curioso comprando los regalos para fin de año de mis tres hijos. 
Ocurre que gasté exactamente $2009, y cada una de las cosas cosas que compré me costó más de $100, pero menos de $999. 
Entre los tres precios no se repite ningún digito.
Todas las cosas  costaron un monto entero de pesos.

El precio del regalo para mi hijo mayor era un cuadrado perfecto, en tanto que el precio de los otros dos regalos era un número primo.

¿Cuánto me costó cada regalo?

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275 - Comprando regalos para fin de año

274 - El inventor de la batalla naval

Cuenta la leyenda que el rey falsete era un apasionado de la batalla naval, es por ello que mandó llamar al inventor del juegopara recompensarlo.Luego de jugar algunas partidas el rey ofreció a dicho inventor concederle el premio que solicitara, el inventor que era un buen matemático (pero no tan vivo como el inventor del ajedrez), le pidió que pusiera un euro (ahora que vale más que el dolar), en la primera casilla, dos+tres euros en la segunda casilla, cuatro+cinco+seis euros en la tercera, siete+ocho+nueve+diez en la cuarta, y asi sucesivamente hasta la casilla número cien.
-Está bien - dijo el rey - pero solo te voy a dar los euros que ocupan la última casilla .
-No hay problema, con ese monto me conformo.

¿Cuánto cobró éste inventor?

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274 - El inventor de la batalla naval

273 - Cuatro consecutivos con cuatro factores diferentes

Los dos primeros números consecutivos que tienen dos factores primos diferentes son

14 = 2 × 7
15 = 3 × 5

Los tres primeros números consecutivos que tienen tres factores primos diferentes son:

644 = 2² × 7 × 23
645 = 3 × 5 × 43
646 = 2 × 17 × 19

Lo que se pide es encontrar los primeros cuatro números consecutivos que tienen cuatro factores primos diferentes

Este es un problema del project Euler (http://projecteuler.net/)

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273 - Cuatro consecutivos con cuatro factores diferentes

272 - Ordenando las cartas

Supongamos que de un mazo sacamos dos ases, dos 2, dos 3, dos 4, dos 5, dos 6 y dos 7.
Queremos ahora ordenarlos sobre la mesa de forma tal que los ases esten separados por una carta, los dos separados por dos cartas, los tres separados por tres cartas y asi sucesivamente hasta que los dos sietes esten separados por 7 cartas.
Claro que hay muchas formas de hacer esto (alrededor de 50, un ejemplo es 57236253471614), pero si leemos las cartas puestas sobre la mesa como si fueran un solo número,

¿Cuáles serían el menor y el mayor  número que podemos formar respetando esta regla de  separación? 

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272 - Ordenando las cartas

271 - El profesor, Pedro y Sergio

El profesor elige un número de dos cifras y le da la suma de sus dígitos a Sergio y el producto de los dígitos de dicho número a Pedro y les pide deducir cuál es el número elegido.
Como ninguno de los dos puede deducir el número, el profesor les dice:
- Es lógico que no lo puedan deducir, ya que las opciones que tiene  Sergio son exactamente el doble de las opciones que tiene Pedro.

-Ahora los dos podemos decir cual es el número.- Dijo uno de los alumnos.

¿Cuál es el número?

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271 - El profesor, Pedro y Sergio

270 - Cubo de diferencia o diferencia de cubos

En general (x - y)³ es distinto  a x³ - y³. Sin embargo para algunos valores de x e y tenemos que (x - y)³ = x³ - y³. 
Si tomamos 0 = x <= 2009, 0 = y< = 2009 y siendo ambos números enteros, 
¿Cuántos pares diferentes, de números (x, y) satisfacen (x - y)³ = x³ - y³ ?

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270 - Cubo de diferencia o diferencia de cubos

269 - Agujeros negros

Si escribimos todos los números del 1 al 1000000 y eliminamos aquellos que tengan algún dígito repetido (por ejemplo 11,22,3123,5441,etc) 
Nos quedaría una lista del tipo :1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,13, etc en la que habría algunos saltos en los números. 
Asi entre el 10 y el 12 hay un espacio de un número (11), claro que hasta el 1000000 habrá espacios más largos por ejemplo entre 98 y 102 hay un salto de 3 (99,100 y 101)

¿Cuál es el espacio más largo y entre que números está?

Pregunta adicional : ¿Cuántos números (hasta el 1000000) son los que tienen cifras repetidas?

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269 - Agujeros negros

268 - Dividiendo a 2009!

¿Cuál es la máxima potencia de 2009 que divide a 2009! (Factorial del 2009)?

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268 - Dividiendo a 2009!

267 - Increíble coincidencia

Diez chicos estaban en ronda, la profesora les pide que cada uno  diga a cada uno de sus vecinos un número. Así cada chico dice un número y escucha dos (uno de su vecino de la izquierda y otro del vecino de la derecha). Una vez que todos los chicos dijeron sus números, la profesora les pide que digan el promedio de los números que escucharon.
Increiblemente se escuchó : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

¿Qué número dijo cada chico?

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267 - Increíble coincidencia

266 - La fecha de hoy es una fecha bien cuadrada

¿Qué tiene de particular la fecha de hoy, 4 de diciembre de 2009?

Que si la expresamos tanto como dd/mm/aa (41209) o como mm/dd/aa (120409) obtenemos un número cuadrado, ya que 203² = 41209  y  347² = 120409.
Como bien me indicó 26 en los comentarios es una  fecha requetecuadrada ya que también es un cuadrado si lo expresamos aa/mm/dd 091204= 302²
 
Lo interesante es que a diferencia del  4 de abril de 2001 (40401 = 201²) , en el día de hoy, el número del día es diferente al número del mes.


La pregunta de hoy es : 

¿Cuál es la próxima fecha en la que el número del día es distinto al número del mes y que expresada  como dd/mm/aaaa  es una fecha cuadrada? 

Por ejemplo el 1 de enero de 2036 sería una fecha cuadrada porque 1012036 = 1006² , pero no vale como respuesta porque expresado como mm/dd/aaaa da el mismo cuadrado ya que el número del día es igual al número del mes.

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266 - La fecha de hoy es una fecha bien cuadrada

265 - ¿Qué hay más?

Qué hay más,

¿Números de tres dígitos con un número par de números pares o con un número impar de números pares?

Pd: el cero lo consideramos par.

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265 - ¿Qué hay más?

264 - Billetes curiosos

Muchos conocemos que :

987654321 - 123456789   =  864197532

Es decir que aqui tenemos un ejemplo de un número que tiene los dígitos ordenados de mayor a menor al que luego le restamos  el número formado con esos mismos dígitos pero ordenados de menor a mayor y obtenemos un tercer número que curiosamente es un anagrama de ellos (tiene los mismos dígitos que los dos anteriores pero en otro orden).


Yo tenía dos billetes, uno que tenía los nueve digitos ordenados de mayor a menor que tenía esa misma propiedad y  otro que tenía diez dígitos, también ordenados de mayor a menor, no tenía ceros y obviamente también tenía esa propiedad.

Nota: Estos billetes tenían dígitos repetidos.

¿Cuáles son los números de esos billetes?

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264 - Billetes curiosos

263 - Novios

Gustavo y Vanesa se pusieron de novios, como vivían cerca y no tenían como ir desde la casa de uno al otro, salvo en taxi o en auto, se solían encontrar a mitad de camino.
Si ambos salían a la misma hora, se encontraban exactamente 4 minutos después de salir, en cambio si Gustavo salía 3 minutos después que Vanesa se encontraban dos minutos después de que Gustavo había salido.
Si asumimos que cada uno de los novios caminaban siempre a la misma velocidad, 

¿Cuántos minutos tardaría  Gustavo

en llegar desde su casa a la casa de Vanesa?

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263 - Novios