127 - Como generar todos los Triples pitagoricos 2

733 = 7+3!+3!!

Bob Hein descubrió un método por sustitución de variables para la construcción de los infinitos triples pitagóricos

Se toma un triple pitagórico (A,B,C) , se lo ordena de las siguientes maneras:

a. (C, B, A)
b. (C, A, B)
c. (C, -A, B)

y se aplican las siguientes ecuaciones:

1. D = C – B
2. A1 = A0 + 2*D
3. B1 = A1 + A0 + B0
4. C1 = B1 + D

Por ejemplo con 3,4,5

a. Si (C0, B0, A0) = (5, 4, 3), entonces
D = 5 – 4 = 1
A1 = 3 + 2*1 = 5
B1 = 5 + 3 + 4 = 12
C1 = 12 + 1 = 13,
Por lo tanto, (C1, B1, A1) = (13, 12, 5)

b. Si (C0, A0, B0) = (5, 3, 4), entonces
D = 5 – 3 = 2
A1 = 4 + 2*2 = 8
B1 = 8 + 4 + 3 = 15
C1 = 15 + 2 = 17,
por lo tanto, (C1, B1, A1) = (17, 15, 8)

c. Si (C0, -A0, B0) = (5, -3, 4) entonces
D = 5 – (-3) = 8
A1 = 4 + 2*8 = 20
B1 = 20 + 4 + (-3) = 21
C1 = 21 + 8 = 29,
Por lo tanto (C1, B1, A1) = (29, 21, 20)


Supongamos que (C0, B0, A0) = (1 ,0, 1), entonces
D = 1 – 0 = 1
A1 = 1 + 2*1 = 3
B1 = 3 + 0 + 1 = 4
C1 = 4 + 1 = 5,
Por lo tanto, (C1, B1, A1) = (5, 4, 3)

Si (C0, B0, A0) = (5, 4, 3), entonces
D = 5 – 4 = 1
A1 = 3 + 2*1 = 5
B1 = 5 + 3 + 4 = 12
C1 = 12 + 1 = 13,
por lo tanto, (C1, B1, A1) = (13, 12, 5)

El próximo triple puede calcularse con las mismas fórmulas, pero ¿hay una forma más simple?
Si la hay:
Si A = es impar, entonces
B = (I*I)/2- 0.5, y C = B + 1
pero al ser I impar: I = 2*n + 1, entonces B = (2n+1)*(2n+1)/2 - 0.5
B = (4n² + 4n + 1)/2 - 0.5 = (2n² + 2n + 0.5) - 0.5 = 2*n*(n+1)
A = n + (n+1)
B = 2*n*(n+1)
C = B + 1

La regla es B primero, después C y por último A

Por Ejemplo: ¿Cuál es la solución para el impar N 500 :

B = 2*500*(500 + 1) = 501000,
C = 501001,
A = 500 + (500 + 1) = 1001
Así : (C, B, A) = (501001, 501000, 1001)
251002002001 = 251001000000 + 1002001
Este método puede usarse para cualquier número impar.

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127 - Como generar todos los Triples pitagoricos 2

126 - Nico y las modelos mellizas

2525 = (9–2)⁴ + (7–8)⁵ + (6–1)³

Ya contamos que Nico y sus amigos fueron a bailar y se encontraron con una modelo.
Esta vez, fue a bailar con un amigo y conocieron a las modelos mellizas, impre y sionante.
Cuando les pidieron el teléfono ellas les dijeron:

Impre -Mi número tiene siete digitos y cuando lo dividimos por su reverso, da un número entero distinto de uno.

Sionante:- Que casualidad!, Ahora que lo pienso, con el mío pasa lo mismo!!

¿Sabiendo que las modelos tenían distinto número de teléfono, cuáles son los celulares de estas mellizas?

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126 - Nico y las modelos mellizas

125 - Campos cuadrados

13344 x 44331 = 23352 x 25332
13356 x 65331 = 23373 x 37332
13368 x 86331 = 23394 x 49332

Juan, Carlos y Víctor tenían dos campos cuadrados cada uno. Los dos campos de Juan tenían la misma área, en tanto que los de Carlos y Víctor no solo que eran todos de distinto tamaño, sino que también eran distintos a los de Juan.
Sin embargo Carlos en total tenía una hectárea mas que Juan y una menos que Víctor.
Si ninguno de los campesinos tenia mas de 100 Ha en total,

¿Cuáles eran las áreas de cada uno de los campos?
¿Hay una sola solución?

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125 - Campos cuadrados

124 - Cubos millonarios

1596 x 6951 = 2793 x 3972

Laura, la profesora de matemáticas me dijo que hay varias formas de sumar 1.000.000 usando cuatro cubos perfectos de números enteros.

¿Será verdad? ¿Alguien conoce alguna respuesta?

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124 - Cubos millonarios

123 - Más dígitos distintos que su cubo

1248 x 8421 = 2184 x 4812
1584 x 4851 = 2772 x 2772

12 tiene dos dígitos diferentes (1 y 2) en tanto que 12 ³ = 1728 tiene cuatro dígitos distintos (1, 2, 7 y 8)

13 tiene dos dígitos diferentes (1 y 3) en tanto que 13 ³ = 2197 tiene cuatro dígitos distintos (1, 2, 7 y9)

¿Cuál es el menor número que tiene en su composición más dígitos diferentes que su cubo?

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123 - Más dígitos distintos que su cubo

122 - Suma digital

1224 x 4221 = 2142 x 2412
1236 x 6321 = 2163 x 3612

Existen varios números menores que 1000 en los que la suma de sus dígitos (Sd) es mayor que la suma de los dígitos de su cuadrado (Sd2)
Por ejemplo para el 548:
548 Sd =5+4+8= 17
548² = 300304 por lo tanto la Sd2= 3+0+0+3+0+4=10
vemos que Sd > Sd2 ya que 17>10

Sin embargo hay un solo número menor a 1000 en el que su Sd es mayor que la suma de los dígitos de su cubo (Sd3).

Si comparamos las Sd2 y las Sd3 de los números menores al mil, vemos que hay muchos en que la Sd2 es mayor que la Sd3, pero existen no muchos casos de números consecutivos en el que en ambos su Sd2 es mayor que Sd3.

Ejemplo :
164 ²= 26896 Sd2=2+6+8+9+6=31
164³ = 4410944 Sd3=4+4+1+0+9+4+4=26
Sd2 > Sd3
Pero no ocurre lo mismo con el 165.

¿Cuál es el menor de los números en el que la Sd es mayor a la Sd2?

¿Cual es el número menor a 1000 en el que la suma de sus dígitos es mayor que la suma de los dígitos de su cubo.?

¿Qué pares de números consecutivos hay en los que Sd2 es mayor que Sd3?

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122 - Suma digital

121 - Creo que me estafaron

168 x 862 = 294 x 492
276 x 672 = 384 x 483

El otro día en el colegio organizaron una reunión para juntar fondos para el viaje de egresados de los chicos. Se le pedía a cada padre que viniera con $300 para jugar. El juego era el famoso juego de la silla, en el que se hace bailar a los participantes alrededor de las sillas al compás de la música , hasta que ésta se apaga y los concursantes deben sentarse lo mas rápido posiblemente. La gracia está en que se pone una silla menos que la cantidad de participantes, por lo tanto en cada vuelta hay un participante que pierde.
Al comienzo de cada ronda cada padre que participaba debía poner $10 que quedaban para el colegio. Al finalizar la ronda el padre perdedor ponía lo que le quedaba de los $300 y se repartía entre los otros padres. Así se jugaba ronda tras ronda, hasta que quedaba un solo jugador, que era el ganador. Al terminar el juego, que por suerte fui yo, me di cuenta, contando la plata que tenía exactamente $300.

La pregunta es ¿Cuántos padres participaron del juego?

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121 - Creo que me estafaron

120 - Series con Cuadrados

144 x 441 = 252 x 252
156 x 651 = 273 x 372

Tomemos un número natural cualquiera, multipliquemoslo por dos y sumemosle 1, repitamos esta operación con el número obtenido, así formaremos una serie en la que cada número es igual al doble del anterior más uno.
Por ejemplo si empezamos con el cero, tenemos: 0, 1, 3, 7, 15 , etc. (1)
El uno forma la misma serie, salvo por el primer término.
Empezando con el dos : 2, 5 , 11, 23, etc. (2)
Empezando con el cuatro: 4, 9, 19, 39, etc. (3)
Es fácil de demostrar que si hay algún cuadrado en la serie, sólo lo pueden ser el primer término y como mucho el segundo, (ya que a partir del tercer término serán todos del tipo 4k+3) así por ejemplo en la serie 1 tenemos dos cuadrados, el cero y el uno, en la serie dos no hay cuadrados, y en la serie tres también hay dos cuadrados, el cuatro y el nueve.

La tercer serie que contiene dos cuadrados es : 144, 289, 579,...,etc.

El problema es el siguiente, encontrar otras series como éstas que incluyan dos cuadrados
(hay infinitas, pero no son tan fáciles de encontrar, salvo que se conozca/deduzca la fórmula)

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120 - Series con Cuadrados

119 - Capicúa multiplo de 99

59 x 2995 = 599 x 295
97 x 6769 = 967 x 679

¿ Cuál es el menor palíndromo de 5 dígitos que es múltiplo de 99?

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119 - Capicúa multiplo de 99

118 - Serie de estampillas 2

3 x 63525 = 525 x 363
3 x 84525 = 525 x 483

Otra de las curiosas series de estampillas de Rodolfo presenta las siguientes características:

Todas tienen distinto valor.
Ninguna vale más de 100 centavos.
No hay una estampilla que valga la mitad de lo que vale otra estampilla de esta misma serie.
La particularidad que presenta esta serie es que si agregamos alguna otra estampilla cuyo valor fuera menor a 101 centavos y distinto a algún otro de la serie, inmediatamente tendríamos una estampilla de la serie que valdría el doble que alguna otra.
Sabiendo que la serie tiene el menor número posible de estampillas que cumplen con estas propiedades, ¿Cuántas estampillas tiene esta serie?

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118 - Serie de estampillas 2

117 - Las maravillas de las matemáticas

Todos sabemos que no es lo mismo 2⁵ que 5², como así tampoco es lo mismo 2⁷ que 7², es decir que generalmente a^b no es lo mismo que b^a salvo cuando a=4 y b=2, ya que 2⁴ = 4² = 16, sin embargo cuando sumamos varios números elevados a distintas potencias podemos realizar estas inversiones e increíblemente nos dan el mismo resultado, como vemos en la siguiente tabla :

25 + 27 + 29 + 53 + 54 = 52 + 72 + 92 + 35 + 45

25 + 26 + 27 + 45 + 63 = 52 + 62 + 72 + 54 + 36

23 + 27 + 36 + 54 + 82 = 32 + 72 + 63 + 45 + 28

25 + 26 + 211 + 53 + 73 = 52 + 62 + 112 + 35 + 37

23 + 29 + 211 + 63 + 73 = 32 + 92 + 112 + 36 + 37

45 + 46 + 73 + 92 + 102 = 54 + 64 + 37 + 29 + 210

26 + 210 + 211 + 64 + 72 = 62 + 102 + 112 + 46 + 27

23 + 28 + 43 + 56 + 132 = 32 + 82 + 34 + 65 + 213

28 + 310 + 45 + 46 + 84 = 82 + 103 + 54 + 64 + 48

212 + 216 + 46 + 74 + 103 = 122 + 162 + 64 + 47 + 310

25 + 216 + 43 + 75 + 122 = 52 + 162 + 34 + 57 + 212

29 + 212 + 220 + 74 + 104 = 92 + 122 + 202 + 47 +410

¿Alguien conoce otros ejemplos?

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117 - Las maravillas de las matemáticas

116 - Concurso de TV

8 x 46575 = 575 x 648
8 x 69575 = 575 x 968

En un concurso de televisión se nos dice que existe un número X que puede ser dividido por solo seis números distintos de forma tal de dar como resultado un número entero.
El único dato que nos dan es que uno de los números que lo dividen es el 27.

¿Qué número es X?

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116 - Concurso de TV

115 - Productos Pandigitales

8 x 22287 = 782 x 228
8 x 23575 = 575 x 328

¿Qué tiene de curioso el número 4396 ?
Que se puede obtener multiplicando 28 x 157= 4396, y vemos que aparecen los nueve digitos una sola vez.
Existen nueve multiplicaciones como éstas, que generan 7 números diferentes.
Acá les pongo cinco de estas multiplicaciones:

28 x 157= 4396
4 x 1738= 6952
39 x 186= 7254
48 x 159= 7632
4 x 1963= 7852

Las cuatro que faltan presentan la particularidad de que generan solo dos resultados, es decir que hay dos números que pueden factorearse de dos formas diferentes, conteniendo entre los multiplicandos y el producto los nueve dígitos.

¿ Cuáles son estos dos números que faltan y cuáles su factores?

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115 - Productos Pandigitales

114 - El número de tu boleto

49 x 2994 = 499 x 294

¿Qué particularidad tiene el número de tu boleto?

_ Es un número de cinco cifras diferentes que es igual a la suma de todos los números
de tres cifras que se pueden obtener formando todas las variaciones ordinarias
de dichas cinco cifras tomadas de tres en tres.

¿Cuál es el número del boleto?

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114 - El número de tu boleto

113 - Serie de estampillas 1

3 x 21525 = 525 x 123
3 x 42525 = 525 x 243

Rodolfo tiene una gran colección de estampillas.
El otro día compró una serie de un país africano que presentaba una serie de particularidades.

• Todas valían menos de 100 centavos.
• No había dos estampillas que tuvieran el mismo valor.
• No había en la serie una estampilla que valiera el doble que otra.
• La colección era la más grande que se podía formar con estas características.

¿Cuántas estampillas tenía esta serie?

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113 - Serie de estampillas 1

112 - Problema de monedas

3 x 3464 = 4 x 6 x 433
4 x 7866 = 6 x 6 x 874

En la Argentina hace un tiempo que hay escasez de monedas, eso es debido que para poder viajar diariamente se deben tener si o si monedas, ya que sino no se puede viajar.Las más codiciadas son las de $1 y las de 0.50 centavos .Pero también existen las monedas de 5 , 10 y 25 centavos.
Justamente, Carolina una amiga de mi hijo, me dijo que conseguía $100 pero en monedas de 5, 10 y 25 centavos.
_ ¿Cuántas monedas de cada denominación hay? _ le pregunté
_ Ni idea _ me dijo_ lo único que sé, es que en total son 1000 monedas.

La pregunta es:
¿De cuántas maneras diferentes pueden formarse $100, usando monedas de 5, 10 y 25 centavos si hay que usar exactamente 1000 monedas ?

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112 - Problema de monedas

111 - El palíndromo más grande

2x3168 = 8x6x132
3x3464 = 4x6x433

Project Euler.net (http://projecteuler.net/) es una página que presenta una serie de desafíos matemáticos para programadores. La mayoría de ellos incluyen números muy grandes y son practicamente imposibles de resolver sin usar un programa de computación, por ejemplo en el problema 10 se pide la suma de todos los primos menores a 2.000.000, cosa que se podría resolver a mano pero uno tardaría mucho, mucho tiempo.
Sin embargo hay otros problemas que no necesitan de un programa para poder resolverse, sino que con un poco de ingenio y de conocimiento de las matemáticas pueden resolverse. Así por ejemplo el problema 4 dice:

A palindromic number reads the same both ways. The largest palindrome made from the product of two 2-digit numbers is 9009 = 91 99. Find the largest palindrome made from the product of two 3-digit numbers.

Cuya traducción sería más o menos así:
Un número capicúa es aquel que puede leerse tanto del derecho como del revés. El palíndromo más grande que es producto de dos números de dos dígitos es 9009 = 91 x 99.
Encuentre el palíndromo más grande obtenido como el producto de dos números de tres dígitos.

¿Alguien sabe la respuesta?

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111 - El palíndromo más grande

110 - Sumando potencias

1 x 6264 = 4 x 6 x 261
1 x 9168 = 8 x 6 x 191

Si sumamos a + b² +c³ donde a, b y c pueden ser cualquier número del 0 al 9 obtenemos exactamente mil resultados. Como el valor más alto es 9 + 9² +9³ = 819 y obtuvimos 1000 resultados por el principio del palomar es obvio que hay resultados que se obtendrán más de una vez. Así por ejemplo 117 se puede obtener como 4 + 7² +4³, o como 9 + 9² + 3³.
Usando este procedimiento, aparte del cero, ¿Cuál es el menor resultado que se obtiene solo una vez?
¿Cuál es el menor número que no puede obtenerse usando este método?
¿Cuál es el resultado que se obtiene más veces? ¿Cuántas?
¿Cuál es el mayor resultado que se obtiene más de una vez?

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110 - Sumando potencias

109 - Castigo matemático 6

8792 x 3 = 3297 x 8
9891 x 2 = 2198 x 9

Jerry no quería quedarse atrás de su hermano y propuso el siguiente castigo para los que no les gustaba las matemáticas. Obviamente el que contestaba mal era quemado en la hoguera y si no, era obligado a contestar haciendo la cuenta.
Se le preguntaba al castigado:
Si escribimos los números del cero hasta mil millones uno al lado del otro,

¿Cuántos unos habremos escrito?

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109 - Castigo matemático 6

108- Castigo matemático 5

7462 x 4 = 4264 x 7
7693 x 4 = 4396 x 7

Los hermanos Tom y Jerry eran los reyes de dos pueblos vecinos, ambos amantes de las matemáticas.
En el reino de Tom se impuso el siguiente castigo :
El que contestara mal iba directo a la silla eléctrica.

¿Cuántos de los números que van desde el cero hasta los mil millones tienen al menos un número uno?

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108- Castigo matemático 5

107 - Castigo matemático 4

6594 x 5 = 5495 x 6
7231 x 4 = 4132 x 7

A este rey le encantaba los números de Fibonacci.
Estos números forman una sucesión en el que cada número es igual a la suma de los dos anteriores de la serie. Así el término cero es 0, el 1 es el uno, el 2 es el uno, etcétera.
Los primeros números de la serie son : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89

Aquí va el castigo: obtener el número de la sucesión de Fibonacci N° 123.456.789 y decir cuál es la última cifra del mismo.
Claro que el que se equivocaba iba directo a la horca.

¿Cuál es la última cifra del término 123456789 de la sucesión de Fibonacci?

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107 - Castigo matemático 4

106 - Castigo matemático 3

4396 x 7 = 7693 x 4
5495 x 6 = 6594 x 5

El rey de este pueblo, pensó el siguiente castigo:

El castigado debía dividir un número de 1001 dígitos, todos ellos igual a uno, por 1001.
El castigo terminaba cuando el castigado decía el resto de dicha división.
Claro que si decía cualquier número era decapitado.

¿Qué número debía decir el castigado, para terminar el castigo?

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106 - Castigo matemático 3

105 - Castigo matemático 2

4132 x 7 = 7231 x 4
4264 x 7 = 7462 x 4

Contagiados por el amor a las matemáticas del rey de un pueblo vecino, otros reyes decidieron castigar ellos también, a aquellas personas que odiaran a las matemáticas. Así aparecieron los distintos castigos matemáticos.
En el pueblo que nos toca hoy, el rey amaba la geometría por sobre todas las cosas, es por ello que imponía el siguiente castigo:
Los castigados debían dibujar y pintar en una inmensa pared cuatro inmensas figuras geométricas:

1. Un círculo tangente al piso
2. Un cuadrado con un lado apoyado sobre el piso
3. Un triángulo equilátero con una de sus bases apoyada sobre el piso y
4. Un triángulo rectángulo isósceles con uno de sus lados iguales apoyados sobre el piso.
Todas las figuras tenían la misma superficie.

El trabajo de pintar las figuras le llevaba a una persona todo el resto de su vida.
Sin embargo había una forma de evitar el castigo, claro que para ello había que saber matemáticas, ya que el rey hacía una pregunta, si ésta contestaba bien, la persona era absuelta, en tanto que si contestaba mal se la mataba en ese mismo instante, en cambio si la persona decidía no contestar le correspondía cumplir el castigo.
La pregunta era la siguiente :
Si pintara las cuatro figuras, ¿cuál sería la más alta?
Como tu lector, sabes matemáticas, me podrás responder correctamente la pregunta.

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105 - Castigo matemático 2

104 - Números imperfectos u otcefreps

2198 x 9 = 9891 x 2
3297 x 8 = 8792 x 3

Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse a si mismo
Así por ejemplo los números 6, 28 , 496 y 8128 son números perfectos.

Dos números amigos son dos enteros positivos a y b, tales que a es la suma de los divisores propios de b y b es la suma de los divisores propios de a. (la unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número).
Así por ejemplo los siguientes pares son pares amigos:
(220, 284), (1184, 1210), (17.296, 18.416) .

Ahora bien, yo propongo unos números que no sé si tienen nombre, pero que podrían llamarse números imperfectos o números otcefreps. Son números que son iguales a la suma de los inversos de sus divisores propios.
Así por ejemplo el 6 además de perfecto sería paradojicamente también imperfecto ya que los divisores de 6 son el 1, 2 y el 3 y los inversos son esos mismos números.
El siguiente número imperfecto sería el 244 ya que los divisores de 244 son:
1, 2, 4, 61 y el 122
En tanto que los inversos de los divisores son : 1, 2, 4, 16 y el 221
La suma de estos números nos da exactamente 244

1+ 2 + 4+ 16 + 221 = 244


Además del 6 y del 244, yo encontré otros dos números imperfectos uno es el 133857 cuyos divisores y sus inversos se pueden ven en la siguiente tabla:



Sumando 1+3+9+701+931+123+714+369+1521+37841+91644 = 133857

Análogamente existirian los imperfectos amigos, que se definirian como: dos enteros positivos a y b tales que a es la suma de los inversos de los divisores propios de b y b es la suma de los inversos de los divisores propios de a.

El único par de números imperfectos amigos que encontré es:

98 y 145

98 : divisores: 1, 2, 7, 14 y 49
al invertir 1, 2, 7, 41 y 94
suma = 145

145 : divisores : 1, 5 y 29
al invertir 1, 5 y 92
suma = 98

¿Habrá otros?

En otra entrada les hablaré de los imperfectos sociables.

¿Cuál sería el otro número imperfecto además del 6, 244 y el 133857?
(Es menor de 500)

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104 - Números imperfectos u otcefreps