15613 = 1 + 56 - 13
En la Entrada 4 les pregunté como se podía obtener 2009 como la suma de 41 números consecutivos. Ampliando el concepto y tomando los años desde el 2000 al 2999, les pregunto :
¿ Cuál es el único año que no puede expresarse como la suma de números consecutivos?
¿Cuál es el año que puede expresarse como la suma de la mayor cantidad de números consecutivos?
¿Cuál puede expresarse con la mayor cantidad de sumas de números consecutivos ?
Seis años pueden expresarse solo como la suma de 64 números consecutivos, ¿Cuáles son?
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El 2976 es el unico que puede expresarse como suma de 76 numeros consecutivos.(1 al 76)
ResponderEliminarlos que pueden expresarse como suma de 64 numeros consecutivos...
S=(A1+A64)*64/2=(A1+A1+63)*32=64A1+2016
Con A1=1,2,3....15 Encontramos 15 posibles y no 6
2080,2144,2208,2272,2336,2400,2464,2528,2592,2656,2720,2784,2848,2912,2976.
Pablo: Me expresé mal, (ya lo corregí) lo que yo quise decir es que hay 6 números que solo pueden expresarse como una suma de 64 números consecutivos es decir que no puede formarse como otra suma de números consecutivos.
ResponderEliminarPor ej 2080 puede formarse tambián como :
154+155+....165+166
Basta tomar de los 15 que yo encontré, factorear, todos son multiplos de 32, si alguno es multiplo de algun impar menor que 64 puede esponerse como suma de una cantidad de numeros consecutivos igual a ese divisor.El resultado de la division es el numero del medio de la sucesion.
ResponderEliminarLos que no lo consiguen son 2144 2272 2336 2528 2656 2848
El unico que no puede expresarse como suma de consecutivos es el 2048 (necesita 128 consecutivos)
ResponderEliminarLos impares se eliminana porque todos pueden ser la suma de 2.luego los que son divisibles por algun impar menor que 73 (mayores su sumatoria es mayor que 2999).
Los pares que no son divisibles por 4 pueden expresarse como suma de 4 consecutivos.Luego quedan los que pueden expresarse como sumatoria de un numero potencia de 2 de consecutivos.
Para 8 si cumplen con 8x+28=N
Para 16 si cumplen con 16x+120=N
para 32 si cumplen con 32X+496=8
para 64 si cumplen con 64x+1026=n
Pablo : ningúna potencia de 2(4,8,16,etc) puede expresarse como la suma de dos números consecutivos positivos.
ResponderEliminarYo no dije eso Claudio. Despues de descartar los impares, los que son divisibles por impares, los pares que no son multiplos de 4, quedan los que pueden expresarse como sumatoria de n numeros consecutivos, siendo n una potencia de 2(la cantidad de consecutivos es potencia de 2, no el número).Para ello el numero (en mi entrada anterior llamado como N), debe cumplir con la formula expresada para cada caso, variando x)
ResponderEliminarLo que yo te digo es que ninguna potencia de dos puede expresarse como suma de números consecutivos positivos.
ResponderEliminarAcá va una pequeña explicación:Si llamamos
X: al primer número de la serie
I: al incremento, de forma tal que X+I es el último número de la serie
T: es el número que queremos que dé la suma de la serie (año)
Entonces lo que se nos pide son los X e I tal que :
(X + X+1 + X+2 + ... + X+I) = T
Si sumamos el primer y el último término nos da 2X+I, lo mismo sucede cuando sumamos
el segundo y el anteúltimo, el tercero y el antepenúltimo, etc de forma tal que hay (I+1)/2 pares 2x+I en la serie por lo tanto (2X+I).(I+1) = 2T.
Se puede ver que (2X+I) y (I+1) tienen paridades diferentes.(uno par, otro impar)
Sabemos que cada número tiene una sola factorización en números primos.
Entonces en las potencias de 2, 2T no tiene divisores impares y no puede expresarse como (2X+I).(I+1)
me la suda soy inmortal
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