84 - Números por delante y por detrás

12850 = (-1 + 2⁸) * 50

Es bien conocida la regla de divisibilidad por once, que dice que un número es múltiplo de 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11. De ahí se deduce que si al once le colocamos el mismo dígito por delante y por detrás obtendremos siempre un múltiplo de 11. Es decir que: 1111, 2112, 3113, 4114, 5115, 6116, 7117, 8118 y 9119 son todos múltiplos de 11.
Es obvio que lo mismo pasa si hacemos lo mismo con el 1 , independientemente de cual sea la cifra colocada delante y detrás del 1 el número resultante será múltiplo de 1.
Hasta aquí nada extraño.
Lo extraño ocurre cuando les digo que existen por lo menos otros cinco números con los que ocurre lo mismo que con el 1 y el 11, es decir números que al colocarles el mismo dígito por delante y por detrás da un múltiplo de dicho número, y esto ocurre con los nueve dígitos.

¿Podría alguien encontrar cuáles son estos otros números, o encontrar algunos más?

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