484 - La baby sitter matemática

- ¿Así que estás cuidando chicos?
- Si, pero solo a menores de 6 años.
- ¿Y a cuantos cuidas?
- A tres
-¿Y de que edades?
- Mirá esta semana se dio algo curioso, los tres cumplieron un número cuadrado de días y entre los tres números de días se usa una y solo una vez los dígitos del uno al nueve.

¿Qué edades cumplieron los niños expresados en días?

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484 - La baby sitter matemática

483 - Doble cuadrado y triple cubo

- y a que altura de la avenida queda?
- Es fácil, es el menor número entero positivo que es el doble de un número cuadrado y el triple de un cubo....

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483 - Doble cuadrado y triple cubo

482 - Las amigas de Johana

Johana organizó una cena para sus amigas ya que se iba a ir a estudiar por un año al extranjero.
Al finalizar la fiesta las amigas, que eran menos de diez, querian saber cuanto había gastado ya que iban a compartir los gastos. Cuando Johana les dijo cuanto tenía que poner cada una,  Catalina fue la única que le pagó el monto exacto incluidas las monedas de los centavos, en tanto que todas las demás tenían solo billetes de $100.
- Y como hago para darles el vuelto?, yo no tengo un peso encima salvo lo que me dio Catalina y mañana viajo.
- No te preocupes, ya que lo que te dio Catalina es exactamente la suma de los vueltos que nos tenes que dar a nosotras, asi que recibi los 100 pesos de cada una y danos  lo que te dio Catalina que nosotras después lo repartimos.

¿Cuántas amigas fueron a la fiesta de Johana?

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482 - Las amigas de Johana

481 - Opaline Tower

Esta obra se llama Opaline Tower y es del artista Morgen Bell.

La vi acá y pertenece al concurso Benoit Mandelbrot de arte fractal del año 2000.

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481 - Opaline Tower

480 - La familia de Margarita

- ¿Qué estas calculando, Margarita?
- No, nada, solo escribí mi edad, la de mamá y la tuya una al lado de la otra.
- Ahá, y que podemos deducir de este número
- Lo único que me pareció interesante es que si la primera cifra de la izquierda lo pongo al final del número y mantengo los otros números en su lugar, obtengo un número que es tres veces y media mayor que el primero que escribí.

¿Cuál es la edad de Margarita?

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480 - La familia de Margarita

479 - Cuadrado como concatenación de primos

El número veinticinco es un número cuadrado, 5 ² ,y a la vez es la concatenación de dos números primos, el 2 y el 5. Lamentablemente el cuadrado de 25, el 625, no tiene la misma propiedad.

¿Cuál es el menor número cuadrado que tanto él como su cuadrado se pueden expresar como una concatenación de dos números primos?

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479 - Cuadrado como concatenación de primos

478 - La liquidación de la zapatería

El otro día hubo una liquidación en la zapateria del centro comercial y pusieron todos los pares al mismo precio.
-Mirá todos los pares al mismo precio! - dijo mi tía
-Si, y a menos de $100 cada par! - dijo mi mamá
-Yo me voy a comprar dos pares !
-Y yo ocho, un par para cada día de la semana y dos para los sábados.
-Bueno pero apurense - les dije, que yo quiero ir a la librería
Al salir de la zapatería, revisé las facturas de compra y descubrí que entre los dos importes y teniendo en cuenta los digitos de los pesos y los de los centavos aparecían cada uno de los diez dígitos una sola vez cada uno.

¿Cuánto costaba el par de zapatos?

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478 - La liquidación de la zapatería

477 - ¿ Es casualidad?

-  Que casualidad que nosotras tengamos tres hijos cada una, ¿no?
-  ¿Casualidad?, hay muchas mujeres que tienen tres hijos
-  Si, pero las edades de nuestros hijos no coinciden para nada
- ¿Y eso es casualidad ?
- No, la casualidad es que la suma de las edades de mis tres hijos coincide con la suma de las edades de tus tres hijos
-Yo sigo pensando que eso no es casualidad.
-Dejame terminar, no solo coinciden las sumas, sino que también coinciden el producto de cada edad elevada a su propio valor.
.- ¿Y eso es casualidad?

¿Que edades tienen los hijos de estas mujeres? 

Si la edad de los hijos de una de las mujeres son a,b y c  y los de la otra d,e y f , entonces  a+b+c= d+e+f y a^a x b^b x c^c = d^d x e^e x f^f donde a,b y c no necesariamente son distintos pero si a,b y c son distintos a e,f y g

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477 - ¿ Es casualidad?

476 - Mas propiedades bonitas

Tomemos un número y sumemos todas las subcadenas de dicho número:

Por ejemplo para el 891:

8+9+1+89+91 =198

Vemos que el resultado es igual al número original dado vuelta. Lo mismo ocurre para el 941

9+4+1+94+41 = 149

No hay otro número de tres cifras con esta propiedad, pero en cambio si existe uno de cuatro cifras. 

¿Cuál?

Si el número es abcd, entonces a+b+c+d+ab+bc+cd+abc+bcd =dcba

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476 - Mas propiedades bonitas

475 - El árbol de la vida

Esta imagen es de Ron Barnett y se llama el árbol de la vida.

La vi acá y pertenece al concurso Benoit Mandelbrot de arte fractal.

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475 - El árbol de la vida

474 - La paradoja de Nico

Mucha gente conoce la llamada paradoja del cumpleaños, esta dice que en una reunión de 23 personas escogidas aleatoriamente, la probabilidad de que dos de ellas cumplan los años el mismo día del mismo mes es del 50,7%.
Ahora yo tengo la paradoja de Nico. Nico es mi hijo menor y tiene 1600 "amigos" en Facebook. El otro día me dijo que el 20 de agosto (o sea hoy)  ninguno de sus amigos/conocidos cumple años y eso es realmente curioso ya que todos los otros días del año tiene por lo menos algún amigo que cumple años, inclusive uno de ellos cumple el 29 de febrero.

Ahora bien, la pregunta es

¿Cuál es la probabilidad de que en una reunión de 1600 personas no haya ninguna que cumpla en una determinada fecha?

Se aceptan respuestas

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474 - La paradoja de Nico

473 - Capicúas que dan pandigitales

-¿Sabés que encontré un número capicúa de ocho dígitos que al multiplicarlo por 6 o por 9 me da un pandigital sin cero?
-Capicúa sé lo que es, pero pandigital no.
-Pandigital quiere decir que tiene los diez digitos y no repite ninguno, pero en este caso tiene todois los dígitos del 1 al 9.
-Ahá, y encontraste un capicúa que al multiplicarlo por 6 da un pandigital sin cero y si a ese mismo capicúa lo multiplicas por nueve también da un pandigital sin cero.
-Si, ¿no es genial?
-No mucho, yo conozco cuatro capicúas a los que les pasa lo mismo.

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473 - Capicúas que dan pandigitales

472 - Contando sumas y diferencias

Tomemos un conjunto de números enteros como por ejemplo {0, 2, 5, 8, 11} y calculemos los resultados de todas las sumas que pueden hacerse tomando dos elementos de dicho conjunto   (incluyendo el doble de cada número). Por ejemplo en nuestro ejemplo la respuesta es

{0, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 16, 19, 22}

Ahora hagamos lo mismo pero calculando las diferencias dos a dos : 

{-11, -9, -8, -6, -5, -3, -2, 0, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11}

Vemos que obtuvimos 15 restas y solo 12 sumas distintas.

Probemos con otro conjunto de números : {5, 8, 17, 26, 41}

Sumas: {10, 13, 16, 22, 25, 31, 34, 43, 46, 49, 52, 58, 67, 82}
Diferencias: {-36, -33, -24, -21, -18, -15, -12, -9, -3, 0, 3, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 33, 36}

Nuevamente las restas superan a las sumas, esta vez 19 a 14.

No es difícil ver porque hay mas diferencias que sumas, la suma es conmutativa en tanto que la resta no. Es decir que  5+8 da el mismo resultado que 8+5, en tanto 8-5 =3 y 5-8= -3.
Es por ello que alguien conjeturó que el número de sumas obtenidas de esta forma nunca supera al número de diferencias.

Pero esto no es así, existen ejemplos de conjuntos de números enteros en los que las sumas superan en número a las diferencias, los dos menores conocidos tienen 8 números siendo en ambos casos el 14 el mayor número del conjunto.

¿Alguien se anima a encontrarlos?

Fuente http://bit-player.org/

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472 - Contando sumas y diferencias

471 - Otra bonita propiedad

El 7734 presenta esta bonita propiedad:

(7+7+3+4) x (7+734) x (77+34) x (773+4) = 

21 x 741 x 111 x 777 =

  1342089567

Vemos que el producto es un número pandigital 
(tiene una y solo una vez cada uno de los 10 dígitos),

¿Cuál es el otro número con esta propiedad?

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471 - Otra bonita propiedad

470 - Comparaciones biológicas

"Suponiendo que un ser humano tenga forma esférica y más o menos un metro de diámetro (piénsese en una persona en cuclillas), acabaremos con unas cuantas comparaciones biológicamente reveladoras que son más fáciles de imaginar.

El tamaño de una célula es al de una persona como el de ésta al de Rhode Island. 
Del mismo modo, un virus es a una persona como una persona a la tierra; 
un átomo es a una persona como ésta a la órbita de la tierra alrededor del sol, y 
un protón es a una persona como una persona a la distancia a Alfa Centauro."


De "El hombre anumerico" de John Allen Paulos

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470 - Comparaciones biológicas

469 - ¿ A quién no le gustan las matemáticas ?

Esta imágen creada por Alfred Lang fue una de los ganadores en el concurso de arte fractal Benoit Mandelbrot del año 2007.

Visto acá  página del concurso

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469 - ¿ A quién no le gustan las matemáticas ?

468 - Grilla autorreferente II

Completar la grilla de forma tal que en la primer columna se deben poner en las casillas la cantidad de 1, 2,3,4 y 5 que tendrá la grilla una vez completada, en tanto que en la columna dos se debe llenar con la cantidad de 6,7,8,9 y 0 que tendrá la grilla completa. No se puede poner valores mayores a 9. Cada grilla tiene al menos dos soluciones

_ _ 4 1 1

_ _ 2 0 5

_ _ 1 5 1

_ _ 8 1 4

_ _ 4 1 5

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468 - Grilla autorreferente II

467 - Que los cumplas feliz

- Mi padre y yo cumplimos en fechas del año muy especiales - dijo Gustavo
- ¿Qué tienen de especial? - preguntó Silvina
- El día del mes en que cumplimos no tiene digitos en común con el número del mes que cumplimos y si bien cumplimos en fechas distintas, nuestros cumpleaños presentan la particularidad de que el día del mes en que cada uno de nosotros cumplimos suele coincidir con el número de la semana del año en curso.
- ¿Y eso pasa siempre, como pasa con el primero de enero que siempre cae en la primer semana?
- No siempre, desde el año 2000 hasta el 2010 por ejemplo, cumplimos siempre en la semana equivalente  salvo en el 2000 y en el 2005 en los que no coincidió el día del mes con la semana en curso.
- Uy me haces hacer muchas cuentas!
- Solo te digo que yo cumplo en el año antes que mi papá.

¿Cuándo cumplen Gustavo y su padre?

Aclaraciones: 
-Se toman las semanas de domingo a sábado. Asi por ejemplo el 01 Enero de 2000 cayó sábado, por lo tanto coincidió el 1/enero con la semana 1 y el 2/enero (domingo) con la semana 2 en tanto que en  2002 el 2 de enero cayó en la semana uno


-El 1 enero (1/1)tiene digitos repetidos de fecha y mes (el uno), en tanto que el 1 de febrero (1/2) no. 
(tomamos 1 y 2 y no 01 y 02)


1/1/2000 Sábado
1/1/2001 Lunes
1/1/2002 Martes
1/1/2003 Miércoles
1/1/2004 Jueves
1/1/2005 Sábado
1/1/2006 Domingo
1/1/2007 Lunes
1/1/2008 Martes
1/1/2009 Jueves
1/1/2010 Viernes

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467 - Que los cumplas feliz

466 - Números brillantes II

Continuamos hoy con los números brillantes
Si en vez de dos factores usamos tres factores primos de igual longitud se obtiene otro tipo de número brillante. 
Ejemplos de estos números son los cubos de los números primos.
Otros ejemplos son : 
105 = 3x5x7 , 2431 = 11x13x17, 7429=17x19x23, etc.

¿Cuál es el mayor y el menor número brillante de 8 digitos producto de tres factores primos de igual longitud?

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466 - Números brillantes II

465 - Los números brillantes I

Los números brillantes, fueron definidos por Peter Wallrodt, y son números con dos factores primos de la misma longitud . Estos números se usan generalmente para propósitos criptográficos.

Los primeros números brillantes son :

4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 25, 35, 49, 121, 143, 169, 187, 209, 221, 247, 253, 289, 299, 319, 323, 341, 361, 377, 391, 403, 407, 437 y 451

El menor número brillante de 150 digitos es 10^149 + 21553 cuyos factores son :

196175124573517092034922493422470908957491913295260473203518969764669282857   
x
509748624946200879944668835201017220741864841301635474800405920115982269129

y fue descubierto por Paul Leyland

Dentro de los números brillantes hay muchos que son capicúas, los primeros son :
4, 6, 9, 121, 323, 737, 767, 949, 979, 989

¿Cuál es el mayor número brillante capicúa de cinco dígitos?

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465 - Los números brillantes I