602 - La abuela Mirta

La abuela Mirta era melliza, en tanto que su  hijo  tuvo cuatrillizos y su hija tuvo trillizas.

Una de las trillizas le dijo:
- ¿Sabes abuela, que si multiplicamos las edades de los cuatrillizos y al resultado le sumamos el producto  de nosotras las trillizas, nos da exactamente el producto de tu edad por la de tu hermana?

¿Qué edad tenia la abuela Mirta?

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602 - La abuela Mirta

601 - Números pseudo narcisistas

Se define como narcisista a un número de n dígitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus dígitos. Ejemplo: 153 = 1³ + 5³ + 3³,
Como no hay muchos y a algunos otros les gustaría serlo podemos idear una forma de que lleguen a serlo.
Tomemos un número cualquiera de m cifras, por ejemplo el 2929, donde m es en este caso es 4.
Elevemos cada una de sus cifras a la m (4)
2929 :  2⁴ + 9⁴ + 2⁴ + 9⁴ = 13154 
contemos las cifras de este nuevo número, 5, y repitamos el procedimiento:
13154 :  1⁵ + 3⁵ + 1⁵ + 5⁵ + 4⁵= 4394
4394 :    4⁴ + 3⁴ + 9⁴ + 4⁴ = 7154
7154 :    7⁴ + 1⁴ + 5⁴ + 4⁴ = 3283
3283 :    3⁴ + 2⁴ + 8⁴ + 3⁴ = 4274
4274 :    4⁴ + 2⁴ + 7⁴ + 4⁴ = 2929


Hemos llegado al número del cual partimos.

¿Si llamamos a estos números psuedo narcisistas, cuál es el menor número pseudo narcisista?

Pista :Tiene tres cifras.
Esta entrada forma parte de la X edición del carnaval de matemáticas, siendo el anfitrión en esta oportunidad el blog Francis (th)E-mule

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601 - Números pseudo narcisistas

600 - Una rareza

Para festejar la entrada 600 de este blog he pensado en una rareza.
Debe reemplazarse cada letra por un dígito, a igual letra igual dígito de forma tal que se cumpla la igualdad :

\[\LARGE \sqrt{Rareza}= Rar + eza\]

Esta entrada forma parte de la X edición del carnaval de matemáticas, siendo el anfitrión en esta oportunidad el blog Francis (th)E-mule

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600 - Una rareza

599 - Números en los que el producto de sus dígitos termina igual que la suma de los mismos II

Siguiendo con el tema de la entrada anterior, números en los cuales la suma de sus dígitos termina igual que el producto de los mismos, pregunto ahora :

¿Que dos números consecutivos de cuatro cifras presentan esta característica?

Para el que quiera encontrarlos a todos va una pista, son 12 pares

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599 - Números en los que el producto de sus dígitos termina igual que la suma de los mismos II

598 - Números en los que el producto de sus dígitos termina igual que la suma de los mismos I

 El número 22 presenta la particularidad de ser el primer número en el que la suma de sus dígitos termina con el mismo dígito que el producto de los mismos.
Así:   

2 + 2 = 4  y  2 x 2 = 4

El siguiente número con esta característica es el 48

4 + 8 = 12 y 4 x 8 = 32

Obviamente que cuando un número cumple, también lo hacen sus permutaciones, ya que ambas operaciones son conmutativas, así el 84 también presenta esta característica :

8 + 4 = 12 y 8 x 4 = 32 

 Aquí les dejo dos preguntas para que se entretengan un ratito:

¿Cuál es el próximo número con esta caracteristica?

¿Cáles son los primeros dos números consecutivos con esta característica?

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598 - Números en los que el producto de sus dígitos termina igual que la suma de los mismos I

597 - Se descubrieron nuevos primos (17 - plos)

Nuevos 17- plos primos


528949036434611485053784421 + d 
con d = 0, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 32, 36, 38, 42, 48, 50, 56, 60, 62, 66
Son todos primos


(27 digitos, Enero 2011, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)


572264871047109012711451507 + d, 
con d = 0, 4, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 64, 66
Son todos primos

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597 - Se descubrieron nuevos primos (17 - plos)

596 - Subfactoriales

Existen varios números que son iguales a la suma de los factoriales de sus dígitos :


   1     = 1!
   2     = 2!
   145   = 1! + 4! + 5!
   40585 = 4! + 0! + 5! + 8! + 5!

Pero no son tantos los que son iguales a la suma de los subfactoriales de sus dígitos


Segun la wikipedia:
En matemáticas, el subfactorial de un número natural n, a veces escrito como !n, es el número de posibles desarreglos(permutación donde ninguno de sus elementos aparece en la posición original) de un conjunto con n elementos. En términos concretos, el subfactorial cuenta el número de formas diferentes en que n personas podrían cambiar por ejemplo regalos, donde cada persona da un regalo a otra persona, y cada uno recibe exactamente otro regalo. El subfactorial es una función del conjunto de números naturales que devuelve un valor también natural.
Los subfactoriales de los nùmeros del cero al nueve son:
!0 = 1
!1 = 0 
!2 = 1 
!3 = 2
!4 = 9
!5 = 44
!6 = 265 
!7 = 1854 
!8 = 14833
!9 = 133496

¿Qúé número es igual a la suma de los subfactoriales de sus dígitos?

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596 - Subfactoriales

595 - 2011 con todos los dígitos

ABCD -  EFGH -  IJ  = 2011

Si cada letra es un dígito diferente la  ecuación anterior tiene muchisimas soluciones, por eso pido encontrar aquella en la que ABCD y EFGH son mínimos y aquella en la que ABCD y EFGH son máximos

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595 - 2011 con todos los dígitos

594 - Número polimúltiplo

Que tiene de particular el 504 ?
Que es el menor número que con él o partes de él (subcadenas) podemos formar números que sean múltiplos de todos números que están entre el 1 el 10 :

Así
1  504 = 1x504
2    4 = 2x2
3  504 = 3x168
4    4 = 4x1
5   50 = 5x10
6  504 = 6x84
7  504 = 7x72
8  504 = 8x63
9  504 = 9x56
10  50 = 10x5


El menor número del cual se puede obtener los  múltiplos del 1 al 100 con este método es el1396552006664

¿Cuál es el menor número con el que se puede generar por este método los multiplos del 1 al 22?

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594 - Número polimúltiplo

593 - Primo como suma de primos

Como todos sabemos el 2011 es un año primo, pero además es la suma de once números primos consecutivos :  


2011=157+163+167+173+179+181+191+193+197+199+211

¿Cuál es el próximo año primo que también se puede expresar como la suma de 11 primos consecutivos?

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593 - Primo como suma de primos

592 - Mas 2011 con todos los dígitos

Aquí van algunas expresiones de 2011 con los dígitos en orden


0+1-2*3+4*567*8/9

0+1*2345*6/7-8+9

0+1*2/3*45*67-8+9
0+1/2*3*4*5*67-8+9

0-12+345*6-7*8+9

0-1*2-3+4*567*8/9

0*1+2345*6/7-8+9

0*1+2/3*45*67-8+9
0*1-2-3+4*567*8/9

0/1+2345*6/7-8+9

0/1+2/3*45*67-8+9
0/1-2-3+4*567*8/9


1+2345*6/7+89*0
1+2345*6/7+8*9*0
1+2345*6/7+8/9*0
1+2345*6/7-89*0
1+2345*6/7-8*9*0
1+2345*6/7-8/9*0
1+2/3*45*67+89*0
1+2/3*45*67+8*9*0
1+2/3*45*67+8/9*0
1+2/3*45*67-89*0
1+2/3*45*67-8*9*0
1+2/3*45*67-8/9*0
1-2*3+4*567*8/9+0
1-2*3+4*567*8/9-0
1*2345*6/7-8+9+0
1*2345*6/7-8+9-0
1*23+45*6*7+8+90
1*2+34*56+7+8+90
1*2/3*45*67-8+9+0
1*2/3*45*67-8+9-0
1/2*3*4*5*67-8+9+0
1/2*3*4*5*67-8+9-0


10+9*8*7/6*5*4+321


Encontradas por  Hans Havermann

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592 - Mas 2011 con todos los dígitos

591 - Cuadrados mágicos en los que cada dígito aparece una misma cantidad de veces

Sobre los cuadrados mágicos (aquellos en los la suma de la columnas, filas y diagonales suman lo mismo) se ha escrito muchísimo y desde hace mucho tiempo.
Se han encontrado miles de variantes y varias son realmente extraordinarias.
Además de los cuadrados clásicos en los que se colocan los números del 1 al n² en cuadrados de n x n, existen aquellos en los se ponen números consecutivos (no empezando necesariamente por el uno), y aquellos en los que  los números no son consecutivos. Hay cuadrados mágicos, multimágicos o diabólicos, antimágicos y hasta alfamágicos . También se hicieron cuadrados dentro de cuadrados, cuadrados hechos por números primos, y hasta cuadrados hechos con números pandigitales como el que logró Rodolfo Kurchan
Este último tiene la particularidad, al estar hecho por números pandigitales, que si contamos la cantidad de veces que aparece cada dígito vemos que obviamente es la misma para todos ellos, es decir que en todo el cuadrado hay exactamente dieciseis ceros, dieciseis unos, etc.
Basado en este cuadrado empecé a buscar cuadrado mágicos de orden tres en los que todos los dígitos aparezcan una misma cantidad de veces.
Así encontré estos cuadrados mágicos :

a)      Cuadrado mágico en el que cada dígito aparece exactamente una vez :

9	2	7
4	6	8
5	10	3

b) Cuadrados mágicos en el que cada dígito aparece exactamente dos veces

107	32	89
58	76	94
63	120	45

105	30	93
64	76	88
59	122	47

103	36	98
74	79	84
60	122	55

105	34	98
72	79	86
60	124	53

103	30	95
68	76	84
57	122	49

109	22	97
64	76	88
55	130	43

107	22	99
68	76	84
53	130	45

c) Cuadrados mágicos en los que cada dígito aparece exactamente tres veces

1329	276	996
534	867	1200
738	1458	405

1560	348	972
372	960	1548
948	1572	360

1572	360	984
384	972	1560
960	1584	372

En los siguientes también se da la particularidad de que en cada fila y en cada columna aparece cada dígito una sola vez

1645	203	987
287	945	1603
903	1687	245

1542	306	978
378	942	1506
906	1578	342

1560	342	978
378	960	1542
942	1578	360

1560	348	972
372	960	1548
948	1572	360

1572	360	984
384	972	1560
960	1584	372

El siguiente cuadrado en el que cada dígito aparece tres veces,  es el único en la que en cada fila y columna aparece algún dígito repetido y el único que tiene una diagonal en la que no se repite ningún dígito

1329	276	996
534	867	1200
738	1458	405

d) Cuadrados mágicos en los que cada dígito aparece exactamente cuatro veces

22950	204	18156
8976	13770	18564
9384	27336	4590

El siguiente presenta dos números capicúas (7667 y 3553)

14399	2244	10285
4862	8976	13090
7667	15708	3553

12985	5565	10388
7049	9646	12243
8904	13727	6307

13774	4656	10379
6208	9603	12998
8827	14550	5432

e) Cuadrados mágicos en los que cada digito aparece cinco veces

154024	38506	127366
79974	106632	133290
85898	174758	59240

227088	7968	159360
63744	131472	199200
103584	254976	35856

El desafío queda abierto, habría que encontrar otros cuadrados mágicos de orden tres o mayores en los que cada digito aparezca  una igual cantidad de veces

Pd: usando un programa de computación he encontrado cientos de ejemplos diferentes, que no estan aquí.

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591 - Cuadrados mágicos en los que cada dígito aparece una misma cantidad de veces

590 - Un deseo con todos los dígitos

Se los deseo con todos los dígitos:
que todos tengamos un

Feliz  7⁰ + 1⁹ + 2⁸ + 3⁶ + 4<sup>5


Claudio</sup>

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590 - Un deseo con todos los dígitos

589 - Sumando cuadrados

Si  A² + B² = C² + D²
y   E² +  F² = G² + H²


No es verdad que :


(A+E)² + (B+F)² = (C+G)² + (D+H)²


Pero a veces si :


    54863²  +    2434²   =    34865²    +     42430²
    94867²  +  22436²   =    74869²    +     62432²
------------------------------------------------------------------

149730² +     24870²  =   109734²    +   104862²

Además la suma de los digitos en negros ,  es igual a la suma de los dígitos en rojo  e igual a la suma de los dígitos en azul = 90.

Visto en Carrollia

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589 - Sumando cuadrados

588 - Completar la secuencia

1 , 2 , 10 , 3 , 51 , 30 , 100 , 4 , 16 , 40 , 160 ,, ....

En la  secuencia que aquí se ve cada término se elige de la siguiente manera:

a. Debe ser un número que aún no esté en la secuencia
b. Al multiplicarlo por el término anterior se debe obtener un número que se pueda formar usando los digitos de los factores. 
Ejemplos
3 x 51 = 153 y los tres digitos de 153 (el 1,5 y el 3 "estan"en el 3 y 51)
4 x 16 = 64 y el 6 y el 4 estan dentro de 4 y 16
c. Se debe elegir el menor número que cumpla las condiciones a y b.




La pregunta es , ¿Cuáles son tres próximos términos de la secuencia?


Pd : si un dígito aparece mas de una vez en el producto, debe aparecer la misma cantidad de veces en los factores

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588 - Completar la secuencia

588 - Cena navideña

Al término de la cena navideña mientras come el pan dulce, la familia calculeti suele hacer algunos juegos hasta que llega la medianoche.
Matías, que es el más joven y al que le encantan las matemáticas, dijo de repente :  
- Se dieron cuenta de que las edades de los siete  que estamos en esta mesa son números primos?.
- ¿Número primo? ¿Qué es eso? -  dijo  Catalina.
- Los números primos son solo divisibles por el uno o por dicho número. - acotó Osvaldo.
- Que curioso, y eso que no está Cintia que tiene 7 años y es la menor de la familia - dijo Marcela.
- Eso no es nada - agregó Horacio - Si tenemos en cuenta la edad de Matías, la de Blanca y la de Catalina, podemos sacar todas nuestras edades.
- Como es eso? - Preguntó Sergio.
- Es simple : el promedio de la edad de Matías mas la de Blanca es tu edad Sergio. en tanto que el promedio de la edad de Matiás y la de Catalina es la edad de Marcela, y en tanto que el promedio de la edad de Blanca y la de Catalina es mi edad.  
- Pero, ¿y la edad de Osvaldo?
- Ese número es justamente el promedio de dichas tres edades...

¿Cuál es la edad de Matías?

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588 - Cena navideña

587 - Semiprimos

¿Qué tiene de particular el catorce?

Que tiene siete letras, y casualmente siete es uno de sus factores. Ya que catorce es un semiprimo (producto de dos primos) e igual a 2 x 7




La idea entonces es buscar los siguientes semiprimos que al escribirlos en letras tienen la misma cantidad de letras que el valor de alguno de sus factores.

Yo encontré cinco mas aparte del catorce

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587 - Semiprimos

586 - Buscando múltiplos II

¿Con que tres dígitos se puede formar múltiplos de 68 números distintos?

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586 - Buscando múltiplos II

585 - Buscando múltiplos I

Con los dígitos del número 12 se pueden formar números múltiplos de los primeros cuatro números naturales.
Múltiplos de uno: 1, 2, 12 o 21
Múltiplos de dos:2 o 12
Múltiplos de tres: 12 o 21
Múltiplo de cuatro : 12

¿Cuál es el menor número que con sus dígitos se pueden formar múltiplos de los primeros ocho números?

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585 - Buscando múltiplos I

584 - Las capitales mas lejanas

Teniendo en cuenta que el diámetro promedio de la tierra es de aproximadamente 12742 Km, es fácil calcular que la mayor distancia entre dos puntos  sobre la superficie de la tierra es aproximadamente 12742 Km x Pi /2, que es mas o menos 20015 Km. Cuando dos puntos de la tierra estan a esa distancia se dice que un lugar es la antípoda del otro.

¿Las capitales de que dos países están más cerca de esta distancia?

Por ejemplo Bogotá la capital de Colombia  y  Yakarta la capital de Indonesia están a 19821 Km de distancia, a solo 194 km de estar exactamente en las antípodas, existe dos capitales que están un poco mas cerca del valor de 20015 Km

Pd 1 : en esta página, Antipodes se puede ver cual es la antipoda de cualquier lugar

Pd 2 : La ciudad de Formosa de Argentina está casi en las antípodas de Taiwan que hasta hace poco se llamaba Formosa

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584 - Las capitales mas lejanas