1360 - "Escaleras Retorcidas"

Aquí esta la charla que dí este año en el encuentro Gathering for Gardner en Argentina. Si bien no tiene que ver con las matemáticas, está relacionada con los juegos de palabras. Presento 5 o 6 desafios con resultados a mejorar. Cualquiera que encuentre mejoras a mis soluciones puede ponerla en los comentarios. Espero que les guste. 






Aloof en español:
Cinco Letras 

• Esnob Ñandú Reloj 

Seis Letras 

• Baobab Picnic Whisky 

 Palabras amantes:

•  Gonad -Monad (en inglés)

Palabra mas sociable de 4 letras:

 Caca:



 Variante circular:


  
Variante Jack Kinder:
Lograr pasar en menos pasos:

De Nacer a Morir formando vivir (16)

•De Flaco a Gordo formando engordar (34)

•De Gordo a Flaco formando adelgazar (27)

•De Martes a Jueves formando miércoles (30)

•De Abril a Junio formando Mayo (26)

•De Venus a Marte formando tierra (17)

•De Marte a Venus formando tierra (23)

 
 Variante Jack - Kinder pasando por todas las letras: (81 pasos)

 

Entoces los desafios son:

 

•   Disminuir los pasos en las escaleras Jack mostradas como ejemplos

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1360 - "Escaleras Retorcidas"

1359 - M.C.D

Aquí tenemos un grupo de 10 números (1, 18, 9, 6, 12, 8, 112, 35, 30 y 2) cuya suma es 233 y que dispuestos en ese orden, los máximo comun divisor de dos números vecinos recorren todos los números del 1 al 9.

- Encontrar (si los hay) otros números con estas características con una suma menor a 233.

- Si estuvieran en una disposición circular, es decir que el 2 y el 1 también fueran vecinos, se repetiria uno de los M.C.D ya que habría dos M.C.D iguales a 1.
¿Es posible encontrar diez números y disponerlos en forma circular para que los M.C.D de dos números vecinos recorran los números del 1 al 10? y/ó con otros 10 números consecutivos (distintos del 1 al 10)?

Actualización : aquí van los logros y sus autores:

Hacer click en la imágen para verla completa

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1359 - M.C.D

1358 - El menor que acepta a todos los dígitos

Encontrar el menor número en el cual la suma de cualquiera dos dígitos vecinos es un número primo, y al cual le podemos agregar cualquiera de los diez dígitos en alguna posición de forma tal que la condición de suma de vecinos siga siendo prima se siga cumpliendo.

Ejemplo: 4116743

Se cumple que la suma de dos dígitos vecinos es un primo : ya que 4+1, 1+1, 1+6, 6+7, 7+4 y 4+3 son primos
y
0 lo podemos agregar detrás del 3  :    41167430 ya que 3+0 primo
1 lo podemos agregar antes del 4 :      1411673 ya que 1+4 es primo
2 lo podemos agregar entre los 1 :      4121673 ya que 1+2  y 2+1 son primos
3  lo podemos  agregar antes del 4:    34116743 ya que 3+4 es primo
4 lo podemos agregar entre los 1 :      41416743 ya que 1+4 y 4+1 son primos
El 5 no lo podemos agregar en ninguna posición
6 lo podemos agregar entre los 1:     41616743  ya que 1+6 y 6+1 son primos
7 lo podemos agregar delante del 4   74116743  ya que 7+4 es primo
8 lo podemos agregar detras del 3     41167438 ya que 3+8 es primo
9 lo podemos agregar delante del 4   94116743  ya que   9+4 es primo

4116743  valdría como respuesta si se pudiera colocar el 5 y fuera el menor número en el que esto sucediera. 

Es una idea de Eric Angelini

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1358 - El menor que acepta a todos los dígitos

1357 - Borrando el primer dígito

Veamos el siguiente producto :

 457 x 125 = 57125

Notan algo curioso?
Si miran bien , verán que el producto es igual a la concatenación de los multiplicandos sin el primer dígito

457 x 125 = 57125

Además el cuatro no participa en la composición del producto.

La idea es esa, buscar otros productos como este, obviamente no son válidos los terminados en cero ya que sino encontraríamos 457 x 1250, 457 x 12500, etc
 

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1357 - Borrando el primer dígito

1356 - Gathering for Gardner 2014

Como ya es costumbre por esta fecha, esta semana se celebra en todo el mundo el ingenio conmemorando a Martin Gardner. En esta ocasión en la Argentina será este sábado a la noche  y se homenajea también a Jaime Poniachik

Aquí está el programa :

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1356 - Gathering for Gardner 2014

1355 - Con todos los dígitos

En la siguiente ecuación participan todos los dígitos una sola vez cada uno (salvo el cero), y de un lado de la igualdad tenemos una multiplicación y del otro una suma :

 

9 x 81 = 253 + 476

Lamentablemente ninguno de los números que forman la ecuación es un número primo

Encontrar ecuaciones como estas en la que por lo menos uno de los números que participan sea un número primo

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1355 - Con todos los dígitos

1354 - ¿Cuántos minutos dura un embarazo? ¿y un año?

¿Eres capaz de decir rapidamente  cuántos minutos dura un aproximadamente embarazo de 38 semanas?

¿Eres capaz de decir rapidamente cuántos minutos dura exactamente un embarazo de 38 semanas?

¿Eres capaz de decir rapidamente cuántos minutos hay exactamente en un año?

No?

Aquí va un método para sorprender a tus conocidos
Para responder estas preguntas primero debemos saber cuanto minutos dura una semana.
Si hacemos los cálculos vemos que :
    Una semana = siete días
    Un día = 24 horas
    Una hora = 60 minutos
Entonces en una semana hay 7 x 24 x 60 =  10.080 minutos
Ya podemos responder la primer pregunta como una semana es aproximadamente 10.000 minutos, 38 semanas son aproxidamente 38 x 10.000 = 380.000 minutos

Para responder la segunda pregunta debemos usar un truco para multiplicar por 10.080, para ello hacemos lo siguiente:
Escribimos 38 (por 38 semanas)
Multiplicamos mentalmente 38 x 8, para ello 
multiplicamos 38 x 2, el resultado lo volvemos a duplicar y al nuevo resultado lo duplicamos también.
Así 38 x 2 = 76, 76 x 2 = 152 y 152 x 2 = 304
Colocamos al lado de 38 el resultado obtenido 
    38304
Por último agregamos un cero al final
   383.040
Listo ya tenemos la respuesta
38 semanas son exactamente 383.040 minutos

Este método sirve para calcular mentalmente los minutos que duran 13 - 124 semanas 
Para menos semanas debemos primero agregar un cero al lado de la cantidad de semanas, luego el producto por 8 y por último otro cero.
Por ejemplo en 7 semanas tenemos
7
Agregamos un primer cero
70
Multiplicamos 7 por 8
7 x 8 = 56
Agregamos el producto
7056
y colocamos el segundo cero
70.560
 7 semanas tienen 70.560 minutos

Para calcular los minutos de un año no bisiesto tenemos que tener en cuenta queun año son 52 semanas mas un día
Por lo tanto para 52 semanas
52
52 x 8  = 52x2x2x2 = 104 x 2 x 2 = 208 x 2 = 416
52416
Agregamos el cero 
  524.160 minutos en 52 semanas
En un día hay 24x60 = 1.440 minutos
Entonces en el año hay 
  524.160 + 1.440 = 525.600 minutos
Si es bisiesto 525.600 + 1.440 = 527.040 minutos



Basado en un artículo del blog Grey Matters

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1354 - ¿Cuántos minutos dura un embarazo? ¿y un año?

1353 - Números con d dígitos d

Consideremos aquellos números en los cuales si un digito D está presente en él, dicho dígito debe estar D veces presente.
Ejempos de estos números son , 1 ( el único de un dígito), 22 (el único de dos dígitos), 32332, 2333124444, etc.

 - ¿Cuántos números como estos hay?
 (obviamente que el mayor es el 999999999888888887777777666666....221 con 45 dígitos)

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1353 - Números con d dígitos d

1352 - Recorrido de un caballo de ajedrez en un calendario

En el blog Grey Matters nos cuentan que hace unos años se planteó en un foro realizar el recorrido de un caballo de ajedrez sobre una hoja de calendario. El objetivo es realizar un recorrido completo (de 29, 30 o 31 pasos según el mes elegido), empezando en cualquier día del mes y lograr la mayor cantidad de coincidencias entre el día del mes y el número de paso.
La mayor cantidad de coincidencias posibles es de 9. Un ejemplo de 9 coincidencias se puede ver en la siguiente imagen y corresponde para el mes que viene:

Pregunta :  ¿Es posible hacer un recorrido completo y que ninguno de las días coincida con el número de paso?

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1352 - Recorrido de un caballo de ajedrez en un calendario

1351 - Máximos y mínimos

Usando los nueve dígitos (una sola vez cada uno) podemos  formar entre 1 y 9 números.
Con dichos números podemos obtener distintos productos, y dentro de estos productos tenemos mínimos y máximos.

Obviamente que con un solo número, el mínimo es 123456789 y el máximo 987654321.
Con nueve números se obtiene un solo producto que es igual a factorial de 9.
Con dos números podemos obtener por ejemplo :
12 x 3456789, 653 x 897421, etc, etc.

¿Cuáles son los productos mínimos y máximos si formamos 2, 3, 4, 5 , 6, 7 y 8 números, si en ellos estan presentes cada uno de los dígitos una sola vez cada uno?

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1351 - Máximos y mínimos

1350 - Tazas

Tazas

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1350 - Tazas

1349 - Números dóciles y Rebeldes

En una página en francés leí sobre lo que ellos llaman números dóciles y números rebeldes.
Número dócil es aquel que es igual a la suma de dos números A y B, donde A>B y la suma de los dígitos de A es igual a la suma de los dígitos de B.
Número rebelde : es todo aquel que no es dócil

Ejemplo de números dóciles :

117 = 72 + 45 y 7+2 = 4+5
418 = 362 + 56  y 3+6+2 = 5+6

Ejemplo de números rebeldes:
38 y 40

Claro que hay números que son dóciles en mas de una forma, un ejemplo de ellos es el 2014

Encontrar las sumas que hacen a 2014 y que cumplen lo siguiente:

1) El número B tiene una sola cifra
2) El número B tiene dos cifras
3) El número B tiene 3 cifras
4) Tanto  A como B son primos, ¿Cuántas soluciones de este tipo hay?
5) Las cifras de A y de  B son todas distintas, ¿Cuántas soluciones de este tipo hay?

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1349 - Números dóciles y Rebeldes

1348 - Números en fila

Tengo varios números en una fila, el primero es el uno (que original), los siguientes son uno menos que el promedio de sus vecinos.

¿Si en la posición 2014 está el 2014, cuál es el mayor número de la serie?

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1348 - Números en fila

1347 - Concatenando las primeras 10 potencias para obtener un primo

La concatenación de las primeras 11 potencias de 7 es primo
o sea :  7⁰7¹7²7³7⁴7⁵7⁶7⁷7⁸7⁹7¹⁰ es primo

Lo mismo pasa con la concatenación de las primeras 11 potencias de 107, 619, 703, 769, 833 y 971

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1347 - Concatenando las primeras 10 potencias para obtener un primo

1346 - 894 al cuadrado

El número 894² puede expresarse como la suma de varios números cuadrados cuyas bases tienen una y solo una vez cada uno de los nueve dígitos:

894² = 5² + 69² + 347² + 821<sup>2

¿Otros ejemplos de cuadrados como suma de cuadrados cuyas bases tienen entre todos los 9 dígitos (una sola vez cada uno)?</sup>

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1346 - 894 al cuadrado

1345 - Factorial no divisible por la suma de sus digitos

¿Cuál es el menor factorial que no es divisible por la suma de sus dígitos?

Por ejemplo:
 5! = 120, suma de los dígitos = 1+2+0 = 3 y 120 es divisible por 3
 6! = 720, suma de sus dígitos = 7+2+0 = 9 y 720 es divisible por 9
 7! = 5040, suma de sus dígitos = 5+0+4+0 = 9 y 5040 es divisible por 9

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1345 - Factorial no divisible por la suma de sus digitos

1344 - Latas

- Llegaron las latas que pedimos, acá está la factura.
- Está el costo de unas y otras, y es curioso el resultado total. 
Los centavos dan la cantidad de latas que recibimos a 39 centavos la lata, en tanto que los pesos dan la cantidad de latas que recibimos a 49 centavos la lata.

¿Cuántas latas de cada tipo compraron?


Del libro de J H. hunter, Situaciones problemáticas

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1344 - Latas

1343 - Srinivasa Ramanujan's Magic Square

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1343 - Srinivasa Ramanujan's Magic Square

1342 - Secuencias ascensor

A raíz de la entrada 1339 - Ascensores, se me ocurrió formar secuencias en base a dicho problema.
Para ello tenemos que considerar 
D = cantidad de pisos en los que se detiene cada ascensor
P = Pisos que tiene el edificio
a(n) = Ascensores necesarios para que se pueda ir desde cualquier piso a otro del edificio.

Para el caso de que D sea 2, la solución a la secuencia es fácil, se necesita un ascensor por cada dos pisos a conectar, por lo tanto la secuencia sería   C(n,2) = 1,1,3,6,10, etc
Por ejemplo para cuatro pisos necesitamos seis ascensores que paran en dos pisos:
(1,2); (1,3); (1,4); (2,3); (2,4) y (3,4)

Para D=3
Hasta tres pisos se necesita 1 ascensor (1,2,3)
Para 4 pisos necesitamos por lo menos 3 ascensores por ejemplo (1,2,4); (1,3,4) y (2,3,4)

Algiuen se anima a hacer las series para hasta P pisos para los D >= 3
¿Hay alguna fórmula?
¿Están estas secuencias en la OEIS?

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1342 - Secuencias ascensor

1341 - Desayuno topológico - matemático

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1341 - Desayuno topológico - matemático

1340 -La fecha de hoy como fracción pandigital

Hoy es 30 / 7 / 14
¿De cuántas formas diferentes pueden expresarse estos tres números en forma de fracciones  usando todos los dígitos? (Pudiendo utilizar el cero o no)

Por ejemplo para el 32 tenemos :
- Usando el cero :

153792/4806

169728/5304

169824/5307

170496/5328

172608/5394

172896/5403

179328/5604

182304/5697

182496/5703

193728/6054

193824/6057

209184/6537

254016/7938

307584/9612

312480/9765

315072/9846

Sin usar el cero :

75168/2349

Ah y ya que estamos,  ¿De cuántas formas diferentes pueden expresarse el 52 en forma de fracciones que usen todos los dígitos?(Pudiendo o no utilizar el cero)

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1340 -La fecha de hoy como fracción pandigital

1339 - Ascensores

Este es un viejo problema que leí hace un tiempo en Internet.

En un edificio hay siete ascensores, cada uno de los cuales se detiene a lo sumo en 6 pisos diferentes.
Si nos dicen que podemos ir de desde cualquier piso a cualquier otro piso usando un solo ascensor, ¿Cuántos pisos tiene como máximo el edificio?

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1339 - Ascensores

1338 - Laberinto Einstein

Lo ví en http://waldotheclown.com/amazing_albert_maze.htm

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1338 - Laberinto Einstein

1337 - Fracciones pandigitales

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1337 - Fracciones pandigitales

1336 - Fracciones reducidas autorefentes

Estuve buscando fracciones simplificadas cuyos numeradores y denominadores aparezcan uno al lado del otro, dentro del valor de dicha fracción (no al final).
Aquí están algunas de las que encontré:

 Dentro de estas hay dos que se distinguen:

• 41/563 por tener numerador y denominador primos y 
• 89/989 porque el resultado empieza con la concatenación.

Otros ejemplos?

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1336 - Fracciones reducidas autorefentes

1335 - Jugando con los primos II

En esta ocasión tomo un primo lo invierto, le sumo una cierta cantidad n y veo si es primo, si es así repito

Ejemplos:
para n = 6
 5  invierto y sumo 6 = 11
11 invierto y sumo 6 = 17
17 invierto y sumo 6 = 77 No es primo

El 5 genera dos primos

  7 invierto y sumo 6 = 13
13 invierto y sumo 6 = 37
37 invierto y sumo 6 = 79
79 invierto y sumo 6 = 103
103 invierto y sumo 6 = 307
307 invierto y sumo 6 = 709
709 invierto y sumo 6 = 913 No es primo

El 7 genera 6 primos

El 5081 genera 7 primos  1811, 1187, 7817, 7193, 3923, 3299 y 9929

Se buscan primos que generen mas de 7 primos para cualquier n

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1335 - Jugando con los primos II

1334 - Jugando con los primos

1. Tomar un primo 
2. Sumarle un determinado número n
3. "Invertir" el resultado 
4. Si es un primo ir al paso 2

Ejemplos , si n = 6 y para primo 5

 5 --->   5+6 = 11 invertido  ----> 11 (primo) 
11---> 11+6 = 17 invertido  ----->71 (primo)
71---> 71+6 = 77 invertido -----> 77 No primo

O sea que el 5 genera dos primos para n = 6, 5 - 11 -71
El 7 en cambio genera tres primos : 7 - 31 - 73 y 97
El 127 genera cuatro primos : 127 - 331 - 733 - 937 - 349
El 1531 genera siete primos : 1531 - 7351 - 7537 - 3457 - 3643 - 9463 - 9649 - 5569

La idea está planteada, hay que encontrar primos que generen mas de siete primos usando este procedimiento para los distintos n posibles

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1334 - Jugando con los primos

1333 - Divisores de las fechas de este año

Si tomamos las fechas de este año como dd/mm/aaaa, obtendremos los siguientes números : 1012014, 2012014, 3012014,......29122014, 30122014 y 31122014.

Si buscamos los factores primos de estos números obtenemos:

1012014 = 2 - 3 - 6247
2012014 = 2 - 1006007
3012014 = 2 - 1506007
.
.
.
29122014 = 2 - 3 - 103 - 47123
30122014 = 2 - 13 - 1158539
31122014 = 2 - 7 -11 - 179 - 1129

Si analizamos todas las fechas de este año, 
¿Cuál es el menor primo ( mayor a 5) que no aparece como divisor de ninguna fecha?
 Por ejemplo en las seis fechas escritas la respuesta sería 17.

¿Cuál es el mayor divisor primo de las fechas de este año?
Por ejemplo en las seis fechas escritas la respuesta sería 1506007.

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1333 - Divisores de las fechas de este año

1332 - Entrada para el mundial

- Conseguí una entrada para la semifinal de mañana! 
- Qué bueno!, tenés pasajes?
- No, por ahora solo tengo la entrada, y como tiene un número curioso creo que voy a tener suerte
- Aha, y ¿Cuál es ese número?
- Mirá, tiene siete dígitos todos diferentes y en orden decreciente.
- Uhhhhh que curioso, pero hay muchos números como ese...
- Si, pero en éste si sumamos los dígitos, los dígitos que figuran en el resultado no estan presentes en el número, y además el número en si es múltiplo de dicha suma.
- Ahora si, creo que salimos campeones.



Basado en un problema de Danny Roth

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1332 - Entrada para el mundial

1331 -Un número muy particular

2⁴ x 5⁴ x 7² x 8⁴ x 2⁸ x 4⁸ x 6⁶ x 5⁶ x 0⁰ x 0⁰ x 0⁰ x 0⁰ x 0⁰ 

 = 24547284284866560000000000 

Aparentemente solo él y el 2592 (2⁵ x 9²) tienen esta propiedad

Lo vi en Notable properties of specific numbers

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1331 -Un número muy particular

1330 - Sea un poco egoista e invente sus propios números

Existen muchisimos ejemplos de números con apellido, así por ejemplo están los números de Fibonacci, los Primos de Mersenne, los de Fermat, Smith, etc, etc. Dichos números llevan el apellido de la persona que descubrió sus propiedades.
Ustedes que  gustan de las matemáticas pueden pasar a la historia encontrando alguna propiedad que cumplan algunos pocos números, logrando así que haya números con sus nombres.

Claro que lo anterior no es tan fácil como parece, así que yo decidí nombrar algunos números con mi apellido, e inventé los números MELLER. Para ello reemplazo cada una de las letras de mi apellido por un dígito y a igual letra uso el mismo dígito.
Algunos ejemplos de dichos números serían el 102203 el cual es el menor de los MELLER, 346647, 894493, y 987786 que es el mayor, etc.

¿Qué propiedades tienen estos números?.

Lo primero que ví es que hay números MELLER  divisibles por 2, por 3, por 4, etc
¿Cuáles son los dos primeros números que no dividen a ningun número MELLER?

También hay varios números MELLER que son primos.
Curiosamente el menor número MELLER es primo 102203
¿Cuál es el mayor número MELLER primo?

Existen unos pocos números MELLER cuadrados perfectos
¿Cuántos y cuales son?

La menor diferencia entre dos números MELLER consecutivos es uno como por ejemplo entre 102203 y 102204.
¿Cuál es la mayor diferencia entre dos MELLER consecutivos?
Hay dos números MELLER consecutivos que tienen una diferencia de 3306, ¿Cuáles son dichos números?

¿Alguna otra propiedad interesante?
¿Algún número con vuestro apellido o de algún famoso con propiedades interesantes?

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1330 - Sea un poco egoista e invente sus propios números